matita/library/nat/div_and_mod.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15
  16
  17 include "datatypes/constructors.ma".
  18 include "nat/minus.ma".
  19
  20
  21 let rec mod_aux p m n: nat \def
  22 match (leb m n) with
  23 [ true \Rightarrow m
  24 | false \Rightarrow
  25   match p with
  26   [O \Rightarrow m
  27   |(S q) \Rightarrow mod_aux q (m-(S n)) n]].
  28
  29 definition mod : nat \to nat \to nat \def
  30 \lambda n,m.
  31 match m with
  32 [O \Rightarrow n
  33 | (S p) \Rightarrow mod_aux n n p].
  34
  35 interpretation "natural remainder" 'module x y =
  36   (cic:/matita/nat/div_and_mod/mod.con x y).
  37
  38 let rec div_aux p m n : nat \def
  39 match (leb m n) with
  40 [ true \Rightarrow O
  41 | false \Rightarrow
  42   match p with
  43   [O \Rightarrow O
  44   |(S q) \Rightarrow S (div_aux q (m-(S n)) n)]].
  45
  46 definition div : nat \to nat \to nat \def
  47 \lambda n,m.
  48 match m with
  49 [O \Rightarrow S n
  50 | (S p) \Rightarrow div_aux n n p].
  51
  52 interpretation "natural divide" 'divide x y =
  53   (cic:/matita/nat/div_and_mod/div.con x y).
  54
  55 theorem le_mod_aux_m_m:
  56 \forall p,n,m. n \leq p \to (mod_aux p n m) \leq m.
  57 intro.elim p.
  58 apply (le_n_O_elim n H (\lambda n.(mod_aux O n m) \leq m)).
  59 simplify.apply le_O_n.
  60 simplify.
  61 apply (leb_elim n1 m).
  62 simplify.intro.assumption.
  63 simplify.intro.apply H.
  64 cut (n1 \leq (S n) \to n1-(S m) \leq n).
  65 apply Hcut.assumption.
  66 elim n1.
  67 simplify.apply le_O_n.
  68 simplify.apply (trans_le ? n2 n).
  69 apply le_minus_m.apply le_S_S_to_le.assumption.
  70 qed.
  71
  72 theorem lt_mod_m_m: \forall n,m. O < m \to (n \mod m) < m.
  73 intros 2.elim m.apply False_ind.
  74 apply (not_le_Sn_O O H).
  75 simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_mod_aux_m_m.
  76 apply le_n.
  77 qed.
  78
  79 theorem div_aux_mod_aux: \forall p,n,m:nat.
  80 (n=(div_aux p n m)*(S m) + (mod_aux p n m)).
  81 intro.elim p.
  82 simplify.elim (leb n m).
  83 simplify.apply refl_eq.
  84 simplify.apply refl_eq.
  85 simplify.
  86 apply (leb_elim n1 m).
  87 simplify.intro.apply refl_eq.
  88 simplify.intro.
  89 rewrite > assoc_plus.
  90 elim (H (n1-(S m)) m).
  91 change with (n1=(S m)+(n1-(S m))).
  92 rewrite < sym_plus.
  93 apply plus_minus_m_m.
  94 change with (m < n1).
  95 apply not_le_to_lt.exact H1.
  96 qed.
  97
  98 theorem div_mod: \forall n,m:nat. O < m \to n=(n / m)*m+(n \mod m).
  99 intros 2.elim m.elim (not_le_Sn_O O H).
 100 simplify.
 101 apply div_aux_mod_aux.
 102 qed.
 103
 104 theorem eq_times_div_minus_mod:
 105 \forall a,b:nat. O \lt b \to
 106 (a /b)*b = a - (a \mod b).
 107 intros.
 108 rewrite > (div_mod a b) in \vdash (? ? ? (? % ?))
 109 [ apply (minus_plus_m_m (times (div a b) b) (mod a b))
 110 | assumption
 111 ]
 112 qed.
 113
 114 inductive div_mod_spec (n,m,q,r:nat) : Prop \def
 115 div_mod_spec_intro: r < m \to n=q*m+r \to (div_mod_spec n m q r).
