matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/subst1/subst1.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 set "baseuri" "cic:/matita/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/subst1/subst1".
  18
  19 include "subst1/fwd.ma".
  20
  21 include "subst0/subst0.ma".
  22
  23 theorem subst1_subst1:
  24  \forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (u2: T).(\forall (j: nat).((subst1
  25 j u2 t1 t2) \to (\forall (u1: T).(\forall (u: T).(\forall (i: nat).((subst1 i
  26 u u1 u2) \to (ex2 T (\lambda (t: T).(subst1 j u1 t1 t)) (\lambda (t:
  27 T).(subst1 (S (plus i j)) u t t2)))))))))))
  28 \def
  29  \lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (j: nat).(\lambda
  30 (H: (subst1 j u2 t1 t2)).(subst1_ind j u2 t1 (\lambda (t: T).(\forall (u1:
  31 T).(\forall (u: T).(\forall (i: nat).((subst1 i u u1 u2) \to (ex2 T (\lambda
  32 (t0: T).(subst1 j u1 t1 t0)) (\lambda (t0: T).(subst1 (S (plus i j)) u t0
  33 t)))))))) (\lambda (u1: T).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (_:
  34 (subst1 i u u1 u2)).(ex_intro2 T (\lambda (t: T).(subst1 j u1 t1 t)) (\lambda
  35 (t: T).(subst1 (S (plus i j)) u t t1)) t1 (subst1_refl j u1 t1) (subst1_refl
  36 (S (plus i j)) u t1)))))) (\lambda (t3: T).(\lambda (H0: (subst0 j u2 t1
  37 t3)).(\lambda (u1: T).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H1: (subst1
  38 i u u1 u2)).(insert_eq T u2 (\lambda (t: T).(subst1 i u u1 t)) (ex2 T
  39 (\lambda (t: T).(subst1 j u1 t1 t)) (\lambda (t: T).(subst1 (S (plus i j)) u
  40 t t3))) (\lambda (y: T).(\lambda (H2: (subst1 i u u1 y)).(subst1_ind i u u1
  41 (\lambda (t: T).((eq T t u2) \to (ex2 T (\lambda (t0: T).(subst1 j u1 t1 t0))
  42 (\lambda (t0: T).(subst1 (S (plus i j)) u t0 t3))))) (\lambda (H3: (eq T u1
  43 u2)).(eq_ind_r T u2 (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda (t0: T).(subst1 j t t1
