matita/library/nat/minimization.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/minimization".
  16
  17 include "nat/minus.ma".
  18
  19 let rec max i f \def
  20   match (f i) with
  21   [ true \Rightarrow i
  22   | false \Rightarrow
  23       match i with
  24       [ O \Rightarrow O
  25       | (S j) \Rightarrow max j f ]].
  26
  27 theorem max_O_f : \forall f: nat \to bool. max O f = O.
  28 intro. simplify.
  29 elim (f O).
  30 simplify.reflexivity.
  31 simplify.reflexivity.
  32 qed.
  33
  34 theorem max_S_max : \forall f: nat \to bool. \forall n:nat.
  35 (f (S n) = true \land max (S n) f = (S n)) \lor
  36 (f (S n) = false \land max (S n) f = max n f).
  37 intros.simplify.elim (f (S n)).
  38 simplify.left.split.reflexivity.reflexivity.
  39 simplify.right.split.reflexivity.reflexivity.
  40 qed.
  41
  42 theorem le_max_n : \forall f: nat \to bool. \forall n:nat.
  43 max n f \le n.
  44 intros.elim n.rewrite > max_O_f.apply le_n.
  45 simplify.elim (f (S n1)).simplify.apply le_n.
  46 simplify.apply le_S.assumption.
  47 qed.
  48
  49 theorem le_to_le_max : \forall f: nat \to bool. \forall n,m:nat.
  50 n\le m  \to max n f \le max m f.
  51 intros.elim H.
  52 apply le_n.
  53 apply (trans_le ? (max n1 f)).apply H2.
  54 cut ((f (S n1) = true \land max (S n1) f = (S n1)) \lor
  55 (f (S n1) = false \land max (S n1) f = max n1 f)).
  56 elim Hcut.elim H3.
  57 rewrite > H5.
  58 apply le_S.apply le_max_n.
  59 elim H3.rewrite > H5.apply le_n.
  60 apply max_S_max.
  61 qed.
  62
  63 theorem f_m_to_le_max: \forall f: nat \to bool. \forall n,m:nat.
  64 m\le n \to f m = true \to m \le max n f.
  65 intros 3.elim n.apply (le_n_O_elim m H).
  66 apply le_O_n.
  67 apply (le_n_Sm_elim m n1 H1).
  68 intro.apply (trans_le ? (max n1 f)).
  69 apply H.apply le_S_S_to_le.assumption.assumption.
  70 apply le_to_le_max.apply le_n_Sn.
  71 intro.simplify.rewrite < H3.
  72 rewrite > H2.simplify.apply le_n.
  73 qed.
  74
  75 theorem max_f_g: \forall f,g,n. (\forall i. i \le n \to f i = g i) \to
  76 max n f = max n g.
  77 intros 3.
  78 elim n
  79   [simplify.
  80    rewrite > (H O)
  81     [reflexivity
  82     |apply le_n
  83     ]
  84   |simplify.
  85    rewrite > H
  86     [rewrite > H1
  87       [reflexivity
  88       |apply le_n
  89       ]
  90     |intros.
  91      apply H1.
  92      apply le_S.
  93      assumption
  94     ]
  95   ]
  96 qed.
  97
  98 theorem le_max_f_max_g: \forall f,g,n. (\forall i. i \le n \to f i = true \to g i =true) \to
  99 max n f \le max n g.
 100 intros 3.
 101 elim n
 102   [simplify.
 103    elim (f O);apply le_O_n
 104   |simplify.
 105    apply (bool_elim ? (f (S n1)));intro
 106     [rewrite > (H1 (S n1) ? H2)
 107       [apply le_n
 108       |apply le_n
 109       ]
 110     |cases (g(S n1))
 111       [simplify.
 112        apply le_S.
 113        apply le_max_n
 114       |simplify.
 115        apply H.
 116        intros.
 117        apply H1
 118         [apply le_S.assumption
 119         |assumption
 120         ]
 121       ]
 122     ]
 123   ]
 124 qed.
