matita/contribs/LAMBDA-TYPES/Legacy-1/coq/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "Legacy-1/coq/defs.ma".
  18
  19 theorem f_equal:
  20  \forall (A: Set).(\forall (B: Set).(\forall (f: ((A \to B))).(\forall (x:
  21 A).(\forall (y: A).((eq A x y) \to (eq B (f x) (f y)))))))
  22 \def
  23  \lambda (A: Set).(\lambda (B: Set).(\lambda (f: ((A \to B))).(\lambda (x:
  24 A).(\lambda (y: A).(\lambda (H: (eq A x y)).(eq_ind A x (\lambda (a: A).(eq B
  25 (f x) (f a))) (refl_equal B (f x)) y H)))))).
  26
  27 theorem f_equal2:
  28  \forall (A1: Set).(\forall (A2: Set).(\forall (B: Set).(\forall (f: ((A1 \to
  29 (A2 \to B)))).(\forall (x1: A1).(\forall (y1: A1).(\forall (x2: A2).(\forall
  30 (y2: A2).((eq A1 x1 y1) \to ((eq A2 x2 y2) \to (eq B (f x1 x2) (f y1
  31 y2)))))))))))
  32 \def
  33  \lambda (A1: Set).(\lambda (A2: Set).(\lambda (B: Set).(\lambda (f: ((A1 \to
  34 (A2 \to B)))).(\lambda (x1: A1).(\lambda (y1: A1).(\lambda (x2: A2).(\lambda
  35 (y2: A2).(\lambda (H: (eq A1 x1 y1)).(eq_ind A1 x1 (\lambda (a: A1).((eq A2
  36 x2 y2) \to (eq B (f x1 x2) (f a y2)))) (\lambda (H0: (eq A2 x2 y2)).(eq_ind
  37 A2 x2 (\lambda (a: A2).(eq B (f x1 x2) (f x1 a))) (refl_equal B (f x1 x2)) y2
  38 H0)) y1 H))))))))).
  39
  40 theorem f_equal3:
  41  \forall (A1: Set).(\forall (A2: Set).(\forall (A3: Set).(\forall (B:
  42 Set).(\forall (f: ((A1 \to (A2 \to (A3 \to B))))).(\forall (x1: A1).(\forall
  43 (y1: A1).(\forall (x2: A2).(\forall (y2: A2).(\forall (x3: A3).(\forall (y3:
  44 A3).((eq A1 x1 y1) \to ((eq A2 x2 y2) \to ((eq A3 x3 y3) \to (eq B (f x1 x2
  45 x3) (f y1 y2 y3)))))))))))))))
  46 \def
  47  \lambda (A1: Set).(\lambda (A2: Set).(\lambda (A3: Set).(\lambda (B:
  48 Set).(\lambda (f: ((A1 \to (A2 \to (A3 \to B))))).(\lambda (x1: A1).(\lambda
  49 (y1: A1).(\lambda (x2: A2).(\lambda (y2: A2).(\lambda (x3: A3).(\lambda (y3:
  50 A3).(\lambda (H: (eq A1 x1 y1)).(eq_ind A1 x1 (\lambda (a: A1).((eq A2 x2 y2)
  51 \to ((eq A3 x3 y3) \to (eq B (f x1 x2 x3) (f a y2 y3))))) (\lambda (H0: (eq
  52 A2 x2 y2)).(eq_ind A2 x2 (\lambda (a: A2).((eq A3 x3 y3) \to (eq B (f x1 x2
  53 x3) (f x1 a y3)))) (\lambda (H1: (eq A3 x3 y3)).(eq_ind A3 x3 (\lambda (a:
  54 A3).(eq B (f x1 x2 x3) (f x1 x2 a))) (refl_equal B (f x1 x2 x3)) y3 H1)) y2
  55 H0)) y1 H)))))))))))).
  56
  57 theorem sym_eq:
  58  \forall (A: Set).(\forall (x: A).(\forall (y: A).((eq A x y) \to (eq A y
  59 x))))
  60 \def
  61  \lambda (A: Set).(\lambda (x: A).(\lambda (y: A).(\lambda (H: (eq A x
  62 y)).(eq_ind A x (\lambda (a: A).(eq A a x)) (refl_equal A x) y H)))).
  63
  64 theorem eq_ind_r:
  65  \forall (A: Set).(\forall (x: A).(\forall (P: ((A \to Prop))).((P x) \to
  66 (\forall (y: A).((eq A y x) \to (P y))))))
  67 \def
  68  \lambda (A: Set).(\lambda (x: A).(\lambda (P: ((A \to Prop))).(\lambda (H:
  69 (P x)).(\lambda (y: A).(\lambda (H0: (eq A y x)).(match (sym_eq A y x H0) in
  70 eq return (\lambda (a: A).(\lambda (_: (eq ? ? a)).(P a))) with [refl_equal
  71 \Rightarrow H])))))).
