matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/wf3/fwd.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "LambdaDelta-1/wf3/defs.ma".
  18
  19 theorem wf3_gen_sort1:
  20  \forall (g: G).(\forall (x: C).(\forall (m: nat).((wf3 g (CSort m) x) \to
  21 (eq C x (CSort m)))))
  22 \def
  23  \lambda (g: G).(\lambda (x: C).(\lambda (m: nat).(\lambda (H: (wf3 g (CSort
  24 m) x)).(insert_eq C (CSort m) (\lambda (c: C).(wf3 g c x)) (\lambda (c:
  25 C).(eq C x c)) (\lambda (y: C).(\lambda (H0: (wf3 g y x)).(wf3_ind g (\lambda
  26 (c: C).(\lambda (c0: C).((eq C c (CSort m)) \to (eq C c0 c)))) (\lambda (m0:
  27 nat).(\lambda (H1: (eq C (CSort m0) (CSort m))).(let H2 \def (f_equal C nat
  28 (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).nat) with [(CSort n)
  29 \Rightarrow n | (CHead _ _ _) \Rightarrow m0])) (CSort m0) (CSort m) H1) in
  30 (eq_ind_r nat m (\lambda (n: nat).(eq C (CSort n) (CSort n))) (refl_equal C
  31 (CSort m)) m0 H2)))) (\lambda (c1: C).(\lambda (c2: C).(\lambda (_: (wf3 g c1
  32 c2)).(\lambda (_: (((eq C c1 (CSort m)) \to (eq C c2 c1)))).(\lambda (u:
  33 T).(\lambda (t: T).(\lambda (_: (ty3 g c1 u t)).(\lambda (b: B).(\lambda (H4:
  34 (eq C (CHead c1 (Bind b) u) (CSort m))).(let H5 \def (eq_ind C (CHead c1
  35 (Bind b) u) (\lambda (ee: C).(match ee in C return (\lambda (_: C).Prop) with
  36 [(CSort _) \Rightarrow False | (CHead _ _ _) \Rightarrow True])) I (CSort m)
  37 H4) in (False_ind (eq C (CHead c2 (Bind b) u) (CHead c1 (Bind b) u))
  38 H5))))))))))) (\lambda (c1: C).(\lambda (c2: C).(\lambda (_: (wf3 g c1
  39 c2)).(\lambda (_: (((eq C c1 (CSort m)) \to (eq C c2 c1)))).(\lambda (u:
  40 T).(\lambda (_: ((\forall (t: T).((ty3 g c1 u t) \to False)))).(\lambda (b:
  41 B).(\lambda (H4: (eq C (CHead c1 (Bind b) u) (CSort m))).(let H5 \def (eq_ind
  42 C (CHead c1 (Bind b) u) (\lambda (ee: C).(match ee in C return (\lambda (_:
  43 C).Prop) with [(CSort _) \Rightarrow False | (CHead _ _ _) \Rightarrow
  44 True])) I (CSort m) H4) in (False_ind (eq C (CHead c2 (Bind Void) (TSort O))
  45 (CHead c1 (Bind b) u)) H5)))))))))) (\lambda (c1: C).(\lambda (c2:
  46 C).(\lambda (_: (wf3 g c1 c2)).(\lambda (_: (((eq C c1 (CSort m)) \to (eq C
  47 c2 c1)))).(\lambda (u: T).(\lambda (f: F).(\lambda (H3: (eq C (CHead c1 (Flat
  48 f) u) (CSort m))).(let H4 \def (eq_ind C (CHead c1 (Flat f) u) (\lambda (ee:
  49 C).(match ee in C return (\lambda (_: C).Prop) with [(CSort _) \Rightarrow
  50 False | (CHead _ _ _) \Rightarrow True])) I (CSort m) H3) in (False_ind (eq C
  51 c2 (CHead c1 (Flat f) u)) H4))))))))) y x H0))) H)))).
