matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/ty3/fwd_nf2.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "LambdaDelta-1/ty3/arity_props.ma".
  18
  19 include "LambdaDelta-1/pc3/nf2.ma".
  20
  21 include "LambdaDelta-1/nf2/fwd.ma".
  22
  23 theorem ty3_gen_appl_nf2:
  24  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (w: T).(\forall (v: T).(\forall (x:
  25 T).((ty3 g c (THead (Flat Appl) w v) x) \to (ex4_2 T T (\lambda (u:
  26 T).(\lambda (t: T).(pc3 c (THead (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) u t)) x)))
  27 (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(ty3 g c v (THead (Bind Abst) u t))))
  28 (\lambda (u: T).(\lambda (_: T).(ty3 g c w u))) (\lambda (u: T).(\lambda (t:
  29 T).(nf2 c (THead (Bind Abst) u t))))))))))
  30 \def
  31  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (w: T).(\lambda (v: T).(\lambda (x:
  32 T).(\lambda (H: (ty3 g c (THead (Flat Appl) w v) x)).(ex3_2_ind T T (\lambda
  33 (u: T).(\lambda (t: T).(pc3 c (THead (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) u t))
  34 x))) (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(ty3 g c v (THead (Bind Abst) u t))))
  35 (\lambda (u: T).(\lambda (_: T).(ty3 g c w u))) (ex4_2 T T (\lambda (u:
  36 T).(\lambda (t: T).(pc3 c (THead (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) u t)) x)))
  37 (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(ty3 g c v (THead (Bind Abst) u t))))
  38 (\lambda (u: T).(\lambda (_: T).(ty3 g c w u))) (\lambda (u: T).(\lambda (t:
  39 T).(nf2 c (THead (Bind Abst) u t))))) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1:
  40 T).(\lambda (H0: (pc3 c (THead (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) x0 x1))
  41 x)).(\lambda (H1: (ty3 g c v (THead (Bind Abst) x0 x1))).(\lambda (H2: (ty3 g
  42 c w x0)).(let H_x \def (ty3_correct g c v (THead (Bind Abst) x0 x1) H1) in
  43 (let H3 \def H_x in (ex_ind T (\lambda (t: T).(ty3 g c (THead (Bind Abst) x0
  44 x1) t)) (ex4_2 T T (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(pc3 c (THead (Flat Appl)
  45 w (THead (Bind Abst) u t)) x))) (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(ty3 g c v
  46 (THead (Bind Abst) u t)))) (\lambda (u: T).(\lambda (_: T).(ty3 g c w u)))
  47 (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(nf2 c (THead (Bind Abst) u t))))) (\lambda
  48 (x2: T).(\lambda (H4: (ty3 g c (THead (Bind Abst) x0 x1) x2)).(let H_x0 \def
  49 (ty3_correct g c w x0 H2) in (let H5 \def H_x0 in (ex_ind T (\lambda (t:
  50 T).(ty3 g c x0 t)) (ex4_2 T T (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(pc3 c (THead
  51 (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) u t)) x))) (\lambda (u: T).(\lambda (t:
  52 T).(ty3 g c v (THead (Bind Abst) u t)))) (\lambda (u: T).(\lambda (_: T).(ty3
  53 g c w u))) (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(nf2 c (THead (Bind Abst) u t)))))
