matita/dama/groups.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/groups/".
  16
  17 include "excedence.ma".
  18
  19 definition left_neutral ≝ λC:apartness.λop.λe:C. ∀x:C. op e x ≈ x.
  20 definition right_neutral ≝ λC:apartness.λop. λe:C. ∀x:C. op x e ≈ x.
  21 definition left_inverse ≝ λC:apartness.λop.λe:C.λinv:C→C. ∀x:C. op (inv x) x ≈ e.
  22 definition right_inverse ≝ λC:apartness.λop.λe:C.λ inv: C→ C. ∀x:C. op x (inv x) ≈ e.
  23 definition strong_ext ≝ λA:apartness.λop:A→A.∀x,y. op x # op y → x # y.
  24 (* ALLOW DEFINITION WITH SOME METAS *)
  25
  26 definition distributive_left ≝
  27  λA:apartness.λf:A→A→A.λg:A→A→A.
  28   ∀x,y,z. f x (g y z) ≈ g (f x y) (f x z).
  29
  30 definition distributive_right ≝
  31  λA:apartness.λf:A→A→A.λg:A→A→A.
  32   ∀x,y,z. f (g x y) z ≈ g (f x z) (f y z).
  33
  34 record abelian_group : Type ≝
  35  { carr:> apartness;
  36    plus: carr → carr → carr;
  37    zero: carr;
  38    opp: carr → carr;
  39    plus_assoc_: associative ? plus (eq carr);
  40    plus_comm_: commutative ? plus (eq carr);
  41    zero_neutral_: left_neutral ? plus zero;
  42    opp_inverse_: left_inverse ? plus zero opp;
  43    plus_strong_ext: ∀z.strong_ext ? (plus z)
  44 }.
  45
  46 notation "0" with precedence 89 for @{ 'zero }.
  47
  48 interpretation "Abelian group zero" 'zero =
  49  (cic:/matita/groups/zero.con _).
  50
  51 interpretation "Abelian group plus" 'plus a b =
  52  (cic:/matita/groups/plus.con _ a b).
  53
  54 interpretation "Abelian group opp" 'uminus a =
  55  (cic:/matita/groups/opp.con _ a).
  56
  57 definition minus ≝
  58  λG:abelian_group.λa,b:G. a + -b.
  59
  60 interpretation "Abelian group minus" 'minus a b =
  61  (cic:/matita/groups/minus.con _ a b).
  62
  63 lemma plus_assoc: ∀G:abelian_group.∀x,y,z:G.x+(y+z)≈x+y+z ≝ plus_assoc_.
  64 lemma plus_comm: ∀G:abelian_group.∀x,y:G.x+y≈y+x ≝ plus_comm_.
  65 lemma zero_neutral: ∀G:abelian_group.∀x:G.0+x≈x ≝ zero_neutral_.
  66 lemma opp_inverse: ∀G:abelian_group.∀x:G.-x+x≈0 ≝ opp_inverse_.
  67
  68 definition ext ≝ λA:apartness.λop:A→A. ∀x,y. x ≈ y → op x ≈ op y.
  69
  70 lemma strong_ext_to_ext: ∀A:apartness.∀op:A→A. strong_ext ? op → ext ? op.
  71 intros 6 (A op SEop x y Exy); intro Axy; apply Exy; apply SEop; assumption;
  72 qed.
  73
  74 lemma feq_plusl: ∀G:abelian_group.∀x,y,z:G. y ≈ z →  x+y ≈ x+z.
  75 intros (G x y z Eyz); apply (strong_ext_to_ext ?? (plus_strong_ext ? x));
  76 assumption;
  77 qed.
  78
  79 coercion cic:/matita/groups/feq_plusl.con nocomposites.
  80
  81 lemma plus_strong_extr: ∀G:abelian_group.∀z:G.strong_ext ? (λx.x + z).
