matita/library/nat/lt_arith.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/lt_arith".
  16
  17 include "nat/div_and_mod.ma".
  18
  19 (* plus *)
  20 theorem monotonic_lt_plus_r:
  21 \forall n:nat.monotonic nat lt (\lambda m.n+m).
  22 simplify.intros.
  23 elim n.simplify.assumption.
  24 simplify.unfold lt.
  25 apply le_S_S.assumption.
  26 qed.
  27
  28 variant lt_plus_r: \forall n,p,q:nat. p < q \to n + p < n + q \def
  29 monotonic_lt_plus_r.
  30
  31 theorem monotonic_lt_plus_l:
  32 \forall n:nat.monotonic nat lt (\lambda m.m+n).
  33 simplify.
  34 intros.
  35 rewrite < sym_plus. rewrite < (sym_plus n).
  36 apply lt_plus_r.assumption.
  37 qed.
  38
  39 variant lt_plus_l: \forall n,p,q:nat. p < q \to p + n < q + n \def
  40 monotonic_lt_plus_l.
  41
  42 theorem lt_plus: \forall n,m,p,q:nat. n < m \to p < q \to n + p < m + q.
  43 intros.
  44 apply (trans_lt ? (n + q)).
  45 apply lt_plus_r.assumption.
  46 apply lt_plus_l.assumption.
  47 qed.
  48
  49 theorem lt_plus_to_lt_l :\forall n,p,q:nat. p+n < q+n \to p<q.
  50 intro.elim n.
  51 rewrite > plus_n_O.
  52 rewrite > (plus_n_O q).assumption.
  53 apply H.
  54 unfold lt.apply le_S_S_to_le.
  55 rewrite > plus_n_Sm.
  56 rewrite > (plus_n_Sm q).
  57 exact H1.
  58 qed.
  59
  60 theorem lt_plus_to_lt_r :\forall n,p,q:nat. n+p < n+q \to p<q.
  61 intros.apply (lt_plus_to_lt_l n).
  62 rewrite > sym_plus.
  63 rewrite > (sym_plus q).assumption.
  64 qed.
  65
  66 theorem le_to_lt_to_plus_lt: \forall a,b,c,d:nat.
  67 a \le c \to b \lt d \to (a + b) \lt (c+d).
  68 intros.
  69 cut (a \lt c \lor a = c)
  70 [ elim Hcut
  71   [ apply (lt_plus );
  72       assumption
  73   | rewrite > H2.
  74     apply (lt_plus_r c b d).
  75     assumption
  76   ]
  77 | apply le_to_or_lt_eq.
  78   assumption
  79 ]
  80 qed.
  81
  82
  83 (* times and zero *)
  84 theorem lt_O_times_S_S: \forall n,m:nat.O < (S n)*(S m).
  85 intros.simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
  86 qed.
  87
  88 theorem lt_times_eq_O: \forall a,b:nat.
  89 O \lt a \to (a * b) = O \to b = O.
  90 intros.
  91 apply (nat_case1 b)
  92 [ intros.
  93   reflexivity
  94 | intros.
  95   rewrite > H2 in H1.
  96   rewrite > (S_pred a) in H1
  97   [ apply False_ind.
  98     apply (eq_to_not_lt O ((S (pred a))*(S m)))
  99     [ apply sym_eq.
 100       assumption
 101     | apply lt_O_times_S_S
 102     ]
 103   | assumption
 104   ]
 105 ]
 106 qed.
 107
 108 theorem O_lt_times_to_O_lt: \forall a,c:nat.
 109 O \lt (a * c) \to O \lt a.
 110 intros.
 111 apply (nat_case1 a)
 112 [ intros.
 113   rewrite > H1 in H.
 114   simplify in H.
 115   assumption
 116 | intros.
 117   apply lt_O_S
 118 ]
 119 qed.
 120
 121 (* times *)
 122 theorem monotonic_lt_times_r:
 123 \forall n:nat.monotonic nat lt (\lambda m.(S n)*m).
 124 simplify.
 125 intros.elim n.
 126 simplify.rewrite < plus_n_O.rewrite < plus_n_O.assumption.
 127 apply lt_plus.assumption.assumption.
 128 qed.
 129
 130 (* a simple variant of the previus monotionic_lt_times *)
 131 theorem monotonic_lt_times_variant: \forall c:nat.
 132 O \lt c \to monotonic nat lt (\lambda t.(t*c)).
 133 intros.
 134 apply (increasing_to_monotonic).
 135 unfold increasing.
 136 intros.
 137 simplify.
 138 rewrite > sym_plus.
 139 rewrite > plus_n_O in \vdash (? % ?).
 140 apply lt_plus_r.