  72
  73 theorem trans_eq:
  74  \forall (A: Set).(\forall (x: A).(\forall (y: A).(\forall (z: A).((eq A x y)
  75 \to ((eq A y z) \to (eq A x z))))))
  76 \def
  77  \lambda (A: Set).(\lambda (x: A).(\lambda (y: A).(\lambda (z: A).(\lambda
  78 (H: (eq A x y)).(\lambda (H0: (eq A y z)).(eq_ind A y (\lambda (a: A).(eq A x
  79 a)) H z H0)))))).
  80
  81 theorem sym_not_eq:
  82  \forall (A: Set).(\forall (x: A).(\forall (y: A).((not (eq A x y)) \to (not
  83 (eq A y x)))))
  84 \def
  85  \lambda (A: Set).(\lambda (x: A).(\lambda (y: A).(\lambda (h1: (not (eq A x
  86 y))).(\lambda (h2: (eq A y x)).(h1 (eq_ind A y (\lambda (a: A).(eq A a y))
  87 (refl_equal A y) x h2)))))).
  88
  89 theorem nat_double_ind:
  90  \forall (R: ((nat \to (nat \to Prop)))).(((\forall (n: nat).(R O n))) \to
  91 (((\forall (n: nat).(R (S n) O))) \to (((\forall (n: nat).(\forall (m:
  92 nat).((R n m) \to (R (S n) (S m)))))) \to (\forall (n: nat).(\forall (m:
  93 nat).(R n m))))))
  94 \def
  95  \lambda (R: ((nat \to (nat \to Prop)))).(\lambda (H: ((\forall (n: nat).(R O
  96 n)))).(\lambda (H0: ((\forall (n: nat).(R (S n) O)))).(\lambda (H1: ((\forall
  97 (n: nat).(\forall (m: nat).((R n m) \to (R (S n) (S m))))))).(\lambda (n:
  98 nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(\forall (m: nat).(R n0 m))) H (\lambda (n0:
  99 nat).(\lambda (H2: ((\forall (m: nat).(R n0 m)))).(\lambda (m: nat).(nat_ind
 100 (\lambda (n1: nat).(R (S n0) n1)) (H0 n0) (\lambda (n1: nat).(\lambda (_: (R
 101 (S n0) n1)).(H1 n0 n1 (H2 n1)))) m)))) n))))).
 102
 103 theorem eq_add_S:
 104  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).((eq nat (S n) (S m)) \to (eq nat n m)))
 105 \def
 106  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (H: (eq nat (S n) (S
 107 m))).(f_equal nat nat pred (S n) (S m) H))).
 108
 109 theorem O_S:
 110  \forall (n: nat).(not (eq nat O (S n)))
 111 \def
 112  \lambda (n: nat).(\lambda (H: (eq nat O (S n))).(eq_ind nat (S n) (\lambda
 113 (n0: nat).(IsSucc n0)) I O (sym_eq nat O (S n) H))).
 114
 115 theorem not_eq_S:
 116  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).((not (eq nat n m)) \to (not (eq nat (S
 117 n) (S m)))))
 118 \def
 119  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (H: (not (eq nat n m))).(\lambda
 120 (H0: (eq nat (S n) (S m))).(H (eq_add_S n m H0))))).
 121
 122 theorem pred_Sn:
 123  \forall (m: nat).(eq nat m (pred (S m)))
 124 \def
 125  \lambda (m: nat).(refl_equal nat (pred (S m))).
 126
 127 theorem S_pred:
 128  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).((lt m n) \to (eq nat n (S (pred n)))))
 129 \def
 130  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (H: (lt m n)).(le_ind (S m)
 131 (\lambda (n0: nat).(eq nat n0 (S (pred n0)))) (refl_equal nat (S (pred (S
 132 m)))) (\lambda (m0: nat).(\lambda (_: (le (S m) m0)).(\lambda (_: (eq nat m0
 133 (S (pred m0)))).(refl_equal nat (S (pred (S m0))))))) n H))).
 134
 135 theorem le_trans:
 136  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).(\forall (p: nat).((le n m) \to ((le m p)
 137 \to (le n p)))))
 138 \def
 139  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (p: nat).(\lambda (H: (le n
 140 m)).(\lambda (H0: (le m p)).(le_ind m (\lambda (n0: nat).(le n n0)) H
 141 (\lambda (m0: nat).(\lambda (_: (le m m0)).(\lambda (IHle: (le n m0)).(le_S n
 142 m0 IHle)))) p H0))))).
 143
 144 theorem le_trans_S:
 145  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).((le (S n) m) \to (le n m)))
 146 \def
 147  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (H: (le (S n) m)).(le_trans n (S
 148 n) m (le_S n n (le_n n)) H))).
