matita/contribs/dama/dama/premetric_lattice.ma

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   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
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   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
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  12 (*                                                                        *)
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  14
  15
  16
  17 include "metric_space.ma".
  18
  19 record premetric_lattice_ (R : todgroup) : Type ≝ {
  20   pml_carr:> metric_space R;
  21   meet: pml_carr → pml_carr → pml_carr;
  22   join: pml_carr → pml_carr → pml_carr
  23 }.
  24
  25 interpretation "valued lattice meet" 'and a b =
  26  (cic:/matita/premetric_lattice/meet.con _ _ a b).
  27
  28 interpretation "valued lattice join" 'or a b =
  29  (cic:/matita/premetric_lattice/join.con _ _ a b).
  30
  31 record premetric_lattice_props (R : todgroup) (ml : premetric_lattice_ R) : Prop ≝ {
  32   prop1a: ∀a : ml.δ (a ∧ a) a ≈ 0;
  33   prop1b: ∀a : ml.δ (a ∨ a) a ≈ 0;
  34   prop2a: ∀a,b: ml. δ (a ∨ b) (b ∨ a) ≈ 0;
  35   prop2b: ∀a,b: ml. δ (a ∧ b) (b ∧ a) ≈ 0;
  36   prop3a: ∀a,b,c: ml. δ (a ∨ (b ∨ c)) ((a ∨ b) ∨ c) ≈ 0;
  37   prop3b: ∀a,b,c: ml. δ (a ∧ (b ∧ c)) ((a ∧ b) ∧ c) ≈ 0;
  38   prop4a: ∀a,b: ml. δ (a ∨ (a ∧ b)) a ≈ 0;
  39   prop4b: ∀a,b: ml. δ (a ∧ (a ∨ b)) a ≈ 0;
  40   prop5: ∀a,b,c: ml. δ (a ∨ b) (a ∨ c) + δ (a ∧ b) (a ∧ c) ≤ δ b c
  41 }.
  42
  43 record pmlattice (R : todgroup) : Type ≝ {
  44   carr :> premetric_lattice_ R;
  45   ispremetriclattice:> premetric_lattice_props R carr
  46 }.
  47
  48 include "lattice.ma".
  49
  50 lemma lattice_of_pmlattice: ∀R: todgroup. pmlattice R → lattice.
  51 intros (R pml); apply (mk_lattice (apart_of_metric_space ? pml));
  52 [apply (join ? pml)|apply (meet ? pml)
  53 |3,4,5,6,7,8,9,10: intros (x y z); whd; intro H; whd in H; cases H (LE AP);]
  54 [apply (prop1b ? pml pml x);    |apply (prop1a ? pml pml x);
  55 |apply (prop2a ? pml pml x y);  |apply (prop2b ? pml pml x y);
  56 |apply (prop3a ? pml pml x y z);|apply (prop3b ? pml pml x y z);
  57 |apply (prop4a ? pml pml x y);  |apply (prop4b ? pml pml x y);]
  58 try (apply ap_symmetric; assumption); intros 4 (x y z H); change with (0 < (δ y z));
  59 [ change in H with (0 < δ (x ∨ y) (x ∨ z));
  60   apply (lt_le_transitive ???? H);
  61   apply (le0plus_le ???? (mpositive ? pml ??) (prop5 ? pml pml x y z));
  62 | change in H with (0 < δ (x ∧ y) (x ∧ z));
  63   apply (lt_le_transitive ???? H);
  64   apply (le0plus_le ???? (mpositive ? pml (x∨y) (x∨z)));
  65   apply (le_rewl ??? ? (plus_comm ???));
  66   apply (prop5 ? pml pml);]
  67 qed.
  68
  69 coercion cic:/matita/premetric_lattice/lattice_of_pmlattice.con.