  54 (\lambda (x3: T).(\lambda (H6: (ty3 g c x0 x3)).(let H7 \def (ty3_sn3 g c
  55 (THead (Bind Abst) x0 x1) x2 H4) in (let H_x1 \def (nf2_sn3 c (THead (Bind
  56 Abst) x0 x1) H7) in (let H8 \def H_x1 in (ex2_ind T (\lambda (u: T).(pr3 c
  57 (THead (Bind Abst) x0 x1) u)) (\lambda (u: T).(nf2 c u)) (ex4_2 T T (\lambda
  58 (u: T).(\lambda (t: T).(pc3 c (THead (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) u t))
  59 x))) (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(ty3 g c v (THead (Bind Abst) u t))))
  60 (\lambda (u: T).(\lambda (_: T).(ty3 g c w u))) (\lambda (u: T).(\lambda (t:
  61 T).(nf2 c (THead (Bind Abst) u t))))) (\lambda (x4: T).(\lambda (H9: (pr3 c
  62 (THead (Bind Abst) x0 x1) x4)).(\lambda (H10: (nf2 c x4)).(let H11 \def
  63 (pr3_gen_abst c x0 x1 x4 H9) in (ex3_2_ind T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t2:
  64 T).(eq T x4 (THead (Bind Abst) u2 t2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_:
  65 T).(pr3 c x0 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t2: T).(\forall (b: B).(\forall
  66 (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b) u) x1 t2))))) (ex4_2 T T (\lambda (u:
  67 T).(\lambda (t: T).(pc3 c (THead (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) u t)) x)))
  68 (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(ty3 g c v (THead (Bind Abst) u t))))
  69 (\lambda (u: T).(\lambda (_: T).(ty3 g c w u))) (\lambda (u: T).(\lambda (t:
  70 T).(nf2 c (THead (Bind Abst) u t))))) (\lambda (x5: T).(\lambda (x6:
  71 T).(\lambda (H12: (eq T x4 (THead (Bind Abst) x5 x6))).(\lambda (H13: (pr3 c
  72 x0 x5)).(\lambda (H14: ((\forall (b: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind
  73 b) u) x1 x6))))).(let H15 \def (eq_ind T x4 (\lambda (t: T).(nf2 c t)) H10
  74 (THead (Bind Abst) x5 x6) H12) in (let H16 \def (pr3_head_12 c x0 x5 H13
  75 (Bind Abst) x1 x6 (H14 Abst x5)) in (ex4_2_intro T T (\lambda (u: T).(\lambda
  76 (t: T).(pc3 c (THead (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) u t)) x))) (\lambda (u:
  77 T).(\lambda (t: T).(ty3 g c v (THead (Bind Abst) u t)))) (\lambda (u:
  78 T).(\lambda (_: T).(ty3 g c w u))) (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(nf2 c
  79 (THead (Bind Abst) u t)))) x5 x6 (pc3_pr3_conf c (THead (Flat Appl) w (THead
  80 (Bind Abst) x0 x1)) x H0 (THead (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) x5 x6))
  81 (pr3_thin_dx c (THead (Bind Abst) x0 x1) (THead (Bind Abst) x5 x6) H16 w
  82 Appl)) (ty3_conv g c (THead (Bind Abst) x5 x6) x2 (ty3_sred_pr3 c (THead
  83 (Bind Abst) x0 x1) (THead (Bind Abst) x5 x6) H16 g x2 H4) v (THead (Bind
  84 Abst) x0 x1) H1 (pc3_pr3_r c (THead (Bind Abst) x0 x1) (THead (Bind Abst) x5
  85 x6) H16)) (ty3_conv g c x5 x3 (ty3_sred_pr3 c x0 x5 H13 g x3 H6) w x0 H2
  86 (pc3_pr3_r c x0 x5 H13)) H15)))))))) H11))))) H8)))))) H5))))) H3))))))))
  87 (ty3_gen_appl g c w v x H))))))).
