matita/library/nat/orders.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "nat/nat.ma".
  16 include "higher_order_defs/ordering.ma".
  17
  18 (* definitions *)
  19 inductive le (n:nat) : nat \to Prop \def
  20   | le_n : le n n
  21   | le_S : \forall m:nat. le n m \to le n (S m).
  22
  23 interpretation "natural 'less or equal to'" 'leq x y = (cic:/matita/nat/orders/le.ind#xpointer(1/1) x y).
  24
  25 interpretation "natural 'neither less nor equal to'" 'nleq x y =
  26   (cic:/matita/logic/connectives/Not.con
  27     (cic:/matita/nat/orders/le.ind#xpointer(1/1) x y)).
  28
  29 definition lt: nat \to nat \to Prop \def
  30 \lambda n,m:nat.(S n) \leq m.
  31
  32 interpretation "natural 'less than'" 'lt x y = (cic:/matita/nat/orders/lt.con x y).
  33
  34 interpretation "natural 'not less than'" 'nless x y =
  35   (cic:/matita/logic/connectives/Not.con (cic:/matita/nat/orders/lt.con x y)).
  36
  37 definition ge: nat \to nat \to Prop \def
  38 \lambda n,m:nat.m \leq n.
  39
  40 interpretation "natural 'greater or equal to'" 'geq x y = (cic:/matita/nat/orders/ge.con x y).
  41
  42 definition gt: nat \to nat \to Prop \def
  43 \lambda n,m:nat.m<n.
  44
  45 interpretation "natural 'greater than'" 'gt x y = (cic:/matita/nat/orders/gt.con x y).
  46
  47 interpretation "natural 'not greater than'" 'ngtr x y =
  48   (cic:/matita/logic/connectives/Not.con (cic:/matita/nat/orders/gt.con x y)).
  49
  50 theorem transitive_le : transitive nat le.
  51 unfold transitive.intros.elim H1.
  52 assumption.
  53 apply le_S.assumption.
  54 qed.
  55
  56 theorem trans_le: \forall n,m,p:nat. n \leq m \to m \leq p \to n \leq p
  57 \def transitive_le.
  58
  59 theorem transitive_lt: transitive nat lt.
  60 unfold transitive.unfold lt.intros.elim H1.
  61 apply le_S. assumption.
  62 apply le_S.assumption.
  63 qed.
  64
  65 theorem trans_lt: \forall n,m,p:nat. lt n m \to lt m p \to lt n p
  66 \def transitive_lt.
  67
  68 theorem le_S_S: \forall n,m:nat. n \leq m \to S n \leq S m.
  69 intros.elim H.
  70 apply le_n.
  71 apply le_S.assumption.
  72 qed.
  73
  74 theorem le_O_n : \forall n:nat. O \leq n.
  75 intros.elim n.
  76 apply le_n.apply
  77 le_S. assumption.
  78 qed.
  79
  80 theorem le_n_Sn : \forall n:nat. n \leq S n.
  81 intros. apply le_S.apply le_n.
  82 qed.
  83
  84 theorem le_pred_n : \forall n:nat. pred n \leq n.
  85 intros.elim n.
  86 simplify.apply le_n.
  87 simplify.apply le_n_Sn.
  88 qed.
  89
  90 theorem le_S_S_to_le : \forall n,m:nat. S n \leq S m \to n \leq m.
  91 intros.change with (pred (S n) \leq pred (S m)).
  92 elim H.apply le_n.apply (trans_le ? (pred n1)).assumption.
  93 apply le_pred_n.
  94 qed.
  95
  96 theorem lt_S_S_to_lt: \forall n,m.
  97   S n < S m \to n < m.
  98 intros. apply le_S_S_to_le. assumption.
  99 qed.
 100
 101 theorem lt_to_lt_S_S: ∀n,m. n < m → S n < S m.
 102 intros;
 103 unfold lt in H;
 104 apply (le_S_S ? ? H).
 105 qed.
 106
 107 theorem leS_to_not_zero : \forall n,m:nat. S n \leq m \to not_zero m.
 108 intros.elim H.exact I.exact I.
 109 qed.
 110
 111 (* not le *)
 112 theorem not_le_Sn_O: \forall n:nat. S n \nleq O.
 113 intros.unfold Not.simplify.intros.apply (leS_to_not_zero ? ? H).
 114 qed.
 115
 116 theorem not_le_Sn_n: \forall n:nat. S n \nleq n.
