matita/contribs/dama/dama/lattice.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "excess.ma".
  16
  17 record semi_lattice_base : Type ≝ {
  18   sl_carr:> apartness;
  19   sl_op: sl_carr → sl_carr → sl_carr;
  20   sl_op_refl: ∀x.sl_op x x ≈ x;
  21   sl_op_comm: ∀x,y:sl_carr. sl_op x y ≈ sl_op y x;
  22   sl_op_assoc: ∀x,y,z:sl_carr. sl_op x (sl_op y z) ≈ sl_op (sl_op x y) z;
  23   sl_strong_extop: ∀x.strong_ext ? (sl_op x)
  24 }.
  25
  26 notation "a \cross b" left associative with precedence 50 for @{ 'op $a $b }.
  27 interpretation "semi lattice base operation" 'op a b = (cic:/matita/lattice/sl_op.con _ a b).
  28
  29 lemma excess_of_semi_lattice_base: semi_lattice_base → excess.
  30 intro l;
  31 apply mk_excess;
  32 [1: apply mk_excess_;
  33     [1: apply mk_excess_dual_smart;
  34
  35   apply (mk_excess_base (sl_carr l));
  36     [1: apply (λa,b:sl_carr l.a # (a ✗ b));
  37     |2: unfold; intros 2 (x H); simplify in H;
  38         lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ??) H) as H1; clear H;
  39         apply (ap_coreflexive ?? H1);
  40     |3: unfold; simplify; intros (x y z H1);
  41         cases (ap_cotransitive ??? ((x ✗ z) ✗ y) H1) (H2 H2);[2:
  42           lapply (Ap≪ ? (sl_op_comm ???) H2) as H21;
  43           lapply (Ap≫ ? (sl_op_comm ???) H21) as H22; clear H21 H2;
  44           lapply (sl_strong_extop ???? H22); clear H22;
  45           left; apply ap_symmetric; assumption;]
  46         cases (ap_cotransitive ??? (x ✗ z) H2) (H3 H3);[left;assumption]
  47         right; lapply (Ap≫ ? (sl_op_assoc ????) H3) as H31;
  48         apply (sl_strong_extop ???? H31);]
  49
  50     |2:
  51     apply apartness_of_excess_base;
  52
  53   apply (mk_excess_base (sl_carr l));
  54     [1: apply (λa,b:sl_carr l.a # (a ✗ b));
  55     |2: unfold; intros 2 (x H); simplify in H;
  56         lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ??) H) as H1; clear H;
  57         apply (ap_coreflexive ?? H1);
  58     |3: unfold; simplify; intros (x y z H1);
  59         cases (ap_cotransitive ??? ((x ✗ z) ✗ y) H1) (H2 H2);[2:
  60           lapply (Ap≪ ? (sl_op_comm ???) H2) as H21;
  61           lapply (Ap≫ ? (sl_op_comm ???) H21) as H22; clear H21 H2;
  62           lapply (sl_strong_extop ???? H22); clear H22;
  63           left; apply ap_symmetric; assumption;]
  64         cases (ap_cotransitive ??? (x ✗ z) H2) (H3 H3);[left;assumption]
  65         right; lapply (Ap≫ ? (sl_op_assoc ????) H3) as H31;
  66         apply (sl_strong_extop ???? H31);]
  67
  68     |3: apply refl_eq;]
  69 |2,3: intros (x y H); assumption;]
  70 qed.
  71
  72 record semi_lattice : Type ≝ {
  73   sl_exc:> excess;
  74   sl_meet: sl_exc → sl_exc → sl_exc;
  75   sl_meet_refl: ∀x.sl_meet x x ≈ x;
  76   sl_meet_comm: ∀x,y. sl_meet x y ≈ sl_meet y x;
  77   sl_meet_assoc: ∀x,y,z. sl_meet x (sl_meet y z) ≈ sl_meet (sl_meet x y) z;
  78   sl_strong_extm: ∀x.strong_ext ? (sl_meet x);
  79   sl_le_to_eqm: ∀x,y.x ≤ y → x ≈ sl_meet x y;
  80   sl_lem: ∀x,y.(sl_meet x y) ≤ y
  81 }.
  82
  83 interpretation "semi lattice meet" 'and a b = (cic:/matita/lattice/sl_meet.con _ a b).
  84
  85 lemma sl_feq_ml: ∀ml:semi_lattice.∀a,b,c:ml. a ≈ b → (c ∧ a) ≈ (c ∧ b).
