matita/dama/valued_lattice.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
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  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
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  15 set "baseuri" "cic:/matita/valued_lattice/".
  16
  17 include "ordered_groups.ma".
  18
  19 record vlattice (R : ogroup) : Type ≝ {
  20   vl_carr:> Type;
  21   value: vl_carr → R;
  22   join: vl_carr → vl_carr → vl_carr;
  23   meet: vl_carr → vl_carr → vl_carr;
  24   meet_refl: ∀x. value (meet x x) ≈ value x;
  25   join_refl: ∀x. value (join x x) ≈ value x;
  26   meet_comm: ∀x,y. value (meet x y) ≈ value (meet y x);
  27   join_comm: ∀x,y. value (join x y) ≈ value (join y x);
  28   join_assoc: ∀x,y,z. value (join x (join y z)) ≈ value (join (join x y) z);
  29   meet_assoc: ∀x,y,z. value (meet x (meet y z)) ≈ value (meet (meet x y) z);
  30   meet_wins1: ∀x,y. value (join x (meet x y)) ≈ value x;
  31   meet_wins2: ∀x,y. value (meet x (join x y)) ≈ value x;
  32   modular_mjp: ∀x,y. value (join x y) + value (meet x y) ≈ value x + value y;
  33   join_meet_le: ∀x,y,z. value (join x (meet y z)) ≤ value (join x y);
  34   meet_join_le: ∀x,y,z. value (meet x (join y z)) ≤ value (meet x y)
  35 }.
  36
  37 interpretation "valued lattice meet" 'and a b =
  38  (cic:/matita/valued_lattice/meet.con _ _ a b).
  39
  40 interpretation "valued lattice join" 'or a b =
  41  (cic:/matita/valued_lattice/join.con _ _ a b).
  42
  43 notation < "\nbsp \mu a" non associative with precedence 80 for @{ 'value2 $a}.
  44 interpretation "lattice value" 'value2 a = (cic:/matita/valued_lattice/value.con _ _ a).
  45
  46 notation "\mu" non associative with precedence 80 for @{ 'value }.
  47 interpretation "lattice value" 'value = (cic:/matita/valued_lattice/value.con _ _).
  48
  49 lemma feq_joinr: ∀R.∀L:vlattice R.∀x,y,z:L.
  50   μ x ≈ μ y → μ (z ∧ x) ≈ μ (z ∧ y) → μ (z ∨ x) ≈ μ (z ∨ y).
  51 intros (R L x y z H H1);
  52 apply (plus_cancr ??? (μ(z∧x)));
  53 apply (eq_trans ?? (μz + μx) ? (modular_mjp ????));
  54 apply (eq_trans ?? (μz + μy) ? H); clear H;
  55 apply (eq_trans ?? (μ(z∨y) + μ(z∧y))); [1: apply eq_sym; apply modular_mjp]
  56 apply (plus_cancl ??? (- μ (z ∨ y)));
  57 apply (eq_trans ?? ? ? (plus_assoc ????));
  58 apply (eq_trans ?? (0+ μ(z∧y)) ? (opp_inverse ??));
  59 apply (eq_trans ?? ? ? (zero_neutral ??));
  60 apply (eq_trans ?? (- μ(z∨y)+ μ(z∨y)+ μ(z∧x)) ?? (plus_assoc ????));
  61 apply (eq_trans ?? (0+ μ(z∧x)) ?? (opp_inverse ??));
  62 apply (eq_trans ?? (μ (z ∧ x)) ?H1 (zero_neutral ??));
  63 qed.
  64
  65 lemma step1_3_57: ∀R.∀L:vlattice R.∀x,y,z:L.
  66   μ(x ∧ (y ∨ z)) ≈ (μ x) + (μ y) + μ z + -μ (y ∧ z) + -μ (z ∨ (x ∨ y)).
