matita/library/nat/pi_p.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/pi_p".
  16
  17 include "nat/primes.ma".
  18 (* include "nat/ord.ma". *)
  19 include "nat/generic_iter_p.ma".
  20 (* include "nat/count.ma". necessary just to use bool_to_nat and bool_to_nat_andb*)
  21 include "nat/iteration2.ma".
  22
  23 (* pi_p on nautral numbers is a specialization of iter_p_gen *)
  24 definition pi_p: nat \to (nat \to bool) \to (nat \to nat) \to nat \def
  25 \lambda n, p, g. (iter_p_gen n p nat g (S O) times).
  26
  27 theorem true_to_pi_p_Sn:
  28 \forall n:nat. \forall p:nat \to bool. \forall g:nat \to nat.
  29 p n = true \to pi_p (S n) p g = (g n)*(pi_p n p g).
  30 intros.
  31 unfold pi_p.
  32 apply true_to_iter_p_gen_Sn.
  33 assumption.
  34 qed.
  35
  36 theorem false_to_pi_p_Sn:
  37 \forall n:nat. \forall p:nat \to bool. \forall g:nat \to nat.
  38 p n = false \to pi_p (S n) p g = pi_p n p g.
  39 intros.
  40 unfold pi_p.
  41 apply false_to_iter_p_gen_Sn.
  42 assumption.
  43 qed.
  44
  45 theorem eq_pi_p: \forall p1,p2:nat \to bool.
  46 \forall g1,g2: nat \to nat.\forall n.
  47 (\forall x.  x < n \to p1 x = p2 x) \to
  48 (\forall x.  x < n \to g1 x = g2 x) \to
  49 pi_p n p1 g1 = pi_p n p2 g2.
  50 intros.
  51 unfold pi_p.
  52 apply eq_iter_p_gen;
  53 assumption.
  54 qed.
  55
  56 theorem eq_pi_p1: \forall p1,p2:nat \to bool.
  57 \forall g1,g2: nat \to nat.\forall n.
  58 (\forall x.  x < n \to p1 x = p2 x) \to
  59 (\forall x.  x < n \to p1 x = true \to g1 x = g2 x) \to
  60 pi_p n p1 g1 = pi_p n p2 g2.
  61 intros.
  62 unfold pi_p.
  63 apply eq_iter_p_gen1;
  64 assumption.
  65 qed.
  66
  67 theorem pi_p_false:
  68 \forall g: nat \to nat.\forall n.pi_p n (\lambda x.false) g = S O.
  69 intros.
  70 unfold pi_p.
  71 apply iter_p_gen_false.
  72 qed.
  73
  74 theorem pi_p_times: \forall n,k:nat.\forall p:nat \to bool.
  75 \forall g: nat \to nat.
  76 pi_p (k+n) p g
  77 = pi_p k (\lambda x.p (x+n)) (\lambda x.g (x+n)) * pi_p n p g.
  78 intros.
  79 unfold pi_p.
  80 apply (iter_p_gen_plusA nat n k p g (S O) times)
  81 [ apply sym_times.
  82 | intros.
  83   apply sym_eq.
  84   apply times_n_SO
  85 | apply associative_times
  86 ]
  87 qed.
  88
  89 theorem false_to_eq_pi_p: \forall n,m:nat.n \le m \to
  90 \forall p:nat \to bool.
  91 \forall g: nat \to nat. (\forall i:nat. n \le i \to i < m \to
  92 p i = false) \to pi_p m p g = pi_p n p g.
  93 intros.
  94 unfold pi_p.
  95 apply (false_to_eq_iter_p_gen);
  96 assumption.
  97 qed.
  98
  99 theorem or_false_eq_SO_to_eq_pi_p:
 100 \forall n,m:nat.\forall p:nat \to bool.
 101 \forall g: nat \to nat.
 102 n \le m \to (\forall i:nat. n \le i \to i < m \to p i = false \lor g i = S O)
 103 \to pi_p m p g = pi_p n p g.
 104 intros.