  86 intros (l a b c H); unfold eq in H ⊢ %; unfold Not in H ⊢ %;
  87 intro H1; apply H; clear H; apply (sl_strong_extm ???? H1);
  88 qed.
  89
  90 lemma sl_feq_mr: ∀ml:semi_lattice.∀a,b,c:ml. a ≈ b → (a ∧ c) ≈ (b ∧ c).
  91 intros (l a b c H);
  92 apply (Eq≈ ? (sl_meet_comm ???)); apply (Eq≈ ?? (sl_meet_comm ???));
  93 apply sl_feq_ml; assumption;
  94 qed.
  95
  96
  97 (*
  98 lemma semi_lattice_of_semi_lattice_base: semi_lattice_base → semi_lattice.
  99 intro slb; apply (mk_semi_lattice (excess_of_semi_lattice_base slb));
 100 [1: apply (sl_op slb);
 101 |2: intro x; apply (eq_trans (excess_of_semi_lattice_base slb)); [2:
 102       apply (sl_op_refl slb);|1:skip] (sl_op slb x x)); ? (sl_op_refl slb x));
 103
 104  unfold excess_of_semi_lattice_base; simplify;
 105     intro H; elim H;
 106     [
 107
 108
 109     lapply (ap_rewl (excess_of_semi_lattice_base slb) x ? (sl_op slb x x)
 110       (eq_sym (excess_of_semi_lattice_base slb) ?? (sl_op_refl slb x)) t);
 111     change in x with (sl_carr slb);
 112     apply (Ap≪ (x ✗ x)); (sl_op_refl slb x));
 113
 114 whd in H; elim H; clear H;
 115     [ apply (ap_coreflexive (excess_of_semi_lattice_base slb) (x ✗ x) t);
 116
 117 prelattice (excess_of_directed l_)); [apply (sl_op l_);]
 118 unfold excess_of_directed; try unfold apart_of_excess; simplify;
 119 unfold excl; simplify;
 120 [intro x; intro H; elim H; clear H;
 121  [apply (sl_op_refl l_ x);
 122   lapply (Ap≫ ? (sl_op_comm ???) t) as H; clear t;
 123   lapply (sl_strong_extop l_ ??? H); apply ap_symmetric; assumption
 124  | lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ?x) t) as H; clear t;
 125    lapply (sl_strong_extop l_ ??? H); apply (sl_op_refl l_ x);
 126    apply ap_symmetric; assumption]
 127 |intros 3 (x y H); cases H (H1 H2); clear H;
 128  [lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ? (sl_op l_ x y)) H1) as H; clear H1;
 129   lapply (sl_strong_extop l_ ??? H) as H1; clear H;
 130   lapply (Ap≪ ? (sl_op_comm ???) H1); apply (ap_coreflexive ?? Hletin);
 131  |lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ? (sl_op l_ y x)) H2) as H; clear H2;
 132   lapply (sl_strong_extop l_ ??? H) as H1; clear H;
 133   lapply (Ap≪ ? (sl_op_comm ???) H1);apply (ap_coreflexive ?? Hletin);]
 134 |intros 4 (x y z H); cases H (H1 H2); clear H;
 135  [lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ? (sl_op l_ x (sl_op l_ y z))) H1) as H; clear H1;
 136   lapply (sl_strong_extop l_ ??? H) as H1; clear H;
 137   lapply (Ap≪ ? (eq_sym ??? (sl_op_assoc ?x y z)) H1) as H; clear H1;
 138   apply (ap_coreflexive ?? H);
 139  |lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ? (sl_op l_ (sl_op l_ x y) z)) H2) as H; clear H2;
 140   lapply (sl_strong_extop l_ ??? H) as H1; clear H;
 141   lapply (Ap≪ ? (sl_op_assoc ?x y z) H1) as H; clear H1;
 142   apply (ap_coreflexive ?? H);]
 143 |intros (x y z H); elim H (H1 H1); clear H;
 144  lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ??) H1) as H; clear H1;
 145  lapply (sl_strong_extop l_ ??? H) as H1; clear H;
 146  lapply (sl_strong_extop l_ ??? H1) as H; clear H1;
 147  cases (ap_cotransitive ??? (sl_op l_ y z) H);[left|right|right|left] try assumption;
 148  [apply ap_symmetric;apply (Ap≪ ? (sl_op_comm ???));
 149  |apply (Ap≫ ? (sl_op_comm ???));
 150  |apply ap_symmetric;] assumption;
 151 |intros 4 (x y H H1); apply H; clear H; elim H1 (H H);
 152  lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ??) H) as H1; clear H;
 153  lapply (sl_strong_extop l_ ??? H1) as H; clear H1;[2: apply ap_symmetric]
 154  assumption
 155 |intros 3 (x y H);
 156  cut (sl_op l_ x y ≈ sl_op l_ x (sl_op l_ y y)) as H1;[2:
 157    intro; lapply (sl_strong_extop ???? a); apply (sl_op_refl l_ y);
 158    apply ap_symmetric; assumption;]
 159  lapply (Ap≪ ? (eq_sym ??? H1) H); apply (sl_op_assoc l_ x y y);
 160  assumption; ]
 161 qed.