  44 t0)) (\lambda (t0: T).(subst1 (S (plus i j)) u t0 t3)))) (ex_intro2 T
  45 (\lambda (t: T).(subst1 j u2 t1 t)) (\lambda (t: T).(subst1 (S (plus i j)) u
  46 t t3)) t3 (subst1_single j u2 t1 t3 H0) (subst1_refl (S (plus i j)) u t3)) u1
  47 H3)) (\lambda (t0: T).(\lambda (H3: (subst0 i u u1 t0)).(\lambda (H4: (eq T
  48 t0 u2)).(let H5 \def (eq_ind T t0 (\lambda (t: T).(subst0 i u u1 t)) H3 u2
  49 H4) in (ex2_ind T (\lambda (t: T).(subst0 j u1 t1 t)) (\lambda (t: T).(subst0
  50 (S (plus i j)) u t t3)) (ex2 T (\lambda (t: T).(subst1 j u1 t1 t)) (\lambda
  51 (t: T).(subst1 (S (plus i j)) u t t3))) (\lambda (x: T).(\lambda (H6: (subst0
  52 j u1 t1 x)).(\lambda (H7: (subst0 (S (plus i j)) u x t3)).(ex_intro2 T
  53 (\lambda (t: T).(subst1 j u1 t1 t)) (\lambda (t: T).(subst1 (S (plus i j)) u
  54 t t3)) x (subst1_single j u1 t1 x H6) (subst1_single (S (plus i j)) u x t3
  55 H7))))) (subst0_subst0 t1 t3 u2 j H0 u1 u i H5)))))) y H2))) H1))))))) t2
  56 H))))).
  57
  58 theorem subst1_subst1_back:
  59  \forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (u2: T).(\forall (j: nat).((subst1
  60 j u2 t1 t2) \to (\forall (u1: T).(\forall (u: T).(\forall (i: nat).((subst1 i
  61 u u2 u1) \to (ex2 T (\lambda (t: T).(subst1 j u1 t1 t)) (\lambda (t:
  62 T).(subst1 (S (plus i j)) u t2 t)))))))))))
  63 \def
  64  \lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (j: nat).(\lambda
  65 (H: (subst1 j u2 t1 t2)).(subst1_ind j u2 t1 (\lambda (t: T).(\forall (u1:
  66 T).(\forall (u: T).(\forall (i: nat).((subst1 i u u2 u1) \to (ex2 T (\lambda
  67 (t0: T).(subst1 j u1 t1 t0)) (\lambda (t0: T).(subst1 (S (plus i j)) u t
  68 t0)))))))) (\lambda (u1: T).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (_:
  69 (subst1 i u u2 u1)).(ex_intro2 T (\lambda (t: T).(subst1 j u1 t1 t)) (\lambda
  70 (t: T).(subst1 (S (plus i j)) u t1 t)) t1 (subst1_refl j u1 t1) (subst1_refl
  71 (S (plus i j)) u t1)))))) (\lambda (t3: T).(\lambda (H0: (subst0 j u2 t1
  72 t3)).(\lambda (u1: T).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H1: (subst1
  73 i u u2 u1)).(subst1_ind i u u2 (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda (t0:
  74 T).(subst1 j t t1 t0)) (\lambda (t0: T).(subst1 (S (plus i j)) u t3 t0))))
  75 (ex_intro2 T (\lambda (t: T).(subst1 j u2 t1 t)) (\lambda (t: T).(subst1 (S
  76 (plus i j)) u t3 t)) t3 (subst1_single j u2 t1 t3 H0) (subst1_refl (S (plus i
  77 j)) u t3)) (\lambda (t0: T).(\lambda (H2: (subst0 i u u2 t0)).(ex2_ind T
  78 (\lambda (t: T).(subst0 j t0 t1 t)) (\lambda (t: T).(subst0 (S (plus i j)) u
  79 t3 t)) (ex2 T (\lambda (t: T).(subst1 j t0 t1 t)) (\lambda (t: T).(subst1 (S
  80 (plus i j)) u t3 t))) (\lambda (x: T).(\lambda (H3: (subst0 j t0 t1
  81 x)).(\lambda (H4: (subst0 (S (plus i j)) u t3 x)).(ex_intro2 T (\lambda (t:
  82 T).(subst1 j t0 t1 t)) (\lambda (t: T).(subst1 (S (plus i j)) u t3 t)) x
  83 (subst1_single j t0 t1 x H3) (subst1_single (S (plus i j)) u t3 x H4)))))
  84 (subst0_subst0_back t1 t3 u2 j H0 t0 u i H2)))) u1 H1))))))) t2 H))))).
  85
  86 theorem subst1_trans:
  87  \forall (t2: T).(\forall (t1: T).(\forall (v: T).(\forall (i: nat).((subst1
  88 i v t1 t2) \to (\forall (t3: T).((subst1 i v t2 t3) \to (subst1 i v t1
  89 t3)))))))
  90 \def
  91  \lambda (t2: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (v: T).(\lambda (i: nat).(\lambda
  92 (H: (subst1 i v t1 t2)).(subst1_ind i v t1 (\lambda (t: T).(\forall (t3:
  93 T).((subst1 i v t t3) \to (subst1 i v t1 t3)))) (\lambda (t3: T).(\lambda
  94 (H0: (subst1 i v t1 t3)).H0)) (\lambda (t3: T).(\lambda (H0: (subst0 i v t1
  95 t3)).(\lambda (t4: T).(\lambda (H1: (subst1 i v t3 t4)).(subst1_ind i v t3
  96 (\lambda (t: T).(subst1 i v t1 t)) (subst1_single i v t1 t3 H0) (\lambda (t0:
  97 T).(\lambda (H2: (subst0 i v t3 t0)).(subst1_single i v t1 t0 (subst0_trans
  98 t3 t1 v i H0 t0 H2)))) t4 H1))))) t2 H))))).
