matita/library/nat/nat.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                  *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "higher_order_defs/functions.ma".
  16
  17 theorem esempio: \forall A,B,C:Prop.(A \to B \to C) \to (A \to B)
  18 \to A \to C.
  19
  20
  21
  22 inductive nat : Set \def
  23   | O : nat
  24   | S : nat \to nat.
  25
  26 definition pred: nat \to nat \def
  27  \lambda n:nat. match n with
  28  [ O \Rightarrow  O
  29  | (S p) \Rightarrow p ].
  30
  31 theorem pred_Sn : \forall n:nat.n=(pred (S n)).
  32  intros. simplify. reflexivity.
  33 qed.
  34
  35 theorem injective_S : injective nat nat S.
  36  unfold injective.
  37  intros.
  38  rewrite > pred_Sn.
  39  rewrite > (pred_Sn y).
  40  apply eq_f. assumption.
  41 qed.
  42
  43 theorem inj_S : \forall n,m:nat.(S n)=(S m) \to n=m \def
  44  injective_S.
  45
  46 theorem not_eq_S  : \forall n,m:nat.
  47  \lnot n=m \to S n \neq S m.
  48  intros. unfold Not. intros.
  49  apply H. apply injective_S. assumption.
  50 qed.
  51
  52 definition not_zero : nat \to Prop \def
  53  \lambda n: nat.
  54   match n with
  55   [ O \Rightarrow False
  56   | (S p) \Rightarrow True ].
  57
  58 theorem not_eq_O_S : \forall n:nat. O \neq S n.
  59  intros. unfold Not. intros.
  60  cut (not_zero O).
  61  exact Hcut.
  62  rewrite > H.exact I.
  63 qed.
  64
  65 theorem not_eq_n_Sn : \forall n:nat. n \neq S n.
  66  intros.elim n.
  67  apply not_eq_O_S.
  68  apply not_eq_S.assumption.
  69 qed.
  70
  71 theorem nat_case:
  72  \forall n:nat.\forall P:nat \to Prop.
  73   P O \to  (\forall m:nat. P (S m)) \to P n.
  74 intros.elim n
  75   [ assumption
  76   | apply H1 ]
  77 qed.
  78
  79 theorem nat_case1:
  80  \forall n:nat.\forall P:nat \to Prop.
  81   (n=O \to P O) \to  (\forall m:nat. (n=(S m) \to P (S m))) \to P n.
  82 intros 2; elim n
  83   [ apply H;reflexivity
  84   | apply H2;reflexivity ]
  85 qed.
  86
  87 theorem nat_elim2 :
  88  \forall R:nat \to nat \to Prop.
  89   (\forall n:nat. R O n)
  90   \to (\forall n:nat. R (S n) O)
  91   \to (\forall n,m:nat. R n m \to R (S n) (S m))
  92   \to \forall n,m:nat. R n m.
  93 intros 5;elim n
  94   [ apply H
  95   | apply (nat_case m)
  96     [ apply H1
  97     | intro; apply H2; apply H3 ] ]
  98 qed.
  99
 100 theorem decidable_eq_nat : \forall n,m:nat.decidable (n=m).
 101  intros.unfold decidable.
 102  apply (nat_elim2 (\lambda n,m.(Or (n=m) ((n=m) \to False))))
 103  [ intro; elim n1
 104    [ left; reflexivity
 105    | right; apply not_eq_O_S ]
 106  | intro; right; intro; apply (not_eq_O_S n1); apply sym_eq; assumption
 107  | intros; elim H
 108    [ left; apply eq_f; assumption
 109    | right; intro; apply H1; apply inj_S; assumption ] ]
 110 qed.