 162 *)
 163
 164 (* ED(≰,≱) → EB(≰') → ED(≰',≱') *)
 165 lemma subst_excess_base: excess_dual → excess_base → excess_dual.
 166 intros; apply (mk_excess_dual_smart e1);
 167 qed.
 168
 169 (* E_(ED(≰,≱),AP(#),c ED = c AP) → ED' → c DE' = c E_ → E_(ED',#,p) *)
 170 lemma subst_dual_excess: ∀e:excess_.∀e1:excess_dual.exc_carr e = exc_carr e1 → excess_.
 171 intros (e e1 p); apply (mk_excess_ e1 e); cases p; reflexivity;
 172 qed.
 173
 174 (* E(E_,H1,H2) → E_' → H1' → H2' → E(E_',H1',H2') *)
 175 alias symbol "nleq" = "Excess excess_".
 176 lemma subst_excess_: ∀e:excess. ∀e1:excess_.
 177   (∀y,x:e1. y # x → y ≰ x ∨ x ≰ y) →
 178   (∀y,x:e1.y ≰ x ∨ x ≰ y →  y # x) →
 179   excess.
 180 intros (e e1 H1 H2); apply (mk_excess e1 H1 H2);
 181 qed.
 182
 183 definition hole ≝ λT:Type.λx:T.x.
 184
 185 notation < "\ldots" non associative with precedence 50 for @{'hole}.
 186 interpretation "hole" 'hole = (cic:/matita/lattice/hole.con _ _).
 187
 188
 189 axiom FALSE : False.
 190
 191 (* SL(E,M,H2-5(#),H67(≰)) → E' → c E = c E' → H67'(≰') → SL(E,M,p2-5,H67') *)
 192 lemma subst_excess:
 193   ∀l:semi_lattice.
 194   ∀e:excess.
 195   ∀p:exc_ap l = exc_ap e.
 196   (∀x,y:e.(le (exc_dual_base e)) x y → x ≈ (?(sl_meet l)) x y) →
 197   (∀x,y:e.(le (exc_dual_base e)) ((?(sl_meet l)) x y) y) →
 198   semi_lattice.
 199 [1,2:intro M;
 200  change with ((λx.ap_carr x) e -> (λx.ap_carr x) e -> (λx.ap_carr x) e);
 201  cases p; apply M;
 202 |intros (l e p H1 H2);
 203  apply (mk_semi_lattice e);
 204    [ change with ((λx.ap_carr x) e -> (λx.ap_carr x) e -> (λx.ap_carr x) e);
 205      cases p; simplify; apply (sl_meet l);
 206    |2: change in ⊢ (% → ?) with ((λx.ap_carr x) e); cases p; simplify; apply sl_meet_refl;
 207    |3: change in ⊢ (% → % → ?) with ((λx.ap_carr x) e); cases p; simplify; apply sl_meet_comm;
 208    |4: change in ⊢ (% → % → % → ?) with ((λx.ap_carr x) e); cases p; simplify; apply sl_meet_assoc;
 209    |5: change in ⊢ (% → ?) with ((λx.ap_carr x) e); cases p; simplify; apply sl_strong_extm;
 210    |6: clear H2; apply hole; apply H1;
 211    |7: clear H1; apply hole; apply H2;]]
 212 qed.
 213
 214 lemma excess_of_excess_base: excess_base → excess.
 215 intro eb;
 216 apply mk_excess;
 217   [apply (mk_excess_ (mk_excess_dual_smart eb));
 218     [apply (apartness_of_excess_base eb);
 219     |reflexivity]
 220   |2,3: intros; assumption]
 221 qed.
 222
 223 lemma subst_excess_preserves_aprtness:
 224   ∀l:semi_lattice.
 225   ∀e:excess.
 226   ∀p,H1,H2.
 227   exc_ap l = exc_ap (subst_excess l e p H1 H2).