 116
 117 (*
 118 definition div_mod_spec : nat \to nat \to nat \to nat \to Prop \def
 119 \lambda n,m,q,r:nat.r < m \land n=q*m+r).
 120 *)
 121
 122 theorem div_mod_spec_to_not_eq_O: \forall n,m,q,r.(div_mod_spec n m q r) \to m \neq O.
 123 intros 4.unfold Not.intros.elim H.absurd (le (S r) O).
 124 rewrite < H1.assumption.
 125 exact (not_le_Sn_O r).
 126 qed.
 127
 128 theorem div_mod_spec_div_mod:
 129 \forall n,m. O < m \to (div_mod_spec n m (n / m) (n \mod m)).
 130 intros.
 131 apply div_mod_spec_intro.
 132 apply lt_mod_m_m.assumption.
 133 apply div_mod.assumption.
 134 qed.
 135
 136 theorem div_mod_spec_to_eq :\forall a,b,q,r,q1,r1.
 137 (div_mod_spec a b q r) \to (div_mod_spec a b q1 r1) \to
 138 (eq nat q q1).
 139 intros.elim H.elim H1.
 140 apply (nat_compare_elim q q1).intro.
 141 apply False_ind.
 142 cut (eq nat ((q1-q)*b+r1) r).
 143 cut (b \leq (q1-q)*b+r1).
 144 cut (b \leq r).
 145 apply (lt_to_not_le r b H2 Hcut2).
 146 elim Hcut.assumption.
 147 apply (trans_le ? ((q1-q)*b)).
 148 apply le_times_n.
 149 apply le_SO_minus.exact H6.
 150 rewrite < sym_plus.
 151 apply le_plus_n.
 152 rewrite < sym_times.
 153 rewrite > distr_times_minus.
 154 rewrite > plus_minus.
 155 rewrite > sym_times.
 156 rewrite < H5.
 157 rewrite < sym_times.
 158 apply plus_to_minus.
 159 apply H3.
 160 apply le_times_r.
 161 apply lt_to_le.
 162 apply H6.
 163 (* eq case *)
 164 intros.assumption.
 165 (* the following case is symmetric *)
 166 intro.
 167 apply False_ind.
 168 cut (eq nat ((q-q1)*b+r) r1).
 169 cut (b \leq (q-q1)*b+r).
 170 cut (b \leq r1).
 171 apply (lt_to_not_le r1 b H4 Hcut2).
 172 elim Hcut.assumption.
 173 apply (trans_le ? ((q-q1)*b)).
 174 apply le_times_n.
 175 apply le_SO_minus.exact H6.
 176 rewrite < sym_plus.
 177 apply le_plus_n.
 178 rewrite < sym_times.
 179 rewrite > distr_times_minus.
 180 rewrite > plus_minus.
 181 rewrite > sym_times.
 182 rewrite < H3.
 183 rewrite < sym_times.
 184 apply plus_to_minus.
 185 apply H5.
 186 apply le_times_r.
 187 apply lt_to_le.
 188 apply H6.
 189 qed.
 190
 191 theorem div_mod_spec_to_eq2 :\forall a,b,q,r,q1,r1.
 192 (div_mod_spec a b q r) \to (div_mod_spec a b q1 r1) \to
 193 (eq nat r r1).
 194 intros.elim H.elim H1.
 195 apply (inj_plus_r (q*b)).
 196 rewrite < H3.
 197 rewrite > (div_mod_spec_to_eq a b q r q1 r1 H H1).
 198 assumption.
 199 qed.
 200
 201 theorem div_mod_spec_times : \forall n,m:nat.div_mod_spec ((S n)*m) (S n) m O.
 202 intros.constructor 1.
 203 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 204 rewrite < plus_n_O.rewrite < sym_times.reflexivity.
 205 qed.
 206
 207 lemma div_plus_times: \forall m,q,r:nat. r < m \to  (q*m+r)/ m = q.
 208 intros.
 209 apply (div_mod_spec_to_eq (q*m+r) m ? ((q*m+r) \mod m) ? r)
 210   [apply div_mod_spec_div_mod.
