matita/help/C/sec_terms.xml

   1
   2 <!-- =========== Terms, declarations and definitions ============ -->
   3
   4 <chapter id="sec_terms">
   5   <title>Syntax</title>
   6   <para>To describe syntax in this manual we use the following conventions:</para>
   7   <orderedlist>
   8     <listitem><para>Non terminal symbols are emphasized and have a link to their
   9         definition. E.g.: &term;</para></listitem>
  10     <listitem><para>Terminal symbols are in bold. E.g.:
  11         <emphasis role="bold">theorem</emphasis></para></listitem>
  12     <listitem><para>Optional sequences of elements are put in square brackets.
  13         E.g.: [<emphasis role="bold">in</emphasis> &term;]</para></listitem>
  14     <listitem><para>Alternatives are put in square brakets and they are
  15         separated by vertical bars. E.g.: [<emphasis role="bold">&lt;</emphasis>|<emphasis role="bold">&gt;</emphasis>]</para></listitem>
  16     <listitem><para>Repetitions of a sequence of elements are given by putting the
  17     sequence in square brackets, that are followed by three dots. The empty
  18     sequence is a valid repetition.
  19     E.g.: [<emphasis role="bold">and</emphasis> &term;]…</para></listitem>
  20     <listitem><para>Characters belonging to a set of characters are given
  21      by listing the set elements in square brackets. Hyphens are used to
  22      specify ranges of characters in the set.
  23      E.g.: [<emphasis role="bold">a</emphasis>-<emphasis role="bold">zA</emphasis>-<emphasis role="bold">Z0</emphasis>-<emphasis role="bold">9_-</emphasis>]</para></listitem>
  24   </orderedlist>
  25   <sect1 id="terms_and_co">
  26   <title>Terms &amp; co.</title>
  27   <sect2 id="lexical">
  28   <title>Lexical conventions</title>
  29     <table frame="topbot" rowsep="0" colsep="0" role="grammar">
  30       <title>qstring</title>
  31       <tgroup cols="4">
  32       <tbody>
  33        <row>
  34         <entry id="grammar.qstring">&qstring;</entry>
  35         <entry>::=</entry>
  36         <entry><emphasis role="bold">&quot;</emphasis><emphasis>〈〈any sequence of characters excluded &quot;〉〉</emphasis><emphasis role="bold">&quot;</emphasis></entry>
  37        </row>
  38       </tbody>
  39      </tgroup>
  40     </table>
  41     <table frame="topbot" rowsep="0" colsep="0" role="grammar">
  42       <title>id</title>
  43       <tgroup cols="4">
  44       <tbody>
  45        <row>
  46         <entry id="grammar.id">&id;</entry>
  47         <entry>::=</entry>
  48         <entry><emphasis>〈〈any sequence of letters, underscores or valid <ulink type="http" url="http://www.w3.org/TR/2004/REC-xml-20040204/#NT-Digit">XML digits</ulink> prefixed by a latin letter ([a-zA-Z]) and post-fixed by a possible empty sequence of decorators ([?'`])〉〉</emphasis></entry>
  49        </row>
  50       </tbody>
  51      </tgroup>
  52     </table>
  53     <table frame="topbot" rowsep="0" colsep="0" role="grammar">
  54       <title>nat</title>
  55       <tgroup cols="4">
  56       <tbody>
  57        <row>
  58         <entry id="grammar.nat">&nat;</entry>
  59         <entry>::=</entry>
  60         <entry><emphasis>〈〈any sequence of valid <ulink type="http" url="http://www.w3.org/TR/2004/REC-xml-20040204/#NT-Digit">XML digits</ulink>〉〉</emphasis></entry>
  61        </row>
  62       </tbody>
  63      </tgroup>
  64     </table>
  65     <table frame="topbot" rowsep="0" colsep="0" role="grammar">
  66       <title>char</title>
  67       <tgroup cols="4">
  68       <tbody>
  69        <row>
  70         <entry id="grammar.char">&char;</entry>
  71         <entry>::=</entry>