 228 intros;
 229 unfold subst_excess;
 230 simplify; assumption;
 231 qed.
 232
 233
 234 lemma subst_excess__preserves_aprtness:
 235   ∀l:excess.
 236   ∀e:excess_base.
 237   ∀p,H1,H2.
 238   exc_ap l = apartness_OF_excess (subst_excess_ l (subst_dual_excess l (subst_excess_base l e) p) H1 H2).
 239 intros 3; (unfold subst_excess_; unfold subst_dual_excess; unfold subst_excess_base; unfold exc_ap; unfold mk_excess_dual_smart; simplify);
 240 (unfold subst_excess_base in p; unfold mk_excess_dual_smart in p; simplify in p);
 241 intros; cases p;
 242 reflexivity;
 243 qed.
 244
 245 lemma subst_excess_base_in_excess_:
 246   ∀d:excess_.
 247   ∀eb:excess_base.
 248   ∀p:exc_carr d = exc_carr eb.
 249   excess_.
 250 intros (e_ eb);
 251 apply (subst_dual_excess e_);
 252   [apply (subst_excess_base e_ eb);
 253   |assumption]
 254 qed.
 255
 256 lemma subst_excess_base_in_excess:
 257   ∀d:excess.
 258   ∀eb:excess_base.
 259   ∀p:exc_carr d = exc_carr eb.
 260   (∀y1,x1:eb. (?(ap_apart d)) y1  x1 → y1 ≰ x1 ∨ x1 ≰ y1) →
 261   (∀y2,x2:eb.y2 ≰ x2 ∨ x2 ≰ y2 →  (?(ap_apart d)) y2 x2) →
 262   excess.
 263 [1,3,4:apply Type|2,5:intro f; cases p; apply f]
 264 intros (d eb p H1 H2);
 265 apply (subst_excess_ d);
 266   [apply (subst_excess_base_in_excess_ d eb p);
 267   |apply hole; clear H2;
 268    change in ⊢ (%→%→?) with (exc_carr eb);
 269    change in ⊢ (?→?→?→? (? % ? ?) (? % ? ?)) with eb; intros (y x H3);
 270    apply H1; generalize in match H3;
 271    unfold ap_apart; unfold subst_excess_base_in_excess_;
 272    unfold subst_dual_excess; simplify;
 273    generalize in match x;
 274    generalize in match y;
 275    cases p; simplify; intros; assumption;
 276   |apply hole; clear H1;
 277    change in ⊢ (%→%→?) with (exc_carr eb);
 278    change in ⊢ (?→?→? (? % ? ?) (? % ? ?)→?) with eb; intros (y x H3);
 279    unfold ap_apart; unfold subst_excess_base_in_excess_;
 280    unfold subst_dual_excess; simplify; generalize in match (H2 ?? H3);
 281    generalize in match x; generalize in match y; cases p;
 282    intros; assumption;]
 283 qed.
 284
 285 lemma tech1: ∀e:excess.
 286  ∀eb:excess_base.
 287  ∀p,H1,H2.
 288  exc_ap e = exc_ap_  (subst_excess_base_in_excess e eb p H1 H2).
 289 intros (e eb p H1 H2);
 290 unfold subst_excess_base_in_excess;
 291 unfold subst_excess_; simplify;
 292 unfold subst_excess_base_in_excess_;
 293 unfold subst_dual_excess; simplify; reflexivity;
 294 qed.
 295
 296 lemma tech2:
 297  ∀e:excess_.∀eb.∀p.
 298   exc_ap e = exc_ap (mk_excess_ (subst_excess_base e eb) (exc_ap e) p).
 299 intros (e eb p);unfold exc_ap; simplify; cases p; simplify; reflexivity;
 300 qed.
 301
 302 (*
 303 lemma eq_fap:
 304  ∀a1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,b4,a5,b5.
 305  a1=b1 → a2=b2 → a3=b3 → a4=b4 → a5=b5 → mk_apartness a1 a2 a3 a4 a5 = mk_apartness b1 b2 b3 b4 b5.
 306 intros; cases H; cases H1; cases H2; cases H3; cases H4; reflexivity;
 307 qed.
 308 *)
 309
 310 lemma subst_excess_base_in_excess_preserves_apartness:
 311  ∀e:excess.
 312  ∀eb:excess_base.
 313  ∀H,H1,H2.
 314  apartness_OF_excess e =
 315  apartness_OF_excess (subst_excess_base_in_excess e eb H H1 H2).