  88
  89 theorem ty3_inv_lref_nf2_pc3:
  90  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (u1: T).(\forall (i: nat).((ty3 g c
  91 (TLRef i) u1) \to ((nf2 c (TLRef i)) \to (\forall (u2: T).((nf2 c u2) \to
  92 ((pc3 c u1 u2) \to (ex T (\lambda (u: T).(eq T u2 (lift (S i) O u))))))))))))
  93 \def
  94  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (u1: T).(\lambda (i: nat).(\lambda
  95 (H: (ty3 g c (TLRef i) u1)).(insert_eq T (TLRef i) (\lambda (t: T).(ty3 g c t
  96 u1)) (\lambda (t: T).((nf2 c t) \to (\forall (u2: T).((nf2 c u2) \to ((pc3 c
  97 u1 u2) \to (ex T (\lambda (u: T).(eq T u2 (lift (S i) O u))))))))) (\lambda
  98 (y: T).(\lambda (H0: (ty3 g c y u1)).(ty3_ind g (\lambda (c0: C).(\lambda (t:
  99 T).(\lambda (t0: T).((eq T t (TLRef i)) \to ((nf2 c0 t) \to (\forall (u2:
 100 T).((nf2 c0 u2) \to ((pc3 c0 t0 u2) \to (ex T (\lambda (u: T).(eq T u2 (lift
 101 (S i) O u)))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (t2: T).(\lambda (t:
 102 T).(\lambda (_: (ty3 g c0 t2 t)).(\lambda (_: (((eq T t2 (TLRef i)) \to ((nf2
 103 c0 t2) \to (\forall (u2: T).((nf2 c0 u2) \to ((pc3 c0 t u2) \to (ex T
 104 (\lambda (u: T).(eq T u2 (lift (S i) O u))))))))))).(\lambda (u: T).(\lambda
 105 (t1: T).(\lambda (H3: (ty3 g c0 u t1)).(\lambda (H4: (((eq T u (TLRef i)) \to
 106 ((nf2 c0 u) \to (\forall (u2: T).((nf2 c0 u2) \to ((pc3 c0 t1 u2) \to (ex T
 107 (\lambda (u0: T).(eq T u2 (lift (S i) O u0))))))))))).(\lambda (H5: (pc3 c0
 108 t1 t2)).(\lambda (H6: (eq T u (TLRef i))).(\lambda (H7: (nf2 c0 u)).(\lambda
 109 (u2: T).(\lambda (H8: (nf2 c0 u2)).(\lambda (H9: (pc3 c0 t2 u2)).(let H10
 110 \def (eq_ind T u (\lambda (t0: T).(nf2 c0 t0)) H7 (TLRef i) H6) in (let H11
 111 \def (eq_ind T u (\lambda (t0: T).((eq T t0 (TLRef i)) \to ((nf2 c0 t0) \to
 112 (\forall (u3: T).((nf2 c0 u3) \to ((pc3 c0 t1 u3) \to (ex T (\lambda (u0:
 113 T).(eq T u3 (lift (S i) O u0)))))))))) H4 (TLRef i) H6) in (let H12 \def
 114 (eq_ind T u (\lambda (t0: T).(ty3 g c0 t0 t1)) H3 (TLRef i) H6) in (let H_y
 115 \def (H11 (refl_equal T (TLRef i)) H10 u2 H8) in (H_y (pc3_t t2 c0 t1 H5 u2
 116 H9))))))))))))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (m: nat).(\lambda (H1: (eq
 117 T (TSort m) (TLRef i))).(\lambda (_: (nf2 c0 (TSort m))).(\lambda (u2:
 118 T).(\lambda (_: (nf2 c0 u2)).(\lambda (_: (pc3 c0 (TSort (next g m))
 119 u2)).(let H5 \def (eq_ind T (TSort m) (\lambda (ee: T).(match ee in T return
 120 (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow True | (TLRef _)
 121 \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (TLRef i) H1) in
 122 (False_ind (ex T (\lambda (u: T).(eq T u2 (lift (S i) O u)))) H5)))))))))
 123 (\lambda (n: nat).(\lambda (c0: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda
 124 (H1: (getl n c0 (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (t: T).(\lambda (_: (ty3 g
 125 d u t)).(\lambda (_: (((eq T u (TLRef i)) \to ((nf2 d u) \to (\forall (u2:
 126 T).((nf2 d u2) \to ((pc3 d t u2) \to (ex T (\lambda (u0: T).(eq T u2 (lift (S
 127 i) O u0))))))))))).(\lambda (H4: (eq T (TLRef n) (TLRef i))).(\lambda (H5:
 128 (nf2 c0 (TLRef n))).(\lambda (u2: T).(\lambda (_: (nf2 c0 u2)).(\lambda (H7:
 129 (pc3 c0 (lift (S n) O t) u2)).(let H8 \def (f_equal T nat (\lambda (e:
 130 T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with [(TSort _) \Rightarrow n |
 131 (TLRef n0) \Rightarrow n0 | (THead _ _ _) \Rightarrow n])) (TLRef n) (TLRef
 132 i) H4) in (let H9 \def (eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(pc3 c0 (lift (S n0)
 133 O t) u2)) H7 i H8) in (let H10 \def (eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(nf2 c0
 134 (TLRef n0))) H5 i H8) in (let H11 \def (eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(getl
 135 n0 c0 (CHead d (Bind Abbr) u))) H1 i H8) in (nf2_gen_lref c0 d u i H11 H10
 136 (ex T (\lambda (u0: T).(eq T u2 (lift (S i) O u0))))))))))))))))))))))
 137 (\lambda (n: nat).(\lambda (c0: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda
 138 (H1: (getl n c0 (CHead d (Bind Abst) u))).(\lambda (t: T).(\lambda (_: (ty3 g
 139 d u t)).(\lambda (_: (((eq T u (TLRef i)) \to ((nf2 d u) \to (\forall (u2:
 140 T).((nf2 d u2) \to ((pc3 d t u2) \to (ex T (\lambda (u0: T).(eq T u2 (lift (S
 141 i) O u0))))))))))).(\lambda (H4: (eq T (TLRef n) (TLRef i))).(\lambda (H5:
 142 (nf2 c0 (TLRef n))).(\lambda (u2: T).(\lambda (H6: (nf2 c0 u2)).(\lambda (H7:
 143 (pc3 c0 (lift (S n) O u) u2)).(let H8 \def (f_equal T nat (\lambda (e:
 144 T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with [(TSort _) \Rightarrow n |
 145 (TLRef n0) \Rightarrow n0 | (THead _ _ _) \Rightarrow n])) (TLRef n) (TLRef
 146 i) H4) in (let H9 \def (eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(pc3 c0 (lift (S n0)
 147 O u) u2)) H7 i H8) in (let H10 \def (eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(nf2 c0
 148 (TLRef n0))) H5 i H8) in (let H11 \def (eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(getl
 149 n0 c0 (CHead d (Bind Abst) u))) H1 i H8) in (let H_y \def (pc3_nf2_unfold c0
 150 (lift (S i) O u) u2 H9 H6) in (let H12 \def (pr3_gen_lift c0 u u2 (S i) O H_y
 151 d (getl_drop Abst c0 d u i H11)) in (ex2_ind T (\lambda (t2: T).(eq T u2
 152 (lift (S i) O t2))) (\lambda (t2: T).(pr3 d u t2)) (ex T (\lambda (u0: T).(eq
 153 T u2 (lift (S i) O u0)))) (\lambda (x: T).(\lambda (H13: (eq T u2 (lift (S i)
 154 O x))).(\lambda (_: (pr3 d u x)).(eq_ind_r T (lift (S i) O x) (\lambda (t0:
 155 T).(ex T (\lambda (u0: T).(eq T t0 (lift (S i) O u0))))) (ex_intro T (\lambda
 156 (u0: T).(eq T (lift (S i) O x) (lift (S i) O u0))) x (refl_equal T (lift (S
 157 i) O x))) u2 H13)))) H12)))))))))))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (u:
 158 T).(\lambda (t: T).(\lambda (_: (ty3 g c0 u t)).(\lambda (_: (((eq T u (TLRef
 159 i)) \to ((nf2 c0 u) \to (\forall (u2: T).((nf2 c0 u2) \to ((pc3 c0 t u2) \to
 160 (ex T (\lambda (u0: T).(eq T u2 (lift (S i) O u0))))))))))).(\lambda (b:
 161 B).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (_: (ty3 g (CHead c0 (Bind b)
 162 u) t1 t2)).(\lambda (_: (((eq T t1 (TLRef i)) \to ((nf2 (CHead c0 (Bind b) u)
 163 t1) \to (\forall (u2: T).((nf2 (CHead c0 (Bind b) u) u2) \to ((pc3 (CHead c0
 164 (Bind b) u) t2 u2) \to (ex T (\lambda (u0: T).(eq T u2 (lift (S i) O
 165 u0))))))))))).(\lambda (H5: (eq T (THead (Bind b) u t1) (TLRef i))).(\lambda