  72         <entry>[<emphasis role="bold">a</emphasis>-<emphasis role="bold">zA</emphasis>-<emphasis role="bold">Z0</emphasis>-<emphasis role="bold">9_-</emphasis>]</entry>
  73        </row>
  74       </tbody>
  75      </tgroup>
  76     </table>
  77     <table frame="topbot" rowsep="0" colsep="0" role="grammar">
  78       <title>uri-step</title>
  79       <tgroup cols="4">
  80       <tbody>
  81        <row>
  82         <entry id="grammar.uri-step">&uri-step;</entry>
  83         <entry>::=</entry>
  84         <entry>&char;[&char;]…</entry>
  85        </row>
  86       </tbody>
  87      </tgroup>
  88     </table>
  89     <table frame="topbot" rowsep="0" colsep="0" role="grammar">
  90       <title>uri</title>
  91       <tgroup cols="4">
  92       <tbody>
  93        <row>
  94         <entry id="grammar.uri">&uri;</entry>
  95         <entry>::=</entry>
  96         <entry>[<emphasis role="bold">cic:/</emphasis>|<emphasis role="bold">theory:/</emphasis>]&uri-step;[<emphasis role="bold">/</emphasis>&uri-step;]…<emphasis role="bold">.</emphasis>&id;[<emphasis role="bold">.</emphasis>&id;]…[<emphasis role="bold">#xpointer(</emphasis>&nat;<emphasis role="bold">/</emphasis>&nat;[<emphasis role="bold">/</emphasis>&nat;]…<emphasis role="bold">)</emphasis>]</entry>
  97        </row>
  98       </tbody>
  99      </tgroup>
 100     </table>
 101   </sect2>
 102   <sect2 id="terms">
 103   <title>Terms</title>
 104
 105   <!-- ZACK: Sample EBNF snippet, see:
 106   http://www.docbook.org/tdg/en/html/productionset.html -->
 107   <!--
 108   <productionset>
 109     <title>Terms</title>
 110     <production id="grammar.term">
 111       <lhs>&term;</lhs>
 112       <rhs>&sterm;</rhs>
 113       <lineannotation></lineannotation>
 114     </production>
 115   </productionset>
 116   -->
 117
 118   <para>
 119   <table frame="topbot" rowsep="0" colsep="0" role="grammar">
 120     <title>Terms</title>
 121     <tgroup cols="4">
 122     <tbody>
 123      <row>
 124       <entry id="grammar.term">&term;</entry>
 125       <entry>::=</entry>
 126       <entry>&sterm;</entry>
 127       <entry>simple or delimited term</entry>
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 132       <entry>&term; &term;</entry>
 133       <entry>application</entry>
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 138       <entry><emphasis role="bold">λ</emphasis>&args;<emphasis role="bold">.</emphasis>&term;</entry>
 139       <entry>λ-abstraction</entry>
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 144       <entry><emphasis role="bold">Π</emphasis>&args;<emphasis role="bold">.</emphasis>&term;</entry>
 145       <entry>dependent product meant to define a datatype</entry>
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 150       <entry><emphasis role="bold">∀</emphasis>&args;<emphasis role="bold">.</emphasis>&term;</entry>
 151       <entry>dependent product meant to define a proposition</entry>
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 156       <entry>&term; <emphasis role="bold">→</emphasis> &term;</entry>
 157       <entry>non-dependent product (logical implication or function space)</entry>
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 162       <entry><emphasis role="bold">let</emphasis> [&id;|(&id;<emphasis role="bold">:</emphasis> &term;)] <emphasis role="bold">≝</emphasis> &term; <emphasis role="bold">in</emphasis> &term;</entry>
 163       <entry>local definition</entry>
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 169         <emphasis role="bold">let</emphasis>
 170         [<emphasis role="bold">co</emphasis>]<emphasis role="bold">rec</emphasis>
 171         &rec_def;
 172       </entry>
