matita/dama/ordered_sets.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/ordered_sets/".
  16
  17 include "higher_order_defs/relations.ma".
  18 include "nat/plus.ma".
  19 include "constructive_connectives.ma".
  20 include "constructive_higher_order_relations.ma".
  21
  22 record excedence : Type ≝ {
  23   exc_carr:> Type;
  24   exc_relation: exc_carr → exc_carr → Prop;
  25   exc_coreflexive: coreflexive ? exc_relation;
  26   exc_cotransitive: cotransitive ? exc_relation
  27 }.
  28
  29 interpretation "excedence" 'nleq a b =
  30  (cic:/matita/ordered_sets/exc_relation.con _ a b).
  31
  32 definition le ≝ λE:excedence.λa,b:E. ¬ (a ≰ b).
  33
  34 interpretation "ordered sets less or equal than" 'leq a b =
  35  (cic:/matita/ordered_sets/le.con _ a b).
  36
  37 lemma le_reflexive: ∀E.reflexive ? (le E).
  38 intros (E); unfold; cases E; simplify; intros (x); apply (H x);
  39 qed.
  40
  41 lemma le_transitive: ∀E.transitive ? (le E).
  42 intros (E); unfold; cases E; simplify; unfold Not; intros (x y z Rxy Ryz H2);
  43 cases (c x z y H2) (H4 H5); clear H2; [exact (Rxy H4)|exact (Ryz H5)]
  44 qed.
  45
  46 definition apart ≝ λE:excedence.λa,b:E. a ≰ b ∨ b ≰ a.
  47
  48 notation "a # b" non associative with precedence 50 for @{ 'apart $a $b}.
  49 interpretation "apartness" 'apart a b = (cic:/matita/ordered_sets/apart.con _ a b).
  50
  51 lemma apart_coreflexive: ∀E.coreflexive ? (apart E).
  52 intros (E); unfold; cases E; simplify; clear E; intros (x); unfold;
  53 intros (H1); apply (H x); cases H1; assumption;
  54 qed.
  55
  56 lemma apart_symmetric: ∀E.symmetric ? (apart E).
  57 intros (E); unfold; intros(x y H); cases H; clear H; [right|left] assumption;
  58 qed.
  59
  60 lemma apart_cotrans: ∀E. cotransitive ? (apart E).
  61 intros (E); unfold; cases E (T f _ cTf); simplify; intros (x y z Axy);
  62 cases Axy (H); lapply (cTf ? ? z H) as H1; cases H1; clear Axy H1;
  63 [left; left|right; left|right; right|left; right] assumption.
  64 qed.
  65
  66 definition eq ≝ λE:excedence.λa,b:E. ¬ (a # b).
  67
  68 notation "a ≈ b" non associative with precedence 50 for @{ 'napart $a $b}.
  69 interpretation "alikeness" 'napart a b =
  70   (cic:/matita/ordered_sets/eq.con _ a b).
  71
  72 lemma eq_reflexive:∀E. reflexive ? (eq E).
  73 intros (E); unfold; cases E (T f cRf _); simplify; unfold Not; intros (x H);
  74 apply (cRf x); cases H; assumption;
  75 qed.
  76
  77 lemma eq_symmetric:∀E.symmetric ? (eq E).
  78 intros (E); unfold; unfold eq; unfold Not;
  79 intros (x y H1 H2); apply H1; cases H2; [right|left] assumption;
  80 qed.
  81
  82 lemma eq_transitive: ∀E.transitive ? (eq E).
  83 intros (E); unfold; cases E (T f _ cTf); simplify; unfold Not;
  84 intros (x y z H1 H2 H3); cases H3 (H4 H4); clear E H3; lapply (cTf ? ? y H4) as H5;
  85 cases H5; clear H5 H4 cTf; [1,4: apply H1|*:apply H2] clear H1 H2;
  86 [1,3:left|*:right] assumption;
  87 qed.
  88
  89 lemma le_antisymmetric: ∀E.antisymmetric ? (le E) (eq E).
  90 intros (E); unfold; intros (x y Lxy Lyx); unfold; unfold; intros (H);
  91 cases H; [apply Lxy;|apply Lyx] assumption;
  92 qed.
  93
  94 definition lt ≝ λE:excedence.λa,b:E. a ≤ b ∧ a # b.
  95
  96 interpretation "ordered sets less than" 'lt a b =
  97  (cic:/matita/ordered_sets/lt.con _ a b).
  98
  99 lemma lt_coreflexive: ∀E.coreflexive ? (lt E).
 100 intros (E); unfold; unfold Not; intros (x H); cases H (_ ABS);
 101 apply (apart_coreflexive ? x ABS);
 102 qed.
 103
 104 lemma lt_transitive: ∀E.transitive ? (lt E).
 105 intros (E); unfold; intros (x y z H1 H2); cases H1 (Lxy Axy); cases H2 (Lyz Ayz);
 106 split; [apply (le_transitive ???? Lxy Lyz)] clear H1 H2;
 107 cases Axy (H1 H1); cases Ayz (H2 H2); [1:cases (Lxy H1)|3:cases (Lyz H2)]
 108 clear Axy Ayz;lapply (exc_cotransitive E) as c; unfold cotransitive in c;
 109 lapply (exc_coreflexive E) as r; unfold coreflexive in r;
 110 [1: lapply (c ?? y H1) as H3; cases H3 (H4 H4); [cases (Lxy H4)|cases (r ? H4)]
 111 |2: lapply (c ?? x H2) as H3; cases H3 (H4 H4); [right; assumption|cases (Lxy H4)]]
 112 qed.
 113
 114 theorem lt_to_excede: ∀E:excedence.∀a,b:E. (a < b) → (b ≰ a).
 115 intros (E a b Lab); cases Lab (LEab Aab);
 116 cases Aab (H H); [cases (LEab H)] fold normalize (b ≰ a); assumption; (* BUG *)
 117 qed.