 166 (_: (nf2 c0 (THead (Bind b) u t1))).(\lambda (u2: T).(\lambda (_: (nf2 c0
 167 u2)).(\lambda (_: (pc3 c0 (THead (Bind b) u t2) u2)).(let H9 \def (eq_ind T
 168 (THead (Bind b) u t1) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_:
 169 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False |
 170 (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TLRef i) H5) in (False_ind (ex T
 171 (\lambda (u0: T).(eq T u2 (lift (S i) O u0)))) H9))))))))))))))))) (\lambda
 172 (c0: C).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(\lambda (_: (ty3 g c0 w u)).(\lambda
 173 (_: (((eq T w (TLRef i)) \to ((nf2 c0 w) \to (\forall (u2: T).((nf2 c0 u2)
 174 \to ((pc3 c0 u u2) \to (ex T (\lambda (u0: T).(eq T u2 (lift (S i) O
 175 u0))))))))))).(\lambda (v: T).(\lambda (t: T).(\lambda (_: (ty3 g c0 v (THead
 176 (Bind Abst) u t))).(\lambda (_: (((eq T v (TLRef i)) \to ((nf2 c0 v) \to
 177 (\forall (u2: T).((nf2 c0 u2) \to ((pc3 c0 (THead (Bind Abst) u t) u2) \to
 178 (ex T (\lambda (u0: T).(eq T u2 (lift (S i) O u0))))))))))).(\lambda (H5: (eq
 179 T (THead (Flat Appl) w v) (TLRef i))).(\lambda (_: (nf2 c0 (THead (Flat Appl)
 180 w v))).(\lambda (u2: T).(\lambda (_: (nf2 c0 u2)).(\lambda (_: (pc3 c0 (THead
 181 (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) u t)) u2)).(let H9 \def (eq_ind T (THead
 182 (Flat Appl) w v) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop)
 183 with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _
 184 _) \Rightarrow True])) I (TLRef i) H5) in (False_ind (ex T (\lambda (u0:
 185 T).(eq T u2 (lift (S i) O u0)))) H9)))))))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda
 186 (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (_: (ty3 g c0 t1 t2)).(\lambda (_: (((eq T
 187 t1 (TLRef i)) \to ((nf2 c0 t1) \to (\forall (u2: T).((nf2 c0 u2) \to ((pc3 c0
 188 t2 u2) \to (ex T (\lambda (u: T).(eq T u2 (lift (S i) O u))))))))))).(\lambda
 189 (t0: T).(\lambda (_: (ty3 g c0 t2 t0)).(\lambda (_: (((eq T t2 (TLRef i)) \to
 190 ((nf2 c0 t2) \to (\forall (u2: T).((nf2 c0 u2) \to ((pc3 c0 t0 u2) \to (ex T
 191 (\lambda (u: T).(eq T u2 (lift (S i) O u))))))))))).(\lambda (H5: (eq T
 192 (THead (Flat Cast) t2 t1) (TLRef i))).(\lambda (_: (nf2 c0 (THead (Flat Cast)
 193 t2 t1))).(\lambda (u2: T).(\lambda (_: (nf2 c0 u2)).(\lambda (_: (pc3 c0
 194 (THead (Flat Cast) t0 t2) u2)).(let H9 \def (eq_ind T (THead (Flat Cast) t2
 195 t1) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort
 196 _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _)
 197 \Rightarrow True])) I (TLRef i) H5) in (False_ind (ex T (\lambda (u: T).(eq T
 198 u2 (lift (S i) O u)))) H9))))))))))))))) c y u1 H0))) H))))).
 199
 200 theorem ty3_inv_lref_nf2:
 201  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (u: T).(\forall (i: nat).((ty3 g c
 202 (TLRef i) u) \to ((nf2 c (TLRef i)) \to ((nf2 c u) \to (ex T (\lambda (u0:
 203 T).(eq T u (lift (S i) O u0))))))))))
 204 \def
 205  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda
 206 (H: (ty3 g c (TLRef i) u)).(\lambda (H0: (nf2 c (TLRef i))).(\lambda (H1:
 207 (nf2 c u)).(ty3_inv_lref_nf2_pc3 g c u i H H0 u H1 (pc3_refl c u)))))))).
