matita/library/assembly/extra.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15
  16
  17 include "nat/div_and_mod.ma".
  18 include "nat/primes.ma".
  19 include "list/list.ma".
  20
  21 axiom mod_plus: ∀a,b,m. (a + b) \mod m = (a \mod m + b \mod m) \mod m.
  22 axiom mod_mod: ∀a,n,m. n∣m → a \mod n = a \mod n \mod m.
  23 axiom eq_mod_times_n_m_m_O: ∀n,m. O < m → n * m \mod m = O.
  24 axiom eq_mod_to_eq_plus_mod: ∀a,b,c,m. a \mod m = b \mod m → (a+c) \mod m = (b+c) \mod m.
  25 axiom eq_mod_times_times_mod: ∀a,b,n,m. m = a*n → (a*b) \mod m = a * (b \mod n).
  26 axiom divides_to_eq_mod_mod_mod: ∀a,n,m. n∣m → a \mod m \mod n = a \mod n.
  27 axiom le_to_le_plus_to_le : ∀a,b,c,d.b\leq d\rarr a+b\leq c+d\rarr a\leq c.
  28 axiom or_lt_le : ∀n,m. n < m ∨ m ≤ n.
  29
  30 inductive cartesian_product (A,B: Type) : Type ≝
  31  couple: ∀a:A.∀b:B. cartesian_product A B.
  32
  33 lemma le_to_lt: ∀n,m. n ≤ m → n < S m.
  34  intros;
  35  autobatch.
  36 qed.
  37
  38 alias num (instance 0) = "natural number".
  39 definition nat_of_bool ≝
  40  λb. match b with [ true ⇒ 1 | false ⇒ 0 ].
  41
  42 theorem lt_trans: ∀x,y,z. x < y → y < z → x < z.
  43  unfold lt;
  44  intros;
  45  autobatch.
  46 qed.
  47
  48 lemma leq_m_n_to_eq_div_n_m_S: ∀n,m:nat. 0 < m → m ≤ n → ∃z. n/m = S z.
  49  intros;
  50  unfold div;
  51  apply (ex_intro ? ? (div_aux (pred n) (n-m) (pred m)));
  52  cut (∃w.m = S w);
  53   [ elim Hcut;
  54     rewrite > H2;
  55     rewrite > H2 in H1;
  56     clear Hcut; clear H2; clear H; (*clear m;*)
  57     simplify;
  58     unfold in ⊢ (? ? % ?);
  59     cut (∃z.n = S z);
  60      [ elim Hcut; clear Hcut;
  61        rewrite > H in H1;
  62        rewrite > H; clear m;
  63        change in ⊢ (? ? % ?)  with
  64         (match leb (S a1) a with
  65          [ true ⇒ O
  66          | false ⇒ S (div_aux a1 ((S a1) - S a) a)]);
  67        cut (S a1 ≰ a);
  68         [ apply (leb_elim (S a1) a);
  69            [ intro;
  70              elim (Hcut H2)
  71            | intro;
  72              simplify;
  73              reflexivity
  74            ]
  75         | intro;
  76           autobatch
  77         ]
  78      | elim H1; autobatch
  79      ]
  80   | autobatch
  81   ].
  82 qed.
  83
  84 axiom daemon: False.