matita/dama/ordered_groups.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/ordered_groups/".
  16
  17 include "ordered_sets.ma".
  18 include "groups.ma".
  19
  20 record pre_ogroup : Type ≝ {
  21   og_abelian_group_: abelian_group;
  22   og_tordered_set:> tordered_set;
  23   og_with: carr og_abelian_group_ = og_tordered_set
  24 }.
  25
  26 lemma og_abelian_group: pre_ogroup → abelian_group.
  27 intro G; apply (mk_abelian_group G); [1,2,3: rewrite < (og_with G)]
  28 [apply (plus (og_abelian_group_ G));|apply zero;|apply opp]
  29 unfold apartness_OF_pre_ogroup; cases (og_with G); simplify;
  30 [apply plus_assoc|apply plus_comm|apply zero_neutral|apply opp_inverse|apply plus_strong_ext]
  31 qed.
  32
  33 coercion cic:/matita/ordered_groups/og_abelian_group.con.
  34
  35 (* CSC: NO! Cosi' e' nel frammento negativo. Devi scriverlo con l'eccedenza!
  36    Tutto il resto del file e' da rigirare nel frammento positivo.
  37 *)
  38 record ogroup : Type ≝ {
  39   og_carr:> pre_ogroup;
  40   exc_canc_plusr: ∀f,g,h:og_carr. f+h ≰ g+h → f ≰ g
  41 }.
  42
  43 lemma fexc_plusr:
  44   ∀G:ogroup.∀x,y,z:G. x ≰ y → x+z ≰ y + z.
  45 intros 5 (G x y z L); apply (exc_canc_plusr ??? (-z));
  46 apply (exc_rewl ??? (x + (z + -z)) (plus_assoc ????));
  47 apply (exc_rewl ??? (x + (-z + z)) (plus_comm ??z));
  48 apply (exc_rewl ??? (x+0) (opp_inverse ??));
  49 apply (exc_rewl ??? (0+x) (plus_comm ???));
  50 apply (exc_rewl ??? x (zero_neutral ??));
  51 apply (exc_rewr ??? (y + (z + -z)) (plus_assoc ????));
  52 apply (exc_rewr ??? (y + (-z + z)) (plus_comm ??z));
  53 apply (exc_rewr ??? (y+0) (opp_inverse ??));
  54 apply (exc_rewr ??? (0+y) (plus_comm ???));
  55 apply (exc_rewr ??? y (zero_neutral ??) L);
  56 qed.
  57
  58 coercion cic:/matita/ordered_groups/fexc_plusr.con nocomposites.
  59
  60 lemma exc_canc_plusl: ∀G:ogroup.∀f,g,h:G. h+f ≰ h+g → f ≰ g.
  61 intros 5 (G x y z L); apply (exc_canc_plusr ??? z);
  62 apply (exc_rewl ??? (z+x) (plus_comm ???));
  63 apply (exc_rewr ??? (z+y) (plus_comm ???) L);
  64 qed.
  65
  66 lemma fexc_plusl:
  67   ∀G:ogroup.∀x,y,z:G. x ≰ y → z+x ≰ z+y.
  68 intros 5 (G x y z L); apply (exc_canc_plusl ??? (-z));
  69 apply (exc_rewl ???? (plus_assoc ??z x));
  70 apply (exc_rewr ???? (plus_assoc ??z y));
  71 apply (exc_rewl ??? (0+x) (opp_inverse ??));
  72 apply (exc_rewr ??? (0+y) (opp_inverse ??));
  73 apply (exc_rewl ???? (zero_neutral ??));
  74 apply (exc_rewr ???? (zero_neutral ??) L);
  75 qed.
  76
  77 coercion cic:/matita/ordered_groups/fexc_plusl.con nocomposites.
  78
  79 lemma plus_cancr_le:
  80   ∀G:ogroup.∀x,y,z:G.x+z ≤ y + z → x ≤ y.
