matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/tlt/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 set "baseuri" "cic:/matita/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/tlt/props".
  18
  19 include "tlt/defs.ma".
  20
  21 theorem wadd_le:
  22  \forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n:
  23 nat).(le (f n) (g n)))) \to (\forall (v: nat).(\forall (w: nat).((le v w) \to
  24 (\forall (n: nat).(le (wadd f v n) (wadd g w n))))))))
  25 \def
  26  \lambda (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (H:
  27 ((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))).(\lambda (v: nat).(\lambda (w:
  28 nat).(\lambda (H0: (le v w)).(\lambda (n: nat).(nat_ind (\lambda (n0:
  29 nat).(le (wadd f v n0) (wadd g w n0))) H0 (\lambda (n0: nat).(\lambda (_: (le
  30 (wadd f v n0) (wadd g w n0))).(H n0))) n))))))).
  31
  32 theorem wadd_lt:
  33  \forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n:
  34 nat).(le (f n) (g n)))) \to (\forall (v: nat).(\forall (w: nat).((lt v w) \to
  35 (\forall (n: nat).(le (wadd f v n) (wadd g w n))))))))
  36 \def
  37  \lambda (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (H:
  38 ((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))).(\lambda (v: nat).(\lambda (w:
  39 nat).(\lambda (H0: (lt v w)).(\lambda (n: nat).(nat_ind (\lambda (n0:
  40 nat).(le (wadd f v n0) (wadd g w n0))) (le_S_n v w (le_S (S v) w H0))
  41 (\lambda (n0: nat).(\lambda (_: (le (wadd f v n0) (wadd g w n0))).(H n0)))
  42 n))))))).
  43
  44 theorem wadd_O:
  45  \forall (n: nat).(eq nat (wadd (\lambda (_: nat).O) O n) O)
  46 \def
  47  \lambda (n: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(eq nat (wadd (\lambda (_:
  48 nat).O) O n0) O)) (refl_equal nat O) (\lambda (n0: nat).(\lambda (_: (eq nat
  49 (wadd (\lambda (_: nat).O) O n0) O)).(refl_equal nat O))) n).
  50
  51 theorem weight_le:
  52  \forall (t: T).(\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to
  53 nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f t)
  54 (weight_map g t)))))
  55 \def
  56  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (f: ((nat \to
  57 nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))
  58 \to (le (weight_map f t0) (weight_map g t0)))))) (\lambda (n: nat).(\lambda
  59 (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (_: ((\forall
  60 (n0: nat).(le (f n0) (g n0))))).(le_n (weight_map g (TSort n))))))) (\lambda
  61 (n: nat).(\lambda (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda
  62 (H: ((\forall (n0: nat).(le (f n0) (g n0))))).(H n))))) (\lambda (k:
  63 K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (t0: T).(((\forall (f: ((nat \to
  64 nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))
  65 \to (le (weight_map f t0) (weight_map g t0)))))) \to (\forall (t1:
  66 T).(((\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall
  67 (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f t1) (weight_map g t1))))))
  68 \to (\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall
  69 (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f (THead k0 t0 t1))
  70 (weight_map g (THead k0 t0 t1))))))))))) (\lambda (b: B).(B_ind (\lambda (b0:
  71 B).(\forall (t0: T).(((\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to
  72 nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f t0)
  73 (weight_map g t0)))))) \to (\forall (t1: T).(((\forall (f: ((nat \to
  74 nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))
  75 \to (le (weight_map f t1) (weight_map g t1)))))) \to (\forall (f: ((nat \to
  76 nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))
  77 \to (le (match b0 with [Abbr \Rightarrow (S (plus (weight_map f t0)
  78 (weight_map (wadd f (S (weight_map f t0))) t1))) | Abst \Rightarrow (S (plus
  79 (weight_map f t0) (weight_map (wadd f O) t1))) | Void \Rightarrow (S (plus
  80 (weight_map f t0) (weight_map (wadd f O) t1)))]) (match b0 with [Abbr
  81 \Rightarrow (S (plus (weight_map g t0) (weight_map (wadd g (S (weight_map g
  82 t0))) t1))) | Abst \Rightarrow (S (plus (weight_map g t0) (weight_map (wadd g
  83 O) t1))) | Void \Rightarrow (S (plus (weight_map g t0) (weight_map (wadd g O)
