matita/contribs/POPLmark/Fsub/part1a_inversion.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "Fsub/defn.ma".
  16
  17 (*** Lemma A.1 (Reflexivity) ***)
  18 theorem JS_Refl : ∀T,G.WFType G T → WFEnv G → G ⊢ T ⊴  T.
  19 intros 3.elim H
  20   [apply SA_Refl_TVar [apply H2|assumption]
  21   |apply SA_Top [assumption|apply WFT_Top]
  22   |apply (SA_Arrow ? ? ? ? ? (H2 H5) (H4 H5))
  23   |apply (SA_All ? ? ? ? ? (H2 H5));intros;apply (H4 ? H6)
  24      [intro;apply H6;apply (fv_WFT ? ? ? (WFT_Forall ? ? ? H1 H3));
  25       simplify;autobatch
  26      |autobatch]]
  27 qed.
  28
  29 (*
  30  * A slightly more general variant to lemma A.2.2, where weakening isn't
  31  * defined as concatenation of any two disjoint environments, but as
  32  * set inclusion.
  33  *)
  34
  35 lemma JS_weakening : ∀G,T,U.G ⊢ T ⊴ U → ∀H.WFEnv H → incl ? G H → H ⊢ T ⊴ U.
  36 intros 4;elim H
  37   [apply (SA_Top ? ? H4);apply (WFT_env_incl ? ? H2 ? (incl_bound_fv ? ? H5))
  38   |apply (SA_Refl_TVar ? ? H4);apply (incl_bound_fv ? ? H5 ? H2)
  39   |apply (SA_Trans_TVar ? ? ? ? ? (H3 ? H5 H6));apply H6;assumption
  40   |apply (SA_Arrow ? ? ? ? ? (H2 ? H6 H7) (H4 ? H6 H7))
  41   |apply (SA_All ? ? ? ? ? (H2 ? H6 H7));intros;apply H4
  42      [unfold;intro;apply H8;apply (incl_bound_fv ? ? H7 ? H9)
  43      |apply (WFE_cons ? ? ? ? H6 H8);autobatch
  44      |unfold;intros;inversion H9;intros
  45         [destruct H11;apply in_list_head
  46         |destruct H13;apply in_list_cons;apply (H7 ? H10)]]]
  47 qed.
  48
  49 theorem narrowing:∀X,G,G1,U,P,M,N.
  50   G1 ⊢ P ⊴ U → (∀G2,T.G2@G1 ⊢ U ⊴ T → G2@G1 ⊢ P ⊴ T) → G ⊢ M ⊴ N →
  51   ∀l.G=l@(mk_bound true X U::G1) → l@(mk_bound true X P::G1) ⊢ M ⊴ N.
  52 intros 10.elim H2
  53   [apply SA_Top
  54     [rewrite > H5 in H3;
  55      apply (WFE_Typ_subst ? ? ? ? ? ? ? H3 (JS_to_WFT1 ? ? ? H))
  56     |rewrite > H5 in H4;apply (WFT_env_incl ? ? H4);apply incl_fv_env]
  57   |apply SA_Refl_TVar
  58     [rewrite > H5 in H3;apply (WFE_Typ_subst ? ? ? ? ? ? ? H3);
  59      apply (JS_to_WFT1 ? ? ? H)
  60     |rewrite > H5 in H4;rewrite < fv_env_extends;apply H4]
  61   |elim (decidable_eq_nat X n)
  62     [apply (SA_Trans_TVar ? ? ? P)
  63       [rewrite < H7;elim l1;simplify
  64         [constructor 1|constructor 2;assumption]
  65       |rewrite > append_cons;apply H1;
  66        lapply (WFE_bound_bound true n t1 U ? ? H3)
  67         [apply (JS_to_WFE ? ? ? H4)
  68         |rewrite < Hletin;rewrite < append_cons;apply (H5 ? H6)
  69         |rewrite < H7;rewrite > H6;elim l1;simplify
  70           [constructor 1|constructor 2;assumption]]]
  71     |apply (SA_Trans_TVar ? ? ? t1)
  72       [rewrite > H6 in H3;apply (lookup_env_extends ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? H3);
  73        unfold;intro;apply H7;symmetry;assumption
  74       |apply (H5 ? H6)]]
  75   |apply (SA_Arrow ? ? ? ? ? (H4 ? H7) (H6 ? H7))
  76   |apply (SA_All ? ? ? ? ? (H4 ? H7));intros;
  77    apply (H6 ? ? (mk_bound true X1 t2::l1))
  78       [rewrite > H7;rewrite > fv_env_extends;apply H8
  79       |simplify;rewrite < H7;reflexivity]]
  80 qed.
  81
  82 lemma JSubtype_Arrow_inv:
  83  ∀G:list bound.∀T1,T2,T3:Typ.
  84   ∀P:list bound → Typ → Prop.
  85    (∀n,t1.
