matita/library/nat/count.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       __                                                               *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15
  16
  17 include "nat/relevant_equations.ma".
  18 include "nat/sigma_and_pi.ma".
  19 include "nat/permutation.ma".
  20
  21 theorem sigma_f_g : \forall n,m:nat.\forall f,g:nat \to nat.
  22 sigma n (\lambda p.f p + g p) m = sigma n f m + sigma n g m.
  23 intros.elim n.
  24 simplify.reflexivity.
  25 simplify.rewrite > H.
  26 rewrite > assoc_plus.
  27 rewrite < (assoc_plus (g (S (n1+m)))).
  28 rewrite > (sym_plus (g (S (n1+m)))).
  29 rewrite > (assoc_plus (sigma n1 f m)).
  30 rewrite < assoc_plus.
  31 reflexivity.
  32 qed.
  33
  34 theorem sigma_plus: \forall n,p,m:nat.\forall f:nat \to nat.
  35 sigma (S (p+n)) f m = sigma p (\lambda x.(f ((S n) + x))) m + sigma n f m.
  36 intros. elim p.
  37 simplify.
  38 rewrite < (sym_plus n m).reflexivity.
  39 simplify.
  40 rewrite > assoc_plus in \vdash (? ? ? %).
  41 rewrite < H.
  42 simplify.
  43 rewrite < plus_n_Sm.
  44 rewrite > (sym_plus n).
  45 rewrite > assoc_plus.
  46 rewrite < (sym_plus m).
  47 rewrite < (assoc_plus n1).
  48 reflexivity.
  49 qed.
  50
  51 theorem sigma_plus1: \forall n,p,m:nat.\forall f:nat \to nat.
  52 sigma (p+(S n)) f m = sigma p (\lambda x.(f ((S n) + x))) m + sigma n f m.
  53 intros. elim p.
  54 simplify.reflexivity.
  55 simplify.
  56 rewrite > assoc_plus in \vdash (? ? ? %).
  57 rewrite < H.
  58 rewrite < plus_n_Sm.
  59 rewrite < plus_n_Sm.simplify.
  60 rewrite < (sym_plus n).
  61 rewrite > assoc_plus.
  62 rewrite < (sym_plus m).
  63 rewrite < (assoc_plus n).
  64 reflexivity.
  65 qed.
  66
  67 theorem eq_sigma_sigma : \forall n,m:nat.\forall f:nat \to nat.
  68 sigma (pred ((S n)*(S m))) f O =
  69 sigma m (\lambda a.(sigma n (\lambda b.f (b*(S m) + a)) O)) O.
  70 intro.elim n.simplify.
  71 rewrite < plus_n_O.
  72 apply eq_sigma.intros.reflexivity.
  73 simplify.
  74 rewrite > sigma_f_g.
  75 rewrite < plus_n_O.
  76 rewrite < H.
  77 rewrite > (S_pred ((S n1)*(S m))).
  78 apply sigma_plus1.
  79 simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
  80 qed.
  81
  82 theorem eq_sigma_sigma1 : \forall n,m:nat.\forall f:nat \to nat.
  83 sigma (pred ((S n)*(S m))) f O =
  84 sigma n (\lambda a.(sigma m (\lambda b.f (b*(S n) + a)) O)) O.
  85 intros.
  86 rewrite > sym_times.
  87 apply eq_sigma_sigma.
  88 qed.
  89
  90 theorem sigma_times: \forall n,m,p:nat.\forall f:nat \to nat.
  91 (sigma n f m)*p = sigma n (\lambda i.(f i) * p) m.
  92 intro. elim n.simplify.reflexivity.
  93 simplify.rewrite < H.
  94 apply times_plus_l.
  95 qed.
  96
  97 definition bool_to_nat: bool \to nat \def
  98 \lambda b. match b with
  99 [ true \Rightarrow (S O)
 100 | false \Rightarrow O ].