  82 intros 5 (G z x y A); simplify in A;
  83 lapply (plus_comm ? z x) as E1; lapply (plus_comm ? z y) as E2;
  84 lapply (ap_rewl ???? E1 A) as A1; lapply (ap_rewr ???? E2 A1) as A2;
  85 apply (plus_strong_ext ???? A2);
  86 qed.
  87
  88 lemma feq_plusr: ∀G:abelian_group.∀x,y,z:G. y ≈ z →  y+x ≈ z+x.
  89 intros (G x y z Eyz); apply (strong_ext_to_ext ?? (plus_strong_extr ? x));
  90 assumption;
  91 qed.
  92
  93 coercion cic:/matita/groups/feq_plusr.con nocomposites.
  94
  95 (* generation of coercions to make *_rew[lr] easier *)
  96 lemma feq_plusr_sym_: ∀G:abelian_group.∀x,y,z:G.z ≈ y →  y+x ≈ z+x.
  97 compose feq_plusr with eq_sym (H); apply H; assumption;
  98 qed.
  99 coercion cic:/matita/groups/feq_plusr_sym_.con nocomposites.
 100 lemma feq_plusl_sym_: ∀G:abelian_group.∀x,y,z:G.z ≈ y →  x+y ≈ x+z.
 101 compose feq_plusl with eq_sym (H); apply H; assumption;
 102 qed.
 103 coercion cic:/matita/groups/feq_plusl_sym_.con nocomposites.
 104
 105 lemma fap_plusl: ∀G:abelian_group.∀x,y,z:G. y # z →  x+y # x+z.
 106 intros (G x y z Ayz); apply (plus_strong_ext ? (-x));
 107 apply (ap_rewl ??? ((-x + x) + y));
 108 [1: apply plus_assoc;
 109 |2: apply (ap_rewr ??? ((-x +x) +z));
 110     [1: apply plus_assoc;
 111     |2: apply (ap_rewl ??? (0 + y));
 112         [1: apply (feq_plusr ???? (opp_inverse ??));
 113         |2: apply (ap_rewl ???? (zero_neutral ? y));
 114             apply (ap_rewr ??? (0 + z) (opp_inverse ??));
 115             apply (ap_rewr ???? (zero_neutral ??)); assumption;]]]
 116 qed.
 117
 118 lemma fap_plusr: ∀G:abelian_group.∀x,y,z:G. y # z →  y+x # z+x.
 119 intros (G x y z Ayz); apply (plus_strong_extr ? (-x));
 120 apply (ap_rewl ??? (y + (x + -x)));
 121 [1: apply (eq_sym ??? (plus_assoc ????));
 122 |2: apply (ap_rewr ??? (z + (x + -x)));
 123     [1: apply (eq_sym ??? (plus_assoc ????));
 124     |2: apply (ap_rewl ??? (y + (-x+x)) (plus_comm ? x (-x)));
 125         apply (ap_rewl ??? (y + 0) (opp_inverse ??));
 126         apply (ap_rewl ??? (0 + y) (plus_comm ???));
 127         apply (ap_rewl ??? y (zero_neutral ??));
 128         apply (ap_rewr ??? (z + (-x+x)) (plus_comm ? x (-x)));
 129         apply (ap_rewr ??? (z + 0) (opp_inverse ??));
 130         apply (ap_rewr ??? (0 + z) (plus_comm ???));
 131         apply (ap_rewr ??? z (zero_neutral ??));
 132         assumption]]
 133 qed.
 134
 135 lemma plus_cancl: ∀G:abelian_group.∀y,z,x:G. x+y ≈ x+z → y ≈ z.
 136 intros 6 (G y z x E Ayz); apply E; apply fap_plusl; assumption;
 137 qed.
 138
 139 lemma plus_cancr: ∀G:abelian_group.∀y,z,x:G. y+x ≈ z+x → y ≈ z.
 140 intros 6 (G y z x E Ayz); apply E; apply fap_plusr; assumption;
 141 qed.
 142
 143 theorem eq_opp_plus_plus_opp_opp:
 144   ∀G:abelian_group.∀x,y:G. -(x+y) ≈ -x + -y.
