matita/library/nat/le_arith.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/le_arith".
  16
  17 include "nat/times.ma".
  18 include "nat/orders.ma".
  19
  20 (* plus *)
  21 theorem monotonic_le_plus_r:
  22 \forall n:nat.monotonic nat le (\lambda m.n + m).
  23 simplify.intros.elim n
  24   [simplify.assumption.
  25   |simplify.apply le_S_S.assumption
  26   ]
  27 qed.
  28
  29 theorem le_plus_r: \forall p,n,m:nat. n \le m \to p + n \le p + m
  30 \def monotonic_le_plus_r.
  31
  32 theorem monotonic_le_plus_l:
  33 \forall m:nat.monotonic nat le (\lambda n.n + m).
  34 simplify.intros.
  35 rewrite < sym_plus.rewrite < (sym_plus m).
  36 apply le_plus_r.assumption.
  37 qed.
  38
  39 theorem le_plus_l: \forall p,n,m:nat. n \le m \to n + p \le m + p
  40 \def monotonic_le_plus_l.
  41
  42 theorem le_plus: \forall n1,n2,m1,m2:nat. n1 \le n2  \to m1 \le m2
  43 \to n1 + m1 \le n2 + m2.
  44 intros.
  45 (**
  46 auto.
  47 *)
  48 apply (transitive_le (plus n1 m1) (plus n1 m2) (plus n2 m2) ? ?);
  49   [apply (monotonic_le_plus_r n1 m1 m2 ?).
  50    apply (H1).
  51   |apply (monotonic_le_plus_l m2 n1 n2 ?).
  52    apply (H).
  53   ]
  54 (* end auto($Revision$) proof: TIME=0.61 SIZE=100 DEPTH=100 *)
  55 (*
  56 apply (trans_le ? (n2 + m1)).
  57 apply le_plus_l.assumption.
  58 apply le_plus_r.assumption.
  59 *)
  60 qed.
  61
  62 theorem le_plus_n :\forall n,m:nat. m \le n + m.
  63 intros.change with (O+m \le n+m).
  64 apply le_plus_l.apply le_O_n.
  65 qed.
  66
  67 theorem le_plus_n_r :\forall n,m:nat. m \le m + n.
  68 intros.rewrite > sym_plus.
  69 apply le_plus_n.
  70 qed.
  71
  72 theorem eq_plus_to_le: \forall n,m,p:nat.n=m+p \to m \le n.
  73 intros.rewrite > H.
  74 rewrite < sym_plus.
  75 apply le_plus_n.
  76 qed.
  77
  78 theorem le_plus_to_le:
  79 \forall a,n,m. a + n \le a + m \to n \le m.
  80 intro.
  81 elim a
  82   [assumption
  83   |apply H.
  84    apply le_S_S_to_le.assumption
  85   ]
  86 qed.
  87
  88 (* times *)
  89 theorem monotonic_le_times_r:
  90 \forall n:nat.monotonic nat le (\lambda m. n * m).
  91 simplify.intros.elim n.
  92 simplify.apply le_O_n.
  93 simplify.apply le_plus.
  94 assumption.
  95 assumption.
  96 qed.
  97
  98 theorem le_times_r: \forall p,n,m:nat. n \le m \to p*n \le p*m
  99 \def monotonic_le_times_r.
 100
 101 theorem monotonic_le_times_l:
 102 \forall m:nat.monotonic nat le (\lambda n.n*m).
 103 simplify.intros.
 104 rewrite < sym_times.rewrite < (sym_times m).
 105 apply le_times_r.assumption.
 106 qed.
 107
 108 theorem le_times_l: \forall p,n,m:nat. n \le m \to n*p \le m*p
 109 \def monotonic_le_times_l.
 110
 111 theorem le_times: \forall n1,n2,m1,m2:nat. n1 \le n2  \to m1 \le m2
 112 \to n1*m1 \le n2*m2.
 113 intros.
 114 apply (trans_le ? (n2*m1)).
 115 apply le_times_l.assumption.
 116 apply le_times_r.assumption.
 117 qed.
 118
 119 theorem le_times_n: \forall n,m:nat.(S O) \le n \to m \le n*m.
 120 intros.elim H.simplify.
 121 elim (plus_n_O ?).apply le_n.
 122 simplify.rewrite < sym_plus.apply le_plus_n.
 123 qed.
 124
 125 theorem le_times_to_le:
 126 \forall a,n,m. S O \le a \to a * n \le a * m \to n \le m.
 127 intro.
 128 apply nat_elim2;intros
 129   [apply le_O_n
 130   |apply False_ind.
 131    rewrite < times_n_O in H1.
 132    generalize in match H1.
 133    apply (lt_O_n_elim ? H).
 134    intros.
 135    simplify in H2.
 136    apply (le_to_not_lt ? ? H2).
 137    apply lt_O_S
 138   |apply le_S_S.
 139    apply H
 140     [assumption
 141     |rewrite < times_n_Sm in H2.
 142      rewrite < times_n_Sm in H2.
 143      apply (le_plus_to_le a).
 144      assumption
 145     ]
 146   ]
 147 qed.
 148
 149 (*0 and times *)
 150 theorem O_lt_const_to_le_times_const:  \forall a,c:nat.
 151 O \lt c \to a \le a*c.
 152 intros.
 153 rewrite > (times_n_SO a) in \vdash (? % ?).
 154 apply le_times
 155 [ apply le_n
 156 | assumption
 157 ]
 158 qed.