 125
 126
 127 theorem max_O : \forall f:nat \to bool. \forall n:nat.
 128 (\forall i:nat. le i n \to f i = false) \to max n f = O.
 129 intros 2.elim n
 130   [simplify.rewrite > H
 131     [reflexivity
 132     |apply le_O_n
 133     ]
 134   |simplify.rewrite > H1
 135     [simplify.apply H.
 136      intros.
 137      apply H1.
 138      apply le_S.
 139      assumption
 140     |apply le_n
 141     ]
 142   ]
 143 qed.
 144
 145 theorem f_max_true : \forall f:nat \to bool. \forall n:nat.
 146 (\exists i:nat. le i n \land f i = true) \to f (max n f) = true.
 147 intros 2.
 148 elim n.elim H.elim H1.generalize in match H3.
 149 apply (le_n_O_elim a H2).intro.simplify.rewrite > H4.
 150 simplify.assumption.
 151 simplify.
 152 apply (bool_ind (\lambda b:bool.
 153 (f (S n1) = b) \to (f (match b in bool with
 154 [ true \Rightarrow (S n1)
 155 | false  \Rightarrow (max n1 f)])) = true)).
 156 simplify.intro.assumption.
 157 simplify.intro.apply H.
 158 elim H1.elim H3.generalize in match H5.
 159 apply (le_n_Sm_elim a n1 H4).
 160 intros.
 161 apply (ex_intro nat ? a).
 162 split.apply le_S_S_to_le.assumption.assumption.
 163 intros.apply False_ind.apply not_eq_true_false.
 164 rewrite < H2.rewrite < H7.rewrite > H6. reflexivity.
 165 reflexivity.
 166 qed.
 167
 168 theorem exists_forall_le:\forall f,n.
 169 (\exists i. i \le n \land f i = true) \lor
 170 (\forall i. i \le n \to f i = false).
 171 intros.
 172 elim n
 173   [apply (bool_elim ? (f O));intro
 174     [left.apply (ex_intro ? ? O).
 175      split[apply le_n|assumption]
 176     |right.intros.
 177      apply (le_n_O_elim ? H1).
 178      assumption
 179     ]
 180   |elim H
 181     [elim H1.elim H2.
 182      left.apply (ex_intro ? ? a).
 183      split[apply le_S.assumption|assumption]
 184     |apply (bool_elim ? (f (S n1)));intro
 185       [left.apply (ex_intro ? ? (S n1)).
 186        split[apply le_n|assumption]
 187       |right.intros.
 188        elim (le_to_or_lt_eq ? ? H3)
 189         [apply H1.
 190          apply le_S_S_to_le.
 191          apply H4
 192         |rewrite > H4.
 193          assumption
 194         ]
 195       ]
 196     ]
 197   ]
 198 qed.
 199
 200 theorem exists_max_forall_false:\forall f,n.
 201 ((\exists i. i \le n \land f i = true) \land (f (max n f) = true))\lor
 202 ((\forall i. i \le n \to f i = false) \land (max n f) = O).
 203 intros.
 204 elim (exists_forall_le f n)
 205   [left.split
 206     [assumption
 207     |apply f_max_true.assumption
 208     ]
 209   |right.split
 210     [assumption
 211     |apply max_O.assumption
 212     ]
 213   ]
 214 qed.
 215
 216 theorem false_to_lt_max: \forall f,n,m.O < n \to
 217 f n = false \to max m f \le n \to max m f < n.
 218 intros.
 219 elim (le_to_or_lt_eq ? ? H2)
 220   [assumption
 221   |elim (exists_max_forall_false f m)
 222     [elim H4.
 223      apply False_ind.
 224      apply not_eq_true_false.
 225      rewrite < H6.
 226      rewrite > H3.
 227      assumption
 228     |elim H4.
 229      rewrite > H6.
 230      assumption
 231     ]
 232   ]
 233 qed.