 145 intros (G x y); apply (plus_cancr ??? (x+y));
 146 apply (eq_trans ?? 0 ? (opp_inverse ??));
 147 apply (eq_trans ?? (-x + -y + x + y)); [2: apply (eq_sym ??? (plus_assoc ????))]
 148 apply (eq_trans ?? (-y + -x + x + y)); [2: repeat apply feq_plusr; apply plus_comm]
 149 apply (eq_trans ?? (-y + (-x + x) + y)); [2: apply feq_plusr; apply plus_assoc;]
 150 apply (eq_trans ?? (-y + 0 + y));
 151   [2: apply feq_plusr; apply feq_plusl; apply eq_sym; apply opp_inverse]
 152 apply (eq_trans ?? (-y + y));
 153   [2: apply feq_plusr; apply eq_sym;
 154       apply (eq_trans ?? (0+-y)); [apply plus_comm|apply zero_neutral]]
 155 apply eq_sym; apply opp_inverse.
 156 qed.
 157
 158 theorem eq_opp_opp_x_x: ∀G:abelian_group.∀x:G.--x ≈ x.
 159 intros (G x); apply (plus_cancl ??? (-x));
 160 apply (eq_trans ?? (--x + -x)); [apply plus_comm]
 161 apply (eq_trans ?? 0); [apply opp_inverse]
 162 apply eq_sym; apply opp_inverse;
 163 qed.
 164
 165 theorem eq_zero_opp_zero: ∀G:abelian_group.0 ≈ -0. [assumption]
 166 intro G; apply (plus_cancr ??? 0);
 167 apply (eq_trans ?? 0); [apply zero_neutral;]
 168 apply eq_sym; apply opp_inverse;
 169 qed.
 170
 171 lemma feq_oppr: ∀G:abelian_group.∀x,y,z:G. y ≈ z → x ≈ -y → x ≈ -z.
 172 intros (G x y z H1 H2); apply (plus_cancr ??? z);
 173 apply (eq_trans ?? 0 ?? (opp_inverse ?z));
 174 apply (eq_trans ?? (-y + z) ? H2);
 175 apply (eq_trans ?? (-y + y) ? H1);
 176 apply (eq_trans ?? 0 ? (opp_inverse ??));
 177 apply eq_reflexive;
 178 qed.
 179
 180 lemma feq_oppl: ∀G:abelian_group.∀x,y,z:G. y ≈ z → -y ≈ x → -z ≈ x.
 181 intros (G x y z H1 H2); apply eq_sym; apply (feq_oppr ??y);
 182 [2:apply eq_sym] assumption;
 183 qed.
 184
 185 lemma feq_opp: ∀G:abelian_group.∀x,y:G. x ≈ y → -x ≈ -y.
 186 intros (G x y H); apply (feq_oppl ??y ? H); apply eq_reflexive;
 187 qed.
 188
 189 coercion cic:/matita/groups/feq_opp.con nocomposites.
 190
 191 lemma eq_opp_sym: ∀G:abelian_group.∀x,y:G. y ≈ x → -x ≈ -y.
 192 compose feq_opp with eq_sym (H); apply H; assumption;
 193 qed.
 194
 195 coercion cic:/matita/groups/eq_opp_sym.con nocomposites.
 196
 197 lemma eq_opp_plusr: ∀G:abelian_group.∀x,y,z:G. x ≈ y → -(x + z) ≈ -(y + z).
 198 compose feq_plusr with feq_opp(H); apply H; assumption;
 199 qed.
 200
 201 coercion cic:/matita/groups/eq_opp_plusr.con nocomposites.
 202
 203 lemma eq_opp_plusl: ∀G:abelian_group.∀x,y,z:G. x ≈ y → -(z + x) ≈ -(z + y).
 204 compose feq_plusl with feq_opp(H); apply H; assumption;
 205 qed.
 206
 207 coercion cic:/matita/groups/eq_opp_plusl.con nocomposites.