  86     (mk_bound true n t1) ∈ G → G ⊢ t1 ⊴ (Arrow T2 T3) → P G t1 → P G (TFree n)) →
  87    (∀t,t1. G ⊢ T2 ⊴ t → G ⊢ t1 ⊴ T3 → P G (Arrow t t1)) →
  88     G ⊢ T1 ⊴ (Arrow T2 T3) → P G T1.
  89  intros;
  90  generalize in match (refl_eq ? (Arrow T2 T3));
  91  generalize in match (refl_eq ? G);
  92  elim H2 in ⊢ (? ? ? % → ? ? ? % → %);
  93   [1,2: destruct H6
  94   |5: destruct H8
  95   | lapply (H5 H6 H7); destruct; clear H5;
  96     apply H;
  97     assumption
  98   | destruct;
  99     clear H4 H6;
 100     apply H1;
 101     assumption
 102   ]
 103 qed.
 104
 105 lemma JSubtype_Forall_inv:
 106  ∀G:list bound.∀T1,T2,T3:Typ.
 107   ∀P:list bound → Typ → Prop.
 108    (∀n,t1.
 109     (mk_bound true n t1) ∈ G → G ⊢ t1 ⊴ (Forall T2 T3) → P G t1 → P G (TFree n)) →
 110    (∀t,t1. G ⊢ T2 ⊴ t → (∀X. ¬(X ∈ fv_env G) → (mk_bound true X T2)::G ⊢ subst_type_nat t1 (TFree X) O ⊴ subst_type_nat T3 (TFree X) O)
 111      → P G (Forall t t1)) →
 112       G ⊢ T1 ⊴ (Forall T2 T3) → P G T1.
 113  intros;
 114  generalize in match (refl_eq ? (Forall T2 T3));
 115  generalize in match (refl_eq ? G);
 116  elim H2 in ⊢ (? ? ? % → ? ? ? % → %);
 117   [1,2: destruct H6
 118   |4: destruct H8
 119   | lapply (H5 H6 H7); destruct; clear H5;
 120     apply H;
 121     assumption
 122   | destruct;
 123     clear H4 H6;
 124     apply H1;
 125     assumption
 126   ]
 127 qed.
 128
 129
 130 lemma JS_trans_prova: ∀T,G1.WFType G1 T →
 131 ∀G,R,U.incl ? (fv_env G1) (fv_env G) → G ⊢ R ⊴ T → G ⊢ T ⊴ U → G ⊢ R ⊴ U.
 132 intros 3;elim H;clear H; try autobatch;
 133   [rewrite > (JSubtype_Top ? ? H3);autobatch
 134   |apply (JSubtype_Arrow_inv ? ? ? ? ? ? ? H6); intros;
 135     [ autobatch
 136     | inversion H7;intros; destruct; autobatch depth=4 width=4 size=9]
 137   |apply (JSubtype_Forall_inv ? ? ? ? ? ? ? H6); intros;
 138     [ autobatch
 139     | inversion H7;intros; destruct;
 140        [ apply SA_Top
 141           [ assumption
 142           | apply WFT_Forall;
 143              [ autobatch
 144              | intros;lapply (H8 ? H11);
 145                autobatch]]
 146        | apply SA_All
 147           [ autobatch
 148           | intros;apply (H4 X);
 149              [intro;apply H13;apply H5;assumption
 150                  |intro;apply H13;apply H5;apply (WFT_to_incl ? ? ? H3);
 151                   assumption
 152                  |simplify;autobatch
 153                  |apply (narrowing X (mk_bound true X t::G) ? ? ? ? ? H9 ? ? [])
 154                     [intros;apply H2
 155                        [unfold;intros;lapply (H5 ? H15);rewrite > fv_append;
 156                         autobatch
 157                        |apply (JS_weakening ? ? ? H9)
 158                           [autobatch
 159                           |unfold;intros;autobatch]
 160                        |assumption]
 161                     |*:autobatch]
 162                  |autobatch]]]]]
 163 qed.
 164
 165 theorem JS_trans : ∀G,T,U,V.G ⊢ T ⊴ U → G ⊢ U ⊴ V → G ⊢ T ⊴ V.
 166 intros 5;apply (JS_trans_prova ? G);autobatch;
 167 qed.
 168
 169 theorem JS_narrow : ∀G1,G2,X,P,Q,T,U.
 170                        (G2 @ (mk_bound true X Q :: G1)) ⊢ T ⊴ U → G1 ⊢ P ⊴ Q →
 171                        (G2 @ (mk_bound true X P :: G1)) ⊢ T ⊴ U.
 172 intros;apply (narrowing ? ? ? ? ? ? ? H1 ? H) [|autobatch]
 173 intros;apply (JS_trans ? ? ? ? ? H2);apply (JS_weakening ? ? ? H1);
 174      [autobatch|unfold;intros;autobatch]
 175 qed.