 101
 102 theorem bool_to_nat_andb: \forall a,b:bool.
 103 bool_to_nat (andb a b) = (bool_to_nat a)*(bool_to_nat b).
 104 intros. elim a.elim b.
 105 simplify.reflexivity.
 106 reflexivity.
 107 reflexivity.
 108 qed.
 109
 110 definition count : nat \to (nat \to bool) \to nat \def
 111 \lambda n.\lambda f. sigma (pred n) (\lambda n.(bool_to_nat (f n))) O.
 112
 113 theorem count_times:\forall n,m:nat.
 114 \forall f,f1,f2:nat \to bool.
 115 \forall g:nat \to nat \to nat.
 116 \forall g1,g2: nat \to nat.
 117 (\forall a,b:nat. a < (S n) \to b < (S m) \to (g b a) < (S n)*(S m)) \to
 118 (\forall a,b:nat. a < (S n) \to b < (S m) \to (g1 (g b a)) = a) \to
 119 (\forall a,b:nat. a < (S n) \to b < (S m) \to (g2 (g b a)) = b) \to
 120 (\forall a,b:nat. a < (S n) \to b < (S m) \to f (g b a) = andb (f2 b) (f1 a)) \to
 121 (count ((S n)*(S m)) f) = (count (S n) f1)*(count (S m) f2).
 122 intros.unfold count.
 123 rewrite < eq_map_iter_i_sigma.
 124 rewrite > (permut_to_eq_map_iter_i plus assoc_plus sym_plus ? ? ?
 125            (\lambda i.g (div i (S n)) (mod i (S n)))).
 126 rewrite > eq_map_iter_i_sigma.
 127 rewrite > eq_sigma_sigma1.
 128 apply (trans_eq ? ?
 129 (sigma n (\lambda a.
 130   sigma m (\lambda b.(bool_to_nat (f2 b))*(bool_to_nat (f1 a))) O) O)).
 131 apply eq_sigma.intros.
 132 apply eq_sigma.intros.
 133 rewrite > (div_mod_spec_to_eq (i1*(S n) + i) (S n) ((i1*(S n) + i)/(S n))
 134                                         ((i1*(S n) + i) \mod (S n)) i1 i).
 135 rewrite > (div_mod_spec_to_eq2 (i1*(S n) + i) (S n) ((i1*(S n) + i)/(S n))
 136                                         ((i1*(S n) + i) \mod (S n)) i1 i).
 137 rewrite > H3.
 138 apply bool_to_nat_andb.
 139 unfold lt.apply le_S_S.assumption.
 140 unfold lt.apply le_S_S.assumption.
 141 apply div_mod_spec_div_mod.
 142 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 143 constructor 1.unfold lt.apply le_S_S.assumption.
 144 reflexivity.
 145 apply div_mod_spec_div_mod.
 146 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 147 constructor 1.unfold lt.apply le_S_S.assumption.
 148 reflexivity.
 149 apply (trans_eq ? ?
 150 (sigma n (\lambda n.((bool_to_nat (f1 n)) *
 151 (sigma m (\lambda n.bool_to_nat (f2 n)) O))) O)).
 152 apply eq_sigma.
 153 intros.
 154 rewrite > sym_times.
 155 apply (trans_eq ? ?
 156 (sigma m (\lambda n.(bool_to_nat (f2 n))*(bool_to_nat (f1 i))) O)).
 157 reflexivity.
 158 apply sym_eq. apply sigma_times.
 159 simplify.
 160 apply sym_eq. apply sigma_times.
 161 unfold permut.
 162 split.
 163 intros.
 164 rewrite < plus_n_O.
 165 apply le_S_S_to_le.
 166 rewrite < S_pred in \vdash (? ? %).
 167 change with ((g (i/(S n)) (i \mod (S n))) \lt (S n)*(S m)).
 168 apply H.
 169 apply lt_mod_m_m.
 170 unfold lt. apply le_S_S.apply le_O_n.