  99
 100 theorem subst1_confluence_neq:
 101  \forall (t0: T).(\forall (t1: T).(\forall (u1: T).(\forall (i1:
 102 nat).((subst1 i1 u1 t0 t1) \to (\forall (t2: T).(\forall (u2: T).(\forall
 103 (i2: nat).((subst1 i2 u2 t0 t2) \to ((not (eq nat i1 i2)) \to (ex2 T (\lambda
 104 (t: T).(subst1 i2 u2 t1 t)) (\lambda (t: T).(subst1 i1 u1 t2 t))))))))))))
 105 \def
 106  \lambda (t0: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (u1: T).(\lambda (i1:
 107 nat).(\lambda (H: (subst1 i1 u1 t0 t1)).(subst1_ind i1 u1 t0 (\lambda (t:
 108 T).(\forall (t2: T).(\forall (u2: T).(\forall (i2: nat).((subst1 i2 u2 t0 t2)
 109 \to ((not (eq nat i1 i2)) \to (ex2 T (\lambda (t3: T).(subst1 i2 u2 t t3))
 110 (\lambda (t3: T).(subst1 i1 u1 t2 t3))))))))) (\lambda (t2: T).(\lambda (u2:
 111 T).(\lambda (i2: nat).(\lambda (H0: (subst1 i2 u2 t0 t2)).(\lambda (_: (not
 112 (eq nat i1 i2))).(ex_intro2 T (\lambda (t: T).(subst1 i2 u2 t0 t)) (\lambda
 113 (t: T).(subst1 i1 u1 t2 t)) t2 H0 (subst1_refl i1 u1 t2))))))) (\lambda (t2:
 114 T).(\lambda (H0: (subst0 i1 u1 t0 t2)).(\lambda (t3: T).(\lambda (u2:
 115 T).(\lambda (i2: nat).(\lambda (H1: (subst1 i2 u2 t0 t3)).(\lambda (H2: (not
 116 (eq nat i1 i2))).(subst1_ind i2 u2 t0 (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda (t4:
 117 T).(subst1 i2 u2 t2 t4)) (\lambda (t4: T).(subst1 i1 u1 t t4)))) (ex_intro2 T
 118 (\lambda (t: T).(subst1 i2 u2 t2 t)) (\lambda (t: T).(subst1 i1 u1 t0 t)) t2
 119 (subst1_refl i2 u2 t2) (subst1_single i1 u1 t0 t2 H0)) (\lambda (t4:
 120 T).(\lambda (H3: (subst0 i2 u2 t0 t4)).(ex2_ind T (\lambda (t: T).(subst0 i1
 121 u1 t4 t)) (\lambda (t: T).(subst0 i2 u2 t2 t)) (ex2 T (\lambda (t: T).(subst1
 122 i2 u2 t2 t)) (\lambda (t: T).(subst1 i1 u1 t4 t))) (\lambda (x: T).(\lambda
 123 (H4: (subst0 i1 u1 t4 x)).(\lambda (H5: (subst0 i2 u2 t2 x)).(ex_intro2 T
 124 (\lambda (t: T).(subst1 i2 u2 t2 t)) (\lambda (t: T).(subst1 i1 u1 t4 t)) x
 125 (subst1_single i2 u2 t2 x H5) (subst1_single i1 u1 t4 x H4)))))
