matita/library/nat/exp.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/exp".
  16
  17 include "nat/div_and_mod.ma".
  18 include "nat/lt_arith.ma".
  19
  20 let rec exp n m on m\def
  21  match m with
  22  [ O \Rightarrow (S O)
  23  | (S p) \Rightarrow (times n (exp n p)) ].
  24
  25 interpretation "natural exponent" 'exp a b = (cic:/matita/nat/exp/exp.con a b).
  26
  27 theorem exp_plus_times : \forall n,p,q:nat.
  28 n \sup (p + q) = (n \sup p) * (n \sup q).
  29 intros.elim p.
  30 simplify.rewrite < plus_n_O.reflexivity.
  31 simplify.rewrite > H.symmetry.
  32 apply assoc_times.
  33 qed.
  34
  35 theorem exp_n_O : \forall n:nat. S O = n \sup O.
  36 intro.simplify.reflexivity.
  37 qed.
  38
  39 theorem exp_n_SO : \forall n:nat. n = n \sup (S O).
  40 intro.simplify.rewrite < times_n_SO.reflexivity.
  41 qed.
  42
  43 theorem exp_SSO: \forall n. exp n (S(S O)) = n*n.
  44 intro.simplify.
  45 rewrite < times_n_SO.
  46 reflexivity.
  47 qed.
  48
  49 theorem exp_exp_times : \forall n,p,q:nat.
  50 (n \sup p) \sup q = n \sup (p * q).
  51 intros.
  52 elim q.simplify.rewrite < times_n_O.simplify.reflexivity.
  53 simplify.rewrite > H.rewrite < exp_plus_times.
  54 rewrite < times_n_Sm.reflexivity.
  55 qed.
  56
  57 theorem lt_O_exp: \forall n,m:nat. O < n \to O < n \sup m.
  58 intros.elim m.simplify.unfold lt.apply le_n.
  59 simplify.unfold lt.rewrite > times_n_SO.
  60 apply le_times.assumption.assumption.
  61 qed.
  62
  63 theorem lt_m_exp_nm: \forall n,m:nat. (S O) < n \to m < n \sup m.
  64 intros.elim m.simplify.unfold lt.apply le_n.
  65 simplify.unfold lt.
  66 apply (trans_le ? ((S(S O))*(S n1))).
  67 simplify.
  68 rewrite < plus_n_Sm.apply le_S_S.apply le_S_S.
  69 rewrite < sym_plus.
  70 apply le_plus_n.
  71 apply le_times.assumption.assumption.
  72 qed.
  73
  74 theorem exp_to_eq_O: \forall n,m:nat. (S O) < n
  75 \to n \sup m = (S O) \to m = O.
  76 intros.apply antisym_le.apply le_S_S_to_le.
  77 rewrite < H1.change with (m < n \sup m).
  78 apply lt_m_exp_nm.assumption.
  79 apply le_O_n.
  80 qed.
  81
  82 theorem injective_exp_r: \forall n:nat. (S O) < n \to
  83 injective nat nat (\lambda m:nat. n \sup m).
  84 simplify.intros 4.
  85 apply (nat_elim2 (\lambda x,y.n \sup x = n \sup y \to x = y)).
  86 intros.apply sym_eq.apply (exp_to_eq_O n).assumption.
  87 rewrite < H1.reflexivity.
  88 intros.apply (exp_to_eq_O n).assumption.assumption.
  89 intros.apply eq_f.
  90 apply H1.
  91 (* esprimere inj_times senza S *)
  92 cut (\forall a,b:nat.O < n \to n*a=n*b \to a=b).
  93 apply Hcut.simplify.unfold lt.apply le_S_S_to_le. apply le_S. assumption.
  94 assumption.
  95 intros 2.
  96 apply (nat_case n).
  97 intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O O H3).
  98 intros.
  99 apply (inj_times_r m1).assumption.
 100 qed.
 101
 102 variant inj_exp_r: \forall p:nat. (S O) < p \to \forall n,m:nat.
 103 p \sup n = p \sup m \to n = m \def
 104 injective_exp_r.
 105
 106 theorem le_exp: \forall n,m,p:nat. O < p \to n \le m \to exp p n \le exp p m.
 107 apply nat_elim2
 108   [intros.
 109    apply lt_O_exp.assumption
 110   |intros.
 111    apply False_ind.
 112    apply (le_to_not_lt ? ? ? H1).
 113    apply le_O_n
 114   |intros.
 115    simplify.
 116    apply le_times
 117     [apply le_n
 118     |apply H[assumption|apply le_S_S_to_le.assumption]
 119     ]
 120   ]
 121 qed.
 122
 123 theorem lt_exp: \forall n,m,p:nat. S O < p \to n < m \to exp p n < exp p m.
 124 apply nat_elim2
 125   [intros.
 126    apply (lt_O_n_elim ? H1).intro.
 127    simplify.unfold lt.
 128    rewrite > times_n_SO.
 129    apply le_times
 130     [assumption
 131     |apply lt_O_exp.
 132      apply (trans_lt ? (S O))[apply le_n|assumption]
 133     ]
 134   |intros.
 135    apply False_ind.
 136    apply (le_to_not_lt ? ? ? H1).
 137    apply le_O_n
 138   |intros.simplify.
 139    apply lt_times_r1
 140     [apply (trans_lt ? (S O))[apply le_n|assumption]
 141     |apply H
 142       [apply H1
 143       |apply le_S_S_to_le.assumption
 144       ]
 145     ]
 146   ]
 147 qed.
 148
 149 theorem le_exp_to_le:
 150 \forall a,n,m. S O < a \to exp a n \le exp a m \to n \le m.
 151 intro.
 152 apply nat_elim2;intros
 153   [apply le_O_n
 154   |apply False_ind.
 155    apply (le_to_not_lt ? ? H1).
 156    simplify.
 157    rewrite > times_n_SO.
 158    apply lt_to_le_to_lt_times
 159     [assumption
 160     |apply lt_O_exp.apply lt_to_le.assumption
 161     |apply lt_O_exp.apply lt_to_le.assumption
 162     ]
 163   |simplify in H2.
 164    apply le_S_S.
 165    apply H
 166     [assumption
 167     |apply (le_times_to_le a)
 168       [apply lt_to_le.assumption|assumption]
 169     ]
 170   ]
 171 qed.
 172
 173 theorem lt_exp_to_lt:
 174 \forall a,n,m. S O < a \to exp a n < exp a m \to n < m.
 175 intros.
 176 elim (le_to_or_lt_eq n m)
 177   [assumption
 178   |apply False_ind.
 179    apply (lt_to_not_eq ? ? H1).
 180    rewrite < H2.
 181    reflexivity
 182   |apply (le_exp_to_le a)
 183     [assumption
 184     |apply lt_to_le.
 185      assumption
 186     ]
 187   ]
 188 qed.
 189
 190
 191
 192