 105 unfold pi_p.
 106 apply or_false_eq_baseA_to_eq_iter_p_gen
 107   [intros.simplify.rewrite < plus_n_O.reflexivity
 108   |assumption
 109   |assumption
 110   ]
 111 qed.
 112
 113 theorem pi_p2 :
 114 \forall n,m:nat.
 115 \forall p1,p2:nat \to bool.
 116 \forall g: nat \to nat \to nat.
 117 pi_p (n*m)
 118   (\lambda x.andb (p1 (div x m)) (p2 (mod x m)))
 119   (\lambda x.g (div x m) (mod x m)) =
 120 pi_p n p1
 121   (\lambda x.pi_p m p2 (g x)).
 122 intros.
 123 unfold pi_p.
 124 apply (iter_p_gen2 n m p1 p2 nat g (S O) times)
 125 [ apply sym_times
 126 | apply associative_times
 127 | intros.
 128   apply sym_eq.
 129   apply times_n_SO
 130 ]
 131 qed.
 132
 133 theorem pi_p2' :
 134 \forall n,m:nat.
 135 \forall p1:nat \to bool.
 136 \forall p2:nat \to nat \to bool.
 137 \forall g: nat \to nat \to nat.
 138 pi_p (n*m)
 139   (\lambda x.andb (p1 (div x m)) (p2 (div x m) (mod x  m)))
 140   (\lambda x.g (div x m) (mod x m)) =
 141 pi_p n p1
 142   (\lambda x.pi_p m (p2 x) (g x)).
 143 intros.
 144 unfold pi_p.
 145 apply (iter_p_gen2' n m p1 p2 nat g (S O) times)
 146 [ apply sym_times
 147 | apply associative_times
 148 | intros.
 149   apply sym_eq.
 150   apply times_n_SO
 151 ]
 152 qed.
 153
 154 lemma pi_p_gi: \forall g: nat \to nat.
 155 \forall n,i.\forall p:nat \to bool.i < n \to p i = true \to
 156 pi_p n p g = g i * pi_p n (\lambda x. andb (p x) (notb (eqb x i))) g.
 157 intros.
 158 unfold pi_p.
 159 apply (iter_p_gen_gi)
 160 [ apply sym_times
 161 | apply associative_times
 162 | intros.
 163   apply sym_eq.
 164   apply times_n_SO
 165 | assumption
 166 | assumption
 167 ]
 168 qed.
 169
 170 theorem eq_pi_p_gh:
 171 \forall g,h,h1: nat \to nat.\forall n,n1.
 172 \forall p1,p2:nat \to bool.
 173 (\forall i. i < n \to p1 i = true \to p2 (h i) = true) \to
 174 (\forall i. i < n \to p1 i = true \to h1 (h i) = i) \to
 175 (\forall i. i < n \to p1 i = true \to h i < n1) \to
 176 (\forall j. j < n1 \to p2 j = true \to p1 (h1 j) = true) \to
 177 (\forall j. j < n1 \to p2 j = true \to h (h1 j) = j) \to
 178 (\forall j. j < n1 \to p2 j = true \to h1 j < n) \to
 179 pi_p n p1 (\lambda x.g(h x)) = pi_p n1 p2 g.
 180 intros.
 181 unfold pi_p.
 182 apply (eq_iter_p_gen_gh nat (S O) times ? ? ? g h h1 n n1 p1 p2)
 183 [ apply sym_times
 184 | apply associative_times
 185 | intros.
 186   apply sym_eq.
 187   apply times_n_SO
 188 | assumption
 189 | assumption
 190 | assumption
 191 | assumption
 192 | assumption
 193 | assumption
 194 ]
 195 qed.
 196
 197 (* monotonicity *)
 198 theorem le_pi_p:
 199 \forall n:nat. \forall p:nat \to bool. \forall g1,g2:nat \to nat.
 200 (\forall i. i < n \to p i = true \to g1 i \le g2 i ) \to
 201 pi_p n p g1 \le pi_p n p g2.
 202 intros.