 117 intros.elim n.apply not_le_Sn_O.unfold Not.simplify.intros.cut (S n1 \leq n1).
 118 apply H.assumption.
 119 apply le_S_S_to_le.assumption.
 120 qed.
 121
 122 theorem lt_pred: \forall n,m.
 123   O < n \to n < m \to pred n < pred m.
 124 apply nat_elim2
 125   [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H)
 126   |intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H1)
 127   |intros.simplify.unfold.apply le_S_S_to_le.assumption
 128   ]
 129 qed.
 130
 131 theorem S_pred: \forall n:nat.lt O n \to eq nat n (S (pred n)).
 132 intro.elim n.apply False_ind.exact (not_le_Sn_O O H).
 133 apply eq_f.apply pred_Sn.
 134 qed.
 135
 136 theorem le_pred_to_le:
 137  ∀n,m. O < m → pred n ≤ pred m → n ≤ m.
 138 intros 2;
 139 elim n;
 140 [ apply le_O_n
 141 | simplify in H2;
 142   rewrite > (S_pred m);
 143   [ apply le_S_S;
 144     assumption
 145   | assumption
 146   ]
 147 ].
 148 qed.
 149
 150 theorem le_to_le_pred:
 151  ∀n,m. n ≤ m → pred n ≤ pred m.
 152 intros 2;
 153 elim n;
 154 [ simplify;
 155   apply le_O_n
 156 | simplify;
 157   generalize in match H1;
 158   clear H1;
 159   elim m;
 160   [ elim (not_le_Sn_O ? H1)
 161   | simplify;
 162     apply le_S_S_to_le;
 163     assumption
 164   ]
 165 ].
 166 qed.
 167
 168 (* le to lt or eq *)
 169 theorem le_to_or_lt_eq : \forall n,m:nat.
 170 n \leq m \to n < m \lor n = m.
 171 intros.elim H.
 172 right.reflexivity.
 173 left.unfold lt.apply le_S_S.assumption.
 174 qed.
 175
 176 theorem Not_lt_n_n: ∀n. n ≮ n.
 177 intro;
 178 unfold Not;
 179 intro;
 180 unfold lt in H;
 181 apply (not_le_Sn_n ? H).
 182 qed.
 183
 184 (* not eq *)
 185 theorem lt_to_not_eq : \forall n,m:nat. n<m \to n \neq m.
 186 unfold Not.intros.cut ((le (S n) m) \to False).
 187 apply Hcut.assumption.rewrite < H1.
 188 apply not_le_Sn_n.
 189 qed.
 190
 191 (*not lt*)
 192 theorem eq_to_not_lt: \forall a,b:nat.
 193 a = b \to a \nlt b.
 194 intros.
 195 unfold Not.
 196 intros.
 197 rewrite > H in H1.
 198 apply (lt_to_not_eq b b)
 199 [ assumption
 200 | reflexivity
 201 ]
 202 qed.
 203
 204 theorem lt_n_m_to_not_lt_m_Sn: ∀n,m. n < m → m ≮ S n.
 205 intros;
 206 unfold Not;
 207 intro;
 208 unfold lt in H;
 209 unfold lt in H1;
 210 generalize in match (le_S_S ? ? H);
 211 intro;
 212 generalize in match (transitive_le ? ? ? H2 H1);
 213 intro;
 214 apply (not_le_Sn_n ? H3).
 215 qed.
 216
 217 (* le vs. lt *)
 218 theorem lt_to_le : \forall n,m:nat. n<m \to n \leq m.
 219 simplify.intros.unfold lt in H.elim H.
 220 apply le_S. apply le_n.
 221 apply le_S. assumption.
 222 qed.
 223
 224 theorem lt_S_to_le : \forall n,m:nat. n < S m \to n \leq m.
 225 simplify.intros.
 226 apply le_S_S_to_le.assumption.
 227 qed.
 228
 229 theorem not_le_to_lt: \forall n,m:nat. n \nleq m \to m<n.
 230 intros 2.
 231 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.n \nleq m \to m<n)).
 232 intros.apply (absurd (O \leq n1)).apply le_O_n.assumption.
 233 unfold Not.unfold lt.intros.apply le_S_S.apply le_O_n.
 234 unfold Not.unfold lt.intros.apply le_S_S.apply H.intros.apply H1.apply le_S_S.
 235 assumption.
 236 qed.