 141 assumption.
 142 qed.
 143
 144 theorem lt_times_r: \forall n,p,q:nat. p < q \to (S n) * p < (S n) * q
 145 \def monotonic_lt_times_r.
 146
 147 theorem monotonic_lt_times_l:
 148 \forall m:nat.monotonic nat lt (\lambda n.n * (S m)).
 149 simplify.
 150 intros.
 151 rewrite < sym_times.rewrite < (sym_times (S m)).
 152 apply lt_times_r.assumption.
 153 qed.
 154
 155 variant lt_times_l: \forall n,p,q:nat. p<q \to p*(S n) < q*(S n)
 156 \def monotonic_lt_times_l.
 157
 158 theorem lt_times:\forall n,m,p,q:nat. n<m \to p<q \to n*p < m*q.
 159 intro.
 160 elim n.
 161 apply (lt_O_n_elim m H).
 162 intro.
 163 cut (lt O q).
 164 apply (lt_O_n_elim q Hcut).
 165 intro.change with (O < (S m1)*(S m2)).
 166 apply lt_O_times_S_S.
 167 apply (ltn_to_ltO p q H1).
 168 apply (trans_lt ? ((S n1)*q)).
 169 apply lt_times_r.assumption.
 170 cut (lt O q).
 171 apply (lt_O_n_elim q Hcut).
 172 intro.
 173 apply lt_times_l.
 174 assumption.
 175 apply (ltn_to_ltO p q H2).
 176 qed.
 177
 178 theorem lt_times_r1:
 179 \forall n,m,p. O < n \to m < p \to n*m < n*p.
 180 intros.
 181 elim H;apply lt_times_r;assumption.
 182 qed.
 183
 184 theorem lt_times_l1:
 185 \forall n,m,p. O < n \to m < p \to m*n < p*n.
 186 intros.
 187 elim H;apply lt_times_l;assumption.
 188 qed.
 189
 190 theorem lt_to_le_to_lt_times :
 191 \forall n,n1,m,m1. n < n1 \to m \le m1 \to O < m1 \to n*m < n1*m1.
 192 intros.
 193 apply (le_to_lt_to_lt ? (n*m1))
 194   [apply le_times_r.assumption
 195   |apply lt_times_l1
 196     [assumption|assumption]
 197   ]
 198 qed.
 199
 200 theorem lt_times_to_lt_l:
 201 \forall n,p,q:nat. p*(S n) < q*(S n) \to p < q.
 202 intros.
 203 cut (p < q \lor p \nlt q).
 204 elim Hcut.
 205 assumption.
 206 absurd (p * (S n) < q * (S n)).
 207 assumption.
 208 apply le_to_not_lt.
 209 apply le_times_l.
 210 apply not_lt_to_le.
 211 assumption.
 212 exact (decidable_lt p q).
 213 qed.
 214
 215 theorem lt_times_n_to_lt:
 216 \forall n,p,q:nat. O < n \to p*n < q*n \to p < q.
 217 intro.
 218 apply (nat_case n)
 219   [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_n ? H)
 220   |intros 4.apply lt_times_to_lt_l
 221   ]
 222 qed.
 223
 224 theorem lt_times_to_lt_r:
 225 \forall n,p,q:nat. (S n)*p < (S n)*q \to lt p q.
 226 intros.
 227 apply (lt_times_to_lt_l n).
 228 rewrite < sym_times.
 229 rewrite < (sym_times (S n)).
 230 assumption.
 231 qed.
 232
 233 theorem lt_times_n_to_lt_r:
 234 \forall n,p,q:nat. O < n \to n*p < n*q \to lt p q.
 235 intro.
 236 apply (nat_case n)
 237   [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_n ? H)
 238   |intros 4.apply lt_times_to_lt_r
 239   ]
 240 qed.
 241
 242 theorem nat_compare_times_l : \forall n,p,q:nat.
 243 nat_compare p q = nat_compare ((S n) * p) ((S n) * q).
 244 intros.apply nat_compare_elim.intro.
 245 apply nat_compare_elim.
 246 intro.reflexivity.
 247 intro.absurd (p=q).
 248 apply (inj_times_r n).assumption.
 249 apply lt_to_not_eq. assumption.
 250 intro.absurd (q<p).
 251 apply (lt_times_to_lt_r n).assumption.
 252 apply le_to_not_lt.apply lt_to_le.assumption.
 253 intro.rewrite < H.rewrite > nat_compare_n_n.reflexivity.
 254 intro.apply nat_compare_elim.intro.
 255 absurd (p<q).
 256 apply (lt_times_to_lt_r n).assumption.
 257 apply le_to_not_lt.apply lt_to_le.assumption.