 203 generalize in match H.
 204 elim n
 205   [apply le_n.
 206   |apply (bool_elim ? (p n1));intros
 207     [rewrite > true_to_pi_p_Sn
 208       [rewrite > true_to_pi_p_Sn in ⊢ (? ? %)
 209         [apply le_times
 210           [apply H2[apply le_n|assumption]
 211           |apply H1.
 212            intros.
 213            apply H2[apply le_S.assumption|assumption]
 214           ]
 215         |assumption
 216         ]
 217       |assumption
 218       ]
 219     |rewrite > false_to_pi_p_Sn
 220       [rewrite > false_to_pi_p_Sn in ⊢ (? ? %)
 221         [apply H1.
 222          intros.
 223          apply H2[apply le_S.assumption|assumption]
 224         |assumption
 225         ]
 226       |assumption
 227       ]
 228     ]
 229   ]
 230 qed.
 231
 232 theorem exp_sigma_p: \forall n,a,p.
 233 pi_p n p (\lambda x.a) = (exp a (sigma_p n p (\lambda x.S O))).
 234 intros.
 235 elim n
 236   [reflexivity
 237   |apply (bool_elim ? (p n1))
 238     [intro.
 239      rewrite > true_to_pi_p_Sn
 240       [rewrite > true_to_sigma_p_Sn
 241         [simplify.
 242          rewrite > H.
 243          reflexivity.
 244         |assumption
 245         ]
 246       |assumption
 247       ]
 248     |intro.
 249      rewrite > false_to_pi_p_Sn
 250       [rewrite > false_to_sigma_p_Sn
 251         [simplify.assumption
 252         |assumption
 253         ]
 254       |assumption
 255       ]
 256     ]
 257   ]
 258 qed.
 259
 260 theorem times_pi_p: \forall n,p,f,g.
 261 pi_p n p (\lambda x.f x*g x) = pi_p n p f * pi_p n p  g.
 262 intros.
 263 elim n
 264   [simplify.reflexivity
 265   |apply (bool_elim ? (p n1))
 266     [intro.
 267      rewrite > true_to_pi_p_Sn
 268       [rewrite > true_to_pi_p_Sn
 269         [rewrite > true_to_pi_p_Sn
 270           [rewrite > H.autobatch
 271           |assumption
 272           ]
 273         |assumption
 274         ]
 275       |assumption
 276       ]
 277     |intro.
 278      rewrite > false_to_pi_p_Sn
 279       [rewrite > false_to_pi_p_Sn
 280         [rewrite > false_to_pi_p_Sn;assumption
 281         |assumption
 282         ]
 283       |assumption
 284       ]
 285     ]
 286   ]
 287 qed.
 288
 289 theorem pi_p_SO: \forall n,p.
 290 pi_p n p (\lambda i.S O) = S O.
 291 intros.elim n
 292   [reflexivity
 293   |simplify.elim (p n1)
 294     [simplify.rewrite < plus_n_O.assumption
 295     |simplify.assumption
 296     ]
 297   ]
 298 qed.
 299
 300 theorem exp_pi_p: \forall n,m,p,f.
 301 pi_p n p (\lambda x.exp (f x) m) = exp (pi_p n p f) m.
 302 intros.
 303 elim m
 304   [simplify.apply pi_p_SO
 305   |simplify.
 306    rewrite > times_pi_p.
 307    rewrite < H.
 308    reflexivity
 309   ]
 310 qed.
 311
 312 theorem exp_times_pi_p: \forall n,m,k,p,f.
 313 pi_p n p (\lambda x.exp k (m*(f x))) =
 314 exp (pi_p n p (\lambda x.exp k (f x))) m.
 315 intros.
 316 apply (trans_eq ? ? (pi_p n p (\lambda x.(exp (exp k (f x)) m))))
 317   [apply eq_pi_p;intros
 318     [reflexivity
 319     |apply sym_eq.rewrite > sym_times.
 320      apply exp_exp_times
 321     ]
 322   |apply exp_pi_p
 323   ]
 324 qed.