 208
 209 theorem ty3_inv_appls_lref_nf2:
 210  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (vs: TList).(\forall (u1:
 211 T).(\forall (i: nat).((ty3 g c (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)) u1) \to
 212 ((nf2 c (TLRef i)) \to ((nf2 c u1) \to (ex2 T (\lambda (u: T).(nf2 c (lift (S
 213 i) O u))) (\lambda (u: T).(pc3 c (THeads (Flat Appl) vs (lift (S i) O u))
 214 u1))))))))))
 215 \def
 216  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (vs: TList).(TList_ind (\lambda (t:
 217 TList).(\forall (u1: T).(\forall (i: nat).((ty3 g c (THeads (Flat Appl) t
 218 (TLRef i)) u1) \to ((nf2 c (TLRef i)) \to ((nf2 c u1) \to (ex2 T (\lambda (u:
 219 T).(nf2 c (lift (S i) O u))) (\lambda (u: T).(pc3 c (THeads (Flat Appl) t
 220 (lift (S i) O u)) u1))))))))) (\lambda (u1: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H:
 221 (ty3 g c (TLRef i) u1)).(\lambda (H0: (nf2 c (TLRef i))).(\lambda (H1: (nf2 c
 222 u1)).(let H_x \def (ty3_inv_lref_nf2 g c u1 i H H0 H1) in (let H2 \def H_x in
 223 (ex_ind T (\lambda (u0: T).(eq T u1 (lift (S i) O u0))) (ex2 T (\lambda (u:
 224 T).(nf2 c (lift (S i) O u))) (\lambda (u: T).(pc3 c (lift (S i) O u) u1)))
 225 (\lambda (x: T).(\lambda (H3: (eq T u1 (lift (S i) O x))).(let H4 \def
 226 (eq_ind T u1 (\lambda (t: T).(nf2 c t)) H1 (lift (S i) O x) H3) in (eq_ind_r
 227 T (lift (S i) O x) (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda (u: T).(nf2 c (lift (S i)
 228 O u))) (\lambda (u: T).(pc3 c (lift (S i) O u) t)))) (ex_intro2 T (\lambda
 229 (u: T).(nf2 c (lift (S i) O u))) (\lambda (u: T).(pc3 c (lift (S i) O u)
 230 (lift (S i) O x))) x H4 (pc3_refl c (lift (S i) O x))) u1 H3)))) H2))))))))
 231 (\lambda (t: T).(\lambda (t0: TList).(\lambda (H: ((\forall (u1: T).(\forall
 232 (i: nat).((ty3 g c (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i)) u1) \to ((nf2 c (TLRef
 233 i)) \to ((nf2 c u1) \to (ex2 T (\lambda (u: T).(nf2 c (lift (S i) O u)))
 234 (\lambda (u: T).(pc3 c (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S i) O u))
 235 u1)))))))))).(\lambda (u1: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H0: (ty3 g c (THead
 236 (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i))) u1)).(\lambda (H1: (nf2 c
 237 (TLRef i))).(\lambda (_: (nf2 c u1)).(let H_x \def (ty3_gen_appl_nf2 g c t
 238 (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i)) u1 H0) in (let H3 \def H_x in (ex4_2_ind T
 239 T (\lambda (u: T).(\lambda (t1: T).(pc3 c (THead (Flat Appl) t (THead (Bind
 240 Abst) u t1)) u1))) (\lambda (u: T).(\lambda (t1: T).(ty3 g c (THeads (Flat
 241 Appl) t0 (TLRef i)) (THead (Bind Abst) u t1)))) (\lambda (u: T).(\lambda (_:
 242 T).(ty3 g c t u))) (\lambda (u: T).(\lambda (t1: T).(nf2 c (THead (Bind Abst)
 243 u t1)))) (ex2 T (\lambda (u: T).(nf2 c (lift (S i) O u))) (\lambda (u:
 244 T).(pc3 c (THead (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S i) O u)))
 245 u1))) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H4: (pc3 c (THead (Flat
