matita/dama/sequence.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15
  16
  17 include "excess.ma".
  18
  19 definition sequence := λO:excess.nat → O.
  20
  21 definition fun_of_sequence: ∀O:excess.sequence O → nat → O.
  22 intros; apply s; assumption;
  23 qed.
  24
  25 coercion cic:/matita/sequence/fun_of_sequence.con 1.
  26
  27 definition upper_bound ≝
  28   λO:excess.λa:sequence O.λu:O.∀n:nat.a n ≤ u.
  29
  30 definition lower_bound ≝
  31   λO:excess.λa:sequence O.λu:O.∀n:nat.u ≤ a n.
  32
  33 definition strong_sup ≝
  34   λO:excess.λs:sequence O.λx.
  35     upper_bound ? s x ∧ (∀y:O.x ≰ y → ∃n.s n ≰ y).
  36
  37 definition strong_inf ≝
  38   λO:excess.λs:sequence O.λx.
  39     lower_bound ? s x ∧ (∀y:O.y ≰ x → ∃n.y ≰ s n).
  40
  41 definition weak_sup ≝
  42   λO:excess.λs:sequence O.λx.
  43     upper_bound ? s x ∧ (∀y:O.upper_bound ? s y → x ≤ y).
  44
  45 definition weak_inf ≝
  46   λO:excess.λs:sequence O.λx.
  47     lower_bound ? s x ∧ (∀y:O.lower_bound ? s y → y ≤ x).
  48
  49 lemma strong_sup_is_weak:
  50   ∀O:excess.∀s:sequence O.∀x:O.strong_sup ? s x → weak_sup ? s x.
  51 intros (O s x Ssup); elim Ssup (Ubx M); clear Ssup; split; [assumption]
  52 intros 3 (y Uby E); cases (M ? E) (n En); unfold in Uby; cases (Uby ? En);
  53 qed.
  54
  55 lemma strong_inf_is_weak:
  56   ∀O:excess.∀s:sequence O.∀x:O.strong_inf ? s x → weak_inf ? s x.
  57 intros (O s x Ssup); elim Ssup (Ubx M); clear Ssup; split; [assumption]
  58 intros 3 (y Uby E); cases (M ? E) (n En); unfold in Uby; cases (Uby ? En);
  59 qed.
  60
  61 include "ordered_group.ma".
  62 include "nat/orders.ma".
  63
  64 definition tends0 ≝
  65   λO:pogroup.λs:sequence O.
  66     ∀e:O.0 < e → ∃N.∀n.N < n → -e < s n ∧ s n < e.
  67
  68 definition increasing ≝
  69   λO:excess.λa:sequence O.∀n:nat.a n ≤ a (S n).
  70
  71 definition decreasing ≝
  72   λO:excess.λa:sequence O.∀n:nat.a (S n) ≤ a n.
  73
  74
  75
  76
  77 (*
  78
  79 definition is_upper_bound ≝ λO:excess.λa:sequence O.λu:O.∀n:nat.a n ≤ u.
  80 definition is_lower_bound ≝ λO:excess.λa:sequence O.λu:O.∀n:nat.u ≤ a n.
  81
  82 record is_sup (O:excess) (a:sequence O) (u:O) : Prop ≝
  83  { sup_upper_bound: is_upper_bound O a u;
  84    sup_least_upper_bound: ∀v:O. is_upper_bound O a v → u≤v
  85  }.
  86
  87 record is_inf (O:excess) (a:sequence O) (u:O) : Prop ≝
  88  { inf_lower_bound: is_lower_bound O a u;
  89    inf_greatest_lower_bound: ∀v:O. is_lower_bound O a v → v≤u
  90  }.
  91
  92 record is_bounded_below (O:excess) (a:sequence O) : Type ≝
  93  { ib_lower_bound: O;
  94    ib_lower_bound_is_lower_bound: is_lower_bound ? a ib_lower_bound
  95  }.
  96
  97 record is_bounded_above (O:excess) (a:sequence O) : Type ≝
  98  { ib_upper_bound: O;
  99    ib_upper_bound_is_upper_bound: is_upper_bound ? a ib_upper_bound
 100  }.
 101
 102 record is_bounded (O:excess) (a:sequence O) : Type ≝
 103  { ib_bounded_below:> is_bounded_below ? a;
 104    ib_bounded_above:> is_bounded_above ? a
 105  }.
 106
 107 record bounded_below_sequence (O:excess) : Type ≝
 108  { bbs_seq:> sequence O;
 109    bbs_is_bounded_below:> is_bounded_below ? bbs_seq
 110  }.
 111
 112 record bounded_above_sequence (O:excess) : Type ≝
 113  { bas_seq:> sequence O;
 114    bas_is_bounded_above:> is_bounded_above ? bas_seq
 115  }.
 116
 117 record bounded_sequence (O:excess) : Type ≝
 118  { bs_seq:> sequence O;
 119    bs_is_bounded_below: is_bounded_below ? bs_seq;
 120    bs_is_bounded_above: is_bounded_above ? bs_seq
 121  }.
 122
 123 definition bounded_below_sequence_of_bounded_sequence ≝
 124  λO:excess.λb:bounded_sequence O.
 125   mk_bounded_below_sequence ? b (bs_is_bounded_below ? b).
 126
 127 coercion cic:/matita/sequence/bounded_below_sequence_of_bounded_sequence.con.
 128
 129 definition bounded_above_sequence_of_bounded_sequence ≝
 130  λO:excess.λb:bounded_sequence O.
 131   mk_bounded_above_sequence ? b (bs_is_bounded_above ? b).
 132
 133 coercion cic:/matita/sequence/bounded_above_sequence_of_bounded_sequence.con.