 149
 150 theorem le_n_S:
 151  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).((le n m) \to (le (S n) (S m))))
 152 \def
 153  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (H: (le n m)).(le_ind n (\lambda
 154 (n0: nat).(le (S n) (S n0))) (le_n (S n)) (\lambda (m0: nat).(\lambda (_: (le
 155 n m0)).(\lambda (IHle: (le (S n) (S m0))).(le_S (S n) (S m0) IHle)))) m H))).
 156
 157 theorem le_O_n:
 158  \forall (n: nat).(le O n)
 159 \def
 160  \lambda (n: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(le O n0)) (le_n O) (\lambda
 161 (n0: nat).(\lambda (IHn: (le O n0)).(le_S O n0 IHn))) n).
 162
 163 theorem le_S_n:
 164  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).((le (S n) (S m)) \to (le n m)))
 165 \def
 166  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (H: (le (S n) (S m))).(le_ind (S
 167 n) (\lambda (n0: nat).(le (pred (S n)) (pred n0))) (le_n n) (\lambda (m0:
 168 nat).(\lambda (H0: (le (S n) m0)).(\lambda (_: (le n (pred m0))).(le_trans_S
 169 n m0 H0)))) (S m) H))).
 170
 171 theorem le_Sn_O:
 172  \forall (n: nat).(not (le (S n) O))
 173 \def
 174  \lambda (n: nat).(\lambda (H: (le (S n) O)).(le_ind (S n) (\lambda (n0:
 175 nat).(IsSucc n0)) I (\lambda (m: nat).(\lambda (_: (le (S n) m)).(\lambda (_:
 176 (IsSucc m)).I))) O H)).
 177
 178 theorem le_Sn_n:
 179  \forall (n: nat).(not (le (S n) n))
 180 \def
 181  \lambda (n: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(not (le (S n0) n0))) (le_Sn_O
 182 O) (\lambda (n0: nat).(\lambda (IHn: (not (le (S n0) n0))).(\lambda (H: (le
 183 (S (S n0)) (S n0))).(IHn (le_S_n (S n0) n0 H))))) n).
 184
 185 theorem le_antisym:
 186  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).((le n m) \to ((le m n) \to (eq nat n
 187 m))))
 188 \def
 189  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (h: (le n m)).(le_ind n (\lambda
 190 (n0: nat).((le n0 n) \to (eq nat n n0))) (\lambda (_: (le n n)).(refl_equal
 191 nat n)) (\lambda (m0: nat).(\lambda (H: (le n m0)).(\lambda (_: (((le m0 n)
 192 \to (eq nat n m0)))).(\lambda (H1: (le (S m0) n)).(False_ind (eq nat n (S
 193 m0)) (let H2 \def (le_trans (S m0) n m0 H1 H) in ((let H3 \def (le_Sn_n m0)
 194 in (\lambda (H4: (le (S m0) m0)).(H3 H4))) H2))))))) m h))).
 195
 196 theorem le_n_O_eq:
 197  \forall (n: nat).((le n O) \to (eq nat O n))
 198 \def
 199  \lambda (n: nat).(\lambda (H: (le n O)).(le_antisym O n (le_O_n n) H)).
 200
 201 theorem le_elim_rel:
 202  \forall (P: ((nat \to (nat \to Prop)))).(((\forall (p: nat).(P O p))) \to
 203 (((\forall (p: nat).(\forall (q: nat).((le p q) \to ((P p q) \to (P (S p) (S
 204 q))))))) \to (\forall (n: nat).(\forall (m: nat).((le n m) \to (P n m))))))
 205 \def
 206  \lambda (P: ((nat \to (nat \to Prop)))).(\lambda (H: ((\forall (p: nat).(P O
 207 p)))).(\lambda (H0: ((\forall (p: nat).(\forall (q: nat).((le p q) \to ((P p
 208 q) \to (P (S p) (S q)))))))).(\lambda (n: nat).(nat_ind (\lambda (n0:
 209 nat).(\forall (m: nat).((le n0 m) \to (P n0 m)))) (\lambda (m: nat).(\lambda
 210 (_: (le O m)).(H m))) (\lambda (n0: nat).(\lambda (IHn: ((\forall (m:
 211 nat).((le n0 m) \to (P n0 m))))).(\lambda (m: nat).(\lambda (Le: (le (S n0)
 212 m)).(le_ind (S n0) (\lambda (n1: nat).(P (S n0) n1)) (H0 n0 n0 (le_n n0) (IHn
 213 n0 (le_n n0))) (\lambda (m0: nat).(\lambda (H1: (le (S n0) m0)).(\lambda (_:
 214 (P (S n0) m0)).(H0 n0 m0 (le_trans_S n0 m0 H1) (IHn m0 (le_trans_S n0 m0
 215 H1)))))) m Le))))) n)))).
 216
 217 theorem lt_n_n:
 218  \forall (n: nat).(not (lt n n))
 219 \def
 220  le_Sn_n.