  67 intros (R L x y z);
  68 cut (μ(x∧(y∨z))≈(μx + μ(y ∨ z) + - μ(x∨(y∨z)))); [2:
  69   lapply (modular_mjp ?? x (y ∨ z)) as H1;
  70   apply (eq_trans ?? (μ(x∨(y∨z))+ μ(x∧(y∨z)) +-μ(x∨(y∨z))) ?? H1); clear H1;
  71   apply (eq_trans ?? ? ?? (plus_comm ???));
  72   (* apply (eq_trans ?? (0+μ(x∧(y∧z))) ?? (opp_inverse ??)); ASSERT FALSE *)
  73   apply (eq_trans ?? (- μ(x∨(y∨z))+ μ(x∨(y∨z))+ μ(x∧(y∨z)))); [2: apply eq_sym; apply plus_assoc;]
  74   apply (eq_trans ?? (0+μ(x∧(y∨z)))); [2: apply feq_plusr; apply eq_sym; apply opp_inverse;]
  75   (* apply (eq_trans ?? ? ? (eq_refl ??) (zero_neutral ??)); ASSERT FALSE *)
  76   apply (eq_trans ?? (μ(x∧(y∨z)))); [apply eq_reflexive| apply eq_sym; apply zero_neutral]]
  77 apply (eq_trans ?? ? ? Hcut); clear Hcut;
  78 cut ( μ(y∨z) ≈ μy + μz + -μ (y ∧ z)); [2:
  79   lapply (modular_mjp ?? y z) as H1;
  80   apply (plus_cancr ??? (μ(y ∧ z)));
  81   apply (eq_trans ?? ? ? H1); clear H1;
  82   apply (eq_trans ?? ? ?? (plus_assoc ????));
  83   apply (eq_trans ?? (μy+ μz + 0)); [2: apply feq_plusl; apply eq_sym; apply opp_inverse]
  84   apply (eq_trans ?? ? ?? (plus_comm ???));
  85   apply (eq_trans ?? (μy + μz) ?? (eq_sym ??? (zero_neutral ??)));
  86   apply eq_reflexive;]
  87 apply (eq_trans ?? ( μx+ (μy+ μz+- μ(y∧z)) +- μ(x∨(y∨z))) ?); [
  88   apply feq_plusr; apply feq_plusl; apply Hcut] clear Hcut;
  89 apply (eq_trans ?? (μx+ μy+ μz+- μ(y∧z)+- μ(x∨(y∨z)))); [2:
  90   apply feq_plusl; apply feq_opp;
  91   apply (eq_trans ?? ? ? (join_assoc ?????));
  92   apply (eq_trans ?? ? ? (join_comm ????));
  93   apply eq_reflexive;]
  94 apply feq_plusr; apply (eq_trans ?? ? ? (plus_assoc ????));
  95 apply feq_plusr; apply plus_assoc;
  96 qed.
  97
  98 lemma meet_join_le1: ∀R.∀L:vlattice R.∀x,y,z:L.μ (x ∧ z) ≤ μ (x ∧ (y ∨ z)).
  99 intros (R L x y z);
 100 apply (le_rewr ??? ? (step1_3_57 ?????));
 101 apply (le_rewr ??? (μ x + μ y + μ z + -μ (y ∧ z) + -μ(z ∨ (x ∨ y))) (foo ?????));
 102 apply (le_rewr ??? (μ x + μ y + μ z + -μ (y ∧ z) + -μ((z ∨ x) ∨ y)));
 103   [ apply feq_plusl; apply eq_opp_sym; apply join_assoc;]
 104 lapply (meet_join_le ?? z x y);
 105 cut (- μ (z ∨ x ∨ y) ≈ - μ (z ∨ x) - μ y + μ (y ∧ (z ∨ x)));
 106  [2:
 107
 108
 109 lemma join_meet_le1: ∀R.∀L:vlattice R.∀x,y,z:L.μ (x ∨ (y ∧ z)) ≤ μ (x ∨ z).
 110 (* hint per duplicati? *)
 111 intros (R L x y z);
 112 apply (le_rewr ??? (0 + μ (x ∨ z)) (zero_neutral ??));
 113 apply (le_rewr ??? (μ (x ∨ z) + 0) (plus_comm ???));
 114 apply (le_rewr ??? (μ (x ∨ z) + (-μ(y ∨ z) + μ(y ∨ z))) (opp_inverse ? ?));
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