 173       <entry>(co)recursive definitions</entry>
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 179       [<emphasis role="bold">and</emphasis> &rec_def;]…
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 187       <emphasis role="bold">in</emphasis> &term;
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 198         <entry id="grammar.rec_def">&rec_def;</entry>
 199         <entry>::=</entry>
 200         <entry>
 201           &id; [&id;|<emphasis role="bold">_</emphasis>|<emphasis role="bold">(</emphasis>&id;[<emphasis role="bold">,</emphasis>&id;]… <emphasis role="bold">:</emphasis>&term;<emphasis role="bold">)</emphasis>]…
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 209           [<emphasis role="bold">on</emphasis> &id;]
 210           [<emphasis role="bold">:</emphasis> &term;]
 211           <emphasis role="bold">≝</emphasis> &term;]
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 215     </tbody>
 216    </tgroup>
 217   </table>
 218
 219   <table frame="topbot" rowsep="0" colsep="0" role="grammar">
 220     <title>Simple terms</title>
 221     <tgroup cols="4">
 222     <tbody>
 223      <row>
 224       <entry id="grammar.sterm">&sterm;</entry>
 225       <entry>::=</entry>
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 232       <entry>&id;[<emphasis role="bold">\subst[</emphasis>
 233        &id;<emphasis role="bold">≔</emphasis>&term;
 234        [<emphasis role="bold">;</emphasis>&id;<emphasis role="bold">≔</emphasis>&term;]…
 235        <emphasis role="bold">]</emphasis>]
 236       </entry>
 237       <entry>identifier with optional explicit named substitution</entry>
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 279       [<emphasis role="bold">[</emphasis>
 280       [<emphasis role="bold">_</emphasis>|&term;]…
 281       <emphasis role="bold">]</emphasis>]</entry>
 282       <entry>metavariable</entry>
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 287         <entry><emphasis role="bold">match</emphasis> &term;
 288         [ <emphasis role="bold">in</emphasis> &id; ]
 289         [ <emphasis role="bold">return</emphasis> &term; ]
 290         <emphasis role="bold">with</emphasis>
 291       </entry>
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 298        <emphasis role="bold">[</emphasis>
 299        &match_branch;[<emphasis role="bold">|</emphasis>&match_branch;]…
 300        <emphasis role="bold">]</emphasis>
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 313       <entry>…</entry>
 314       <entry>user provided notation at precedence 90</entry>
 315      </row>
 316     </tbody>
 317    </tgroup>
 318   </table>
 319
 320   <table frame="topbot" rowsep="0" colsep="0" role="grammar">
 321     <title>Arguments</title>
 322     <tgroup cols="4">
 323     <tbody>
 324      <row>
 325       <entry id="grammar.args">&args;</entry>
 326       <entry>::=</entry>
 327       <entry>
 328        <emphasis role="bold">_</emphasis>[<emphasis role="bold">:</emphasis> &term;]
 329       </entry>
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 336        <emphasis role="bold">(</emphasis><emphasis role="bold">_</emphasis>[<emphasis role="bold">:</emphasis> &term;]<emphasis role="bold">)</emphasis>
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 338       <entry>ignored argument</entry>
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 364     </tbody>
 365    </tgroup>
 366   </table>
 367
 368   <table frame="topbot" rowsep="0" colsep="0" role="grammar">
 369     <title>Pattern matching</title>
 370     <tgroup cols="4">
 371     <tbody>
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 373         <entry id="grammar.match_branch">&match_branch;</entry>