 221
 222 theorem lt_n_S:
 223  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).((lt n m) \to (lt (S n) (S m))))
 224 \def
 225  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (H: (lt n m)).(le_n_S (S n) m
 226 H))).
 227
 228 theorem lt_n_Sn:
 229  \forall (n: nat).(lt n (S n))
 230 \def
 231  \lambda (n: nat).(le_n (S n)).
 232
 233 theorem lt_S_n:
 234  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).((lt (S n) (S m)) \to (lt n m)))
 235 \def
 236  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (H: (lt (S n) (S m))).(le_S_n (S
 237 n) m H))).
 238
 239 theorem lt_n_O:
 240  \forall (n: nat).(not (lt n O))
 241 \def
 242  le_Sn_O.
 243
 244 theorem lt_trans:
 245  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).(\forall (p: nat).((lt n m) \to ((lt m p)
 246 \to (lt n p)))))
 247 \def
 248  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (p: nat).(\lambda (H: (lt n
 249 m)).(\lambda (H0: (lt m p)).(le_ind (S m) (\lambda (n0: nat).(lt n n0)) (le_S
 250 (S n) m H) (\lambda (m0: nat).(\lambda (_: (le (S m) m0)).(\lambda (IHle: (lt
 251 n m0)).(le_S (S n) m0 IHle)))) p H0))))).
 252
 253 theorem lt_O_Sn:
 254  \forall (n: nat).(lt O (S n))
 255 \def
 256  \lambda (n: nat).(le_n_S O n (le_O_n n)).
 257
 258 theorem lt_le_S:
 259  \forall (n: nat).(\forall (p: nat).((lt n p) \to (le (S n) p)))
 260 \def
 261  \lambda (n: nat).(\lambda (p: nat).(\lambda (H: (lt n p)).H)).
 262
 263 theorem le_not_lt:
 264  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).((le n m) \to (not (lt m n))))
 265 \def
 266  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (H: (le n m)).(le_ind n (\lambda
 267 (n0: nat).(not (lt n0 n))) (lt_n_n n) (\lambda (m0: nat).(\lambda (_: (le n
 268 m0)).(\lambda (IHle: (not (lt m0 n))).(\lambda (H1: (lt (S m0) n)).(IHle
 269 (le_trans_S (S m0) n H1)))))) m H))).
 270
 271 theorem le_lt_n_Sm:
 272  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).((le n m) \to (lt n (S m))))
 273 \def
 274  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (H: (le n m)).(le_n_S n m H))).
 275
 276 theorem le_lt_trans:
 277  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).(\forall (p: nat).((le n m) \to ((lt m p)
 278 \to (lt n p)))))
 279 \def
 280  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (p: nat).(\lambda (H: (le n
 281 m)).(\lambda (H0: (lt m p)).(le_ind (S m) (\lambda (n0: nat).(lt n n0))
 282 (le_n_S n m H) (\lambda (m0: nat).(\lambda (_: (le (S m) m0)).(\lambda (IHle:
 283 (lt n m0)).(le_S (S n) m0 IHle)))) p H0))))).
 284
 285 theorem lt_le_trans:
 286  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).(\forall (p: nat).((lt n m) \to ((le m p)
 287 \to (lt n p)))))
 288 \def
 289  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (p: nat).(\lambda (H: (lt n
 290 m)).(\lambda (H0: (le m p)).(le_ind m (\lambda (n0: nat).(lt n n0)) H
 291 (\lambda (m0: nat).(\lambda (_: (le m m0)).(\lambda (IHle: (lt n m0)).(le_S
 292 (S n) m0 IHle)))) p H0))))).
 293
 294 theorem lt_le_weak:
 295  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).((lt n m) \to (le n m)))
 296 \def
 297  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (H: (lt n m)).(le_trans_S n m
 298 H))).
 299
 300 theorem lt_n_Sm_le:
 301  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).((lt n (S m)) \to (le n m)))
 302 \def
 303  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (H: (lt n (S m))).(le_S_n n m
 304 H))).
 305
 306 theorem le_lt_or_eq:
 307  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).((le n m) \to (or (lt n m) (eq nat n m))))
 308 \def
 309  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (H: (le n m)).(le_ind n (\lambda
 310 (n0: nat).(or (lt n n0) (eq nat n n0))) (or_intror (lt n n) (eq nat n n)
 311 (refl_equal nat n)) (\lambda (m0: nat).(\lambda (H0: (le n m0)).(\lambda (_:
 312 (or (lt n m0) (eq nat n m0))).(or_introl (lt n (S m0)) (eq nat n (S m0))
 313 (le_n_S n m0 H0))))) m H))).
