matita/contribs/dama/dama/metric_space.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "ordered_divisible_group.ma".
  16
  17 record metric_space (R: todgroup) : Type ≝ {
  18   ms_carr :> Type;
  19   metric: ms_carr → ms_carr → R;
  20   mpositive: ∀a,b:ms_carr. 0 ≤ metric a b;
  21   mreflexive: ∀a. metric a a ≈ 0;
  22   msymmetric: ∀a,b. metric a b ≈ metric b a;
  23   mtineq: ∀a,b,c:ms_carr. metric a b ≤ metric a c + metric c b
  24 }.
  25
  26 notation < "\nbsp \delta a \nbsp b" non associative with precedence 80 for @{ 'delta2 $a $b}.
  27 interpretation "metric" 'delta2 a b = (cic:/matita/metric_space/metric.con _ _ a b).
  28 notation "\delta" non associative with precedence 80 for @{ 'delta }.
  29 interpretation "metric" 'delta = (cic:/matita/metric_space/metric.con _ _).
  30
  31 lemma apart_of_metric_space: ∀R.metric_space R → apartness.
  32 intros (R ms); apply (mk_apartness ? (λa,b:ms.0 < δ a b)); unfold;
  33 [1: intros 2 (x H); cases H (H1 H2); clear H;
  34     lapply (Ap≫ ? (eq_sym ??? (mreflexive ??x)) H2);
  35     apply (ap_coreflexive R 0); assumption;
  36 |2: intros (x y H); cases H; split;
  37     [1: apply (Le≫ ? (msymmetric ????)); assumption
  38     |2: apply (Ap≫ ? (msymmetric ????)); assumption]
  39 |3: simplify; intros (x y z H); elim H (LExy Axy);
  40     lapply (mtineq ?? x y z) as H1; elim (ap2exc ??? Axy) (H2 H2); [cases (LExy H2)]
  41     clear LExy; lapply (lt_le_transitive ???? H H1) as LT0;
  42     apply (lt0plus_orlt ????? LT0); apply mpositive;]
  43 qed.
  44
  45 lemma ap2delta: ∀R.∀m:metric_space R.∀x,y:m.ap_apart (apart_of_metric_space ? m) x y → 0 < δ x y.
  46 intros 2 (R m); cases m 0; simplify; intros; assumption; qed.