 237
 238 theorem lt_to_not_le: \forall n,m:nat. n<m \to m \nleq n.
 239 unfold Not.unfold lt.intros 3.elim H.
 240 apply (not_le_Sn_n n H1).
 241 apply H2.apply lt_to_le. apply H3.
 242 qed.
 243
 244 theorem not_lt_to_le: \forall n,m:nat. Not (lt n m) \to le m n.
 245 simplify.intros.
 246 apply lt_S_to_le.
 247 apply not_le_to_lt.exact H.
 248 qed.
 249
 250 theorem le_to_not_lt: \forall n,m:nat. le n m \to Not (lt m n).
 251 intros.unfold Not.unfold lt.
 252 apply lt_to_not_le.unfold lt.
 253 apply le_S_S.assumption.
 254 qed.
 255
 256 theorem not_eq_to_le_to_lt: ∀n,m. n≠m → n≤m → n<m.
 257 intros;
 258 elim (le_to_or_lt_eq ? ? H1);
 259 [ assumption
 260 | elim (H H2)
 261 ].
 262 qed.
 263
 264 (* le elimination *)
 265 theorem le_n_O_to_eq : \forall n:nat. n \leq O \to O=n.
 266 intro.elim n.reflexivity.
 267 apply False_ind.
 268 apply not_le_Sn_O;
 269 [2: apply H1 | skip].
 270 qed.
 271
 272 theorem le_n_O_elim: \forall n:nat.n \leq O \to \forall P: nat \to Prop.
 273 P O \to P n.
 274 intro.elim n.
 275 assumption.
 276 apply False_ind.
 277 apply  (not_le_Sn_O ? H1).
 278 qed.
 279
 280 theorem le_n_Sm_elim : \forall n,m:nat.n \leq S m \to
 281 \forall P:Prop. (S n \leq S m \to P) \to (n=S m \to P) \to P.
 282 intros 4.elim H.
 283 apply H2.reflexivity.
 284 apply H3. apply le_S_S. assumption.
 285 qed.
 286
 287 (* le and eq *)
 288 lemma le_to_le_to_eq: \forall n,m. n \le m \to m \le n \to n = m.
 289 apply nat_elim2
 290   [intros.apply le_n_O_to_eq.assumption
 291   |intros.apply sym_eq.apply le_n_O_to_eq.assumption
 292   |intros.apply eq_f.apply H
 293     [apply le_S_S_to_le.assumption
 294     |apply le_S_S_to_le.assumption
 295     ]
 296   ]
 297 qed.
 298
 299 (* lt and le trans *)
 300 theorem lt_O_S : \forall n:nat. O < S n.
 301 intro. unfold. apply le_S_S. apply le_O_n.
 302 qed.
 303
 304 theorem lt_to_le_to_lt: \forall n,m,p:nat. lt n m \to le m p \to lt n p.
 305 intros.elim H1.
 306 assumption.unfold lt.apply le_S.assumption.
 307 qed.
 308
 309 theorem le_to_lt_to_lt: \forall n,m,p:nat. le n m \to lt m p \to lt n p.
 310 intros 4.elim H.
 311 assumption.apply H2.unfold lt.
 312 apply lt_to_le.assumption.
 313 qed.
 314
 315 theorem lt_S_to_lt: \forall n,m. S n < m \to n < m.
 316 intros.
 317 apply (trans_lt ? (S n))
 318   [apply le_n|assumption]
 319 qed.
 320
 321 theorem ltn_to_ltO: \forall n,m:nat. lt n m \to lt O m.
 322 intros.apply (le_to_lt_to_lt O n).
 323 apply le_O_n.assumption.
 324 qed.
 325
 326 theorem lt_SO_n_to_lt_O_pred_n: \forall n:nat.
 327 (S O) \lt n \to O \lt (pred n).
 328 intros.
 329 apply (ltn_to_ltO (pred (S O)) (pred n) ?).
 330  apply (lt_pred (S O) n);
 331  [ apply (lt_O_S O)
 332  | assumption
 333  ]
 334 qed.
 335
 336 theorem lt_O_n_elim: \forall n:nat. lt O n \to
 337 \forall P:nat\to Prop. (\forall m:nat.P (S m)) \to P n.
 338 intro.elim n.apply False_ind.exact (not_le_Sn_O O H).
 339 apply H2.
 340 qed.
 341
 342 (* other abstract properties *)
 343 theorem antisymmetric_le : antisymmetric nat le.