 314
 315 theorem le_or_lt:
 316  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).(or (le n m) (lt m n)))
 317 \def
 318  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(nat_double_ind (\lambda (n0:
 319 nat).(\lambda (n1: nat).(or (le n0 n1) (lt n1 n0)))) (\lambda (n0:
 320 nat).(or_introl (le O n0) (lt n0 O) (le_O_n n0))) (\lambda (n0:
 321 nat).(or_intror (le (S n0) O) (lt O (S n0)) (lt_le_S O (S n0) (lt_O_Sn n0))))
 322 (\lambda (n0: nat).(\lambda (m0: nat).(\lambda (H: (or (le n0 m0) (lt m0
 323 n0))).(or_ind (le n0 m0) (lt m0 n0) (or (le (S n0) (S m0)) (lt (S m0) (S
 324 n0))) (\lambda (H0: (le n0 m0)).(or_introl (le (S n0) (S m0)) (lt (S m0) (S
 325 n0)) (le_n_S n0 m0 H0))) (\lambda (H0: (lt m0 n0)).(or_intror (le (S n0) (S
 326 m0)) (lt (S m0) (S n0)) (le_n_S (S m0) n0 H0))) H)))) n m)).
 327
 328 theorem plus_n_O:
 329  \forall (n: nat).(eq nat n (plus n O))
 330 \def
 331  \lambda (n: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(eq nat n0 (plus n0 O)))
 332 (refl_equal nat O) (\lambda (n0: nat).(\lambda (H: (eq nat n0 (plus n0
 333 O))).(f_equal nat nat S n0 (plus n0 O) H))) n).
 334
 335 theorem plus_n_Sm:
 336  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).(eq nat (S (plus n m)) (plus n (S m))))
 337 \def
 338  \lambda (m: nat).(\lambda (n: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(eq nat (S
 339 (plus n0 n)) (plus n0 (S n)))) (refl_equal nat (S n)) (\lambda (n0:
 340 nat).(\lambda (H: (eq nat (S (plus n0 n)) (plus n0 (S n)))).(f_equal nat nat
 341 S (S (plus n0 n)) (plus n0 (S n)) H))) m)).
 342
 343 theorem plus_sym:
 344  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).(eq nat (plus n m) (plus m n)))
 345 \def
 346  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(eq nat (plus
 347 n0 m) (plus m n0))) (plus_n_O m) (\lambda (y: nat).(\lambda (H: (eq nat (plus
 348 y m) (plus m y))).(eq_ind nat (S (plus m y)) (\lambda (n0: nat).(eq nat (S
 349 (plus y m)) n0)) (f_equal nat nat S (plus y m) (plus m y) H) (plus m (S y))
 350 (plus_n_Sm m y)))) n)).
 351
 352 theorem plus_Snm_nSm:
 353  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).(eq nat (plus (S n) m) (plus n (S m))))
 354 \def
 355  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(eq_ind_r nat (plus m n) (\lambda (n0:
 356 nat).(eq nat (S n0) (plus n (S m)))) (eq_ind_r nat (plus (S m) n) (\lambda
 357 (n0: nat).(eq nat (S (plus m n)) n0)) (refl_equal nat (plus (S m) n)) (plus n
 358 (S m)) (plus_sym n (S m))) (plus n m) (plus_sym n m))).
 359
 360 theorem plus_assoc_l:
 361  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).(\forall (p: nat).(eq nat (plus n (plus m
 362 p)) (plus (plus n m) p))))
 363 \def
 364  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (p: nat).(nat_ind (\lambda (n0:
 365 nat).(eq nat (plus n0 (plus m p)) (plus (plus n0 m) p))) (refl_equal nat
 366 (plus m p)) (\lambda (n0: nat).(\lambda (H: (eq nat (plus n0 (plus m p))
 367 (plus (plus n0 m) p))).(f_equal nat nat S (plus n0 (plus m p)) (plus (plus n0
 368 m) p) H))) n))).
 369
 370 theorem plus_assoc_r:
 371  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).(\forall (p: nat).(eq nat (plus (plus n
 372 m) p) (plus n (plus m p)))))
 373 \def
 374  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (p: nat).(sym_eq nat (plus n
 375 (plus m p)) (plus (plus n m) p) (plus_assoc_l n m p)))).