 211    apply (le_to_lt_to_lt ? r)
 212     [apply le_O_n|assumption]
 213   |apply div_mod_spec_intro[assumption|reflexivity]
 214   ]
 215 qed.
 216
 217 lemma mod_plus_times: \forall m,q,r:nat. r < m \to  (q*m+r) \mod m = r.
 218 intros.
 219 apply (div_mod_spec_to_eq2 (q*m+r) m ((q*m+r)/ m) ((q*m+r) \mod m) q r)
 220   [apply div_mod_spec_div_mod.
 221    apply (le_to_lt_to_lt ? r)
 222     [apply le_O_n|assumption]
 223   |apply div_mod_spec_intro[assumption|reflexivity]
 224   ]
 225 qed.
 226
 227 (* some properties of div and mod *)
 228 theorem div_times: \forall n,m:nat. ((S n)*m) / (S n) = m.
 229 intros.
 230 apply (div_mod_spec_to_eq ((S n)*m) (S n) ? ? ? O);
 231 [2: apply div_mod_spec_div_mod.
 232     unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 233 |   skip
 234 |   apply div_mod_spec_times
 235 ]
 236 qed.
 237
 238 (*a simple variant of div_times theorem *)
 239 theorem lt_O_to_div_times: \forall a,b:nat. O \lt b \to
 240 a*b/b = a.
 241 intros.
 242 rewrite > sym_times.
 243 rewrite > (S_pred b H).
 244 apply div_times.
 245 qed.
 246
 247 theorem div_n_n: \forall n:nat. O < n \to n / n = S O.
 248 intros.
 249 apply (div_mod_spec_to_eq n n (n / n) (n \mod n) (S O) O).
 250 apply div_mod_spec_div_mod.assumption.
 251 constructor 1.assumption.
 252 rewrite < plus_n_O.simplify.rewrite < plus_n_O.reflexivity.
 253 qed.
 254
 255 theorem eq_div_O: \forall n,m. n < m \to n / m = O.
 256 intros.
 257 apply (div_mod_spec_to_eq n m (n/m) (n \mod m) O n).
 258 apply div_mod_spec_div_mod.
 259 apply (le_to_lt_to_lt O n m).
 260 apply le_O_n.assumption.
 261 constructor 1.assumption.reflexivity.
 262 qed.
 263
 264 theorem mod_n_n: \forall n:nat. O < n \to n \mod n = O.
 265 intros.
 266 apply (div_mod_spec_to_eq2 n n (n / n) (n \mod n) (S O) O).
 267 apply div_mod_spec_div_mod.assumption.
 268 constructor 1.assumption.
 269 rewrite < plus_n_O.simplify.rewrite < plus_n_O.reflexivity.
 270 qed.
 271
 272 theorem mod_S: \forall n,m:nat. O < m \to S (n \mod m) < m \to
 273 ((S n) \mod m) = S (n \mod m).
 274 intros.
 275 apply (div_mod_spec_to_eq2 (S n) m ((S n) / m) ((S n) \mod m) (n / m) (S (n \mod m))).
 276 apply div_mod_spec_div_mod.assumption.
 277 constructor 1.assumption.rewrite < plus_n_Sm.
 278 apply eq_f.
 279 apply div_mod.
 280 assumption.
 281 qed.
 282
 283 theorem mod_O_n: \forall n:nat.O \mod n = O.
 284 intro.elim n.simplify.reflexivity.
 285 simplify.reflexivity.
 286 qed.
 287
 288 theorem lt_to_eq_mod:\forall n,m:nat. n < m \to n \mod m = n.
 289 intros.
 290 apply (div_mod_spec_to_eq2 n m (n/m) (n \mod m) O n).
 291 apply div_mod_spec_div_mod.
 292 apply (le_to_lt_to_lt O n m).apply le_O_n.assumption.
 293 constructor 1.
 294 assumption.reflexivity.
 295 qed.
 296
 297 theorem mod_SO: \forall n:nat. mod n (S O) = O.
 298 intro.
 299 apply sym_eq.
