matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/tlt/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "LambdaDelta-1/tlt/defs.ma".
  18
  19 theorem wadd_le:
  20  \forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n:
  21 nat).(le (f n) (g n)))) \to (\forall (v: nat).(\forall (w: nat).((le v w) \to
  22 (\forall (n: nat).(le (wadd f v n) (wadd g w n))))))))
  23 \def
  24  \lambda (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (H:
  25 ((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))).(\lambda (v: nat).(\lambda (w:
  26 nat).(\lambda (H0: (le v w)).(\lambda (n: nat).(nat_ind (\lambda (n0:
  27 nat).(le (wadd f v n0) (wadd g w n0))) H0 (\lambda (n0: nat).(\lambda (_: (le
  28 (wadd f v n0) (wadd g w n0))).(H n0))) n))))))).
  29
  30 theorem wadd_lt:
  31  \forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n:
  32 nat).(le (f n) (g n)))) \to (\forall (v: nat).(\forall (w: nat).((lt v w) \to
  33 (\forall (n: nat).(le (wadd f v n) (wadd g w n))))))))
  34 \def
  35  \lambda (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (H:
  36 ((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))).(\lambda (v: nat).(\lambda (w:
  37 nat).(\lambda (H0: (lt v w)).(\lambda (n: nat).(nat_ind (\lambda (n0:
  38 nat).(le (wadd f v n0) (wadd g w n0))) (le_S_n v w (le_S (S v) w H0))
  39 (\lambda (n0: nat).(\lambda (_: (le (wadd f v n0) (wadd g w n0))).(H n0)))
  40 n))))))).
  41
  42 theorem wadd_O:
  43  \forall (n: nat).(eq nat (wadd (\lambda (_: nat).O) O n) O)
  44 \def
  45  \lambda (n: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(eq nat (wadd (\lambda (_:
  46 nat).O) O n0) O)) (refl_equal nat O) (\lambda (n0: nat).(\lambda (_: (eq nat
  47 (wadd (\lambda (_: nat).O) O n0) O)).(refl_equal nat O))) n).
  48
  49 theorem weight_le:
  50  \forall (t: T).(\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to
  51 nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f t)
  52 (weight_map g t)))))
  53 \def
  54  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (f: ((nat \to
  55 nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))
  56 \to (le (weight_map f t0) (weight_map g t0)))))) (\lambda (n: nat).(\lambda
  57 (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (_: ((\forall
  58 (n0: nat).(le (f n0) (g n0))))).(le_n (weight_map g (TSort n))))))) (\lambda
  59 (n: nat).(\lambda (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda
  60 (H: ((\forall (n0: nat).(le (f n0) (g n0))))).(H n))))) (\lambda (k:
  61 K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (t0: T).(((\forall (f: ((nat \to
  62 nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))
  63 \to (le (weight_map f t0) (weight_map g t0)))))) \to (\forall (t1:
  64 T).(((\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall
  65 (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f t1) (weight_map g t1))))))
  66 \to (\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall
  67 (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f (THead k0 t0 t1))
  68 (weight_map g (THead k0 t0 t1))))))))))) (\lambda (b: B).(B_ind (\lambda (b0:
  69 B).(\forall (t0: T).(((\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to
  70 nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f t0)
  71 (weight_map g t0)))))) \to (\forall (t1: T).(((\forall (f: ((nat \to
  72 nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))
  73 \to (le (weight_map f t1) (weight_map g t1)))))) \to (\forall (f: ((nat \to
  74 nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))
  75 \to (le (match b0 with [Abbr \Rightarrow (S (plus (weight_map f t0)
  76 (weight_map (wadd f (S (weight_map f t0))) t1))) | Abst \Rightarrow (S (plus
  77 (weight_map f t0) (weight_map (wadd f O) t1))) | Void \Rightarrow (S (plus
  78 (weight_map f t0) (weight_map (wadd f O) t1)))]) (match b0 with [Abbr
  79 \Rightarrow (S (plus (weight_map g t0) (weight_map (wadd g (S (weight_map g
  80 t0))) t1))) | Abst \Rightarrow (S (plus (weight_map g t0) (weight_map (wadd g
  81 O) t1))) | Void \Rightarrow (S (plus (weight_map g t0) (weight_map (wadd g O)
  82 t1)))])))))))))) (\lambda (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (f: ((nat \to