 376
 377 theorem simpl_plus_l:
 378  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).(\forall (p: nat).((eq nat (plus n m)
 379 (plus n p)) \to (eq nat m p))))
 380 \def
 381  \lambda (n: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(\forall (m: nat).(\forall (p:
 382 nat).((eq nat (plus n0 m) (plus n0 p)) \to (eq nat m p))))) (\lambda (m:
 383 nat).(\lambda (p: nat).(\lambda (H: (eq nat m p)).H))) (\lambda (n0:
 384 nat).(\lambda (IHn: ((\forall (m: nat).(\forall (p: nat).((eq nat (plus n0 m)
 385 (plus n0 p)) \to (eq nat m p)))))).(\lambda (m: nat).(\lambda (p:
 386 nat).(\lambda (H: (eq nat (S (plus n0 m)) (S (plus n0 p)))).(IHn m p (IHn
 387 (plus n0 m) (plus n0 p) (f_equal nat nat (plus n0) (plus n0 m) (plus n0 p)
 388 (eq_add_S (plus n0 m) (plus n0 p) H))))))))) n).
 389
 390 theorem minus_n_O:
 391  \forall (n: nat).(eq nat n (minus n O))
 392 \def
 393  \lambda (n: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(eq nat n0 (minus n0 O)))
 394 (refl_equal nat O) (\lambda (n0: nat).(\lambda (_: (eq nat n0 (minus n0
 395 O))).(refl_equal nat (S n0)))) n).
 396
 397 theorem minus_n_n:
 398  \forall (n: nat).(eq nat O (minus n n))
 399 \def
 400  \lambda (n: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(eq nat O (minus n0 n0)))
 401 (refl_equal nat O) (\lambda (n0: nat).(\lambda (IHn: (eq nat O (minus n0
 402 n0))).IHn)) n).
 403
 404 theorem minus_Sn_m:
 405  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).((le m n) \to (eq nat (S (minus n m))
 406 (minus (S n) m))))
 407 \def
 408  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (Le: (le m n)).(le_elim_rel
 409 (\lambda (n0: nat).(\lambda (n1: nat).(eq nat (S (minus n1 n0)) (minus (S n1)
 410 n0)))) (\lambda (p: nat).(f_equal nat nat S (minus p O) p (sym_eq nat p
 411 (minus p O) (minus_n_O p)))) (\lambda (p: nat).(\lambda (q: nat).(\lambda (_:
 412 (le p q)).(\lambda (H0: (eq nat (S (minus q p)) (match p with [O \Rightarrow
 413 (S q) | (S l) \Rightarrow (minus q l)]))).H0)))) m n Le))).
 414
 415 theorem plus_minus:
 416  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).(\forall (p: nat).((eq nat n (plus m p))
 417 \to (eq nat p (minus n m)))))
 418 \def
 419  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (p: nat).(nat_double_ind
 420 (\lambda (n0: nat).(\lambda (n1: nat).((eq nat n1 (plus n0 p)) \to (eq nat p
 421 (minus n1 n0))))) (\lambda (n0: nat).(\lambda (H: (eq nat n0 p)).(eq_ind nat
 422 n0 (\lambda (n1: nat).(eq nat p n1)) (sym_eq nat n0 p H) (minus n0 O)
 423 (minus_n_O n0)))) (\lambda (n0: nat).(\lambda (H: (eq nat O (S (plus n0
 424 p)))).(False_ind (eq nat p O) (let H0 \def H in ((let H1 \def (O_S (plus n0
 425 p)) in (\lambda (H2: (eq nat O (S (plus n0 p)))).(H1 H2))) H0))))) (\lambda
 426 (n0: nat).(\lambda (m0: nat).(\lambda (H: (((eq nat m0 (plus n0 p)) \to (eq
 427 nat p (minus m0 n0))))).(\lambda (H0: (eq nat (S m0) (S (plus n0 p)))).(H
 428 (eq_add_S m0 (plus n0 p) H0)))))) m n))).
 429
 430 theorem minus_plus:
 431  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).(eq nat (minus (plus n m) n) m))
 432 \def
 433  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(sym_eq nat m (minus (plus n m) n)
 434 (plus_minus (plus n m) n m (refl_equal nat (plus n m))))).
 435
 436 theorem le_pred_n:
 437  \forall (n: nat).(le (pred n) n)
 438 \def
 439  \lambda (n: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(le (pred n0) n0)) (le_n O)
 440 (\lambda (n0: nat).(\lambda (_: (le (pred n0) n0)).(le_S (pred (S n0)) n0
 441 (le_n n0)))) n).
 442
 443 theorem le_plus_l:
 444  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).(le n (plus n m)))
 445 \def
 446  \lambda (n: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(\forall (m: nat).(le n0 (plus
 447 n0 m)))) (\lambda (m: nat).(le_O_n m)) (\lambda (n0: nat).(\lambda (IHn:
 448 ((\forall (m: nat).(le n0 (plus n0 m))))).(\lambda (m: nat).(le_n_S n0 (plus
 449 n0 m) (IHn m))))) n).
 450
 451 theorem le_plus_r:
 452  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).(le m (plus n m)))
 453 \def
 454  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(le m (plus
 455 n0 m))) (le_n m) (\lambda (n0: nat).(\lambda (H: (le m (plus n0 m))).(le_S m
 456 (plus n0 m) H))) n)).