 234
 235 theorem lt_max_to_false : \forall f:nat \to bool.
 236 \forall n,m:nat. (max n f) < m \to m \leq n \to f m = false.
 237 intros 2.
 238 elim n.absurd (le m O).assumption.
 239 cut (O < m).apply (lt_O_n_elim m Hcut).exact not_le_Sn_O.
 240 rewrite < (max_O_f f).assumption.
 241 generalize in match H1.
 242 elim (max_S_max f n1).
 243 elim H3.
 244 absurd (m \le S n1).assumption.
 245 apply lt_to_not_le.rewrite < H6.assumption.
 246 elim H3.
 247 apply (le_n_Sm_elim m n1 H2).
 248 intro.
 249 apply H.rewrite < H6.assumption.
 250 apply le_S_S_to_le.assumption.
 251 intro.rewrite > H7.assumption.
 252 qed.
 253
 254 theorem f_false_to_le_max: \forall f,n,p. (∃i:nat.i≤n∧f i=true) \to
 255 (\forall m. p < m \to f m = false)
 256 \to max n f \le p.
 257 intros.
 258 apply not_lt_to_le.intro.
 259 apply not_eq_true_false.
 260 rewrite < (H1 ? H2).
 261 apply sym_eq.
 262 apply f_max_true.
 263 assumption.
 264 qed.
 265
 266 definition max_spec \def \lambda f:nat \to bool.\lambda n,m: nat.
 267 m \le n \land (f m)=true \land (\forall i. m < i \to i \le n \to (f i = false)).
 268
 269 theorem max_spec_to_max: \forall f:nat \to bool.\forall n,m:nat.
 270 max_spec f n m \to max n f = m.
 271 intros 2.
 272 elim n
 273   [elim H.elim H1.apply (le_n_O_elim ? H3).
 274    apply max_O_f
 275   |elim H1.
 276    elim (max_S_max f n1)
 277     [elim H4.
 278      rewrite > H6.
 279      apply le_to_le_to_eq
 280       [apply not_lt_to_le.
 281        unfold Not.intro.
 282        apply not_eq_true_false.
 283        rewrite < H5.
 284        apply H3
 285         [assumption|apply le_n]
 286       |elim H2.assumption
 287       ]
 288     |elim H4.
 289      rewrite > H6.
 290      apply H.
 291      elim H2.
 292      split
 293       [split
 294         [elim (le_to_or_lt_eq ? ? H7)
 295           [apply le_S_S_to_le.assumption
 296           |apply False_ind.
 297            apply not_eq_true_false.
 298            rewrite < H8.
 299            rewrite > H9.
 300            assumption
 301           ]
 302         |assumption
 303         ]
 304       |intros.
 305        apply H3
 306         [assumption|apply le_S.assumption]
 307       ]
 308     ]
 309   ]
 310 qed.
 311
 312 let rec min_aux off n f \def
 313   match f n with
 314   [ true \Rightarrow n
 315   | false \Rightarrow
 316       match off with
 317       [ O \Rightarrow n
 318       | (S p) \Rightarrow min_aux p (S n) f]].
 319
 320 definition min : nat \to (nat \to bool) \to nat \def
 321 \lambda n.\lambda f. min_aux n O f.
 322
 323 theorem min_aux_O_f: \forall f:nat \to bool. \forall i :nat.
 324 min_aux O i f = i.
 325 intros.simplify.
 326 elim (f i).reflexivity.
 327 simplify.reflexivity.
 328 qed.
 329
 330 theorem min_O_f : \forall f:nat \to bool.
 331 min O f = O.
 332 intro.apply (min_aux_O_f f O).
 333 qed.
 334
 335 theorem min_aux_S : \forall f: nat \to bool. \forall i,n:nat.
 336 ((f n) = true \land min_aux (S i) n f = n) \lor
 337 ((f n) = false \land min_aux (S i) n f = min_aux i (S n) f).
 338 intros.simplify.elim (f n).