  83 nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))
  84 \to (le (weight_map f t0) (weight_map g t0))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda
  85 (H0: ((\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall
  86 (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f t1) (weight_map g
  87 t1))))))).(\lambda (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to
  88 nat))).(\lambda (H1: ((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))).(le_n_S (plus
  89 (weight_map f t0) (weight_map (wadd f (S (weight_map f t0))) t1)) (plus
  90 (weight_map g t0) (weight_map (wadd g (S (weight_map g t0))) t1))
  91 (le_plus_plus (weight_map f t0) (weight_map g t0) (weight_map (wadd f (S
  92 (weight_map f t0))) t1) (weight_map (wadd g (S (weight_map g t0))) t1) (H f g
  93 H1) (H0 (wadd f (S (weight_map f t0))) (wadd g (S (weight_map g t0)))
  94 (\lambda (n: nat).(wadd_le f g H1 (S (weight_map f t0)) (S (weight_map g t0))
  95 (le_n_S (weight_map f t0) (weight_map g t0) (H f g H1)) n))))))))))))
  96 (\lambda (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g:
  97 ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f
  98 t0) (weight_map g t0))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (f:
  99 ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n)
 100 (g n)))) \to (le (weight_map f t1) (weight_map g t1))))))).(\lambda (f: ((nat
 101 \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (H1: ((\forall (n: nat).(le
 102 (f n) (g n))))).(le_n_S (plus (weight_map f t0) (weight_map (wadd f O) t1))
 103 (plus (weight_map g t0) (weight_map (wadd g O) t1)) (le_plus_plus (weight_map
 104 f t0) (weight_map g t0) (weight_map (wadd f O) t1) (weight_map (wadd g O) t1)
 105 (H f g H1) (H0 (wadd f O) (wadd g O) (\lambda (n: nat).(wadd_le f g H1 O O
 106 (le_n O) n)))))))))))) (\lambda (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (f: ((nat \to
 107 nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))
 108 \to (le (weight_map f t0) (weight_map g t0))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda
 109 (H0: ((\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall
 110 (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f t1) (weight_map g
 111 t1))))))).(\lambda (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to
 112 nat))).(\lambda (H1: ((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))).(le_n_S (plus
 113 (weight_map f t0) (weight_map (wadd f O) t1)) (plus (weight_map g t0)
 114 (weight_map (wadd g O) t1)) (le_plus_plus (weight_map f t0) (weight_map g t0)
 115 (weight_map (wadd f O) t1) (weight_map (wadd g O) t1) (H f g H1) (H0 (wadd f
 116 O) (wadd g O) (\lambda (n: nat).(wadd_le f g H1 O O (le_n O) n))))))))))))
 117 b)) (\lambda (_: F).(\lambda (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (f0: ((nat \to
 118 nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f0 n) (g n))))
 119 \to (le (weight_map f0 t0) (weight_map g t0))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda
 120 (H0: ((\forall (f0: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall
 121 (n: nat).(le (f0 n) (g n)))) \to (le (weight_map f0 t1) (weight_map g
 122 t1))))))).(\lambda (f0: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to
 123 nat))).(\lambda (H1: ((\forall (n: nat).(le (f0 n) (g n))))).(le_n_S (plus
 124 (weight_map f0 t0) (weight_map f0 t1)) (plus (weight_map g t0) (weight_map g
 125 t1)) (le_plus_plus (weight_map f0 t0) (weight_map g t0) (weight_map f0 t1)
 126 (weight_map g t1) (H f0 g H1) (H0 f0 g H1))))))))))) k)) t).
 127
 128 theorem weight_eq:
 129  \forall (t: T).(\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to
 130 nat))).(((\forall (n: nat).(eq nat (f n) (g n)))) \to (eq nat (weight_map f
 131 t) (weight_map g t)))))
 132 \def
 133  \lambda (t: T).(\lambda (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to
 134 nat))).(\lambda (H: ((\forall (n: nat).(eq nat (f n) (g n))))).(le_antisym
 135 (weight_map f t) (weight_map g t) (weight_le t f g (\lambda (n:
 136 nat).(eq_ind_r nat (g n) (\lambda (n0: nat).(le n0 (g n))) (le_n (g n)) (f n)
 137 (H n)))) (weight_le t g f (\lambda (n: nat).(eq_ind_r nat (g n) (\lambda (n0:
 138 nat).(le (g n) n0)) (le_n (g n)) (f n) (H n)))))))).