 374         <entry>::=</entry>
 375         <entry>&match_pattern; <emphasis role="bold">⇒</emphasis> &term;</entry>
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 379       <entry id="grammar.match_pattern">&match_pattern;</entry>
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 381       <entry>&id;</entry>
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 400       <entry>any remaining constructor (ignoring its arguments)</entry>
 401      </row>
 402     </tbody>
 403    </tgroup>
 404   </table>
 405   </para>
 406
 407   </sect2>
 408   </sect1>
 409
 410   <sect1 id="axiom_definition_declaration">
 411    <title>Definitions and declarations</title>
 412    <sect2 id="axiom">
 413     <title><emphasis role="bold">axiom</emphasis> &id;<emphasis role="bold">:</emphasis> &term;</title>
 414     <titleabbrev>axiom</titleabbrev>
 415     <para><userinput>axiom H: P</userinput></para>
 416     <para><command>H</command> is declared as an axiom that states <command>P</command></para>
 417   </sect2>
 418   <sect2 id="definition">
 419     <title><emphasis role="bold">definition</emphasis> &id;[<emphasis role="bold">:</emphasis> &term;] [<emphasis role="bold">≝</emphasis> &term;]</title>
 420     <titleabbrev>definition</titleabbrev>
 421     <para><userinput>definition f: T ≝ t</userinput></para>
 422     <para><command>f</command> is defined as <command>t</command>;
 423      <command>T</command> is its type. An error is raised if the type of
 424      <command>t</command> is not convertible to <command>T</command>.</para>
 425     <para><command>T</command> is inferred from <command>t</command> if
 426       omitted.</para>
 427     <para><command>t</command> can be omitted only if <command>T</command> is
 428      given. In this case Matita enters in interactive mode and
 429      <command>f</command> must be defined by means of tactics.</para>
 430     <para>Notice that the command is equivalent to <command>theorem f: T ≝ t</command>.</para>
 431   </sect2>
 432   <sect2 id="letrec">
 433     <title><emphasis role="bold">letrec</emphasis> &TODO;</title>
 434     <titleabbrev>&TODO;</titleabbrev>
 435     <para>&TODO;</para>
 436   </sect2>
 437   <sect2 id="inductive">
 438     <title>[<emphasis role="bold">inductive</emphasis>|<emphasis role="bold">coinductive</emphasis>] &id; [&args2;]… <emphasis role="bold">:</emphasis> &term; <emphasis role="bold">≝</emphasis> [<emphasis role="bold">|</emphasis>] [&id;<emphasis role="bold">:</emphasis>&term;] [<emphasis role="bold">|</emphasis> &id;<emphasis role="bold">:</emphasis>&term;]…
 439 [<emphasis role="bold">with</emphasis> &id; <emphasis role="bold">:</emphasis> &term; <emphasis role="bold">≝</emphasis> [<emphasis role="bold">|</emphasis>] [&id;<emphasis role="bold">:</emphasis>&term;] [<emphasis role="bold">|</emphasis> &id;<emphasis role="bold">:</emphasis>&term;]…]…
 440 </title>
 441     <titleabbrev>(co)inductive types declaration</titleabbrev>
 442     <para><userinput>inductive i x y z: S ≝ k1:T1 | … | kn:Tn with i' : S' ≝ k1':T1' | … | km':Tm'</userinput></para>
 443     <para>Declares a family of two mutually inductive types
 444      <command>i</command> and <command>i'</command> whose types are
 445      <command>S</command> and <command>S'</command>, which must be convertible
 446      to sorts.</para>
 447     <para>The constructors <command>ki</command> of type <command>Ti</command>
 448      and <command>ki'</command> of type <command>Ti'</command> are also
 449      simultaneously declared. The declared types <command>i</command> and
 450      <command>i'</command> may occur in the types of the constructors, but