  52
  53 theorem wf3_gen_bind1:
  54  \forall (g: G).(\forall (c1: C).(\forall (x: C).(\forall (v: T).(\forall (b:
  55 B).((wf3 g (CHead c1 (Bind b) v) x) \to (or (ex3_2 C T (\lambda (c2:
  56 C).(\lambda (_: T).(eq C x (CHead c2 (Bind b) v)))) (\lambda (c2: C).(\lambda
  57 (_: T).(wf3 g c1 c2))) (\lambda (_: C).(\lambda (w: T).(ty3 g c1 v w)))) (ex3
  58 C (\lambda (c2: C).(eq C x (CHead c2 (Bind Void) (TSort O)))) (\lambda (c2:
  59 C).(wf3 g c1 c2)) (\lambda (_: C).(\forall (w: T).((ty3 g c1 v w) \to
  60 False))))))))))
  61 \def
  62  \lambda (g: G).(\lambda (c1: C).(\lambda (x: C).(\lambda (v: T).(\lambda (b:
  63 B).(\lambda (H: (wf3 g (CHead c1 (Bind b) v) x)).(insert_eq C (CHead c1 (Bind
  64 b) v) (\lambda (c: C).(wf3 g c x)) (\lambda (_: C).(or (ex3_2 C T (\lambda
  65 (c2: C).(\lambda (_: T).(eq C x (CHead c2 (Bind b) v)))) (\lambda (c2:
  66 C).(\lambda (_: T).(wf3 g c1 c2))) (\lambda (_: C).(\lambda (w: T).(ty3 g c1
  67 v w)))) (ex3 C (\lambda (c2: C).(eq C x (CHead c2 (Bind Void) (TSort O))))
  68 (\lambda (c2: C).(wf3 g c1 c2)) (\lambda (_: C).(\forall (w: T).((ty3 g c1 v
  69 w) \to False)))))) (\lambda (y: C).(\lambda (H0: (wf3 g y x)).(wf3_ind g
  70 (\lambda (c: C).(\lambda (c0: C).((eq C c (CHead c1 (Bind b) v)) \to (or
  71 (ex3_2 C T (\lambda (c2: C).(\lambda (_: T).(eq C c0 (CHead c2 (Bind b) v))))
  72 (\lambda (c2: C).(\lambda (_: T).(wf3 g c1 c2))) (\lambda (_: C).(\lambda (w:
  73 T).(ty3 g c1 v w)))) (ex3 C (\lambda (c2: C).(eq C c0 (CHead c2 (Bind Void)
  74 (TSort O)))) (\lambda (c2: C).(wf3 g c1 c2)) (\lambda (_: C).(\forall (w:
  75 T).((ty3 g c1 v w) \to False)))))))) (\lambda (m: nat).(\lambda (H1: (eq C
  76 (CSort m) (CHead c1 (Bind b) v))).(let H2 \def (eq_ind C (CSort m) (\lambda
  77 (ee: C).(match ee in C return (\lambda (_: C).Prop) with [(CSort _)
  78 \Rightarrow True | (CHead _ _ _) \Rightarrow False])) I (CHead c1 (Bind b) v)
  79 H1) in (False_ind (or (ex3_2 C T (\lambda (c2: C).(\lambda (_: T).(eq C
  80 (CSort m) (CHead c2 (Bind b) v)))) (\lambda (c2: C).(\lambda (_: T).(wf3 g c1
  81 c2))) (\lambda (_: C).(\lambda (w: T).(ty3 g c1 v w)))) (ex3 C (\lambda (c2:
  82 C).(eq C (CSort m) (CHead c2 (Bind Void) (TSort O)))) (\lambda (c2: C).(wf3 g
  83 c1 c2)) (\lambda (_: C).(\forall (w: T).((ty3 g c1 v w) \to False))))) H2))))
  84 (\lambda (c0: C).(\lambda (c2: C).(\lambda (H1: (wf3 g c0 c2)).(\lambda (H2:
  85 (((eq C c0 (CHead c1 (Bind b) v)) \to (or (ex3_2 C T (\lambda (c3:
  86 C).(\lambda (_: T).(eq C c2 (CHead c3 (Bind b) v)))) (\lambda (c3:
  87 C).(\lambda (_: T).(wf3 g c1 c3))) (\lambda (_: C).(\lambda (w: T).(ty3 g c1