 258 intro.absurd (q=p).
 259 symmetry.
 260 apply (inj_times_r n).assumption.
 261 apply lt_to_not_eq.assumption.
 262 intro.reflexivity.
 263 qed.
 264
 265 (* times and plus *)
 266 theorem lt_times_plus_times: \forall a,b,n,m:nat.
 267 a < n \to b < m \to a*m + b < n*m.
 268 intros 3.
 269 apply (nat_case n)
 270   [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H)
 271   |intros.simplify.
 272    rewrite < sym_plus.
 273    unfold.
 274    change with (S b+a*m1 \leq m1+m*m1).
 275    apply le_plus
 276     [assumption
 277     |apply le_times
 278       [apply le_S_S_to_le.assumption
 279       |apply le_n
 280       ]
 281     ]
 282   ]
 283 qed.
 284
 285 (* div *)
 286
 287 theorem eq_mod_O_to_lt_O_div: \forall n,m:nat. O < m \to O < n\to n \mod m = O \to O < n / m.
 288 intros 4.apply (lt_O_n_elim m H).intros.
 289 apply (lt_times_to_lt_r m1).
 290 rewrite < times_n_O.
 291 rewrite > (plus_n_O ((S m1)*(n / (S m1)))).
 292 rewrite < H2.
 293 rewrite < sym_times.
 294 rewrite < div_mod.
 295 rewrite > H2.
 296 assumption.
 297 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 298 qed.
 299
 300 theorem lt_div_n_m_n: \forall n,m:nat. (S O) < m \to O < n \to n / m \lt n.
 301 intros.
 302 apply (nat_case1 (n / m)).intro.
 303 assumption.intros.rewrite < H2.
 304 rewrite > (div_mod n m) in \vdash (? ? %).
 305 apply (lt_to_le_to_lt ? ((n / m)*m)).
 306 apply (lt_to_le_to_lt ? ((n / m)*(S (S O)))).
 307 rewrite < sym_times.
 308 rewrite > H2.
 309 simplify.unfold lt.
 310 rewrite < plus_n_O.
 311 rewrite < plus_n_Sm.
 312 apply le_S_S.
 313 apply le_S_S.
 314 apply le_plus_n.
 315 apply le_times_r.
 316 assumption.
 317 rewrite < sym_plus.
 318 apply le_plus_n.
 319 apply (trans_lt ? (S O)).
 320 unfold lt. apply le_n.assumption.
 321 qed.
 322
 323
 324 (* Forall a,b : N. 0 < b \to b * (a/b) <= a < b * (a/b +1) *)
 325 (* The theorem is shown in two different parts: *)
 326
 327 theorem lt_to_div_to_and_le_times_lt_S: \forall a,b,c:nat.
 328 O \lt b \to a/b = c \to (b*c \le a \land a \lt b*(S c)).
 329 intros.
 330 split
 331 [ rewrite < H1.
 332   rewrite > sym_times.
 333   rewrite > eq_times_div_minus_mod
 334   [ apply (le_minus_m a (a \mod b))
 335   | assumption
 336   ]
 337 | rewrite < (times_n_Sm b c).
 338   rewrite < H1.
 339   rewrite > sym_times.
 340   rewrite > (div_mod a b) in \vdash (? % ?)
 341   [ rewrite > (sym_plus b ((a/b)*b)).
 342     apply lt_plus_r.
 343     apply lt_mod_m_m.
 344     assumption
 345   | assumption
 346   ]
 347 ]
 348 qed.
 349
 350 theorem lt_to_le_times_to_lt_S_to_div: \forall a,c,b:nat.
 351 O \lt b \to (b*c) \le a \to a \lt (b*(S c)) \to a/b = c.
 352 intros.
 353 apply (le_to_le_to_eq)
 354 [ apply (leb_elim (a/b) c);intros
 355   [ assumption
 356   | cut (c \lt (a/b))
 357     [ apply False_ind.
 358       apply (lt_to_not_le (a \mod b) O)
 359       [ apply (lt_plus_to_lt_l ((a/b)*b)).
 360         simplify.
 361         rewrite < sym_plus.
 362         rewrite < div_mod
 363         [ apply (lt_to_le_to_lt ? (b*(S c)) ?)
 364           [ assumption
 365           | rewrite > (sym_times (a/b) b).
 366             apply le_times_r.
 367             assumption
 368           ]
 369         | assumption
 370         ]
 371       | apply le_O_n
 372       ]
 373     | apply not_le_to_lt.
 374       assumption
 375     ]
 376   ]
 377 | apply (leb_elim c (a/b));intros
 378   [ assumption
 379   | cut((a/b) \lt c)
 380     [ apply False_ind.
