matita/dama/constructive_pointfree/lebesgue.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/lebesgue/".
  16
  17 include "reals.ma".
  18 include "lattices.ma".
  19
  20 axiom ltT : ∀R:real.∀a,b:R.Type.
  21
  22
  23 alias symbol "or" = "constructive or".
  24 definition rapart ≝ λR:real.λa,b:R.a < b ∨ b < a.
  25
  26 notation "a # b" non associative with precedence 50 for
  27  @{ 'apart $a $b}.
  28 notation "a \approx b" non associative with precedence 50 for
  29  @{ 'napart $a $b}.
  30 interpretation "real apartness" 'apart a b =
  31  (cic:/matita/lebesgue/rapart.con _ a b).
  32 interpretation "real non apartness" 'napart a b =
  33  (cic:/matita/constructive_connectives/Not.con
  34    (cic:/matita/lebesgue/rapart.con _ a b)).
  35
  36 record is_semi_metric (R : real) (T : Type) (d : T → T → R): Prop ≝ {
  37  sm_positive: ∀a,b:T. d a b ≤ 0;
  38  sm_reflexive: ∀a. d a a ≈ 0;
  39  sm_symmetric: ∀a,b. d a b ≈ d b a;
  40  sm_tri_ineq: ∀a,b,c:T. d a b ≤ d a c + d c b
  41 }.
  42
  43 record semimetric_set (R : real) : Type ≝ {
  44   ms_carr :> Type;
  45   ms_semimetric: ms_carr → ms_carr → R;
  46   ms_properties:> is_semi_metric R ms_carr ms_semimetric
  47 }.
  48
  49 notation < "\nbsp \delta a \nbsp b" non associative with precedence 80 for @{ 'delta2 $a $b}.
  50 interpretation "semimetric" 'delta2 a b = (cic:/matita/lebesgue/ms_semimetric.con _ _ a b).
  51 notation "\delta" non associative with precedence 80 for @{ 'delta }.
  52 interpretation "semimetric" 'delta = (cic:/matita/lebesgue/ms_semimetric.con _ _).
  53
  54 record pre_semimetric_lattice (R : real) : Type ≝ {
  55   ml_lattice :> lattice;
  56   ml_semimetric_set_ : semimetric_set R;
  57   with_ml_lattice_eq_ml_semimetric_set_: ms_carr ? ml_semimetric_set_ = ml_lattice
  58 }.
  59
  60 lemma ml_semimetric_set : ∀R.∀ms:pre_semimetric_lattice R. semimetric_set R.
  61 intros (R ml); constructor 1; [apply (ml : Type);]
  62 cases ml (l ms with_); clear ml; simplify;
  63 [1: rewrite < with_; apply (ms_semimetric ? ms);
  64 |2: cases with_; simplify; apply (ms_properties ? ms);]
  65 qed.
  66
  67 coercion cic:/matita/lebesgue/ml_semimetric_set.con.
  68
  69 record is_semimetric_lattice (R : real) (ml : pre_semimetric_lattice R) : Prop ≝ {
  70   prop1a: ∀a : ml.δ (a ∧ a) a ≈ 0;
  71   prop1b: ∀a : ml.δ (a ∨ a) a ≈ 0;
  72   prop2a: ∀a,b: ml. δ (a ∨ b) (b ∨ a) ≈ 0;
  73   prop2b: ∀a,b: ml. δ (a ∧ b) (b ∧ a) ≈ 0;
  74   prop3a: ∀a,b,c: ml. δ (a ∨ (b ∨ c)) ((a ∨ b) ∨ c) ≈ 0;
  75   prop3b: ∀a,b,c: ml. δ (a ∧ (b ∧ c)) ((a ∧ b) ∧ c) ≈ 0;
  76   prop4a: ∀a,b: ml. δ (a ∨ (a ∧ b)) a ≈ 0;
  77   prop4b: ∀a,b: ml. δ (a ∧ (a ∨ b)) a ≈ 0;
  78   prop5: ∀a,b,c: ml. δ (a ∨ b) (a ∨ c) + δ (a ∧ b) (a ∧ c) ≤ δ b c
  79 }.
  80
  81 record semimetric_lattice (R : real) : Type ≝ {
  82   ml_pre_semimetric_lattice:> pre_semimetric_lattice R;
  83   ml_semimetric_lattice_properties: is_semimetric_lattice R ml_pre_semimetric_lattice
  84 }.
  85
  86 definition apart:=
  87  λR: real. λml: semimetric_lattice R. λa,b: ml.
  88  (* 0 < δ a b *) ltT ? 0 (δ a b).
  89  (* < scazzato, ma CSC dice che poi si cambia dopo  *)
  90
  91 interpretation "semimetric lattice apartness" 'apart a b =
  92  (cic:/matita/lebesgue/apart.con _ _ a b).
  93 interpretation "semimetric lattice non apartness" 'napart a b =
  94  (cic:/matita/constructive_connectives/Not.con
  95    (cic:/matita/lebesgue/apart.con _ _ a b)).
  96
  97
  98 lemma triangular_inequality : ∀R: real. ∀ms: semimetric_set R.∀a,b,c:ms.
  99  δ a b ≤ δ a c + δ c b.
 100 intros (R ms a b c); exact (sm_tri_ineq R ms (ms_semimetric R ms) ms a b c);
 101 qed.
 102
 103 lemma foo : ∀R: real. ∀ml: semimetric_lattice R.∀a,b,a1,b1: ml.
 104   a ≈ a1 → b ≈ b1 → (δ a b ≈ δ a1 b1).
 105 intros;
 106 lapply (triangular_inequality ? ? a b a1) as H1;
 107 lapply (triangular_inequality ? ? a1 b b1) as H2;
 108 lapply (og_ordered_abelian_group_properties R ? ? (δ a a1) H2) as H3;