  84 t1)))])))))))))) (\lambda (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (f: ((nat \to
  85 nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))
  86 \to (le (weight_map f t0) (weight_map g t0))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda
  87 (H0: ((\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall
  88 (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f t1) (weight_map g
  89 t1))))))).(\lambda (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to
  90 nat))).(\lambda (H1: ((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))).(le_n_S (plus
  91 (weight_map f t0) (weight_map (wadd f (S (weight_map f t0))) t1)) (plus
  92 (weight_map g t0) (weight_map (wadd g (S (weight_map g t0))) t1))
  93 (plus_le_compat (weight_map f t0) (weight_map g t0) (weight_map (wadd f (S
  94 (weight_map f t0))) t1) (weight_map (wadd g (S (weight_map g t0))) t1) (H f g
  95 H1) (H0 (wadd f (S (weight_map f t0))) (wadd g (S (weight_map g t0)))
  96 (\lambda (n: nat).(wadd_le f g H1 (S (weight_map f t0)) (S (weight_map g t0))
  97 (le_n_S (weight_map f t0) (weight_map g t0) (H f g H1)) n))))))))))))
  98 (\lambda (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g:
  99 ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f
 100 t0) (weight_map g t0))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (f:
 101 ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n)
 102 (g n)))) \to (le (weight_map f t1) (weight_map g t1))))))).(\lambda (f: ((nat
 103 \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (H1: ((\forall (n: nat).(le
 104 (f n) (g n))))).(le_n_S (plus (weight_map f t0) (weight_map (wadd f O) t1))
 105 (plus (weight_map g t0) (weight_map (wadd g O) t1)) (plus_le_compat
 106 (weight_map f t0) (weight_map g t0) (weight_map (wadd f O) t1) (weight_map
 107 (wadd g O) t1) (H f g H1) (H0 (wadd f O) (wadd g O) (\lambda (n:
 108 nat).(wadd_le f g H1 O O (le_n O) n)))))))))))) (\lambda (t0: T).(\lambda (H:
 109 ((\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n:
 110 nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f t0) (weight_map g
 111 t0))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (f: ((nat \to
 112 nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))
 113 \to (le (weight_map f t1) (weight_map g t1))))))).(\lambda (f: ((nat \to
 114 nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (H1: ((\forall (n: nat).(le (f
 115 n) (g n))))).(le_n_S (plus (weight_map f t0) (weight_map (wadd f O) t1))
 116 (plus (weight_map g t0) (weight_map (wadd g O) t1)) (plus_le_compat
 117 (weight_map f t0) (weight_map g t0) (weight_map (wadd f O) t1) (weight_map
 118 (wadd g O) t1) (H f g H1) (H0 (wadd f O) (wadd g O) (\lambda (n:
 119 nat).(wadd_le f g H1 O O (le_n O) n)))))))))))) b)) (\lambda (_: F).(\lambda
 120 (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (f0: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to
 121 nat))).(((\forall (n: nat).(le (f0 n) (g n)))) \to (le (weight_map f0 t0)
 122 (weight_map g t0))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (f0: ((nat
 123 \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f0 n) (g
 124 n)))) \to (le (weight_map f0 t1) (weight_map g t1))))))).(\lambda (f0: ((nat
 125 \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (H1: ((\forall (n: nat).(le
 126 (f0 n) (g n))))).(le_n_S (plus (weight_map f0 t0) (weight_map f0 t1)) (plus
 127 (weight_map g t0) (weight_map g t1)) (plus_le_compat (weight_map f0 t0)
 128 (weight_map g t0) (weight_map f0 t1) (weight_map g t1) (H f0 g H1) (H0 f0 g
 129 H1))))))))))) k)) t).
 130
 131 theorem weight_eq:
 132  \forall (t: T).(\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to
 133 nat))).(((\forall (n: nat).(eq nat (f n) (g n)))) \to (eq nat (weight_map f
 134 t) (weight_map g t)))))
 135 \def
 136  \lambda (t: T).(\lambda (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to
 137 nat))).(\lambda (H: ((\forall (n: nat).(eq nat (f n) (g n))))).(le_antisym
 138 (weight_map f t) (weight_map g t) (weight_le t f g (\lambda (n:
 139 nat).(eq_ind_r nat (g n) (\lambda (n0: nat).(le n0 (g n))) (le_n (g n)) (f n)
 140 (H n)))) (weight_le t g f (\lambda (n: nat).(eq_ind_r nat (g n) (\lambda (n0:
 141 nat).(le (g n) n0)) (le_n (g n)) (f n) (H n)))))))).
