matita/dama/constructive_pointfree/lebesgue.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/lebesgue/".
  16
  17 include "reals.ma".
  18 include "lattices.ma".
  19
  20 record measured_set (R : real) : Type ≝ {
  21   ms_carr :> Type;
  22   ms_measure: ms_carr → ms_carr → R
  23 }.
  24
  25 notation "\delta" non associative with precedence 90 for @{ 'delta }.
  26 interpretation "measure" 'delta = (cic:/matita/lebesgue/ms_measure.con _ _).
  27
  28 record pre_measured_lattice (R : real) : Type ≝ {
  29   ml_lattice :> lattice;
  30   ml_measured_set_ : measured_set R;
  31   with_ml_lattice_eq_ml_measured_set_: ms_carr ? ml_measured_set_ = ml_lattice
  32 }.
  33
  34 lemma ml_measured_set : ∀R.∀ms:pre_measured_lattice R. measured_set R.
  35 intros (R ml); constructor 1; [1:apply (ml : Type);] cases ml;
  36 rewrite < H; clear H; cases ml_measured_set_; simplify; exact f;
  37 qed.
  38
  39 coercion cic:/matita/lebesgue/ml_measured_set.con.
  40
  41 record is_measured_lattice (R : real) (ml : pre_measured_lattice R) : Prop ≝ {
  42   prop1a: ∀a : ml.δ (a ∧ a) a = 0;
  43   prop1b: ∀a : ml.δ (a ∨ a) a = 0;
  44   prop2a: ∀a,b: ml. δ (a ∨ b) (b ∨ a) = 0;
  45   prop2b: ∀a,b: ml. δ (a ∧ b) (b ∧ a) = 0;
  46   prop3a: ∀a,b,c: ml. δ (a ∨ (b ∨ c)) ((a ∨ b) ∨ c) = 0;
  47   prop3b: ∀a,b,c: ml. δ (a ∧ (b ∧ c)) ((a ∧ b) ∧ c) = 0;
  48   prop4a: ∀a,b: ml. δ (a ∨ (a ∧ b)) a = 0;
  49   prop4b: ∀a,b: ml. δ (a ∧ (a ∨ b)) a = 0;
  50   prop5: ∀a,b,c: ml. δ (a ∨ b) (a ∨ c) + δ (a ∧ b) (a ∧ c) ≤ δ b c
  51 }.
  52
  53 record measured_lattice (R : real) : Type ≝ {
  54   ml_pre_measured_lattice:> pre_measured_lattice R;
  55   ml_measured_lattice_properties: is_measured_lattice R ml_pre_measured_lattice
  56 }.
  57
  58 definition apart:=
  59  λR: real. λml: measured_lattice R. λa,b: ml. 0 < δ a b.
  60  (* < scazzato, ma CSC dice che poi si cambia dopo  *)
  61
  62 notation "a # b" non associative with precedence 50 for
  63  @{ 'apart $a $b}.
  64 interpretation "measured lattice apartness" 'apart a b =
  65  (cic:/matita/lebesgue/apart.con _ _ a b).
  66 notation "a \approx b" non associative with precedence 50 for
  67  @{ 'napart $a $b}.
  68 interpretation "measured lattice non apartness" 'napart a b =
  69  (cic:/matita/logic/connectives/Not.con
  70    (cic:/matita/lebesgue/apart.con _ _ a b)).
  71
  72 lemma foo : ∀R: real. ∀ml: measured_lattice R.∀a,b,a1,b1: ml.
  73   a ≈ a1 → b ≈ b1 → δ a b = δ a1 b1.
  74      (* =R scazzato *)
  75 intros;