matita/library/nat/minimization.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/minimization".
  16
  17 include "nat/minus.ma".
  18
  19 let rec max i f \def
  20   match (f i) with
  21   [ true \Rightarrow i
  22   | false \Rightarrow
  23       match i with
  24       [ O \Rightarrow O
  25       | (S j) \Rightarrow max j f ]].
  26
  27 theorem max_O_f : \forall f: nat \to bool. max O f = O.
  28 intro. simplify.
  29 elim (f O).
  30 simplify.reflexivity.
  31 simplify.reflexivity.
  32 qed.
  33
  34 theorem max_S_max : \forall f: nat \to bool. \forall n:nat.
  35 (f (S n) = true \land max (S n) f = (S n)) \lor
  36 (f (S n) = false \land max (S n) f = max n f).
  37 intros.simplify.elim (f (S n)).
  38 simplify.left.split.reflexivity.reflexivity.
  39 simplify.right.split.reflexivity.reflexivity.
  40 qed.
  41
  42 theorem le_max_n : \forall f: nat \to bool. \forall n:nat.
  43 max n f \le n.
  44 intros.elim n.rewrite > max_O_f.apply le_n.
  45 simplify.elim (f (S n1)).simplify.apply le_n.
  46 simplify.apply le_S.assumption.
  47 qed.
  48
  49 theorem le_to_le_max : \forall f: nat \to bool. \forall n,m:nat.
  50 n\le m  \to max n f \le max m f.
  51 intros.elim H.
  52 apply le_n.
  53 apply (trans_le ? (max n1 f)).apply H2.
  54 cut ((f (S n1) = true \land max (S n1) f = (S n1)) \lor
  55 (f (S n1) = false \land max (S n1) f = max n1 f)).
  56 elim Hcut.elim H3.
  57 rewrite > H5.
  58 apply le_S.apply le_max_n.
  59 elim H3.rewrite > H5.apply le_n.
  60 apply max_S_max.
  61 qed.
  62
  63 theorem f_m_to_le_max: \forall f: nat \to bool. \forall n,m:nat.
  64 m\le n \to f m = true \to m \le max n f.
  65 intros 3.elim n.apply (le_n_O_elim m H).
  66 apply le_O_n.
  67 apply (le_n_Sm_elim m n1 H1).
  68 intro.apply (trans_le ? (max n1 f)).
  69 apply H.apply le_S_S_to_le.assumption.assumption.
  70 apply le_to_le_max.apply le_n_Sn.
  71 intro.simplify.rewrite < H3.
  72 rewrite > H2.simplify.apply le_n.
  73 qed.
  74
  75 theorem f_max_true : \forall f:nat \to bool. \forall n:nat.
  76 (\exists i:nat. le i n \land f i = true) \to f (max n f) = true.
  77 intros 2.
  78 elim n.elim H.elim H1.generalize in match H3.
  79 apply (le_n_O_elim a H2).intro.simplify.rewrite > H4.
  80 simplify.assumption.
  81 simplify.
  82 apply (bool_ind (\lambda b:bool.
  83 (f (S n1) = b) \to (f (match b in bool with
  84 [ true \Rightarrow (S n1)
  85 | false  \Rightarrow (max n1 f)])) = true)).
  86 simplify.intro.assumption.
  87 simplify.intro.apply H.
  88 elim H1.elim H3.generalize in match H5.
  89 apply (le_n_Sm_elim a n1 H4).
  90 intros.
  91 apply (ex_intro nat ? a).
  92 split.apply le_S_S_to_le.assumption.assumption.
  93 intros.apply False_ind.apply not_eq_true_false.
  94 rewrite < H2.rewrite < H7.rewrite > H6. reflexivity.
  95 reflexivity.
  96 qed.
  97
  98 theorem lt_max_to_false : \forall f:nat \to bool.
  99 \forall n,m:nat. (max n f) < m \to m \leq n \to f m = false.
 100 intros 2.
 101 elim n.absurd (le m O).assumption.
 102 cut (O < m).apply (lt_O_n_elim m Hcut).exact not_le_Sn_O.
 103 rewrite < (max_O_f f).assumption.
 104 generalize in match H1.
 105 elim (max_S_max f n1).
 106 elim H3.
 107 absurd (m \le S n1).assumption.
 108 apply lt_to_not_le.rewrite < H6.assumption.
 109 elim H3.
 110 apply (le_n_Sm_elim m n1 H2).
 111 intro.
 112 apply H.rewrite < H6.assumption.
 113 apply le_S_S_to_le.assumption.
 114 intro.rewrite > H7.assumption.
 115 qed.
 116
 117 definition max_spec \def \lambda f:nat \to bool.\lambda n,m: nat.
 118 m \le n \land (f m)=true \land (\forall i. m < i \to i \le n \to (f i = false)).
 119
 120 theorem max_spec_to_max: \forall f:nat \to bool.\forall n,m:nat.
 121 max_spec f n m \to max n f = m.
 122 intros 2.
 123 elim n
 124   [elim H.elim H1.apply (le_n_O_elim ? H3).
 125    apply max_O_f
 126   |elim H1.
 127    elim (max_S_max f n1)
 128     [elim H4.
 129      rewrite > H6.
 130      apply le_to_le_to_eq
 131       [apply not_lt_to_le.
 132        unfold Not.intro.
 133        apply not_eq_true_false.
 134        rewrite < H5.
 135        apply H3
 136         [assumption|apply le_n]
 137       |elim H2.assumption
 138       ]
 139     |elim H4.
 140      rewrite > H6.
 141      apply H.