 457
 458 theorem simpl_le_plus_l:
 459  \forall (p: nat).(\forall (n: nat).(\forall (m: nat).((le (plus p n) (plus p
 460 m)) \to (le n m))))
 461 \def
 462  \lambda (p: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (n0: nat).(\forall (m:
 463 nat).((le (plus n n0) (plus n m)) \to (le n0 m))))) (\lambda (n:
 464 nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (H: (le n m)).H))) (\lambda (p0:
 465 nat).(\lambda (IHp: ((\forall (n: nat).(\forall (m: nat).((le (plus p0 n)
 466 (plus p0 m)) \to (le n m)))))).(\lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda
 467 (H: (le (S (plus p0 n)) (S (plus p0 m)))).(IHp n m (le_S_n (plus p0 n) (plus
 468 p0 m) H))))))) p).
 469
 470 theorem le_plus_trans:
 471  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).(\forall (p: nat).((le n m) \to (le n
 472 (plus m p)))))
 473 \def
 474  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (p: nat).(\lambda (H: (le n
 475 m)).(le_trans n m (plus m p) H (le_plus_l m p))))).
 476
 477 theorem le_reg_l:
 478  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).(\forall (p: nat).((le n m) \to (le (plus
 479 p n) (plus p m)))))
 480 \def
 481  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (p: nat).(nat_ind (\lambda (n0:
 482 nat).((le n m) \to (le (plus n0 n) (plus n0 m)))) (\lambda (H: (le n m)).H)
 483 (\lambda (p0: nat).(\lambda (IHp: (((le n m) \to (le (plus p0 n) (plus p0
 484 m))))).(\lambda (H: (le n m)).(le_n_S (plus p0 n) (plus p0 m) (IHp H)))))
 485 p))).
 486
 487 theorem le_plus_plus:
 488  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).(\forall (p: nat).(\forall (q: nat).((le
 489 n m) \to ((le p q) \to (le (plus n p) (plus m q)))))))
 490 \def
 491  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (p: nat).(\lambda (q:
 492 nat).(\lambda (H: (le n m)).(\lambda (H0: (le p q)).(le_ind n (\lambda (n0:
 493 nat).(le (plus n p) (plus n0 q))) (le_reg_l p q n H0) (\lambda (m0:
 494 nat).(\lambda (_: (le n m0)).(\lambda (H2: (le (plus n p) (plus m0 q))).(le_S
 495 (plus n p) (plus m0 q) H2)))) m H)))))).
 496
 497 theorem le_plus_minus:
 498  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).((le n m) \to (eq nat m (plus n (minus m
 499 n)))))
 500 \def
 501  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (Le: (le n m)).(le_elim_rel
 502 (\lambda (n0: nat).(\lambda (n1: nat).(eq nat n1 (plus n0 (minus n1 n0)))))
 503 (\lambda (p: nat).(minus_n_O p)) (\lambda (p: nat).(\lambda (q: nat).(\lambda
 504 (_: (le p q)).(\lambda (H0: (eq nat q (plus p (minus q p)))).(f_equal nat nat
 505 S q (plus p (minus q p)) H0))))) n m Le))).
 506
 507 theorem le_plus_minus_r:
 508  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).((le n m) \to (eq nat (plus n (minus m
 509 n)) m)))
 510 \def
 511  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (H: (le n m)).(sym_eq nat m
 512 (plus n (minus m n)) (le_plus_minus n m H)))).
 513
 514 theorem simpl_lt_plus_l:
 515  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).(\forall (p: nat).((lt (plus p n) (plus p
 516 m)) \to (lt n m))))
 517 \def
 518  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (p: nat).(nat_ind (\lambda (n0:
 519 nat).((lt (plus n0 n) (plus n0 m)) \to (lt n m))) (\lambda (H: (lt n m)).H)
 520 (\lambda (p0: nat).(\lambda (IHp: (((lt (plus p0 n) (plus p0 m)) \to (lt n
 521 m)))).(\lambda (H: (lt (S (plus p0 n)) (S (plus p0 m)))).(IHp (le_S_n (S
 522 (plus p0 n)) (plus p0 m) H))))) p))).
 523
 524 theorem lt_reg_l:
 525  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).(\forall (p: nat).((lt n m) \to (lt (plus
 526 p n) (plus p m)))))
 527 \def
 528  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (p: nat).(nat_ind (\lambda (n0:
 529 nat).((lt n m) \to (lt (plus n0 n) (plus n0 m)))) (\lambda (H: (lt n m)).H)
 530 (\lambda (p0: nat).(\lambda (IHp: (((lt n m) \to (lt (plus p0 n) (plus p0
 531 m))))).(\lambda (H: (lt n m)).(lt_n_S (plus p0 n) (plus p0 m) (IHp H)))))
 532 p))).