  88 v w)))) (ex3 C (\lambda (c3: C).(eq C c2 (CHead c3 (Bind Void) (TSort O))))
  89 (\lambda (c3: C).(wf3 g c1 c3)) (\lambda (_: C).(\forall (w: T).((ty3 g c1 v
  90 w) \to False)))))))).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (H3: (ty3 g c0
  91 u t)).(\lambda (b0: B).(\lambda (H4: (eq C (CHead c0 (Bind b0) u) (CHead c1
  92 (Bind b) v))).(let H5 \def (f_equal C C (\lambda (e: C).(match e in C return
  93 (\lambda (_: C).C) with [(CSort _) \Rightarrow c0 | (CHead c _ _) \Rightarrow
  94 c])) (CHead c0 (Bind b0) u) (CHead c1 (Bind b) v) H4) in ((let H6 \def
  95 (f_equal C B (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).B) with
  96 [(CSort _) \Rightarrow b0 | (CHead _ k _) \Rightarrow (match k in K return
  97 (\lambda (_: K).B) with [(Bind b1) \Rightarrow b1 | (Flat _) \Rightarrow
  98 b0])])) (CHead c0 (Bind b0) u) (CHead c1 (Bind b) v) H4) in ((let H7 \def
  99 (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).T) with
 100 [(CSort _) \Rightarrow u | (CHead _ _ t0) \Rightarrow t0])) (CHead c0 (Bind
 101 b0) u) (CHead c1 (Bind b) v) H4) in (\lambda (H8: (eq B b0 b)).(\lambda (H9:
 102 (eq C c0 c1)).(eq_ind_r B b (\lambda (b1: B).(or (ex3_2 C T (\lambda (c3:
 103 C).(\lambda (_: T).(eq C (CHead c2 (Bind b1) u) (CHead c3 (Bind b) v))))
 104 (\lambda (c3: C).(\lambda (_: T).(wf3 g c1 c3))) (\lambda (_: C).(\lambda (w:
 105 T).(ty3 g c1 v w)))) (ex3 C (\lambda (c3: C).(eq C (CHead c2 (Bind b1) u)
 106 (CHead c3 (Bind Void) (TSort O)))) (\lambda (c3: C).(wf3 g c1 c3)) (\lambda
 107 (_: C).(\forall (w: T).((ty3 g c1 v w) \to False)))))) (let H10 \def (eq_ind
 108 T u (\lambda (t0: T).(ty3 g c0 t0 t)) H3 v H7) in (eq_ind_r T v (\lambda (t0:
 109 T).(or (ex3_2 C T (\lambda (c3: C).(\lambda (_: T).(eq C (CHead c2 (Bind b)
 110 t0) (CHead c3 (Bind b) v)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (_: T).(wf3 g c1 c3)))
 111 (\lambda (_: C).(\lambda (w: T).(ty3 g c1 v w)))) (ex3 C (\lambda (c3: C).(eq
 112 C (CHead c2 (Bind b) t0) (CHead c3 (Bind Void) (TSort O)))) (\lambda (c3:
 113 C).(wf3 g c1 c3)) (\lambda (_: C).(\forall (w: T).((ty3 g c1 v w) \to
 114 False)))))) (let H11 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c: C).(ty3 g c v t)) H10 c1
 115 H9) in (let H12 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c: C).((eq C c (CHead c1 (Bind b)
 116 v)) \to (or (ex3_2 C T (\lambda (c3: C).(\lambda (_: T).(eq C c2 (CHead c3
 117 (Bind b) v)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (_: T).(wf3 g c1 c3))) (\lambda (_:
 118 C).(\lambda (w: T).(ty3 g c1 v w)))) (ex3 C (\lambda (c3: C).(eq C c2 (CHead
 119 c3 (Bind Void) (TSort O)))) (\lambda (c3: C).(wf3 g c1 c3)) (\lambda (_:
 120 C).(\forall (w: T).((ty3 g c1 v w) \to False))))))) H2 c1 H9) in (let H13
 121 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c: C).(wf3 g c c2)) H1 c1 H9) in (or_introl
 122 (ex3_2 C T (\lambda (c3: C).(\lambda (_: T).(eq C (CHead c2 (Bind b) v)
 123 (CHead c3 (Bind b) v)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (_: T).(wf3 g c1 c3)))
 124 (\lambda (_: C).(\lambda (w: T).(ty3 g c1 v w)))) (ex3 C (\lambda (c3: C).(eq
 125 C (CHead c2 (Bind b) v) (CHead c3 (Bind Void) (TSort O)))) (\lambda (c3:
 126 C).(wf3 g c1 c3)) (\lambda (_: C).(\forall (w: T).((ty3 g c1 v w) \to
 127 False)))) (ex3_2_intro C T (\lambda (c3: C).(\lambda (_: T).(eq C (CHead c2
 128 (Bind b) v) (CHead c3 (Bind b) v)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (_: T).(wf3 g
 129 c1 c3))) (\lambda (_: C).(\lambda (w: T).(ty3 g c1 v w))) c2 t (refl_equal C
 130 (CHead c2 (Bind b) v)) H13 H11))))) u H7)) b0 H8)))) H6)) H5)))))))))))
 131 (\lambda (c0: C).(\lambda (c2: C).(\lambda (H1: (wf3 g c0 c2)).(\lambda (H2:
 132 (((eq C c0 (CHead c1 (Bind b) v)) \to (or (ex3_2 C T (\lambda (c3:
 133 C).(\lambda (_: T).(eq C c2 (CHead c3 (Bind b) v)))) (\lambda (c3:
 134 C).(\lambda (_: T).(wf3 g c1 c3))) (\lambda (_: C).(\lambda (w: T).(ty3 g c1
 135 v w)))) (ex3 C (\lambda (c3: C).(eq C c2 (CHead c3 (Bind Void) (TSort O))))
 136 (\lambda (c3: C).(wf3 g c1 c3)) (\lambda (_: C).(\forall (w: T).((ty3 g c1 v
 137 w) \to False)))))))).(\lambda (u: T).(\lambda (H3: ((\forall (t: T).((ty3 g
 138 c0 u t) \to False)))).(\lambda (b0: B).(\lambda (H4: (eq C (CHead c0 (Bind
 139 b0) u) (CHead c1 (Bind b) v))).(let H5 \def (f_equal C C (\lambda (e:
 140 C).(match e in C return (\lambda (_: C).C) with [(CSort _) \Rightarrow c0 |
 141 (CHead c _ _) \Rightarrow c])) (CHead c0 (Bind b0) u) (CHead c1 (Bind b) v)
 142 H4) in ((let H6 \def (f_equal C B (\lambda (e: C).(match e in C return
 143 (\lambda (_: C).B) with [(CSort _) \Rightarrow b0 | (CHead _ k _) \Rightarrow
 144 (match k in K return (\lambda (_: K).B) with [(Bind b1) \Rightarrow b1 |
 145 (Flat _) \Rightarrow b0])])) (CHead c0 (Bind b0) u) (CHead c1 (Bind b) v) H4)
 146 in ((let H7 \def (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda
 147 (_: C).T) with [(CSort _) \Rightarrow u | (CHead _ _ t) \Rightarrow t]))
 148 (CHead c0 (Bind b0) u) (CHead c1 (Bind b) v) H4) in (\lambda (_: (eq B b0
 149 b)).(\lambda (H9: (eq C c0 c1)).(let H10 \def (eq_ind T u (\lambda (t:
 150 T).(\forall (t0: T).((ty3 g c0 t t0) \to False))) H3 v H7) in (let H11 \def
 151 (eq_ind C c0 (\lambda (c: C).(\forall (t: T).((ty3 g c v t) \to False))) H10
 152 c1 H9) in (let H12 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c: C).((eq C c (CHead c1 (Bind