 246 Appl) t (THead (Bind Abst) x0 x1)) u1)).(\lambda (H5: (ty3 g c (THeads (Flat
 247 Appl) t0 (TLRef i)) (THead (Bind Abst) x0 x1))).(\lambda (_: (ty3 g c t
 248 x0)).(\lambda (H7: (nf2 c (THead (Bind Abst) x0 x1))).(let H8 \def
 249 (nf2_gen_abst c x0 x1 H7) in (land_ind (nf2 c x0) (nf2 (CHead c (Bind Abst)
 250 x0) x1) (ex2 T (\lambda (u: T).(nf2 c (lift (S i) O u))) (\lambda (u: T).(pc3
 251 c (THead (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S i) O u))) u1)))
 252 (\lambda (H9: (nf2 c x0)).(\lambda (H10: (nf2 (CHead c (Bind Abst) x0)
 253 x1)).(let H_y \def (H (THead (Bind Abst) x0 x1) i H5 H1) in (let H11 \def
 254 (H_y (nf2_abst_shift c x0 H9 x1 H10)) in (ex2_ind T (\lambda (u: T).(nf2 c
 255 (lift (S i) O u))) (\lambda (u: T).(pc3 c (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S i)
 256 O u)) (THead (Bind Abst) x0 x1))) (ex2 T (\lambda (u: T).(nf2 c (lift (S i) O
 257 u))) (\lambda (u: T).(pc3 c (THead (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t0 (lift
 258 (S i) O u))) u1))) (\lambda (x: T).(\lambda (H12: (nf2 c (lift (S i) O
 259 x))).(\lambda (H13: (pc3 c (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S i) O x)) (THead
 260 (Bind Abst) x0 x1))).(ex_intro2 T (\lambda (u: T).(nf2 c (lift (S i) O u)))
 261 (\lambda (u: T).(pc3 c (THead (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S
 262 i) O u))) u1)) x H12 (pc3_t (THead (Flat Appl) t (THead (Bind Abst) x0 x1)) c
 263 (THead (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S i) O x))) (pc3_thin_dx c
 264 (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S i) O x)) (THead (Bind Abst) x0 x1) H13 t
 265 Appl) u1 H4))))) H11))))) H8)))))))) H3))))))))))) vs))).
 266
 267 theorem ty3_inv_lref_lref_nf2:
 268  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).((ty3 g c
 269 (TLRef i) (TLRef j)) \to ((nf2 c (TLRef i)) \to ((nf2 c (TLRef j)) \to (lt i
 270 j)))))))
 271 \def
 272  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(\lambda
 273 (H: (ty3 g c (TLRef i) (TLRef j))).(\lambda (H0: (nf2 c (TLRef i))).(\lambda
 274 (H1: (nf2 c (TLRef j))).(let H_x \def (ty3_inv_lref_nf2 g c (TLRef j) i H H0
 275 H1) in (let H2 \def H_x in (ex_ind T (\lambda (u0: T).(eq T (TLRef j) (lift
 276 (S i) O u0))) (lt i j) (\lambda (x: T).(\lambda (H3: (eq T (TLRef j) (lift (S
 277 i) O x))).(let H_x0 \def (lift_gen_lref x O (S i) j H3) in (let H4 \def H_x0
 278 in (or_ind (land (lt j O) (eq T x (TLRef j))) (land (le (S i) j) (eq T x
 279 (TLRef (minus j (S i))))) (lt i j) (\lambda (H5: (land (lt j O) (eq T x
 280 (TLRef j)))).(land_ind (lt j O) (eq T x (TLRef j)) (lt i j) (\lambda (H6: (lt
 281 j O)).(\lambda (_: (eq T x (TLRef j))).(lt_x_O j H6 (lt i j)))) H5)) (\lambda
 282 (H5: (land (le (S i) j) (eq T x (TLRef (minus j (S i)))))).(land_ind (le (S
 283 i) j) (eq T x (TLRef (minus j (S i)))) (lt i j) (\lambda (H6: (le (S i)
 284 j)).(\lambda (_: (eq T x (TLRef (minus j (S i))))).H6)) H5)) H4)))))
 285 H2))))))))).
 286