 139
 140 theorem weight_add_O:
 141  \forall (t: T).(eq nat (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t)
 142 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t))
 143 \def
 144  \lambda (t: T).(weight_eq t (wadd (\lambda (_: nat).O) O) (\lambda (_:
 145 nat).O) (\lambda (n: nat).(wadd_O n))).
 146
 147 theorem weight_add_S:
 148  \forall (t: T).(\forall (m: nat).(le (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O)
 149 O) t) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) (S m)) t)))
 150 \def
 151  \lambda (t: T).(\lambda (m: nat).(weight_le t (wadd (\lambda (_: nat).O) O)
 152 (wadd (\lambda (_: nat).O) (S m)) (\lambda (n: nat).(wadd_le (\lambda (_:
 153 nat).O) (\lambda (_: nat).O) (\lambda (_: nat).(le_n O)) O (S m) (le_S O m
 154 (le_O_n m)) n)))).
 155
 156 theorem tlt_trans:
 157  \forall (v: T).(\forall (u: T).(\forall (t: T).((tlt u v) \to ((tlt v t) \to
 158 (tlt u t)))))
 159 \def
 160  \lambda (v: T).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (H: (lt (weight u)
 161 (weight v))).(\lambda (H0: (lt (weight v) (weight t))).(lt_trans (weight u)
 162 (weight v) (weight t) H H0))))).
 163
 164 theorem tlt_head_sx:
 165  \forall (k: K).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(tlt u (THead k u t))))
 166 \def
 167  \lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(lt
 168 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (\lambda (_: nat).O) (THead
 169 k0 u t)))))) (\lambda (b: B).(B_ind (\lambda (b0: B).(\forall (u: T).(\forall
 170 (t: T).(lt (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (match b0 with [Abbr
 171 \Rightarrow (S (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd
 172 (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u))) t))) | Abst
 173 \Rightarrow (S (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd
 174 (\lambda (_: nat).O) O) t))) | Void \Rightarrow (S (plus (weight_map (\lambda
 175 (_: nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t)))]))))) (\lambda
 176 (u: T).(\lambda (t: T).(le_n_S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (plus
 177 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) (S
 178 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u))) t)) (le_plus_l (weight_map (\lambda (_:
 179 nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_:
 180 nat).O) u))) t))))) (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(le_n_S (weight_map
 181 (\lambda (_: nat).O) u) (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map
 182 (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t)) (le_plus_l (weight_map (\lambda (_: nat).O)
 183 u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t))))) (\lambda (u: T).(\lambda
 184 (t: T).(le_n_S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (plus (weight_map (\lambda
 185 (_: nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t)) (le_plus_l
 186 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O)
 187 t))))) b)) (\lambda (_: F).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(le_n_S
 188 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u)
 189 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)) (le_plus_l (weight_map (\lambda (_:
 190 nat).O) u) (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)))))) k).