 153 b) v)) \to (or (ex3_2 C T (\lambda (c3: C).(\lambda (_: T).(eq C c2 (CHead c3
 154 (Bind b) v)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (_: T).(wf3 g c1 c3))) (\lambda (_:
 155 C).(\lambda (w: T).(ty3 g c1 v w)))) (ex3 C (\lambda (c3: C).(eq C c2 (CHead
 156 c3 (Bind Void) (TSort O)))) (\lambda (c3: C).(wf3 g c1 c3)) (\lambda (_:
 157 C).(\forall (w: T).((ty3 g c1 v w) \to False))))))) H2 c1 H9) in (let H13
 158 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c: C).(wf3 g c c2)) H1 c1 H9) in (or_intror
 159 (ex3_2 C T (\lambda (c3: C).(\lambda (_: T).(eq C (CHead c2 (Bind Void)
 160 (TSort O)) (CHead c3 (Bind b) v)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (_: T).(wf3 g
 161 c1 c3))) (\lambda (_: C).(\lambda (w: T).(ty3 g c1 v w)))) (ex3 C (\lambda
 162 (c3: C).(eq C (CHead c2 (Bind Void) (TSort O)) (CHead c3 (Bind Void) (TSort
 163 O)))) (\lambda (c3: C).(wf3 g c1 c3)) (\lambda (_: C).(\forall (w: T).((ty3 g
 164 c1 v w) \to False)))) (ex3_intro C (\lambda (c3: C).(eq C (CHead c2 (Bind
 165 Void) (TSort O)) (CHead c3 (Bind Void) (TSort O)))) (\lambda (c3: C).(wf3 g
 166 c1 c3)) (\lambda (_: C).(\forall (w: T).((ty3 g c1 v w) \to False))) c2
 167 (refl_equal C (CHead c2 (Bind Void) (TSort O))) H13 H11))))))))) H6))
 168 H5)))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (c2: C).(\lambda (_: (wf3 g c0
 169 c2)).(\lambda (_: (((eq C c0 (CHead c1 (Bind b) v)) \to (or (ex3_2 C T
 170 (\lambda (c3: C).(\lambda (_: T).(eq C c2 (CHead c3 (Bind b) v)))) (\lambda
 171 (c3: C).(\lambda (_: T).(wf3 g c1 c3))) (\lambda (_: C).(\lambda (w: T).(ty3
 172 g c1 v w)))) (ex3 C (\lambda (c3: C).(eq C c2 (CHead c3 (Bind Void) (TSort
 173 O)))) (\lambda (c3: C).(wf3 g c1 c3)) (\lambda (_: C).(\forall (w: T).((ty3 g
 174 c1 v w) \to False)))))))).(\lambda (u: T).(\lambda (f: F).(\lambda (H3: (eq C
 175 (CHead c0 (Flat f) u) (CHead c1 (Bind b) v))).(let H4 \def (eq_ind C (CHead
 176 c0 (Flat f) u) (\lambda (ee: C).(match ee in C return (\lambda (_: C).Prop)
 177 with [(CSort _) \Rightarrow False | (CHead _ k _) \Rightarrow (match k in K
 178 return (\lambda (_: K).Prop) with [(Bind _) \Rightarrow False | (Flat _)
 179 \Rightarrow True])])) I (CHead c1 (Bind b) v) H3) in (False_ind (or (ex3_2 C
 180 T (\lambda (c3: C).(\lambda (_: T).(eq C c2 (CHead c3 (Bind b) v)))) (\lambda
 181 (c3: C).(\lambda (_: T).(wf3 g c1 c3))) (\lambda (_: C).(\lambda (w: T).(ty3
 182 g c1 v w)))) (ex3 C (\lambda (c3: C).(eq C c2 (CHead c3 (Bind Void) (TSort
 183 O)))) (\lambda (c3: C).(wf3 g c1 c3)) (\lambda (_: C).(\forall (w: T).((ty3 g
 184 c1 v w) \to False))))) H4))))))))) y x H0))) H)))))).