  81 intros 5 (G x y z L);
  82 apply (le_rewl ??? (0+x) (zero_neutral ??));
  83 apply (le_rewl ??? (x+0) (plus_comm ???));
  84 apply (le_rewl ??? (x+(-z+z)) (opp_inverse ??));
  85 apply (le_rewl ??? (x+(z+ -z)) (plus_comm ??z));
  86 apply (le_rewl ??? (x+z+ -z) (plus_assoc ????));
  87 apply (le_rewr ??? (0+y) (zero_neutral ??));
  88 apply (le_rewr ??? (y+0) (plus_comm ???));
  89 apply (le_rewr ??? (y+(-z+z)) (opp_inverse ??));
  90 apply (le_rewr ??? (y+(z+ -z)) (plus_comm ??z));
  91 apply (le_rewr ??? (y+z+ -z) (plus_assoc ????));
  92 intro H; apply L; clear L; apply (exc_canc_plusr ??? (-z) H);
  93 qed.
  94
  95 lemma fle_plusl: ∀G:ogroup. ∀f,g,h:G. f≤g → h+f≤h+g.
  96 intros (G f g h);
  97 apply (plus_cancr_le ??? (-h));
  98 apply (le_rewl ??? (f+h+ -h) (plus_comm ? f h));
  99 apply (le_rewl ??? (f+(h+ -h)) (plus_assoc ????));
 100 apply (le_rewl ??? (f+(-h+h)) (plus_comm ? h (-h)));
 101 apply (le_rewl ??? (f+0) (opp_inverse ??));
 102 apply (le_rewl ??? (0+f) (plus_comm ???));
 103 apply (le_rewl ??? (f) (zero_neutral ??));
 104 apply (le_rewr ??? (g+h+ -h) (plus_comm ? h ?));
 105 apply (le_rewr ??? (g+(h+ -h)) (plus_assoc ????));
 106 apply (le_rewr ??? (g+(-h+h)) (plus_comm ??h));
 107 apply (le_rewr ??? (g+0) (opp_inverse ??));
 108 apply (le_rewr ??? (0+g) (plus_comm ???));
 109 apply (le_rewr ??? (g) (zero_neutral ??) H);
 110 qed.
 111
 112 lemma plus_cancl_le:
 113   ∀G:ogroup.∀x,y,z:G.z+x ≤ z+y → x ≤ y.
 114 intros 5 (G x y z L);
 115 apply (le_rewl ??? (0+x) (zero_neutral ??));
 116 apply (le_rewl ??? ((-z+z)+x) (opp_inverse ??));
 117 apply (le_rewl ??? (-z+(z+x)) (plus_assoc ????));
 118 apply (le_rewr ??? (0+y) (zero_neutral ??));
 119 apply (le_rewr ??? ((-z+z)+y) (opp_inverse ??));
 120 apply (le_rewr ??? (-z+(z+y)) (plus_assoc ????));
 121 apply (fle_plusl ??? (-z) L);
 122 qed.
 123
 124 lemma exc_opp_x_zero_to_exc_zero_x:
 125   ∀G:ogroup.∀x:G.-x ≰ 0 → 0 ≰ x.
 126 intros (G x H); apply (exc_canc_plusr ??? (-x));
 127 apply (exc_rewr ???? (plus_comm ???));
 128 apply (exc_rewr ???? (opp_inverse ??));
 129 apply (exc_rewl ???? (zero_neutral ??) H);
 130 qed.
 131
 132 lemma le_zero_x_to_le_opp_x_zero:
 133   ∀G:ogroup.∀x:G.0 ≤ x → -x ≤ 0.
 134 intros (G x Px); apply (plus_cancr_le ??? x);
 135 apply (le_rewl ??? 0 (opp_inverse ??));
 136 apply (le_rewr ??? x (zero_neutral ??) Px);
 137 qed.
 138
 139 lemma exc_zero_opp_x_to_exc_x_zero:
 140   ∀G:ogroup.∀x:G. 0 ≰ -x → x ≰ 0.
 141 intros (G x H); apply (exc_canc_plusl ??? (-x));
 142 apply (exc_rewr ???? (plus_comm ???));
 143 apply (exc_rewl ???? (opp_inverse ??));
 144 apply (exc_rewr ???? (zero_neutral ??) H);
 145 qed.
 146
 147 lemma le_x_zero_to_le_zero_opp_x:
 148   ∀G:ogroup.∀x:G. x ≤ 0 → 0 ≤ -x.
 149 intros (G x Lx0); apply (plus_cancr_le ??? x);
 150 apply (le_rewr ??? 0 (opp_inverse ??));
 151 apply (le_rewl ??? x (zero_neutral ??));
 152 assumption;
 153 qed.