 451      only in strongly positive positions according to the rules of the
 452      calculus.</para>
 453     <para>The whole family is parameterized over the arguments <command>x,y,z</command>.</para>
 454     <para>If the keyword <command>coinductive</command> is used, the declared
 455      types are considered mutually coinductive.</para>
 456     <para>Elimination principles for the record are automatically generated
 457      by Matita, if allowed by the typing rules of the calculus according to
 458      the sort <command>S</command>. If generated,
 459      they are named <command>i_ind</command>, <command>i_rec</command> and
 460      <command>i_rect</command> according to the sort of their induction
 461      predicate.</para>
 462   </sect2>
 463   <sect2 id="record">
 464     <title><emphasis role="bold">record</emphasis> &id; [&args2;]… <emphasis role="bold">:</emphasis> &term; <emphasis role="bold">≝</emphasis><emphasis role="bold">{</emphasis>[&id; [<emphasis role="bold">:</emphasis>|<emphasis role="bold">:&gt;</emphasis>] &term;] [<emphasis role="bold">;</emphasis>&id; [<emphasis role="bold">:</emphasis>|<emphasis role="bold">:&gt;</emphasis>] &term;]…<emphasis role="bold">}</emphasis></title>
 465     <titleabbrev>record</titleabbrev>
 466     <para><userinput>record id x y z: S ≝ { f1: T1; …; fn:Tn }</userinput></para>
 467     <para>Declares a new record family <command>id</command> parameterized over
 468      <command>x,y,z</command>.</para>
 469     <para><command>S</command> is the type of the record
 470      and it must be convertible to a sort.</para>
 471     <para>Each field <command>fi</command> is declared by giving its type
 472      <command>Ti</command>. A record without any field is admitted.</para>
 473     <para>Elimination principles for the record are automatically generated
 474      by Matita, if allowed by the typing rules of the calculus according to
 475      the sort <command>S</command>. If generated,
 476      they are named <command>i_ind</command>, <command>i_rec</command> and
 477      <command>i_rect</command> according to the sort of their induction
 478      predicate.</para>
 479     <para>For each field <command>fi</command> a record projection
 480      <command>fi</command> is also automatically generated if projection
 481      is allowed by the typing rules of the calculus according to the
 482      sort <command>S</command>, the type <command>T1</command> and
 483      the definability of depending record projections.</para>
 484     <para>If the type of a field is declared with <command>:&gt;</command>,
 485      the corresponding record projection becomes an implicit coercion.
 486      This is just syntactic sugar and it has the same effect of declaring the
 487      record projection as a coercion later on.</para>
 488   </sect2>
 489   </sect1>
 490
 491   <sect1 id="proofs">
 492    <title>Proofs</title>
 493    <sect2 id="theorem">
 494     <title><emphasis role="bold">theorem</emphasis> &id;[<emphasis role="bold">:</emphasis> &term;] [<emphasis role="bold">≝</emphasis> &term;]</title>
 495     <titleabbrev>theorem</titleabbrev>
 496     <para><userinput>theorem f: P ≝ p</userinput></para>
 497     <para>Proves a new theorem <command>f</command> whose thesis is
 498      <command>P</command>.</para>
 499     <para>If <command>p</command> is provided, it must be a proof term for
 500      <command>P</command>. Otherwise an interactive proof is started.</para>
 501     <para><command>P</command> can be omitted only if the proof is not
 502      interactive.</para>
 503     <para>Proving a theorem already proved in the library is an error.