 142
 143 theorem weight_add_O:
 144  \forall (t: T).(eq nat (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t)
 145 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t))
 146 \def
 147  \lambda (t: T).(weight_eq t (wadd (\lambda (_: nat).O) O) (\lambda (_:
 148 nat).O) (\lambda (n: nat).(wadd_O n))).
 149
 150 theorem weight_add_S:
 151  \forall (t: T).(\forall (m: nat).(le (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O)
 152 O) t) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) (S m)) t)))
 153 \def
 154  \lambda (t: T).(\lambda (m: nat).(weight_le t (wadd (\lambda (_: nat).O) O)
 155 (wadd (\lambda (_: nat).O) (S m)) (\lambda (n: nat).(wadd_le (\lambda (_:
 156 nat).O) (\lambda (_: nat).O) (\lambda (_: nat).(le_n O)) O (S m) (le_S O m
 157 (le_O_n m)) n)))).
 158
 159 theorem tlt_trans:
 160  \forall (v: T).(\forall (u: T).(\forall (t: T).((tlt u v) \to ((tlt v t) \to
 161 (tlt u t)))))
 162 \def
 163  \lambda (v: T).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (H: (lt (weight u)
 164 (weight v))).(\lambda (H0: (lt (weight v) (weight t))).(lt_trans (weight u)
 165 (weight v) (weight t) H H0))))).
 166
 167 theorem tlt_head_sx:
 168  \forall (k: K).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(tlt u (THead k u t))))
 169 \def
 170  \lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(lt
 171 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (\lambda (_: nat).O) (THead
 172 k0 u t)))))) (\lambda (b: B).(B_ind (\lambda (b0: B).(\forall (u: T).(\forall
 173 (t: T).(lt (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (match b0 with [Abbr
 174 \Rightarrow (S (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd
 175 (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u))) t))) | Abst
 176 \Rightarrow (S (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd
 177 (\lambda (_: nat).O) O) t))) | Void \Rightarrow (S (plus (weight_map (\lambda
 178 (_: nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t)))]))))) (\lambda
 179 (u: T).(\lambda (t: T).(le_n_S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (plus
 180 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) (S
 181 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u))) t)) (le_plus_l (weight_map (\lambda (_:
 182 nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_:
 183 nat).O) u))) t))))) (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(le_n_S (weight_map
 184 (\lambda (_: nat).O) u) (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map
 185 (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t)) (le_plus_l (weight_map (\lambda (_: nat).O)
 186 u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t))))) (\lambda (u: T).(\lambda
 187 (t: T).(le_n_S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (plus (weight_map (\lambda
 188 (_: nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t)) (le_plus_l
 189 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O)
 190 t))))) b)) (\lambda (_: F).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(le_n_S
 191 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u)
 192 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)) (le_plus_l (weight_map (\lambda (_:
 193 nat).O) u) (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)))))) k).
