matita/library/nat/compare.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/compare".
  16
  17 include "datatypes/bool.ma".
  18 include "datatypes/compare.ma".
  19 include "nat/orders.ma".
  20
  21 let rec eqb n m \def
  22 match n with
  23   [ O \Rightarrow
  24      match m with
  25      [ O \Rightarrow true
  26            | (S q) \Rightarrow false]
  27   | (S p) \Rightarrow
  28            match m with
  29      [ O \Rightarrow false
  30            | (S q) \Rightarrow eqb p q]].
  31
  32 theorem eqb_to_Prop: \forall n,m:nat.
  33 match (eqb n m) with
  34 [ true  \Rightarrow n = m
  35 | false \Rightarrow n \neq m].
  36 intros.
  37 apply (nat_elim2
  38 (\lambda n,m:nat.match (eqb n m) with
  39 [ true  \Rightarrow n = m
  40 | false \Rightarrow n \neq m])).
  41 intro.elim n1.
  42 simplify.reflexivity.
  43 simplify.apply not_eq_O_S.
  44 intro.
  45 simplify.unfold Not.
  46 intro. apply (not_eq_O_S n1).apply sym_eq.assumption.
  47 intros.simplify.
  48 generalize in match H.
  49 elim ((eqb n1 m1)).
  50 simplify.apply eq_f.apply H1.
  51 simplify.unfold Not.intro.apply H1.apply inj_S.assumption.
  52 qed.
  53
  54 theorem eqb_elim : \forall n,m:nat.\forall P:bool \to Prop.
  55 (n=m \to (P true)) \to (n \neq m \to (P false)) \to (P (eqb n m)).
  56 intros.
  57 cut
  58 (match (eqb n m) with
  59 [ true  \Rightarrow n = m
  60 | false \Rightarrow n \neq m] \to (P (eqb n m))).
  61 apply Hcut.apply eqb_to_Prop.
  62 elim (eqb n m).
  63 apply ((H H2)).
  64 apply ((H1 H2)).
  65 qed.
  66
  67 theorem eqb_n_n: \forall n. eqb n n = true.
  68 intro.elim n.simplify.reflexivity.
  69 simplify.assumption.
  70 qed.
  71
  72 theorem eqb_true_to_eq: \forall n,m:nat.
  73 eqb n m = true \to n = m.
  74 intros.
  75 change with
  76 match true with
  77 [ true  \Rightarrow n = m
  78 | false \Rightarrow n \neq m].
  79 rewrite < H.
  80 apply eqb_to_Prop.
  81 qed.
  82
  83 theorem eqb_false_to_not_eq: \forall n,m:nat.
  84 eqb n m = false \to n \neq m.
  85 intros.
  86 change with
  87 match false with
  88 [ true  \Rightarrow n = m
  89 | false \Rightarrow n \neq m].
  90 rewrite < H.
  91 apply eqb_to_Prop.
  92 qed.
  93
  94 theorem eq_to_eqb_true: \forall n,m:nat.
  95 n = m \to eqb n m = true.
  96 intros.apply (eqb_elim n m).
  97 intros. reflexivity.
  98 intros.apply False_ind.apply (H1 H).
  99 qed.
 100
 101 theorem not_eq_to_eqb_false: \forall n,m:nat.
 102 \lnot (n = m) \to eqb n m = false.
 103 intros.apply (eqb_elim n m).
 104 intros. apply False_ind.apply (H H1).
 105 intros.reflexivity.
 106 qed.
 107
 108 let rec leb n m \def
 109 match n with
 110     [ O \Rightarrow true
 111     | (S p) \Rightarrow
 112         match m with
 113         [ O \Rightarrow false
 114         | (S q) \Rightarrow leb p q]].
 115
 116 theorem leb_elim: \forall n,m:nat. \forall P:bool \to Prop.
 117 (n \leq m \to (P true)) \to (n \nleq m \to (P false)) \to
 118 P (leb n m).
 119 apply nat_elim2; intros; simplify
 120   [apply H.apply le_O_n
 121   |apply H1.apply not_le_Sn_O.
 122   |apply H;intros
 123     [apply H1.apply le_S_S.assumption.
 124     |apply H2.unfold Not.intros.apply H3.apply le_S_S_to_le.assumption
 125     ]
 126   ]
 127 qed.
 128
 129 (*
 130 theorem decidable_le: \forall n,m. n \leq m \lor n \nleq m.
 131 intros.
 132 apply (leb_elim n m)
 133   [intro.left.assumption
 134   |intro.right.assumption
 135   ]
 136 qed.
 137 *)
 138
 139 theorem le_to_leb_true: \forall n,m. n \leq m \to leb n m = true.
 140 intros.apply leb_elim;intros
 141   [reflexivity
 142   |apply False_ind.apply H1.apply H.
 143   ]
 144 qed.
 145
 146 theorem lt_to_leb_false: \forall n,m. m < n \to leb n m = false.
 147 intros.apply leb_elim;intros
 148   [apply False_ind.apply (le_to_not_lt ? ? H1). assumption
 149   |reflexivity
 150   ]
 151 qed.
 152
 153 theorem leb_to_Prop: \forall n,m:nat.
 154 match (leb n m) with
 155 [ true  \Rightarrow n \leq m
 156 | false \Rightarrow n \nleq m].
 157 apply nat_elim2;simplify
 158   [exact le_O_n
 159   |exact not_le_Sn_O
 160   |intros 2.simplify.