 300 apply le_n_O_to_eq.
 301 apply le_S_S_to_le.
 302 apply lt_mod_m_m.
 303 apply le_n.
 304 qed.
 305
 306 theorem div_SO: \forall n:nat. div n (S O) = n.
 307 intro.
 308 rewrite > (div_mod ? (S O)) in \vdash (? ? ? %)
 309   [rewrite > mod_SO.
 310    rewrite < plus_n_O.
 311    apply times_n_SO
 312   |apply le_n
 313   ]
 314 qed.
 315
 316 theorem or_div_mod: \forall n,q. O < q \to
 317 ((S (n \mod q)=q) \land S n = (S (div n q)) * q \lor
 318 ((S (n \mod q)<q) \land S n= (div n q) * q + S (n\mod q))).
 319 intros.
 320 elim (le_to_or_lt_eq ? ? (lt_mod_m_m n q H))
 321   [right.split
 322     [assumption
 323     |rewrite < plus_n_Sm.
 324      apply eq_f.
 325      apply div_mod.
 326      assumption
 327     ]
 328   |left.split
 329     [assumption
 330     |simplify.
 331      rewrite > sym_plus.
 332      rewrite < H1 in ⊢ (? ? ? (? ? %)).
 333      rewrite < plus_n_Sm.
 334      apply eq_f.
 335      apply div_mod.
 336      assumption
 337     ]
 338   ]
 339 qed.
 340
 341 (* injectivity *)
 342 theorem injective_times_r: \forall n:nat.injective nat nat (\lambda m:nat.(S n)*m).
 343 change with (\forall n,p,q:nat.(S n)*p = (S n)*q \to p=q).
 344 intros.
 345 rewrite < (div_times n).
 346 rewrite < (div_times n q).
 347 apply eq_f2.assumption.
 348 reflexivity.
 349 qed.
 350
 351 variant inj_times_r : \forall n,p,q:nat.(S n)*p = (S n)*q \to p=q \def
 352 injective_times_r.
 353
 354 theorem lt_O_to_injective_times_r: \forall n:nat. O < n \to injective nat nat (\lambda m:nat.n*m).
 355 simplify.
 356 intros 4.
 357 apply (lt_O_n_elim n H).intros.
 358 apply (inj_times_r m).assumption.
 359 qed.
 360
 361 variant inj_times_r1:\forall n. O < n \to \forall p,q:nat.n*p = n*q \to p=q
 362 \def lt_O_to_injective_times_r.
 363
 364 theorem injective_times_l: \forall n:nat.injective nat nat (\lambda m:nat.m*(S n)).
 365 simplify.
 366 intros.
 367 apply (inj_times_r n x y).
 368 rewrite < sym_times.
 369 rewrite < (sym_times y).
 370 assumption.
 371 qed.
 372
 373 variant inj_times_l : \forall n,p,q:nat. p*(S n) = q*(S n) \to p=q \def
 374 injective_times_l.
 375
 376 theorem lt_O_to_injective_times_l: \forall n:nat. O < n \to injective nat nat (\lambda m:nat.m*n).
 377 simplify.
 378 intros 4.
 379 apply (lt_O_n_elim n H).intros.
 380 apply (inj_times_l m).assumption.
 381 qed.
 382
 383 variant inj_times_l1:\forall n. O < n \to \forall p,q:nat.p*n = q*n \to p=q
 384 \def lt_O_to_injective_times_l.
 385
 386
 387 (* n_divides computes the pair (div,mod) *)
 388
 389 (* p is just an upper bound, acc is an accumulator *)
 390 let rec n_divides_aux p n m acc \def
 391   match n \mod m with
 392   [ O \Rightarrow
 393     match p with
 394       [ O \Rightarrow pair nat nat acc n
 395       | (S p) \Rightarrow n_divides_aux p (n / m) m (S acc)]
 396   | (S a) \Rightarrow pair nat nat acc n].
 397
 398 (* n_divides n m = <q,r> if m divides n q times, with remainder r *)
 399 definition n_divides \def \lambda n,m:nat.n_divides_aux n n m O.
 400