matita/library/nat/le_arith.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "nat/times.ma".
  16 include "nat/orders.ma".
  17
  18 (* plus *)
  19 theorem monotonic_le_plus_r:
  20 \forall n:nat.monotonic nat le (\lambda m.n + m).
  21 simplify.intros.elim n
  22   [simplify.assumption.
  23   |simplify.apply le_S_S.assumption
  24   ]
  25 qed.
  26
  27 theorem le_plus_r: \forall p,n,m:nat. n \le m \to p + n \le p + m
  28 \def monotonic_le_plus_r.
  29
  30 theorem monotonic_le_plus_l:
  31 \forall m:nat.monotonic nat le (\lambda n.n + m).
  32 simplify.intros.
  33 rewrite < sym_plus.rewrite < (sym_plus m).
  34 apply le_plus_r.assumption.
  35 qed.
  36
  37 theorem le_plus_l: \forall p,n,m:nat. n \le m \to n + p \le m + p
  38 \def monotonic_le_plus_l.
  39
  40 theorem le_plus: \forall n1,n2,m1,m2:nat. n1 \le n2  \to m1 \le m2
  41 \to n1 + m1 \le n2 + m2.
  42 intros.
  43 (**
  44 auto.
  45 *)
  46 apply (transitive_le (plus n1 m1) (plus n1 m2) (plus n2 m2) ? ?);
  47   [apply (monotonic_le_plus_r n1 m1 m2 ?).
  48    apply (H1).
  49   |apply (monotonic_le_plus_l m2 n1 n2 ?).
  50    apply (H).
  51   ]
  52 (* end auto($Revision$) proof: TIME=0.61 SIZE=100 DEPTH=100 *)
  53 (*
  54 apply (trans_le ? (n2 + m1)).
  55 apply le_plus_l.assumption.
  56 apply le_plus_r.assumption.
  57 *)
  58 qed.
  59
  60 theorem le_plus_n :\forall n,m:nat. m \le n + m.
  61 intros.change with (O+m \le n+m).
  62 apply le_plus_l.apply le_O_n.
  63 qed.
  64
  65 theorem le_plus_n_r :\forall n,m:nat. m \le m + n.
  66 intros.rewrite > sym_plus.
  67 apply le_plus_n.
  68 qed.
  69
  70 theorem eq_plus_to_le: \forall n,m,p:nat.n=m+p \to m \le n.
  71 intros.rewrite > H.
  72 rewrite < sym_plus.
  73 apply le_plus_n.
  74 qed.
  75
  76 theorem le_plus_to_le:
  77 \forall a,n,m. a + n \le a + m \to n \le m.
  78 intro.
  79 elim a
  80   [assumption
  81   |apply H.
  82    apply le_S_S_to_le.assumption
  83   ]
  84 qed.
  85
  86 (* times *)
  87 theorem monotonic_le_times_r:
  88 \forall n:nat.monotonic nat le (\lambda m. n * m).
  89 simplify.intros.elim n.
  90 simplify.apply le_O_n.
  91 simplify.apply le_plus.
  92 assumption.
  93 assumption.
  94 qed.
  95
  96 theorem le_times_r: \forall p,n,m:nat. n \le m \to p*n \le p*m
  97 \def monotonic_le_times_r.
  98
  99 theorem monotonic_le_times_l:
 100 \forall m:nat.monotonic nat le (\lambda n.n*m).
 101 simplify.intros.
 102 rewrite < sym_times.rewrite < (sym_times m).
 103 apply le_times_r.assumption.
 104 qed.
 105
 106 theorem le_times_l: \forall p,n,m:nat. n \le m \to n*p \le m*p
 107 \def monotonic_le_times_l.
 108
 109 theorem le_times: \forall n1,n2,m1,m2:nat. n1 \le n2  \to m1 \le m2
 110 \to n1*m1 \le n2*m2.
 111 intros.
 112 apply (trans_le ? (n2*m1)).
 113 apply le_times_l.assumption.
 114 apply le_times_r.assumption.
 115 qed.
 116
 117 theorem le_times_n: \forall n,m:nat.(S O) \le n \to m \le n*m.
 118 intros.elim H.simplify.
 119 elim (plus_n_O ?).apply le_n.
 120 simplify.rewrite < sym_plus.apply le_plus_n.
 121 qed.
 122
 123 theorem le_times_to_le:
 124 \forall a,n,m. S O \le a \to a * n \le a * m \to n \le m.
 125 intro.
 126 apply nat_elim2;intros
 127   [apply le_O_n
 128   |apply False_ind.
 129    rewrite < times_n_O in H1.
 130    generalize in match H1.
 131    apply (lt_O_n_elim ? H).
 132    intros.
 133    simplify in H2.
 134    apply (le_to_not_lt ? ? H2).
 135    apply lt_O_S
 136   |apply le_S_S.
 137    apply H
 138     [assumption
 139     |rewrite < times_n_Sm in H2.
 140      rewrite < times_n_Sm in H2.
 141      apply (le_plus_to_le a).
 142      assumption
 143     ]
 144   ]
 145 qed.
 146
 147 theorem le_S_times_SSO: \forall n,m.O < m \to
 148 n \le m \to S n \le (S(S O))*m.
 149 intros.
 150 simplify.
 151 rewrite > plus_n_O.
 152 simplify.rewrite > plus_n_Sm.
 153 apply le_plus
 154   [assumption
 155   |rewrite < plus_n_O.
 156    assumption
 157   ]
 158 qed.
 159 (*0 and times *)
 160 theorem O_lt_const_to_le_times_const:  \forall a,c:nat.
 161 O \lt c \to a \le a*c.
 162 intros.
 163 rewrite > (times_n_SO a) in \vdash (? % ?).
 164 apply le_times
 165 [ apply le_n
 166 | assumption
 167 ]
 168 qed.