 316 intros (e eb p H1 H2);
 317 unfold subst_excess_base_in_excess;
 318 unfold subst_excess_; unfold subst_excess_base_in_excess_;
 319 unfold subst_dual_excess; unfold apartness_OF_excess;
 320 simplify in ⊢ (? ? ? (? %));
 321 rewrite < (tech2 e eb );
 322 reflexivity;
 323 qed.
 324
 325
 326
 327 alias symbol "nleq" = "Excess base excess".
 328 lemma subst_excess_base_in_semi_lattice:
 329   ∀sl:semi_lattice.
 330   ∀eb:excess_base.
 331   ∀p:exc_carr sl = exc_carr eb.
 332   (∀y1,x1:eb. (?(ap_apart sl)) y1  x1 → y1 ≰ x1 ∨ x1 ≰ y1) →
 333   (∀y2,x2:eb.y2 ≰ x2 ∨ x2 ≰ y2 →  (?(ap_apart sl)) y2 x2) →
 334   (∀x3,y3:eb.(le eb) x3 y3 → (?(eq sl)) x3 ((?(sl_meet sl)) x3 y3)) →
 335   (∀x4,y4:eb.(le eb) ((?(sl_meet sl)) x4 y4) y4) →
 336   semi_lattice.
 337 [2:apply Prop|3,7,9,10:apply Type|4:apply (exc_carr eb)|1,5,6,8,11:intro f; cases p; apply f;]
 338 intros (sl eb H H1 H2 H3 H4);
 339 apply (subst_excess sl);
 340   [apply (subst_excess_base_in_excess sl eb H H1 H2);
 341   |apply subst_excess_base_in_excess_preserves_apartness;
 342   |change in ⊢ (%→%→?) with ((λx.ap_carr x) (subst_excess_base_in_excess (sl_exc sl) eb H H1 H2)); simplify;
 343    intros 3 (x y LE);
 344    generalize in match (H3 ?? LE);
 345    generalize in match H1 as H1;generalize in match H2 as H2;
 346    generalize in match x as x; generalize in match y as y;
 347    cases FALSE;
 348    (*
 349    (reduce in H ⊢ %; cases H; simplify; intros; assumption);
 350
 351
 352    cases (subst_excess_base_in_excess_preserves_apartness (sl_exc sl) eb H H1 H2); simplify;
 353    change in x:(%) with (exc_carr eb);
 354    change in y:(%) with (exc_carr eb);
 355    generalize in match OK; generalize in match x as x; generalize in match y as y;
 356    cases H; simplify; (* funge, ma devo fare 2 rewrite in un colpo solo *)
 357    *)
 358   |cases FALSE;
 359   ]
 360 qed.
 361
 362 record lattice_ : Type ≝ {
 363   latt_mcarr:> semi_lattice;
 364   latt_jcarr_: semi_lattice;
 365   W1:?; W2:?; W3:?; W4:?; W5:?;
 366   latt_with1: latt_jcarr_ = subst_excess_base_in_semi_lattice latt_jcarr_
 367     (excess_base_OF_semi_lattice latt_mcarr) W1 W2 W3 W4 W5
 368 }.
 369
 370 lemma latt_jcarr : lattice_ → semi_lattice.
 371 intro l; apply (subst_excess_base_in_semi_lattice (latt_jcarr_ l) (excess_base_OF_semi_lattice (latt_mcarr l)) (W1 l) (W2 l) (W3 l) (W4 l) (W5 l));
 372 qed.
 373
 374 coercion cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con.
 375
 376 interpretation "Lattice meet" 'and a b =
 377  (cic:/matita/lattice/sl_meet.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _) a b).
 378
 379 interpretation "Lattice join" 'or a b =
 380  (cic:/matita/lattice/sl_meet.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _) a b).
 381
 382 record lattice : Type ≝ {
 383   latt_carr:> lattice_;
 384   absorbjm: ∀f,g:latt_carr. (f ∨ (f ∧ g)) ≈ f;
 385   absorbmj: ∀f,g:latt_carr. (f ∧ (f ∨ g)) ≈ f
 386 }.
 387
 388 notation "'meet'"        non associative with precedence 50 for @{'meet}.
 389 notation "'meet_refl'"   non associative with precedence 50 for @{'meet_refl}.
 390 notation "'meet_comm'"   non associative with precedence 50 for @{'meet_comm}.
 391 notation "'meet_assoc'"  non associative with precedence 50 for @{'meet_assoc}.
 392 notation "'strong_extm'" non associative with precedence 50 for @{'strong_extm}.