 134
 135 definition lower_bound ≝
 136  λO:excess.λb:bounded_below_sequence O.
 137   ib_lower_bound ? b (bbs_is_bounded_below ? b).
 138
 139 lemma lower_bound_is_lower_bound:
 140  ∀O:excess.∀b:bounded_below_sequence O.
 141   is_lower_bound ? b (lower_bound ? b).
 142 intros; unfold lower_bound; apply ib_lower_bound_is_lower_bound.
 143 qed.
 144
 145 definition upper_bound ≝
 146  λO:excess.λb:bounded_above_sequence O.
 147   ib_upper_bound ? b (bas_is_bounded_above ? b).
 148
 149 lemma upper_bound_is_upper_bound:
 150  ∀O:excess.∀b:bounded_above_sequence O.
 151   is_upper_bound ? b (upper_bound ? b).
 152 intros; unfold upper_bound; apply ib_upper_bound_is_upper_bound.
 153 qed.
 154
 155 definition reverse_excess: excess → excess.
 156 intros (E); apply (mk_excess E); [apply (λx,y.exc_relation E y x)]
 157 cases E (T f cRf cTf); simplify;
 158 [1: unfold Not; intros (x H); apply (cRf x); assumption
 159 |2: intros (x y z); apply Or_symmetric; apply cTf; assumption;]
 160 qed.
 161
 162 definition reverse_excess: excess → excess.
 163 intros (p); apply (mk_excess (reverse_excess p));
 164 generalize in match (reverse_excess p); intros (E);
 165 apply mk_is_porder_relation;
 166 [apply le_reflexive|apply le_transitive|apply le_antisymmetric]
 167 qed.
 168
 169 lemma is_lower_bound_reverse_is_upper_bound:
 170  ∀O:excess.∀a:sequence O.∀l:O.
 171   is_lower_bound O a l → is_upper_bound (reverse_excess O) a l.
 172 intros (O a l H); unfold; intros (n); unfold reverse_excess;
 173 unfold reverse_excess; simplify; fold unfold le (le ? l (a n)); apply H;
 174 qed.
 175
 176 lemma is_upper_bound_reverse_is_lower_bound:
 177  ∀O:excess.∀a:sequence O.∀l:O.
 178   is_upper_bound O a l → is_lower_bound (reverse_excess O) a l.
 179 intros (O a l H); unfold; intros (n); unfold reverse_excess;
 180 unfold reverse_excess; simplify; fold unfold le (le ? (a n) l); apply H;
 181 qed.
 182
 183 lemma reverse_is_lower_bound_is_upper_bound:
 184  ∀O:excess.∀a:sequence O.∀l:O.
 185   is_lower_bound (reverse_excess O) a l → is_upper_bound O a l.
 186 intros (O a l H); unfold; intros (n); unfold reverse_excess in H;
 187 unfold reverse_excess in H; simplify in H; apply H;
 188 qed.
 189
 190 lemma reverse_is_upper_bound_is_lower_bound:
 191  ∀O:excess.∀a:sequence O.∀l:O.
 192   is_upper_bound (reverse_excess O) a l → is_lower_bound O a l.
 193 intros (O a l H); unfold; intros (n); unfold reverse_excess in H;
 194 unfold reverse_excess in H; simplify in H; apply H;
 195 qed.
 196
 197 lemma is_inf_to_reverse_is_sup:
 198  ∀O:excess.∀a:bounded_below_sequence O.∀l:O.
 199   is_inf O a l → is_sup (reverse_excess O) a l.
 200 intros (O a l H); apply (mk_is_sup (reverse_excess O));
 201 [1: apply is_lower_bound_reverse_is_upper_bound; apply inf_lower_bound; assumption
 202 |2: unfold reverse_excess; simplify; unfold reverse_excess; simplify;
 203     intros (m H1); apply (inf_greatest_lower_bound ? ? ? H); apply H1;]
 204 qed.
 205
 206 lemma is_sup_to_reverse_is_inf:
 207  ∀O:excess.∀a:bounded_above_sequence O.∀l:O.
 208   is_sup O a l → is_inf (reverse_excess O) a l.
 209 intros (O a l H); apply (mk_is_inf (reverse_excess O));
 210 [1: apply is_upper_bound_reverse_is_lower_bound; apply sup_upper_bound; assumption
 211 |2: unfold reverse_excess; simplify; unfold reverse_excess; simplify;
 212     intros (m H1); apply (sup_least_upper_bound ? ? ? H); apply H1;]
 213 qed.
 214
 215 lemma reverse_is_sup_to_is_inf:
 216  ∀O:excess.∀a:bounded_above_sequence O.∀l:O.
 217   is_sup (reverse_excess O) a l → is_inf O a l.
 218 intros (O a l H); apply mk_is_inf;
 219 [1: apply reverse_is_upper_bound_is_lower_bound;
 220     apply (sup_upper_bound (reverse_excess O)); assumption
 221 |2: intros (v H1); apply (sup_least_upper_bound (reverse_excess O) a l H v);
 222     apply is_lower_bound_reverse_is_upper_bound; assumption;]
 223 qed.
 224
 225 lemma reverse_is_inf_to_is_sup:
 226  ∀O:excess.∀a:bounded_above_sequence O.∀l:O.
 227   is_inf (reverse_excess O) a l → is_sup O a l.
 228 intros (O a l H); apply mk_is_sup;
 229 [1: apply reverse_is_lower_bound_is_upper_bound;
 230     apply (inf_lower_bound (reverse_excess O)); assumption
 231 |2: intros (v H1); apply (inf_greatest_lower_bound (reverse_excess O) a l H v);
 232     apply is_upper_bound_reverse_is_lower_bound; assumption;]
 233 qed.
 234
 235 *)