 533
 534 theorem lt_reg_r:
 535  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).(\forall (p: nat).((lt n m) \to (lt (plus
 536 n p) (plus m p)))))
 537 \def
 538  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (p: nat).(\lambda (H: (lt n
 539 m)).(eq_ind_r nat (plus p n) (\lambda (n0: nat).(lt n0 (plus m p))) (eq_ind_r
 540 nat (plus p m) (\lambda (n0: nat).(lt (plus p n) n0)) (nat_ind (\lambda (n0:
 541 nat).(lt (plus n0 n) (plus n0 m))) H (\lambda (n0: nat).(\lambda (_: (lt
 542 (plus n0 n) (plus n0 m))).(lt_reg_l n m (S n0) H))) p) (plus m p) (plus_sym m
 543 p)) (plus n p) (plus_sym n p))))).
 544
 545 theorem le_lt_plus_plus:
 546  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).(\forall (p: nat).(\forall (q: nat).((le
 547 n m) \to ((lt p q) \to (lt (plus n p) (plus m q)))))))
 548 \def
 549  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (p: nat).(\lambda (q:
 550 nat).(\lambda (H: (le n m)).(\lambda (H0: (le (S p) q)).(eq_ind_r nat (plus n
 551 (S p)) (\lambda (n0: nat).(le n0 (plus m q))) (le_plus_plus n m (S p) q H H0)
 552 (plus (S n) p) (plus_Snm_nSm n p))))))).
 553
 554 theorem lt_le_plus_plus:
 555  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).(\forall (p: nat).(\forall (q: nat).((lt
 556 n m) \to ((le p q) \to (lt (plus n p) (plus m q)))))))
 557 \def
 558  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (p: nat).(\lambda (q:
 559 nat).(\lambda (H: (le (S n) m)).(\lambda (H0: (le p q)).(le_plus_plus (S n) m
 560 p q H H0)))))).
 561
 562 theorem lt_plus_plus:
 563  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).(\forall (p: nat).(\forall (q: nat).((lt
 564 n m) \to ((lt p q) \to (lt (plus n p) (plus m q)))))))
 565 \def
 566  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (p: nat).(\lambda (q:
 567 nat).(\lambda (H: (lt n m)).(\lambda (H0: (lt p q)).(lt_le_plus_plus n m p q
 568 H (lt_le_weak p q H0))))))).
 569
 570 theorem well_founded_ltof:
 571  \forall (A: Set).(\forall (f: ((A \to nat))).(well_founded A (ltof A f)))
 572 \def
 573  \lambda (A: Set).(\lambda (f: ((A \to nat))).(let H \def (\lambda (n:
 574 nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(\forall (a: A).((lt (f a) n0) \to (Acc A
 575 (ltof A f) a)))) (\lambda (a: A).(\lambda (H: (lt (f a) O)).(False_ind (Acc A
 576 (ltof A f) a) (let H0 \def H in ((let H1 \def (lt_n_O (f a)) in (\lambda (H2:
 577 (lt (f a) O)).(H1 H2))) H0))))) (\lambda (n0: nat).(\lambda (IHn: ((\forall
 578 (a: A).((lt (f a) n0) \to (Acc A (ltof A f) a))))).(\lambda (a: A).(\lambda
 579 (ltSma: (lt (f a) (S n0))).(Acc_intro A (ltof A f) a (\lambda (b: A).(\lambda
 580 (ltfafb: (lt (f b) (f a))).(IHn b (lt_le_trans (f b) (f a) n0 ltfafb
 581 (lt_n_Sm_le (f a) n0 ltSma)))))))))) n)) in (\lambda (a: A).(H (S (f a)) a
 582 (le_n (S (f a))))))).
 583
 584 theorem lt_wf:
 585  well_founded nat lt
 586 \def
 587  well_founded_ltof nat (\lambda (m: nat).m).
 588
 589 theorem lt_wf_ind:
 590  \forall (p: nat).(\forall (P: ((nat \to Prop))).(((\forall (n:
 591 nat).(((\forall (m: nat).((lt m n) \to (P m)))) \to (P n)))) \to (P p)))
 592 \def
 593  \lambda (p: nat).(\lambda (P: ((nat \to Prop))).(\lambda (H: ((\forall (n:
 594 nat).(((\forall (m: nat).((lt m n) \to (P m)))) \to (P n))))).(Acc_ind nat lt
 595 (\lambda (n: nat).(P n)) (\lambda (x: nat).(\lambda (_: ((\forall (y:
 596 nat).((lt y x) \to (Acc nat lt y))))).(\lambda (H1: ((\forall (y: nat).((lt y
 597 x) \to (P y))))).(H x H1)))) p (lt_wf p)))).
 598