 344 unfold antisymmetric.intros 2.
 345 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.(n \leq m \to m \leq n \to n=m))).
 346 intros.apply le_n_O_to_eq.assumption.
 347 intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H).
 348 intros.apply eq_f.apply H.
 349 apply le_S_S_to_le.assumption.
 350 apply le_S_S_to_le.assumption.
 351 qed.
 352
 353 theorem antisym_le: \forall n,m:nat. n \leq m \to m \leq n \to n=m
 354 \def antisymmetric_le.
 355
 356 theorem le_n_m_to_lt_m_Sn_to_eq_n_m: ∀n,m. n ≤ m → m < S n → n=m.
 357 intros;
 358 unfold lt in H1;
 359 generalize in match (le_S_S_to_le ? ? H1);
 360 intro;
 361 apply antisym_le;
 362 assumption.
 363 qed.
 364
 365 theorem decidable_le: \forall n,m:nat. decidable (n \leq m).
 366 intros.
 367 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.decidable (n \leq m))).
 368 intros.unfold decidable.left.apply le_O_n.
 369 intros.unfold decidable.right.exact (not_le_Sn_O n1).
 370 intros 2.unfold decidable.intro.elim H.
 371 left.apply le_S_S.assumption.
 372 right.unfold Not.intro.apply H1.apply le_S_S_to_le.assumption.
 373 qed.
 374
 375 theorem decidable_lt: \forall n,m:nat. decidable (n < m).
 376 intros.exact (decidable_le (S n) m).
 377 qed.
 378
 379 (* well founded induction principles *)
 380
 381 theorem nat_elim1 : \forall n:nat.\forall P:nat \to Prop.
 382 (\forall m.(\forall p. (p \lt m) \to P p) \to P m) \to P n.
 383 intros.cut (\forall q:nat. q \le n \to P q).
 384 apply (Hcut n).apply le_n.
 385 elim n.apply (le_n_O_elim q H1).
 386 apply H.
 387 intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O p H2).
 388 apply H.intros.apply H1.
 389 cut (p < S n1).
 390 apply lt_S_to_le.assumption.
 391 apply (lt_to_le_to_lt p q (S n1) H3 H2).
 392 qed.
 393
 394 (* some properties of functions *)
 395
 396 definition increasing \def \lambda f:nat \to nat.
 397 \forall n:nat. f n < f (S n).
 398
 399 theorem increasing_to_monotonic: \forall f:nat \to nat.
 400 increasing f \to monotonic nat lt f.
 401 unfold monotonic.unfold lt.unfold increasing.unfold lt.intros.elim H1.apply H.
 402 apply (trans_le ? (f n1)).
 403 assumption.apply (trans_le ? (S (f n1))).
 404 apply le_n_Sn.
 405 apply H.
 406 qed.
 407
 408 theorem le_n_fn: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 409 \to \forall n:nat. n \le (f n).
 410 intros.elim n.
 411 apply le_O_n.
 412 apply (trans_le ? (S (f n1))).
 413 apply le_S_S.apply H1.
 414 simplify in H. unfold increasing in H.unfold lt in H.apply H.
 415 qed.
 416
 417 theorem increasing_to_le: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 418 \to \forall m:nat. \exists i. m \le (f i).
 419 intros.elim m.
 420 apply (ex_intro ? ? O).apply le_O_n.
 421 elim H1.
 422 apply (ex_intro ? ? (S a)).
 423 apply (trans_le ? (S (f a))).
 424 apply le_S_S.assumption.
 425 simplify in H.unfold increasing in H.unfold lt in H.
 426 apply H.
 427 qed.
 428
 429 theorem increasing_to_le2: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 430 \to \forall m:nat. (f O) \le m \to
 431 \exists i. (f i) \le m \land m <(f (S i)).
 432 intros.elim H1.
 433 apply (ex_intro ? ? O).
 434 split.apply le_n.apply H.
 435 elim H3.elim H4.
 436 cut ((S n1) < (f (S a)) \lor (S n1) = (f (S a))).
 437 elim Hcut.
 438 apply (ex_intro ? ? a).
 439 split.apply le_S. assumption.assumption.
 440 apply (ex_intro ? ? (S a)).
 441 split.rewrite < H7.apply le_n.
 442 rewrite > H7.
 443 apply H.
 444 apply le_to_or_lt_eq.apply H6.
 445 qed.