 126 (subst0_confluence_neq t0 t4 u2 i2 H3 t2 u1 i1 H0 (sym_not_eq nat i1 i2
 127 H2))))) t3 H1)))))))) t1 H))))).
 128
 129 theorem subst1_confluence_eq:
 130  \forall (t0: T).(\forall (t1: T).(\forall (u: T).(\forall (i: nat).((subst1
 131 i u t0 t1) \to (\forall (t2: T).((subst1 i u t0 t2) \to (ex2 T (\lambda (t:
 132 T).(subst1 i u t1 t)) (\lambda (t: T).(subst1 i u t2 t)))))))))
 133 \def
 134  \lambda (t0: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda
 135 (H: (subst1 i u t0 t1)).(subst1_ind i u t0 (\lambda (t: T).(\forall (t2:
 136 T).((subst1 i u t0 t2) \to (ex2 T (\lambda (t3: T).(subst1 i u t t3))
 137 (\lambda (t3: T).(subst1 i u t2 t3)))))) (\lambda (t2: T).(\lambda (H0:
 138 (subst1 i u t0 t2)).(ex_intro2 T (\lambda (t: T).(subst1 i u t0 t)) (\lambda
 139 (t: T).(subst1 i u t2 t)) t2 H0 (subst1_refl i u t2)))) (\lambda (t2:
 140 T).(\lambda (H0: (subst0 i u t0 t2)).(\lambda (t3: T).(\lambda (H1: (subst1 i
 141 u t0 t3)).(subst1_ind i u t0 (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda (t4: T).(subst1
 142 i u t2 t4)) (\lambda (t4: T).(subst1 i u t t4)))) (ex_intro2 T (\lambda (t:
 143 T).(subst1 i u t2 t)) (\lambda (t: T).(subst1 i u t0 t)) t2 (subst1_refl i u
 144 t2) (subst1_single i u t0 t2 H0)) (\lambda (t4: T).(\lambda (H2: (subst0 i u
 145 t0 t4)).(or4_ind (eq T t4 t2) (ex2 T (\lambda (t: T).(subst0 i u t4 t))
 146 (\lambda (t: T).(subst0 i u t2 t))) (subst0 i u t4 t2) (subst0 i u t2 t4)
 147 (ex2 T (\lambda (t: T).(subst1 i u t2 t)) (\lambda (t: T).(subst1 i u t4 t)))
 148 (\lambda (H3: (eq T t4 t2)).(eq_ind_r T t2 (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda
 149 (t5: T).(subst1 i u t2 t5)) (\lambda (t5: T).(subst1 i u t t5)))) (ex_intro2
 150 T (\lambda (t: T).(subst1 i u t2 t)) (\lambda (t: T).(subst1 i u t2 t)) t2
 151 (subst1_refl i u t2) (subst1_refl i u t2)) t4 H3)) (\lambda (H3: (ex2 T
 152 (\lambda (t: T).(subst0 i u t4 t)) (\lambda (t: T).(subst0 i u t2
 153 t)))).(ex2_ind T (\lambda (t: T).(subst0 i u t4 t)) (\lambda (t: T).(subst0 i
 154 u t2 t)) (ex2 T (\lambda (t: T).(subst1 i u t2 t)) (\lambda (t: T).(subst1 i
 155 u t4 t))) (\lambda (x: T).(\lambda (H4: (subst0 i u t4 x)).(\lambda (H5:
 156 (subst0 i u t2 x)).(ex_intro2 T (\lambda (t: T).(subst1 i u t2 t)) (\lambda
 157 (t: T).(subst1 i u t4 t)) x (subst1_single i u t2 x H5) (subst1_single i u t4
 158 x H4))))) H3)) (\lambda (H3: (subst0 i u t4 t2)).(ex_intro2 T (\lambda (t:
 159 T).(subst1 i u t2 t)) (\lambda (t: T).(subst1 i u t4 t)) t2 (subst1_refl i u
 160 t2) (subst1_single i u t4 t2 H3))) (\lambda (H3: (subst0 i u t2
 161 t4)).(ex_intro2 T (\lambda (t: T).(subst1 i u t2 t)) (\lambda (t: T).(subst1
 162 i u t4 t)) t4 (subst1_single i u t2 t4 H3) (subst1_refl i u t4)))
 163 (subst0_confluence_eq t0 t4 u i H2 t2 H0)))) t3 H1))))) t1 H))))).