 325
 326
 327 theorem pi_p_knm:
 328 \forall g: nat \to nat.
 329 \forall h2:nat \to nat \to nat.
 330 \forall h11,h12:nat \to nat.
 331 \forall k,n,m.
 332 \forall p1,p21:nat \to bool.
 333 \forall p22:nat \to nat \to bool.
 334 (\forall x. x < k \to p1 x = true \to
 335 p21 (h11 x) = true \land p22 (h11 x) (h12 x) = true
 336 \land h2 (h11 x) (h12 x) = x
 337 \land (h11 x) < n \land (h12 x) < m) \to
 338 (\forall i,j. i < n \to j < m \to p21 i = true \to p22 i j = true \to
 339 p1 (h2 i j) = true \land
 340 h11 (h2 i j) = i \land h12 (h2 i j) = j
 341 \land h2 i j < k) \to
 342 pi_p k p1 g =
 343 pi_p n p21 (\lambda x:nat.pi_p m (p22 x) (\lambda y. g (h2 x y))).
 344 intros.
 345 unfold pi_p.unfold pi_p.
 346 apply (iter_p_gen_knm nat (S O) times sym_times assoc_times ? ? ? h11 h12)
 347   [intros.apply sym_eq.apply times_n_SO.
 348   |assumption
 349   |assumption
 350   ]
 351 qed.
 352
 353 theorem pi_p_pi_p:
 354 \forall g: nat \to nat \to nat.
 355 \forall h11,h12,h21,h22: nat \to nat \to nat.
 356 \forall n1,m1,n2,m2.
 357 \forall p11,p21:nat \to bool.
 358 \forall p12,p22:nat \to nat \to bool.
 359 (\forall i,j. i < n2 \to j < m2 \to p21 i = true \to p22 i j = true \to
 360 p11 (h11 i j) = true \land p12 (h11 i j) (h12 i j) = true
 361 \land h21 (h11 i j) (h12 i j) = i \land h22 (h11 i j) (h12 i j) = j
 362 \land h11 i j < n1 \land h12 i j < m1) \to
 363 (\forall i,j. i < n1 \to j < m1 \to p11 i = true \to p12 i j = true \to
 364 p21 (h21 i j) = true \land p22 (h21 i j) (h22 i j) = true
 365 \land h11 (h21 i j) (h22 i j) = i \land h12 (h21 i j) (h22 i j) = j
 366 \land (h21 i j) < n2 \land (h22 i j) < m2) \to
 367 pi_p n1 p11
 368      (\lambda x:nat .pi_p m1 (p12 x) (\lambda y. g x y)) =
 369 pi_p n2 p21
 370     (\lambda x:nat .pi_p m2 (p22 x)  (\lambda y. g (h11 x y) (h12 x y))).
 371 intros.
 372 unfold pi_p.unfold pi_p.
 373 apply (iter_p_gen_2_eq ? ? ? sym_times assoc_times ? ? ? ? h21 h22)
 374   [intros.apply sym_eq.apply times_n_SO.
 375   |assumption
 376   |assumption
 377   ]
 378 qed.
 379
 380 theorem pi_p_pi_p1:
 381 \forall g: nat \to nat \to nat.
 382 \forall n,m.
 383 \forall p11,p21:nat \to bool.
 384 \forall p12,p22:nat \to nat \to bool.
 385 (\forall x,y. x < n \to y < m \to
 386  (p11 x \land p12 x y) = (p21 y \land p22 y x)) \to
 387 pi_p n p11 (\lambda x:nat.pi_p m (p12 x) (\lambda y. g x y)) =
 388 pi_p m p21 (\lambda y:nat.pi_p n (p22 y) (\lambda x. g x y)).
 389 intros.
 390 unfold pi_p.unfold pi_p.
 391 apply (iter_p_gen_iter_p_gen ? ? ? sym_times assoc_times)
 392   [intros.apply sym_eq.apply times_n_SO.
 393   |assumption
 394   ]
 395 qed.