 185
 186 theorem wf3_gen_flat1:
 187  \forall (g: G).(\forall (c1: C).(\forall (x: C).(\forall (v: T).(\forall (f:
 188 F).((wf3 g (CHead c1 (Flat f) v) x) \to (wf3 g c1 x))))))
 189 \def
 190  \lambda (g: G).(\lambda (c1: C).(\lambda (x: C).(\lambda (v: T).(\lambda (f:
 191 F).(\lambda (H: (wf3 g (CHead c1 (Flat f) v) x)).(insert_eq C (CHead c1 (Flat
 192 f) v) (\lambda (c: C).(wf3 g c x)) (\lambda (_: C).(wf3 g c1 x)) (\lambda (y:
 193 C).(\lambda (H0: (wf3 g y x)).(wf3_ind g (\lambda (c: C).(\lambda (c0:
 194 C).((eq C c (CHead c1 (Flat f) v)) \to (wf3 g c1 c0)))) (\lambda (m:
 195 nat).(\lambda (H1: (eq C (CSort m) (CHead c1 (Flat f) v))).(let H2 \def
 196 (eq_ind C (CSort m) (\lambda (ee: C).(match ee in C return (\lambda (_:
 197 C).Prop) with [(CSort _) \Rightarrow True | (CHead _ _ _) \Rightarrow
 198 False])) I (CHead c1 (Flat f) v) H1) in (False_ind (wf3 g c1 (CSort m))
 199 H2)))) (\lambda (c0: C).(\lambda (c2: C).(\lambda (_: (wf3 g c0 c2)).(\lambda
 200 (_: (((eq C c0 (CHead c1 (Flat f) v)) \to (wf3 g c1 c2)))).(\lambda (u:
 201 T).(\lambda (t: T).(\lambda (_: (ty3 g c0 u t)).(\lambda (b: B).(\lambda (H4:
 202 (eq C (CHead c0 (Bind b) u) (CHead c1 (Flat f) v))).(let H5 \def (eq_ind C
 203 (CHead c0 (Bind b) u) (\lambda (ee: C).(match ee in C return (\lambda (_:
 204 C).Prop) with [(CSort _) \Rightarrow False | (CHead _ k _) \Rightarrow (match
 205 k in K return (\lambda (_: K).Prop) with [(Bind _) \Rightarrow True | (Flat
 206 _) \Rightarrow False])])) I (CHead c1 (Flat f) v) H4) in (False_ind (wf3 g c1
 207 (CHead c2 (Bind b) u)) H5))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (c2:
 208 C).(\lambda (_: (wf3 g c0 c2)).(\lambda (_: (((eq C c0 (CHead c1 (Flat f) v))
 209 \to (wf3 g c1 c2)))).(\lambda (u: T).(\lambda (_: ((\forall (t: T).((ty3 g c0
 210 u t) \to False)))).(\lambda (b: B).(\lambda (H4: (eq C (CHead c0 (Bind b) u)
 211 (CHead c1 (Flat f) v))).(let H5 \def (eq_ind C (CHead c0 (Bind b) u) (\lambda
 212 (ee: C).(match ee in C return (\lambda (_: C).Prop) with [(CSort _)
 213 \Rightarrow False | (CHead _ k _) \Rightarrow (match k in K return (\lambda
 214 (_: K).Prop) with [(Bind _) \Rightarrow True | (Flat _) \Rightarrow
 215 False])])) I (CHead c1 (Flat f) v) H4) in (False_ind (wf3 g c1 (CHead c2
 216 (Bind Void) (TSort O))) H5)))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (c2:
 217 C).(\lambda (H1: (wf3 g c0 c2)).(\lambda (H2: (((eq C c0 (CHead c1 (Flat f)
 218 v)) \to (wf3 g c1 c2)))).(\lambda (u: T).(\lambda (f0: F).(\lambda (H3: (eq C
 219 (CHead c0 (Flat f0) u) (CHead c1 (Flat f) v))).(let H4 \def (f_equal C C
 220 (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).C) with [(CSort _)
 221 \Rightarrow c0 | (CHead c _ _) \Rightarrow c])) (CHead c0 (Flat f0) u) (CHead
 222 c1 (Flat f) v) H3) in ((let H5 \def (f_equal C F (\lambda (e: C).(match e in
 223 C return (\lambda (_: C).F) with [(CSort _) \Rightarrow f0 | (CHead _ k _)
 224 \Rightarrow (match k in K return (\lambda (_: K).F) with [(Bind _)
 225 \Rightarrow f0 | (Flat f1) \Rightarrow f1])])) (CHead c0 (Flat f0) u) (CHead
 226 c1 (Flat f) v) H3) in ((let H6 \def (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e in
 227 C return (\lambda (_: C).T) with [(CSort _) \Rightarrow u | (CHead _ _ t)
 228 \Rightarrow t])) (CHead c0 (Flat f0) u) (CHead c1 (Flat f) v) H3) in (\lambda
 229 (_: (eq F f0 f)).(\lambda (H8: (eq C c0 c1)).(let H9 \def (eq_ind C c0
 230 (\lambda (c: C).((eq C c (CHead c1 (Flat f) v)) \to (wf3 g c1 c2))) H2 c1 H8)
 231 in (let H10 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c: C).(wf3 g c c2)) H1 c1 H8) in
