matita/dama/ordered_groups.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
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  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/ordered_groups/".
  16
  17 include "ordered_sets.ma".
  18 include "groups.ma".
  19
  20 record pre_ogroup : Type ≝ {
  21   og_abelian_group_: abelian_group;
  22   og_tordered_set:> tordered_set;
  23   og_with: carr og_abelian_group_ = og_tordered_set
  24 }.
  25
  26 lemma og_abelian_group: pre_ogroup → abelian_group.
  27 intro G; apply (mk_abelian_group G); [1,2,3: rewrite < (og_with G)]
  28 [apply (plus (og_abelian_group_ G));|apply zero;|apply opp]
  29 unfold apartness_OF_pre_ogroup; cases (og_with G); simplify;
  30 [apply plus_assoc|apply plus_comm|apply zero_neutral|apply opp_inverse|apply plus_strong_ext]
  31 qed.
  32
  33 coercion cic:/matita/ordered_groups/og_abelian_group.con.
  34
  35
  36 record ogroup : Type ≝ {
  37   og_carr:> pre_ogroup;
  38   fle_plusr: ∀f,g,h:og_carr. f≤g → f+h≤g+h
  39 }.
  40
  41 lemma plus_cancr_le:
  42   ∀G:ogroup.∀x,y,z:G.x+z ≤ y + z → x ≤ y.
  43 intros 5 (G x y z L);
  44 apply (le_rewl ??? (0+x) (zero_neutral ??));
  45 apply (le_rewl ??? (x+0) (plus_comm ???));
  46 apply (le_rewl ??? (x+(-z+z))); [apply feq_plusl;apply opp_inverse;]
  47 apply (le_rewl ??? (x+(z+ -z))); [apply feq_plusl;apply plus_comm;]
  48 apply (le_rewl ??? (x+z+ -z)); [apply eq_symmetric; apply plus_assoc;]
  49 apply (le_rewr ??? (0+y) (zero_neutral ??));
  50 apply (le_rewr ??? (y+0) (plus_comm ???));
  51 apply (le_rewr ??? (y+(-z+z))); [apply feq_plusl;apply opp_inverse;]
  52 apply (le_rewr ??? (y+(z+ -z))); [apply feq_plusl;apply plus_comm;]
  53 apply (le_rewr ??? (y+z+ -z)); [apply eq_symmetric; apply plus_assoc;]
  54 apply (fle_plusr ??? (-z));
  55 assumption;
  56 qed.
  57
  58 lemma fle_plusl: ∀G:ogroup. ∀f,g,h:G. f≤g → h+f≤h+g.
  59 intros (G f g h);
  60 apply (plus_cancr_le ??? (-h));
  61 apply (le_rewl ??? (f+h+ -h)); [apply feq_plusr;apply plus_comm;]
  62 apply (le_rewl ??? (f+(h+ -h)) (plus_assoc ????));
  63 apply (le_rewl ??? (f+(-h+h))); [apply feq_plusl;apply plus_comm;]
  64 apply (le_rewl ??? (f+0)); [apply feq_plusl; apply eq_symmetric; apply opp_inverse]
  65 apply (le_rewl ??? (0+f) (plus_comm ???));
  66 apply (le_rewl ??? (f) (eq_symmetric ??? (zero_neutral ??)));
  67 apply (le_rewr ??? (g+h+ -h)); [apply feq_plusr;apply plus_comm;]
  68 apply (le_rewr ??? (g+(h+ -h)) (plus_assoc ????));
  69 apply (le_rewr ??? (g+(-h+h))); [apply feq_plusl;apply plus_comm;]
  70 apply (le_rewr ??? (g+0)); [apply feq_plusl; apply eq_symmetric; apply opp_inverse]
  71 apply (le_rewr ??? (0+g) (plus_comm ???));
  72 apply (le_rewr ??? (g) (eq_symmetric ??? (zero_neutral ??)));
  73 assumption;
  74 qed.
  75
  76 lemma plus_cancl_le:
  77   ∀G:ogroup.∀x,y,z:G.z+x ≤ z+y → x ≤ y.
  78 intros 5 (G x y z L);
  79 apply (le_rewl ??? (0+x) (zero_neutral ??));
  80 apply (le_rewl ??? ((-z+z)+x)); [apply feq_plusr;apply opp_inverse;]
  81 apply (le_rewl ??? (-z+(z+x)) (plus_assoc ????));
  82 apply (le_rewr ??? (0+y) (zero_neutral ??));
  83 apply (le_rewr ??? ((-z+z)+y)); [apply feq_plusr;apply opp_inverse;]
  84 apply (le_rewr ??? (-z+(z+y)) (plus_assoc ????));
  85 apply (fle_plusl ??? (-z));
  86 assumption;
  87 qed.
  88
  89
  90 lemma le_zero_x_to_le_opp_x_zero:
  91   ∀G:ogroup.∀x:G.0 ≤ x → -x ≤ 0.
  92 intros (G x Px); apply (plus_cancr_le ??? x);
  93 apply (le_rewl ??? 0 (eq_symmetric ??? (opp_inverse ??)));
  94 apply (le_rewr ??? x (eq_symmetric ??? (zero_neutral ??)));
  95 assumption;
  96 qed.
  97
  98 lemma le_x_zero_to_le_zero_opp_x:
  99   ∀G:ogroup.∀x:G. x ≤ 0 → 0 ≤ -x.
 100 intros (G x Lx0); apply (plus_cancr_le ??? x);
 101 apply (le_rewr ??? 0 (eq_symmetric ??? (opp_inverse ??)));
 102 apply (le_rewl ??? x (eq_symmetric ??? (zero_neutral ??)));
 103 assumption;
 104 qed.