 393 notation "'le_to_eqm'"   non associative with precedence 50 for @{'le_to_eqm}.
 394 notation "'lem'"         non associative with precedence 50 for @{'lem}.
 395 notation "'join'"        non associative with precedence 50 for @{'join}.
 396 notation "'join_refl'"   non associative with precedence 50 for @{'join_refl}.
 397 notation "'join_comm'"   non associative with precedence 50 for @{'join_comm}.
 398 notation "'join_assoc'"  non associative with precedence 50 for @{'join_assoc}.
 399 notation "'strong_extj'" non associative with precedence 50 for @{'strong_extj}.
 400 notation "'le_to_eqj'"   non associative with precedence 50 for @{'le_to_eqj}.
 401 notation "'lej'"         non associative with precedence 50 for @{'lej}.
 402
 403 interpretation "Lattice meet"        'meet        = (cic:/matita/lattice/sl_meet.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _)).
 404 interpretation "Lattice meet_refl"   'meet_refl   = (cic:/matita/lattice/sl_meet_refl.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _)).
 405 interpretation "Lattice meet_comm"   'meet_comm   = (cic:/matita/lattice/sl_meet_comm.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _)).
 406 interpretation "Lattice meet_assoc"  'meet_assoc  = (cic:/matita/lattice/sl_meet_assoc.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _)).
 407 interpretation "Lattice strong_extm" 'strong_extm = (cic:/matita/lattice/sl_strong_extm.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _)).
 408 interpretation "Lattice le_to_eqm"   'le_to_eqm   = (cic:/matita/lattice/sl_le_to_eqm.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _)).
 409 interpretation "Lattice lem"         'lem         = (cic:/matita/lattice/sl_lem.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _)).
 410 interpretation "Lattice join"        'join        = (cic:/matita/lattice/sl_meet.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _)).
 411 interpretation "Lattice join_refl"   'join_refl   = (cic:/matita/lattice/sl_meet_refl.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _)).
 412 interpretation "Lattice join_comm"   'join_comm   = (cic:/matita/lattice/sl_meet_comm.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _)).
 413 interpretation "Lattice join_assoc"  'join_assoc  = (cic:/matita/lattice/sl_meet_assoc.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _)).
 414 interpretation "Lattice strong_extm" 'strong_extj = (cic:/matita/lattice/sl_strong_extm.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _)).
 415 interpretation "Lattice le_to_eqj"   'le_to_eqj   = (cic:/matita/lattice/sl_le_to_eqm.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _)).
 416 interpretation "Lattice lej"         'lej         = (cic:/matita/lattice/sl_lem.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _)).
 417
 418 notation "'feq_jl'" non associative with precedence 50 for @{'feq_jl}.
 419 notation "'feq_jr'" non associative with precedence 50 for @{'feq_jr}.
 420 notation "'feq_ml'" non associative with precedence 50 for @{'feq_ml}.
 421 notation "'feq_mr'" non associative with precedence 50 for @{'feq_mr}.
 422 interpretation "Lattice feq_jl" 'feq_jl = (cic:/matita/lattice/sl_feq_ml.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _)).
 423 interpretation "Lattice feq_jr" 'feq_jr = (cic:/matita/lattice/sl_feq_mr.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _)).
 424 interpretation "Lattice feq_ml" 'feq_ml = (cic:/matita/lattice/sl_feq_ml.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _)).
 425 interpretation "Lattice feq_mr" 'feq_mr = (cic:/matita/lattice/sl_feq_mr.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _)).
 426
 427
 428 interpretation "Lattive meet le" 'leq a b =
 429  (cic:/matita/excess/le.con (cic:/matita/lattice/excess_OF_lattice1.con _) a b).
 430
 431 interpretation "Lattive join le (aka ge)" 'geq a b =
 432  (cic:/matita/excess/le.con (cic:/matita/lattice/excess_OF_lattice.con _) a b).
 433
 434 (* these coercions help unification, handmaking a bit of conversion
 435    over an open term
 436 *)
 437 lemma le_to_ge: ∀l:lattice.∀a,b:l.a ≤ b → b ≥ a.
 438 intros(l a b H); apply H;
 439 qed.
 440
 441 lemma ge_to_le: ∀l:lattice.∀a,b:l.b ≥ a → a ≤ b.
 442 intros(l a b H); apply H;
 443 qed.
 444
 445 coercion cic:/matita/lattice/le_to_ge.con nocomposites.
 446 coercion cic:/matita/lattice/ge_to_le.con nocomposites.