 171 apply (lt_times_to_lt_l n).
 172 apply (le_to_lt_to_lt ? i).
 173 rewrite > (div_mod i (S n)) in \vdash (? ? %).
 174 rewrite > sym_plus.
 175 apply le_plus_n.
 176 unfold lt. apply le_S_S.apply le_O_n.
 177 unfold lt.
 178 rewrite > S_pred in \vdash (? ? %).
 179 apply le_S_S.
 180 rewrite > plus_n_O in \vdash (? ? %).
 181 rewrite > sym_times. assumption.
 182 rewrite > (times_n_O O).
 183 apply lt_times.
 184 unfold lt. apply le_S_S.apply le_O_n.
 185 unfold lt. apply le_S_S.apply le_O_n.
 186 rewrite > (times_n_O O).
 187 apply lt_times.
 188 unfold lt. apply le_S_S.apply le_O_n.
 189 unfold lt. apply le_S_S.apply le_O_n.
 190 rewrite < plus_n_O.
 191 unfold injn.
 192 intros.
 193 cut (i < (S n)*(S m)).
 194 cut (j < (S n)*(S m)).
 195 cut ((i \mod (S n)) < (S n)).
 196 cut ((i/(S n)) < (S m)).
 197 cut ((j \mod (S n)) < (S n)).
 198 cut ((j/(S n)) < (S m)).
 199 rewrite > (div_mod i (S n)).
 200 rewrite > (div_mod j (S n)).
 201 rewrite < (H1 (i \mod (S n)) (i/(S n)) Hcut2 Hcut3).
 202 rewrite < (H2 (i \mod (S n)) (i/(S n)) Hcut2 Hcut3) in \vdash (? ? (? % ?) ?).
 203 rewrite < (H1 (j \mod (S n)) (j/(S n)) Hcut4 Hcut5).
 204 rewrite < (H2 (j \mod (S n)) (j/(S n)) Hcut4 Hcut5) in \vdash (? ? ? (? % ?)).
 205 rewrite > H6.reflexivity.
 206 unfold lt. apply le_S_S.apply le_O_n.
 207 unfold lt. apply le_S_S.apply le_O_n.
 208 apply (lt_times_to_lt_l n).
 209 apply (le_to_lt_to_lt ? j).
 210 rewrite > (div_mod j (S n)) in \vdash (? ? %).
 211 rewrite > sym_plus.
 212 apply le_plus_n.
 213 unfold lt. apply le_S_S.apply le_O_n.
 214 rewrite < sym_times. assumption.
 215 apply lt_mod_m_m.
 216 unfold lt. apply le_S_S.apply le_O_n.
 217 apply (lt_times_to_lt_l n).
 218 apply (le_to_lt_to_lt ? i).
 219 rewrite > (div_mod i (S n)) in \vdash (? ? %).
 220 rewrite > sym_plus.
 221 apply le_plus_n.
 222 unfold lt. apply le_S_S.apply le_O_n.
 223 rewrite < sym_times. assumption.
 224 apply lt_mod_m_m.
 225 unfold lt. apply le_S_S.apply le_O_n.
 226 unfold lt.
 227 rewrite > S_pred in \vdash (? ? %).
 228 apply le_S_S.assumption.
 229 rewrite > (times_n_O O).
 230 apply lt_times.
 231 unfold lt. apply le_S_S.apply le_O_n.
 232 unfold lt. apply le_S_S.apply le_O_n.
 233 unfold lt.
 234 rewrite > S_pred in \vdash (? ? %).
 235 apply le_S_S.assumption.
 236 rewrite > (times_n_O O).
 237 apply lt_times.
 238 unfold lt. apply le_S_S.apply le_O_n.
 239 unfold lt. apply le_S_S.apply le_O_n.
 240 intros.
 241 apply False_ind.
 242 apply (not_le_Sn_O m1 H4).
 243 qed.