 232 H10))))) H5)) H4))))))))) y x H0))) H)))))).
 233
 234 theorem wf3_gen_head2:
 235  \forall (g: G).(\forall (x: C).(\forall (c: C).(\forall (v: T).(\forall (k:
 236 K).((wf3 g x (CHead c k v)) \to (ex B (\lambda (b: B).(eq K k (Bind b)))))))))
 237 \def
 238  \lambda (g: G).(\lambda (x: C).(\lambda (c: C).(\lambda (v: T).(\lambda (k:
 239 K).(\lambda (H: (wf3 g x (CHead c k v))).(insert_eq C (CHead c k v) (\lambda
 240 (c0: C).(wf3 g x c0)) (\lambda (_: C).(ex B (\lambda (b: B).(eq K k (Bind
 241 b))))) (\lambda (y: C).(\lambda (H0: (wf3 g x y)).(wf3_ind g (\lambda (_:
 242 C).(\lambda (c1: C).((eq C c1 (CHead c k v)) \to (ex B (\lambda (b: B).(eq K
 243 k (Bind b))))))) (\lambda (m: nat).(\lambda (H1: (eq C (CSort m) (CHead c k
 244 v))).(let H2 \def (eq_ind C (CSort m) (\lambda (ee: C).(match ee in C return
 245 (\lambda (_: C).Prop) with [(CSort _) \Rightarrow True | (CHead _ _ _)
 246 \Rightarrow False])) I (CHead c k v) H1) in (False_ind (ex B (\lambda (b:
 247 B).(eq K k (Bind b)))) H2)))) (\lambda (c1: C).(\lambda (c2: C).(\lambda (H1:
 248 (wf3 g c1 c2)).(\lambda (H2: (((eq C c2 (CHead c k v)) \to (ex B (\lambda (b:
 249 B).(eq K k (Bind b))))))).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (H3: (ty3
 250 g c1 u t)).(\lambda (b: B).(\lambda (H4: (eq C (CHead c2 (Bind b) u) (CHead c
 251 k v))).(let H5 \def (f_equal C C (\lambda (e: C).(match e in C return
 252 (\lambda (_: C).C) with [(CSort _) \Rightarrow c2 | (CHead c0 _ _)
 253 \Rightarrow c0])) (CHead c2 (Bind b) u) (CHead c k v) H4) in ((let H6 \def
 254 (f_equal C K (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).K) with
 255 [(CSort _) \Rightarrow (Bind b) | (CHead _ k0 _) \Rightarrow k0])) (CHead c2
 256 (Bind b) u) (CHead c k v) H4) in ((let H7 \def (f_equal C T (\lambda (e:
 257 C).(match e in C return (\lambda (_: C).T) with [(CSort _) \Rightarrow u |
 258 (CHead _ _ t0) \Rightarrow t0])) (CHead c2 (Bind b) u) (CHead c k v) H4) in
 259 (\lambda (H8: (eq K (Bind b) k)).(\lambda (H9: (eq C c2 c)).(let H10 \def
 260 (eq_ind T u (\lambda (t0: T).(ty3 g c1 t0 t)) H3 v H7) in (let H11 \def
 261 (eq_ind C c2 (\lambda (c0: C).((eq C c0 (CHead c k v)) \to (ex B (\lambda
 262 (b0: B).(eq K k (Bind b0)))))) H2 c H9) in (let H12 \def (eq_ind C c2
 263 (\lambda (c0: C).(wf3 g c1 c0)) H1 c H9) in (let H13 \def (eq_ind_r K k
 264 (\lambda (k0: K).((eq C c (CHead c k0 v)) \to (ex B (\lambda (b0: B).(eq K k0
 265 (Bind b0)))))) H11 (Bind b) H8) in (eq_ind K (Bind b) (\lambda (k0: K).(ex B
 266 (\lambda (b0: B).(eq K k0 (Bind b0))))) (ex_intro B (\lambda (b0: B).(eq K