 504      To provide an alternative name and proof for the same theorem, use
 505      <command>variant f: P ≝ p</command>.</para>
 506     <para>A warning is raised if the name of the theorem cannot be obtained
 507       by mangling the name of the constants in its thesis.</para>
 508     <para>Notice that the command is equivalent to <command>definition f: T ≝ t</command>.</para>
 509    </sect2>
 510    <sect2 id="variant">
 511     <title><emphasis role="bold">variant</emphasis> &id;<emphasis role="bold">:</emphasis> &term; <emphasis role="bold">≝</emphasis> &term;</title>
 512     <titleabbrev>variant</titleabbrev>
 513     <para><userinput>variant f: T ≝ t</userinput></para>
 514     <para>Same as <command>theorem f: T ≝ t</command>, but it does not
 515      complain if the theorem has already been proved. To be used to give
 516      an alternative name or proof to a theorem.</para>
 517    </sect2>
 518    <sect2 id="lemma">
 519     <title><emphasis role="bold">lemma</emphasis> &id;[<emphasis role="bold">:</emphasis> &term;] [<emphasis role="bold">≝</emphasis> &term;]</title>
 520     <titleabbrev>lemma</titleabbrev>
 521     <para><userinput>lemma f: T ≝ t</userinput></para>
 522     <para>Same as <command>theorem f: T ≝ t</command></para>
 523    </sect2>
 524    <sect2 id="fact">
 525     <title><emphasis role="bold">fact</emphasis> &id;[<emphasis role="bold">:</emphasis> &term;] [<emphasis role="bold">≝</emphasis> &term;]</title>
 526     <titleabbrev>fact</titleabbrev>
 527     <para><userinput>fact f: T ≝ t</userinput></para>
 528     <para>Same as <command>theorem f: T ≝ t</command></para>
 529    </sect2>
 530    <sect2 id="remark">
 531     <title><emphasis role="bold">remark</emphasis> &id;[<emphasis role="bold">:</emphasis> &term;] [<emphasis role="bold">≝</emphasis> &term;]</title>
 532     <titleabbrev>remark</titleabbrev>
 533     <para><userinput>remark f: T ≝ t</userinput></para>
 534     <para>Same as <command>theorem f: T ≝ t</command></para>
 535    </sect2>
 536   </sect1>
 537
 538   <sect1 id="tacticargs">
 539    <title>Tactic arguments</title>
 540    <para>This section documents the syntax of some recurring arguments for
 541     tactics.</para>
 542
 543     <sect2 id="introsspec">
 544     <title>intros-spec</title>
 545     <table frame="topbot" rowsep="0" colsep="0" role="grammar">
 546       <title>intros-spec</title>
 547       <tgroup cols="4">
 548       <tbody>
 549        <row>
 550         <entry id="grammar.intros-spec">&intros-spec;</entry>
 551         <entry>::=</entry>
 552         <entry>[&nat;] [<emphasis role="bold">(</emphasis>[&id;]…<emphasis role="bold">)</emphasis>]</entry>
 553        </row>
 554       </tbody>
 555      </tgroup>
 556     </table>
 557         <para>The natural number is the number of new hypotheses to be introduced. The list of identifiers gives the name for the first hypotheses.</para>
 558     </sect2>
 559
 560     <sect2 id="pattern">
 561     <title>pattern</title>
 562     <table frame="topbot" rowsep="0" colsep="0" role="grammar">
 563       <title>pattern</title>
 564       <tgroup cols="4">
 565       <tbody>
 566        <row>
 567         <entry id="grammar.pattern">&pattern;</entry>
 568         <entry>::=</entry>
 569         <entry><emphasis role="bold">in</emphasis>
 570           [&id;[<emphasis role="bold">:</emphasis> &path;]]…
 571           [<emphasis role="bold">⊢</emphasis> &path;]]</entry>
 572         <entry>simple pattern</entry>
 573        </row>
 574        <row>
 575         <entry/>
 576         <entry>|</entry>
 577         <entry><emphasis role="bold">in match</emphasis> &path;
 578           [<emphasis role="bold">in</emphasis>
 579           [&id;[<emphasis role="bold">:</emphasis> &path;]]…
 580           [<emphasis role="bold">⊢</emphasis> &path;]]</entry>
 581         <entry>full pattern</entry>
 582        </row>
 583       </tbody>
 584      </tgroup>
 585     </table>
 586     <table frame="topbot" rowsep="0" colsep="0" role="grammar">
 587       <title>path</title>
 588       <tgroup cols="4">
 589       <tbody>
 590        <row>
 591         <entry id="grammar.path">&path;</entry>
 592         <entry>::=</entry>
 593         <entry><emphasis>〈〈any &sterm; without occurrences of <emphasis role="bold">Set</emphasis>, <emphasis role="bold">Prop</emphasis>, <emphasis role="bold">CProp</emphasis>, <emphasis role="bold">Type</emphasis>, &id;, &uri; and user provided notation; however, <emphasis role="bold">%</emphasis> is now an additional production for &sterm;〉〉</emphasis></entry>
 594        </row>
 595       </tbody>
 596      </tgroup>
 597     </table>
 598     <para>A <emphasis>path</emphasis> locates zero or more subterms of a given term by mimicking the term structure up to:</para>
 599     <orderedlist>
 600       <listitem><para>Occurrences of the subterms to locate that are
 601        represented by <emphasis role="bold">%</emphasis>.</para></listitem>
 602       <listitem><para>Subterms without any occurrence of subterms to locate
 603        that can be represented by <emphasis role="bold">?</emphasis>.