 191
 192 theorem tlt_head_dx:
 193  \forall (k: K).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(tlt t (THead k u t))))
 194 \def
 195  \lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(lt
 196 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (weight_map (\lambda (_: nat).O) (THead
 197 k0 u t)))))) (\lambda (b: B).(B_ind (\lambda (b0: B).(\forall (u: T).(\forall
 198 (t: T).(lt (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (match b0 with [Abbr
 199 \Rightarrow (S (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd
 200 (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u))) t))) | Abst
 201 \Rightarrow (S (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd
 202 (\lambda (_: nat).O) O) t))) | Void \Rightarrow (S (plus (weight_map (\lambda
 203 (_: nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t)))]))))) (\lambda
 204 (u: T).(\lambda (t: T).(lt_le_trans (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (S
 205 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)) (S (plus (weight_map (\lambda (_:
 206 nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_:
 207 nat).O) u))) t))) (lt_n_Sn (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)) (le_n_S
 208 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u)
 209 (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_: nat).O)
 210 u))) t)) (le_trans (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (weight_map (wadd
 211 (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u))) t) (plus
 212 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) (S
 213 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u))) t)) (eq_ind nat (weight_map (wadd
 214 (\lambda (_: nat).O) O) t) (\lambda (n: nat).(le n (weight_map (wadd (\lambda
 215 (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u))) t))) (weight_add_S t
 216 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u)) (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)
 217 (weight_add_O t)) (le_plus_r (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map
 218 (wadd (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u))) t)))))))
 219 (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(eq_ind_r nat (weight_map (\lambda (_:
 220 nat).O) t) (\lambda (n: nat).(lt (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (S (plus
 221 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) n)))) (le_n_S (weight_map (\lambda (_:
 222 nat).O) t) (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (\lambda (_:
 223 nat).O) t)) (le_plus_r (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map
 224 (\lambda (_: nat).O) t))) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t)
 225 (weight_add_O t)))) (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(eq_ind_r nat (weight_map
 226 (\lambda (_: nat).O) t) (\lambda (n: nat).(lt (weight_map (\lambda (_:
 227 nat).O) t) (S (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) n)))) (le_n_S
 228 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u)
 229 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)) (le_plus_r (weight_map (\lambda (_:
 230 nat).O) u) (weight_map (\lambda (_: nat).O) t))) (weight_map (wadd (\lambda
 231 (_: nat).O) O) t) (weight_add_O t)))) b)) (\lambda (_: F).(\lambda (u:
 232 T).(\lambda (t: T).(le_n_S (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (plus
 233 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (\lambda (_: nat).O) t))
 234 (le_plus_r (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (\lambda (_:
 235 nat).O) t)))))) k).
 236
 237 theorem tlt_wf__q_ind:
 238  \forall (P: ((T \to Prop))).(((\forall (n: nat).((\lambda (P0: ((T \to
 239 Prop))).(\lambda (n0: nat).(\forall (t: T).((eq nat (weight t) n0) \to (P0
 240 t))))) P n))) \to (\forall (t: T).(P t)))
 241 \def
 242  let Q \def (\lambda (P: ((T \to Prop))).(\lambda (n: nat).(\forall (t:
 243 T).((eq nat (weight t) n) \to (P t))))) in (\lambda (P: ((T \to
 244 Prop))).(\lambda (H: ((\forall (n: nat).(\forall (t: T).((eq nat (weight t)
 245 n) \to (P t)))))).(\lambda (t: T).(H (weight t) t (refl_equal nat (weight
 246 t)))))).
 247
 248 theorem tlt_wf_ind:
 249  \forall (P: ((T \to Prop))).(((\forall (t: T).(((\forall (v: T).((tlt v t)
 250 \to (P v)))) \to (P t)))) \to (\forall (t: T).(P t)))
 251 \def
 252  let Q \def (\lambda (P: ((T \to Prop))).(\lambda (n: nat).(\forall (t:
 253 T).((eq nat (weight t) n) \to (P t))))) in (\lambda (P: ((T \to
 254 Prop))).(\lambda (H: ((\forall (t: T).(((\forall (v: T).((lt (weight v)
 255 (weight t)) \to (P v)))) \to (P t))))).(\lambda (t: T).(tlt_wf__q_ind
 256 (\lambda (t0: T).(P t0)) (\lambda (n: nat).(lt_wf_ind n (Q (\lambda (t0:
 257 T).(P t0))) (\lambda (n0: nat).(\lambda (H0: ((\forall (m: nat).((lt m n0)
 258 \to (Q (\lambda (t0: T).(P t0)) m))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (H1: (eq nat
 259 (weight t0) n0)).(let H2 \def (eq_ind_r nat n0 (\lambda (n1: nat).(\forall
 260 (m: nat).((lt m n1) \to (\forall (t1: T).((eq nat (weight t1) m) \to (P
 261 t1)))))) H0 (weight t0) H1) in (H t0 (\lambda (v: T).(\lambda (H3: (lt
 262 (weight v) (weight t0))).(H2 (weight v) H3 v (refl_equal nat (weight
 263 v))))))))))))) t)))).
 264