 267 (Bind b) (Bind b0))) b (refl_equal K (Bind b))) k H8)))))))) H6))
 268 H5))))))))))) (\lambda (c1: C).(\lambda (c2: C).(\lambda (H1: (wf3 g c1
 269 c2)).(\lambda (H2: (((eq C c2 (CHead c k v)) \to (ex B (\lambda (b: B).(eq K
 270 k (Bind b))))))).(\lambda (u: T).(\lambda (_: ((\forall (t: T).((ty3 g c1 u
 271 t) \to False)))).(\lambda (_: B).(\lambda (H4: (eq C (CHead c2 (Bind Void)
 272 (TSort O)) (CHead c k v))).(let H5 \def (f_equal C C (\lambda (e: C).(match e
 273 in C return (\lambda (_: C).C) with [(CSort _) \Rightarrow c2 | (CHead c0 _
 274 _) \Rightarrow c0])) (CHead c2 (Bind Void) (TSort O)) (CHead c k v) H4) in
 275 ((let H6 \def (f_equal C K (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_:
 276 C).K) with [(CSort _) \Rightarrow (Bind Void) | (CHead _ k0 _) \Rightarrow
 277 k0])) (CHead c2 (Bind Void) (TSort O)) (CHead c k v) H4) in ((let H7 \def
 278 (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).T) with
 279 [(CSort _) \Rightarrow (TSort O) | (CHead _ _ t) \Rightarrow t])) (CHead c2
 280 (Bind Void) (TSort O)) (CHead c k v) H4) in (\lambda (H8: (eq K (Bind Void)
 281 k)).(\lambda (H9: (eq C c2 c)).(let H10 \def (eq_ind C c2 (\lambda (c0:
 282 C).((eq C c0 (CHead c k v)) \to (ex B (\lambda (b0: B).(eq K k (Bind b0))))))
 283 H2 c H9) in (let H11 \def (eq_ind C c2 (\lambda (c0: C).(wf3 g c1 c0)) H1 c
 284 H9) in (let H12 \def (eq_ind_r K k (\lambda (k0: K).((eq C c (CHead c k0 v))
 285 \to (ex B (\lambda (b0: B).(eq K k0 (Bind b0)))))) H10 (Bind Void) H8) in
 286 (eq_ind K (Bind Void) (\lambda (k0: K).(ex B (\lambda (b0: B).(eq K k0 (Bind
 287 b0))))) (let H13 \def (eq_ind_r T v (\lambda (t: T).((eq C c (CHead c (Bind
 288 Void) t)) \to (ex B (\lambda (b0: B).(eq K (Bind Void) (Bind b0)))))) H12
 289 (TSort O) H7) in (ex_intro B (\lambda (b0: B).(eq K (Bind Void) (Bind b0)))
 290 Void (refl_equal K (Bind Void)))) k H8))))))) H6)) H5)))))))))) (\lambda (c1:
 291 C).(\lambda (c2: C).(\lambda (H1: (wf3 g c1 c2)).(\lambda (H2: (((eq C c2
 292 (CHead c k v)) \to (ex B (\lambda (b: B).(eq K k (Bind b))))))).(\lambda (_:
 293 T).(\lambda (_: F).(\lambda (H3: (eq C c2 (CHead c k v))).(let H4 \def
 294 (f_equal C C (\lambda (e: C).e) c2 (CHead c k v) H3) in (let H5 \def (eq_ind
 295 C c2 (\lambda (c0: C).((eq C c0 (CHead c k v)) \to (ex B (\lambda (b: B).(eq
 296 K k (Bind b)))))) H2 (CHead c k v) H4) in (let H6 \def (eq_ind C c2 (\lambda
 297 (c0: C).(wf3 g c1 c0)) H1 (CHead c k v) H4) in (H5 (refl_equal C (CHead c k
 298 v))))))))))))) x y H0))) H)))))).
 299