 164
 165 theorem subst1_confluence_lift:
 166  \forall (t0: T).(\forall (t1: T).(\forall (u: T).(\forall (i: nat).((subst1
 167 i u t0 (lift (S O) i t1)) \to (\forall (t2: T).((subst1 i u t0 (lift (S O) i
 168 t2)) \to (eq T t1 t2)))))))
 169 \def
 170  \lambda (t0: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda
 171 (H: (subst1 i u t0 (lift (S O) i t1))).(insert_eq T (lift (S O) i t1)
 172 (\lambda (t: T).(subst1 i u t0 t)) (\forall (t2: T).((subst1 i u t0 (lift (S
 173 O) i t2)) \to (eq T t1 t2))) (\lambda (y: T).(\lambda (H0: (subst1 i u t0
 174 y)).(subst1_ind i u t0 (\lambda (t: T).((eq T t (lift (S O) i t1)) \to
 175 (\forall (t2: T).((subst1 i u t0 (lift (S O) i t2)) \to (eq T t1 t2)))))
 176 (\lambda (H1: (eq T t0 (lift (S O) i t1))).(\lambda (t2: T).(\lambda (H2:
 177 (subst1 i u t0 (lift (S O) i t2))).(let H3 \def (eq_ind T t0 (\lambda (t:
 178 T).(subst1 i u t (lift (S O) i t2))) H2 (lift (S O) i t1) H1) in (let H4 \def
 179 (sym_eq T (lift (S O) i t2) (lift (S O) i t1) (subst1_gen_lift_eq t1 u (lift
 180 (S O) i t2) (S O) i i (le_n i) (eq_ind_r nat (plus (S O) i) (\lambda (n:
 181 nat).(lt i n)) (le_n (plus (S O) i)) (plus i (S O)) (plus_comm i (S O))) H3))
 182 in (lift_inj t1 t2 (S O) i H4)))))) (\lambda (t2: T).(\lambda (H1: (subst0 i
 183 u t0 t2)).(\lambda (H2: (eq T t2 (lift (S O) i t1))).(\lambda (t3:
 184 T).(\lambda (H3: (subst1 i u t0 (lift (S O) i t3))).(let H4 \def (eq_ind T t2
 185 (\lambda (t: T).(subst0 i u t0 t)) H1 (lift (S O) i t1) H2) in (insert_eq T
 186 (lift (S O) i t3) (\lambda (t: T).(subst1 i u t0 t)) (eq T t1 t3) (\lambda
 187 (y0: T).(\lambda (H5: (subst1 i u t0 y0)).(subst1_ind i u t0 (\lambda (t:
 188 T).((eq T t (lift (S O) i t3)) \to (eq T t1 t3))) (\lambda (H6: (eq T t0
 189 (lift (S O) i t3))).(let H7 \def (eq_ind T t0 (\lambda (t: T).(subst0 i u t
 190 (lift (S O) i t1))) H4 (lift (S O) i t3) H6) in (subst0_gen_lift_false t3 u
 191 (lift (S O) i t1) (S O) i i (le_n i) (eq_ind_r nat (plus (S O) i) (\lambda
 192 (n: nat).(lt i n)) (le_n (plus (S O) i)) (plus i (S O)) (plus_comm i (S O)))
 193 H7 (eq T t1 t3)))) (\lambda (t4: T).(\lambda (H6: (subst0 i u t0
 194 t4)).(\lambda (H7: (eq T t4 (lift (S O) i t3))).(let H8 \def (eq_ind T t4
 195 (\lambda (t: T).(subst0 i u t0 t)) H6 (lift (S O) i t3) H7) in (sym_eq T t3
 196 t1 (subst0_confluence_lift t0 t3 u i H8 t1 H4)))))) y0 H5))) H3))))))) y
 197 H0))) H))))).
 198