 161    elim ((leb n m));simplify
 162     [apply le_S_S.apply H
 163     |unfold Not.intros.apply H.apply le_S_S_to_le.assumption
 164     ]
 165   ]
 166 qed.
 167
 168 (*
 169 theorem leb_elim: \forall n,m:nat. \forall P:bool \to Prop.
 170 (n \leq m \to (P true)) \to (n \nleq m \to (P false)) \to
 171 P (leb n m).
 172 intros.
 173 cut
 174 (match (leb n m) with
 175 [ true  \Rightarrow n \leq m
 176 | false \Rightarrow n \nleq m] \to (P (leb n m))).
 177 apply Hcut.apply leb_to_Prop.
 178 elim (leb n m).
 179 apply ((H H2)).
 180 apply ((H1 H2)).
 181 qed.
 182 *)
 183
 184 definition ltb ≝λn,m. leb n m ∧ notb (eqb n m).
 185
 186 theorem ltb_to_Prop :
 187  ∀n,m.
 188   match ltb n m with
 189   [ true ⇒ n < m
 190   | false ⇒ n ≮ m
 191   ].
 192 intros;
 193 unfold ltb;
 194 apply leb_elim;
 195 apply eqb_elim;
 196 intros;
 197 simplify;
 198 [ rewrite < H;
 199   apply le_to_not_lt;
 200   constructor 1
 201 | apply (not_eq_to_le_to_lt ? ? H H1)
 202 | rewrite < H;
 203   apply le_to_not_lt;
 204   constructor 1
 205 | apply le_to_not_lt;
 206   generalize in match (not_le_to_lt ? ? H1);
 207   clear H1;
 208   intro;
 209   apply lt_to_le;
 210   assumption
 211 ].
 212 qed.
 213
 214 theorem ltb_elim: ∀n,m:nat. ∀P:bool → Prop.
 215 (n < m → (P true)) → (n ≮ m → (P false)) →
 216 P (ltb n m).
 217 intros.
 218 cut
 219 (match (ltb n m) with
 220 [ true  ⇒ n < m
 221 | false ⇒ n ≮ m] → (P (ltb n m))).
 222 apply Hcut.apply ltb_to_Prop.
 223 elim (ltb n m).
 224 apply ((H H2)).
 225 apply ((H1 H2)).
 226 qed.
 227
 228 let rec nat_compare n m: compare \def
 229 match n with
 230 [ O \Rightarrow
 231     match m with
 232       [ O \Rightarrow EQ
 233       | (S q) \Rightarrow LT ]
 234 | (S p) \Rightarrow
 235     match m with
 236       [ O \Rightarrow GT
 237       | (S q) \Rightarrow nat_compare p q]].
 238
 239 theorem nat_compare_n_n: \forall n:nat. nat_compare n n = EQ.
 240 intro.elim n.
 241 simplify.reflexivity.
 242 simplify.assumption.
 243 qed.
 244
 245 theorem nat_compare_S_S: \forall n,m:nat.
 246 nat_compare n m = nat_compare (S n) (S m).
 247 intros.simplify.reflexivity.
 248 qed.
 249
 250 theorem nat_compare_pred_pred:
 251 \forall n,m:nat.lt O n \to lt O m \to
 252 eq compare (nat_compare n m) (nat_compare (pred n) (pred m)).
 253 intros.
 254 apply (lt_O_n_elim n H).
 255 apply (lt_O_n_elim m H1).
 256 intros.
 257 simplify.reflexivity.
 258 qed.
 259
 260 theorem nat_compare_to_Prop: \forall n,m:nat.
 261 match (nat_compare n m) with
 262   [ LT \Rightarrow n < m
 263   | EQ \Rightarrow n=m
 264   | GT \Rightarrow m < n ].
 265 intros.
 266 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.match (nat_compare n m) with
 267   [ LT \Rightarrow n < m
 268   | EQ \Rightarrow n=m
 269   | GT \Rightarrow m < n ])).
 270 intro.elim n1.simplify.reflexivity.
 271 simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 272 intro.simplify.unfold lt.apply le_S_S. apply le_O_n.
 273 intros 2.simplify.elim ((nat_compare n1 m1)).
 274 simplify. unfold lt. apply le_S_S.apply H.
 275 simplify. apply eq_f. apply H.
 276 simplify. unfold lt.apply le_S_S.apply H.
 277 qed.
 278
 279 theorem nat_compare_n_m_m_n: \forall n,m:nat.
 280 nat_compare n m = compare_invert (nat_compare m n).
 281 intros.
 282 apply (nat_elim2 (\lambda n,m. nat_compare n m = compare_invert (nat_compare m n))).
 283 intros.elim n1.simplify.reflexivity.
 284 simplify.reflexivity.
 285 intro.elim n1.simplify.reflexivity.
 286 simplify.reflexivity.
 287 intros.simplify.elim H.reflexivity.
 288 qed.
 289
 290 theorem nat_compare_elim : \forall n,m:nat. \forall P:compare \to Prop.
 291 (n < m \to P LT) \to (n=m \to P EQ) \to (m < n \to P GT) \to
 292 (P (nat_compare n m)).
 293 intros.
 294 cut (match (nat_compare n m) with
 295 [ LT \Rightarrow n < m
 296 | EQ \Rightarrow n=m
 297 | GT \Rightarrow m < n] \to
 298 (P (nat_compare n m))).
 299 apply Hcut.apply nat_compare_to_Prop.
 300 elim ((nat_compare n m)).
 301 apply ((H H3)).
 302 apply ((H1 H3)).
 303 apply ((H2 H3)).
 304 qed.