 142      elim H2.
 143      split
 144       [split
 145         [elim (le_to_or_lt_eq ? ? H7)
 146           [apply le_S_S_to_le.assumption
 147           |apply False_ind.
 148            apply not_eq_true_false.
 149            rewrite < H8.
 150            rewrite > H9.
 151            assumption
 152           ]
 153         |assumption
 154         ]
 155       |intros.
 156        apply H3
 157         [assumption|apply le_S.assumption]
 158       ]
 159     ]
 160   ]
 161 qed.
 162
 163 let rec min_aux off n f \def
 164   match f n with
 165   [ true \Rightarrow n
 166   | false \Rightarrow
 167       match off with
 168       [ O \Rightarrow n
 169       | (S p) \Rightarrow min_aux p (S n) f]].
 170
 171 definition min : nat \to (nat \to bool) \to nat \def
 172 \lambda n.\lambda f. min_aux n O f.
 173
 174 theorem min_aux_O_f: \forall f:nat \to bool. \forall i :nat.
 175 min_aux O i f = i.
 176 intros.simplify.
 177 elim (f i).reflexivity.
 178 simplify.reflexivity.
 179 qed.
 180
 181 theorem min_O_f : \forall f:nat \to bool.
 182 min O f = O.
 183 intro.apply (min_aux_O_f f O).
 184 qed.
 185
 186 theorem min_aux_S : \forall f: nat \to bool. \forall i,n:nat.
 187 ((f n) = true \land min_aux (S i) n f = n) \lor
 188 ((f n) = false \land min_aux (S i) n f = min_aux i (S n) f).
 189 intros.simplify.elim (f n).
 190 simplify.left.split.reflexivity.reflexivity.
 191 simplify.right.split.reflexivity.reflexivity.
 192 qed.
 193
 194 theorem f_min_aux_true: \forall f:nat \to bool. \forall off,m:nat.
 195 (\exists i. le m i \land le i (off + m) \land f i = true) \to
 196 f (min_aux off m f) = true.
 197 intros 2.
 198 elim off.elim H.elim H1.elim H2.
 199 cut (a = m).
 200 rewrite > (min_aux_O_f f).rewrite < Hcut.assumption.
 201 apply (antisym_le a m).assumption.assumption.
 202 simplify.
 203 apply (bool_ind (\lambda b:bool.
 204 (f m = b) \to (f (match b in bool with
 205 [ true \Rightarrow m
 206 | false  \Rightarrow (min_aux n (S m) f)])) = true)).
 207 intro; assumption.
 208 intro. apply H.
 209 elim H1.elim H3.elim H4.
 210 elim (le_to_or_lt_eq ? a H6).
 211 apply (ex_intro nat ? a).
 212 split.split.
 213 assumption.
 214 rewrite < plus_n_Sm; assumption.
 215 assumption.
 216 absurd (f a = false).rewrite < H8.assumption.
 217 rewrite > H5.
 218 apply not_eq_true_false.
 219 reflexivity.
 220 qed.
 221
 222 theorem lt_min_aux_to_false : \forall f:nat \to bool.
 223 \forall n,off,m:nat. n \leq m \to m < (min_aux off n f) \to f m = false.
 224 intros 3.
 225 generalize in match n; clear n.
 226 elim off.absurd (le n1 m).assumption.
 227 apply lt_to_not_le.rewrite < (min_aux_O_f f n1).assumption.
 228 elim (le_to_or_lt_eq ? ? H1);
 229  [ unfold lt in H3;
 230    apply (H (S n1));
 231    [ assumption
 232    | elim (min_aux_S f n n1);
 233      [ elim H4;
 234        elim (not_le_Sn_n n1);
 235        rewrite > H6 in H2;
 236        apply (lt_to_le (S n1) n1 ?).
 237        apply (le_to_lt_to_lt (S n1) m n1 ? ?);
 238         [apply (H3).
 239         |apply (H2).
 240         ]
 241      | elim H4;
 242        rewrite < H6;
 243        assumption
 244      ]
 245    ]
 246  | rewrite < H3 in H2 ⊢ %.
 247    elim (min_aux_S f n n1);
 248     [ elim H4;
 249       rewrite > H6 in H2;
 250       unfold lt in H2;
 251       elim (not_le_Sn_n ? H2)
 252     | elim H4;
 253       assumption
 254     ]
 255  ]
 256 qed.
 257
 258
 259 lemma le_min_aux : \forall f:nat \to bool.
 260 \forall n,off:nat. n \leq (min_aux off n f).
 261 intros 3.
 262 generalize in match n. clear n.
 263 elim off.
 264 rewrite > (min_aux_O_f f n1).apply le_n.
 265 elim (min_aux_S f n n1).
 266 elim H1.rewrite > H3.apply le_n.
 267 elim H1.rewrite > H3.
 268 apply (transitive_le ? (S n1));
 269  [ apply le_n_Sn
 270  | apply (H (S n1))
 271  ]
 272 qed.
 273
 274 theorem le_min_aux_r : \forall f:nat \to bool.
 275 \forall n,off:nat. (min_aux off n f) \le n+off.
 276 intros.
 277 generalize in match n. clear n.
 278 elim off.simplify.
 279 elim (f n1).simplify.rewrite < plus_n_O.apply le_n.
 280 simplify.rewrite < plus_n_O.apply le_n.
 281 simplify.elim (f n1).
 282 simplify.
 283 apply (le_plus_n_r (S n) n1).
 284 simplify.rewrite < plus_n_Sm.
 285 apply (H (S n1)).
 286 qed.