 339 simplify.left.split.reflexivity.reflexivity.
 340 simplify.right.split.reflexivity.reflexivity.
 341 qed.
 342
 343 theorem f_min_aux_true: \forall f:nat \to bool. \forall off,m:nat.
 344 (\exists i. le m i \land le i (off + m) \land f i = true) \to
 345 f (min_aux off m f) = true.
 346 intros 2.
 347 elim off.elim H.elim H1.elim H2.
 348 cut (a = m).
 349 rewrite > (min_aux_O_f f).rewrite < Hcut.assumption.
 350 apply (antisym_le a m).assumption.assumption.
 351 simplify.
 352 apply (bool_ind (\lambda b:bool.
 353 (f m = b) \to (f (match b in bool with
 354 [ true \Rightarrow m
 355 | false  \Rightarrow (min_aux n (S m) f)])) = true)).
 356 intro; assumption.
 357 intro. apply H.
 358 elim H1.elim H3.elim H4.
 359 elim (le_to_or_lt_eq ? a H6).
 360 apply (ex_intro nat ? a).
 361 split.split.
 362 assumption.
 363 rewrite < plus_n_Sm; assumption.
 364 assumption.
 365 absurd (f a = false).rewrite < H8.assumption.
 366 rewrite > H5.
 367 apply not_eq_true_false.
 368 reflexivity.
 369 qed.
 370
 371 theorem lt_min_aux_to_false : \forall f:nat \to bool.
 372 \forall n,off,m:nat. n \leq m \to m < (min_aux off n f) \to f m = false.
 373 intros 3.
 374 generalize in match n; clear n.
 375 elim off.absurd (le n1 m).assumption.
 376 apply lt_to_not_le.rewrite < (min_aux_O_f f n1).assumption.
 377 elim (le_to_or_lt_eq ? ? H1);
 378  [ unfold lt in H3;
 379    apply (H (S n1));
 380    [ assumption
 381    | elim (min_aux_S f n n1);
 382      [ elim H4;
 383        elim (not_le_Sn_n n1);
 384        rewrite > H6 in H2;
 385        apply (lt_to_le (S n1) n1 ?).
 386        apply (le_to_lt_to_lt (S n1) m n1 ? ?);
 387         [apply (H3).
 388         |apply (H2).
 389         ]
 390      | elim H4;
 391        rewrite < H6;
 392        assumption
 393      ]
 394    ]
 395  | rewrite < H3 in H2 ⊢ %.
 396    elim (min_aux_S f n n1);
 397     [ elim H4;
 398       rewrite > H6 in H2;
 399       unfold lt in H2;
 400       elim (not_le_Sn_n ? H2)
 401     | elim H4;
 402       assumption
 403     ]
 404  ]
 405 qed.
 406
 407
 408 lemma le_min_aux : \forall f:nat \to bool.
 409 \forall n,off:nat. n \leq (min_aux off n f).
 410 intros 3.
 411 generalize in match n. clear n.
 412 elim off.
 413 rewrite > (min_aux_O_f f n1).apply le_n.
 414 elim (min_aux_S f n n1).
 415 elim H1.rewrite > H3.apply le_n.
 416 elim H1.rewrite > H3.
 417 apply (transitive_le ? (S n1));
 418  [ apply le_n_Sn
 419  | apply (H (S n1))
 420  ]
 421 qed.
 422
 423 theorem le_min_aux_r : \forall f:nat \to bool.
 424 \forall n,off:nat. (min_aux off n f) \le n+off.
 425 intros.
 426 generalize in match n. clear n.
 427 elim off.simplify.
 428 elim (f n1).simplify.rewrite < plus_n_O.apply le_n.
 429 simplify.rewrite < plus_n_O.apply le_n.
 430 simplify.elim (f n1).
 431 simplify.
 432 apply (le_plus_n_r (S n) n1).
 433 simplify.rewrite < plus_n_Sm.
 434 apply (H (S n1)).
 435 qed.