 381       apply (lt_to_not_le (a \mod b) b)
 382       [ apply (lt_mod_m_m).
 383         assumption
 384       | apply (le_plus_to_le ((a/b)*b)).
 385         rewrite < (div_mod a b)
 386         [ apply (trans_le ? (b*c) ?)
 387           [ rewrite > (sym_times (a/b) b).
 388             rewrite > (times_n_SO b) in \vdash (? (? ? %) ?).
 389             rewrite < distr_times_plus.
 390             rewrite > sym_plus.
 391             simplify in \vdash (? (? ? %) ?).
 392             apply le_times_r.
 393             assumption
 394           | assumption
 395           ]
 396         | assumption
 397         ]
 398       ]
 399     | apply not_le_to_lt.
 400       assumption
 401     ]
 402   ]
 403 ]
 404 qed.
 405
 406
 407 theorem lt_to_lt_to_eq_div_div_times_times: \forall a,b,c:nat.
 408 O \lt c \to O \lt b \to (a/b) = (a*c)/(b*c).
 409 intros.
 410 apply sym_eq.
 411 cut (b*(a/b) \le a \land a \lt b*(S (a/b)))
 412 [ elim Hcut.
 413   apply lt_to_le_times_to_lt_S_to_div
 414   [ rewrite > (S_pred b)
 415     [ rewrite > (S_pred c)
 416       [ apply (lt_O_times_S_S)
 417       | assumption
 418       ]
 419     | assumption
 420     ]
 421   | rewrite > assoc_times.
 422     rewrite > (sym_times c (a/b)).
 423     rewrite < assoc_times.
 424     rewrite > (sym_times (b*(a/b)) c).
 425     rewrite > (sym_times a c).
 426     apply (le_times_r c (b*(a/b)) a).
 427     assumption
 428   | rewrite > (sym_times a c).
 429     rewrite > (assoc_times ).
 430     rewrite > (sym_times c (S (a/b))).
 431     rewrite < (assoc_times).
 432     rewrite > (sym_times (b*(S (a/b))) c).
 433     apply (lt_times_r1 c a (b*(S (a/b))));
 434       assumption
 435   ]
 436 | apply (lt_to_div_to_and_le_times_lt_S)
 437   [ assumption
 438   | reflexivity
 439   ]
 440 ]
 441 qed.
 442
 443 theorem times_mod: \forall a,b,c:nat.
 444 O \lt c \to O \lt b \to ((a*c) \mod (b*c)) = c*(a\mod b).
 445 intros.
 446 apply (div_mod_spec_to_eq2 (a*c) (b*c) (a/b) ((a*c) \mod (b*c)) (a/b) (c*(a \mod b)))
 447 [ rewrite > (lt_to_lt_to_eq_div_div_times_times a b c)
 448   [ apply div_mod_spec_div_mod.
 449     rewrite > (S_pred b)
 450     [ rewrite > (S_pred c)
 451       [ apply lt_O_times_S_S
 452       | assumption
 453       ]
 454     | assumption
 455     ]
 456   | assumption
 457   | assumption
 458   ]
 459 | apply div_mod_spec_intro
 460   [ rewrite > (sym_times b c).
 461     apply (lt_times_r1 c)
 462     [ assumption
 463     | apply (lt_mod_m_m).
 464       assumption
 465     ]
 466   | rewrite < (assoc_times (a/b) b c).
 467     rewrite > (sym_times a c).
 468     rewrite > (sym_times ((a/b)*b) c).
 469     rewrite < (distr_times_plus c ? ?).
 470     apply eq_f.
 471     apply (div_mod a b).
 472     assumption
 473   ]
 474 ]
 475 qed.
 476
 477
 478
 479
 480 (* general properties of functions *)
 481 theorem monotonic_to_injective: \forall f:nat\to nat.
 482 monotonic nat lt f \to injective nat nat f.
 483 unfold injective.intros.
 484 apply (nat_compare_elim x y).
 485 intro.apply False_ind.apply (not_le_Sn_n (f x)).
 486 rewrite > H1 in \vdash (? ? %).
 487 change with (f x < f y).
 488 apply H.apply H2.
 489 intros.assumption.
 490 intro.apply False_ind.apply (not_le_Sn_n (f y)).
 491 rewrite < H1 in \vdash (? ? %).
 492 change with (f y < f x).
 493 apply H.apply H2.
 494 qed.
 495
 496 theorem increasing_to_injective: \forall f:nat\to nat.
 497 increasing f \to injective nat nat f.
 498 intros.apply monotonic_to_injective.
 499 apply increasing_to_monotonic.assumption.
 500 qed.
 501