 604        </para></listitem>
 605     </orderedlist>
 606     <para>Warning: the format for a path for a <emphasis role="bold">match</emphasis> … <emphasis role="bold">with</emphasis>
 607      expression is restricted to: <emphasis role="bold">match</emphasis> &path;
 608      <emphasis role="bold">with</emphasis>
 609      <emphasis role="bold">[</emphasis>
 610      <emphasis role="bold">_</emphasis>
 611      <emphasis role="bold">⇒</emphasis>
 612      &path;
 613      <emphasis role="bold">|</emphasis> …
 614      <emphasis role="bold">|</emphasis>
 615      <emphasis role="bold">_</emphasis>
 616      <emphasis role="bold">⇒</emphasis>
 617      &path;
 618      <emphasis role="bold">]</emphasis>
 619      Its semantics is the following: the n-th
 620      &quot;<emphasis role="bold">_</emphasis>
 621      <emphasis role="bold">⇒</emphasis>
 622      &path;&quot; branch is matched against the n-th constructor of the
 623      inductive data type. The head λ-abstractions of &path; are matched
 624      against the corresponding constructor arguments.
 625     </para>
 626     <para>For instance, the path
 627       <userinput>∀_,_:?.(? ? % ?)→(? ? ? %)</userinput>
 628        locates at once the subterms
 629       <userinput>x+y</userinput> and <userinput>x*y</userinput> in the
 630       term <userinput>∀x,y:nat.x+y=1→0=x*y</userinput>
 631       (where the notation <userinput>A=B</userinput> hides the term
 632       <userinput>(eq T A B)</userinput> for some type <userinput>T</userinput>).
 633     </para>
 634     <para>A <emphasis>simple pattern</emphasis> extends paths to locate
 635      subterms in a whole sequent. In particular, the pattern
 636      <userinput>in H: p  K: q ⊢ r</userinput> locates at once all the subterms
 637      located by the pattern <userinput>r</userinput> in the conclusion of the
 638      sequent and by the patterns <userinput>p</userinput> and
 639      <userinput>q</userinput> in the hypotheses <userinput>H</userinput>
 640      and <userinput>K</userinput> of the sequent.
 641     </para>
 642     <para>If no list of hypotheses is provided in a simple pattern, no subterm
 643      is selected in the hypothesis. If the <userinput>⊢ p</userinput>
 644      part of the pattern is not provided, no subterm will be matched in the
 645      conclusion if at least one hypothesis is provided; otherwise the whole
 646      conclusion is selected.
 647     </para>
 648     <para>Finally, a <emphasis>full pattern</emphasis> is interpreted in three
 649      steps. In the first step the <userinput>match T in</userinput>
 650      part is ignored and a set <emphasis>S</emphasis> of subterms is
 651      located as for the case of
 652      simple patterns. In the second step the term <userinput>T</userinput>
 653      is parsed and interpreted in the context of each subterm
 654      <emphasis>s ∈ S</emphasis>. In the last term for each
 655      <emphasis>s ∈ S</emphasis> the interpreted term <userinput>T</userinput>
 656      computed in the previous step is looked for. The final set of subterms
 657      located by the full pattern is the set of occurrences of
 658      the interpreted <userinput>T</userinput> in the subterms <emphasis>s</emphasis>.