 194
 195 theorem tlt_head_dx:
 196  \forall (k: K).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(tlt t (THead k u t))))
 197 \def
 198  \lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(lt
 199 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (weight_map (\lambda (_: nat).O) (THead
 200 k0 u t)))))) (\lambda (b: B).(B_ind (\lambda (b0: B).(\forall (u: T).(\forall
 201 (t: T).(lt (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (match b0 with [Abbr
 202 \Rightarrow (S (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd
 203 (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u))) t))) | Abst
 204 \Rightarrow (S (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd
 205 (\lambda (_: nat).O) O) t))) | Void \Rightarrow (S (plus (weight_map (\lambda
 206 (_: nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t)))]))))) (\lambda
 207 (u: T).(\lambda (t: T).(lt_le_trans (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (S
 208 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)) (S (plus (weight_map (\lambda (_:
 209 nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_:
 210 nat).O) u))) t))) (lt_n_Sn (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)) (le_n_S
 211 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u)
 212 (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_: nat).O)
 213 u))) t)) (le_trans (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (weight_map (wadd
 214 (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u))) t) (plus
 215 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) (S
 216 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u))) t)) (eq_ind nat (weight_map (wadd
 217 (\lambda (_: nat).O) O) t) (\lambda (n: nat).(le n (weight_map (wadd (\lambda
 218 (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u))) t))) (weight_add_S t
 219 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u)) (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)
 220 (weight_add_O t)) (le_plus_r (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map
 221 (wadd (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u))) t)))))))
 222 (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(eq_ind_r nat (weight_map (\lambda (_:
 223 nat).O) t) (\lambda (n: nat).(lt (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (S (plus
 224 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) n)))) (le_n_S (weight_map (\lambda (_:
 225 nat).O) t) (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (\lambda (_:
 226 nat).O) t)) (le_plus_r (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map
 227 (\lambda (_: nat).O) t))) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t)
 228 (weight_add_O t)))) (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(eq_ind_r nat (weight_map
 229 (\lambda (_: nat).O) t) (\lambda (n: nat).(lt (weight_map (\lambda (_:
 230 nat).O) t) (S (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) n)))) (le_n_S
 231 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u)
 232 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)) (le_plus_r (weight_map (\lambda (_:
 233 nat).O) u) (weight_map (\lambda (_: nat).O) t))) (weight_map (wadd (\lambda
 234 (_: nat).O) O) t) (weight_add_O t)))) b)) (\lambda (_: F).(\lambda (u:
 235 T).(\lambda (t: T).(le_n_S (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (plus
 236 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (\lambda (_: nat).O) t))
 237 (le_plus_r (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (\lambda (_:
 238 nat).O) t)))))) k).
 239
 240 theorem tlt_wf__q_ind:
 241  \forall (P: ((T \to Prop))).(((\forall (n: nat).((\lambda (P0: ((T \to
 242 Prop))).(\lambda (n0: nat).(\forall (t: T).((eq nat (weight t) n0) \to (P0
 243 t))))) P n))) \to (\forall (t: T).(P t)))
 244 \def
 245  let Q \def (\lambda (P: ((T \to Prop))).(\lambda (n: nat).(\forall (t:
 246 T).((eq nat (weight t) n) \to (P t))))) in (\lambda (P: ((T \to
 247 Prop))).(\lambda (H: ((\forall (n: nat).(\forall (t: T).((eq nat (weight t)
 248 n) \to (P t)))))).(\lambda (t: T).(H (weight t) t (refl_equal nat (weight
 249 t)))))).
 250
 251 theorem tlt_wf_ind:
 252  \forall (P: ((T \to Prop))).(((\forall (t: T).(((\forall (v: T).((tlt v t)
 253 \to (P v)))) \to (P t)))) \to (\forall (t: T).(P t)))
 254 \def
 255  let Q \def (\lambda (P: ((T \to Prop))).(\lambda (n: nat).(\forall (t:
 256 T).((eq nat (weight t) n) \to (P t))))) in (\lambda (P: ((T \to
 257 Prop))).(\lambda (H: ((\forall (t: T).(((\forall (v: T).((lt (weight v)
 258 (weight t)) \to (P v)))) \to (P t))))).(\lambda (t: T).(tlt_wf__q_ind
 259 (\lambda (t0: T).(P t0)) (\lambda (n: nat).(lt_wf_ind n (Q (\lambda (t0:
 260 T).(P t0))) (\lambda (n0: nat).(\lambda (H0: ((\forall (m: nat).((lt m n0)
 261 \to (Q (\lambda (t0: T).(P t0)) m))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (H1: (eq nat
 262 (weight t0) n0)).(let H2 \def (eq_ind_r nat n0 (\lambda (n1: nat).(\forall
 263 (m: nat).((lt m n1) \to (\forall (t1: T).((eq nat (weight t1) m) \to (P
 264 t1)))))) H0 (weight t0) H1) in (H t0 (\lambda (v: T).(\lambda (H3: (lt
 265 (weight v) (weight t0))).(H2 (weight v) H3 v (refl_equal nat (weight
 266 v))))))))))))) t)))).
 267