 659     </para>
 660     <para>A full pattern can always be replaced by a simple pattern,
 661       often at the cost of increased verbosity or decreased readability.</para>
 662     <para>Example: the pattern
 663       <userinput>⊢ in match x+y in ∀_,_:?.(? ? % ?)</userinput>
 664       locates only the first occurrence of <userinput>x+y</userinput>
 665       in the sequent <userinput>x,y: nat ⊢ ∀z,w:nat. (x+y) * (z+w) =
 666       z * (x+y) + w * (x+y)</userinput>. The corresponding simple pattern
 667       is <userinput>⊢ ∀_,_:?.(? ? (? % ?) ?)</userinput>.
 668     </para>
 669     <para>Every tactic that acts on subterms of the selected sequents have
 670      a pattern argument for uniformity. To automatically generate a simple
 671      pattern:</para>
 672     <orderedlist>
 673      <listitem><para>Select in the current goal the subterms to pass to the
 674       tactic by using the mouse. In order to perform a multiple selection of
 675       subterms, hold the Ctrl key while selecting every subterm after the
 676       first one.</para></listitem>
 677      <listitem><para>From the contextual menu select &quot;Copy&quot;.</para></listitem>
 678      <listitem><para>From the &quot;Edit&quot; or the contextual menu select
 679       &quot;Paste as pattern&quot;</para></listitem>
 680     </orderedlist>
 681     </sect2>
 682
 683     <sect2 id="reduction-kind">
 684     <title>reduction-kind</title>
 685     <para>Reduction kinds are normalization functions that transform a term
 686      to a convertible but simpler one. Each reduction kind can be used both
 687      as a tactic argument and as a stand-alone tactic.</para>
 688     <table frame="topbot" rowsep="0" colsep="0" role="grammar">
 689       <title>reduction-kind</title>
 690       <tgroup cols="4">
 691       <tbody>
 692        <row>
 693         <entry id="grammar.reduction-kind">&reduction-kind;</entry>
 694         <entry>::=</entry>
 695         <entry><emphasis role="bold">normalize</emphasis></entry>
 696         <entry>Computes the βδιζ-normal form</entry>
 697        </row>
 698        <row>
 699         <entry/>
 700         <entry>|</entry>
 701         <entry><emphasis role="bold">reduce</emphasis></entry>
 702         <entry>Computes the βδιζ-normal form</entry>
 703        </row>
 704        <row>
 705         <entry/>
 706         <entry>|</entry>
 707         <entry><emphasis role="bold">simplify</emphasis></entry>
 708         <entry>Computes a form supposed to be simpler</entry>
 709        </row>
 710        <row>
 711         <entry/>
 712         <entry>|</entry>
 713         <entry><emphasis role="bold">unfold</emphasis> [&sterm;]</entry>
 714         <entry>δ-reduces the constant or variable if specified, or that
 715          in head position</entry>
 716        </row>
 717        <row>
 718         <entry/>
 719         <entry>|</entry>
 720         <entry><emphasis role="bold">whd</emphasis></entry>
 721         <entry>Computes the βδιζ-weak-head normal form</entry>
 722        </row>
 723       </tbody>
 724      </tgroup>
 725     </table>
 726     </sect2>
 727
 728     <sect2 id="auto-params">
 729     <title>auto-params</title>
 730     <para>&TODO;</para>
 731     <table frame="topbot" rowsep="0" colsep="0" role="grammar">
 732       <title>auto-params</title>
 733       <tgroup cols="4">
 734       <tbody>
 735        <row>
 736         <entry id="grammar.autoparams">&autoparams;</entry>
 737         <entry>::=</entry>
 738         <entry>[&simpleautoparam;]…
 739                [<emphasis role="bold">by</emphasis>
 740                 &term; [&term;]…]
 741         </entry>
 742         <entry>&TODO;</entry>
 743        </row>
 744       </tbody>
 745      </tgroup>
 746     </table>
 747     <table frame="topbot" rowsep="0" colsep="0" role="grammar">
 748       <title>simple-auto-param</title>
 749       <tgroup cols="4">
 750       <tbody>
 751        <row>
 752         <entry id="grammar.simpleautoparam">&simpleautoparam;</entry>
 753         <entry>::=</entry>
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