matita/library/nat/primes.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/primes".
  16
  17 include "nat/div_and_mod.ma".
  18 include "nat/minimization.ma".
  19 include "nat/sigma_and_pi.ma".
  20 include "nat/factorial.ma".
  21
  22 inductive divides (n,m:nat) : Prop \def
  23 witness : \forall p:nat.m = times n p \to divides n m.
  24
  25 interpretation "divides" 'divides n m = (cic:/matita/nat/primes/divides.ind#xpointer(1/1) n m).
  26 interpretation "not divides" 'ndivides n m =
  27  (cic:/matita/logic/connectives/Not.con (cic:/matita/nat/primes/divides.ind#xpointer(1/1) n m)).
  28
  29 theorem reflexive_divides : reflexive nat divides.
  30 unfold reflexive.
  31 intros.
  32 exact (witness x x (S O) (times_n_SO x)).
  33 qed.
  34
  35 theorem divides_to_div_mod_spec :
  36 \forall n,m. O < n \to n \divides m \to div_mod_spec m n (m / n) O.
  37 intros.elim H1.rewrite > H2.
  38 constructor 1.assumption.
  39 apply (lt_O_n_elim n H).intros.
  40 rewrite < plus_n_O.
  41 rewrite > div_times.apply sym_times.
  42 qed.
  43
  44 theorem div_mod_spec_to_divides :
  45 \forall n,m,p. div_mod_spec m n p O \to n \divides m.
  46 intros.elim H.
  47 apply (witness n m p).
  48 rewrite < sym_times.
  49 rewrite > (plus_n_O (p*n)).assumption.
  50 qed.
  51
  52 theorem divides_to_mod_O:
  53 \forall n,m. O < n \to n \divides m \to (m \mod n) = O.
  54 intros.apply (div_mod_spec_to_eq2 m n (m / n) (m \mod n) (m / n) O).
  55 apply div_mod_spec_div_mod.assumption.
  56 apply divides_to_div_mod_spec.assumption.assumption.
  57 qed.
  58
  59 theorem mod_O_to_divides:
  60 \forall n,m. O< n \to (m \mod n) = O \to  n \divides m.
  61 intros.
  62 apply (witness n m (m / n)).
  63 rewrite > (plus_n_O (n * (m / n))).
  64 rewrite < H1.
  65 rewrite < sym_times.
  66 (* Andrea: perche' hint non lo trova ?*)
  67 apply div_mod.
  68 assumption.
  69 qed.
  70
  71 theorem divides_n_O: \forall n:nat. n \divides O.
  72 intro. apply (witness n O O).apply times_n_O.
  73 qed.
  74
  75 theorem divides_n_n: \forall n:nat. n \divides n.
  76 intro. apply (witness n n (S O)).apply times_n_SO.
  77 qed.
  78
  79 theorem divides_SO_n: \forall n:nat. (S O) \divides n.
  80 intro. apply (witness (S O) n n). simplify.apply plus_n_O.
  81 qed.
  82
  83 theorem divides_plus: \forall n,p,q:nat.
  84 n \divides p \to n \divides q \to n \divides p+q.
  85 intros.
  86 elim H.elim H1. apply (witness n (p+q) (n2+n1)).
  87 rewrite > H2.rewrite > H3.apply sym_eq.apply distr_times_plus.
  88 qed.
  89
  90 theorem divides_minus: \forall n,p,q:nat.
  91 divides n p \to divides n q \to divides n (p-q).
  92 intros.
  93 elim H.elim H1. apply (witness n (p-q) (n2-n1)).
  94 rewrite > H2.rewrite > H3.apply sym_eq.apply distr_times_minus.
  95 qed.
  96
  97 theorem divides_times: \forall n,m,p,q:nat.
  98 n \divides p \to m \divides q \to n*m \divides p*q.
  99 intros.
 100 elim H.elim H1. apply (witness (n*m) (p*q) (n2*n1)).
 101 rewrite > H2.rewrite > H3.
 102 apply (trans_eq nat ? (n*(m*(n2*n1)))).
 103 apply (trans_eq nat ? (n*(n2*(m*n1)))).
 104 apply assoc_times.
 105 apply eq_f.
 106 apply (trans_eq nat ? ((n2*m)*n1)).
 107 apply sym_eq. apply assoc_times.
 108 rewrite > (sym_times n2 m).apply assoc_times.
 109 apply sym_eq. apply assoc_times.
 110 qed.
 111
 112 theorem transitive_divides: transitive ? divides.
 113 unfold.
 114 intros.
 115 elim H.elim H1. apply (witness x z (n2*n)).
 116 rewrite > H3.rewrite > H2.
 117 apply assoc_times.
 118 qed.
 119
 120 variant trans_divides: \forall n,m,p.
 121  n \divides m \to m \divides p \to n \divides p \def transitive_divides.
 122
 123 theorem eq_mod_to_divides:\forall n,m,p. O< p \to
 124 mod n p = mod m p \to divides p (n-m).
 125 intros.
 126 cut (n \le m \or \not n \le m).
 127 elim Hcut.
 128 cut (n-m=O).
 129 rewrite > Hcut1.
 130 apply (witness p O O).
 131 apply times_n_O.
 132 apply eq_minus_n_m_O.
 133 assumption.
 134 apply (witness p (n-m) ((div n p)-(div m p))).
 135 rewrite > distr_times_minus.
 136 rewrite > sym_times.
 137 rewrite > (sym_times p).
 138 cut ((div n p)*p = n - (mod n p)).
 139 rewrite > Hcut1.
 140 rewrite > eq_minus_minus_minus_plus.
 141 rewrite > sym_plus.
 142 rewrite > H1.
 143 rewrite < div_mod.reflexivity.
 144 assumption.
 145 apply sym_eq.
 146 apply plus_to_minus.
 147 rewrite > sym_plus.
 148 apply div_mod.
 149 assumption.
 150 apply (decidable_le n m).
 151 qed.
 152
 153 theorem antisymmetric_divides: antisymmetric nat divides.
 154 unfold antisymmetric.intros.elim H. elim H1.
 155 apply (nat_case1 n2).intro.
 156 rewrite > H3.rewrite > H2.rewrite > H4.
 157 rewrite < times_n_O.reflexivity.
 158 intros.
 159 apply (nat_case1 n).intro.
 160 rewrite > H2.rewrite > H3.rewrite > H5.
 161 rewrite < times_n_O.reflexivity.
 162 intros.
 163 apply antisymmetric_le.
 164 rewrite > H2.rewrite > times_n_SO in \vdash (? % ?).
 165 apply le_times_r.rewrite > H4.apply le_S_S.apply le_O_n.
 166 rewrite > H3.rewrite > times_n_SO in \vdash (? % ?).
 167 apply le_times_r.rewrite > H5.apply le_S_S.apply le_O_n.
 168 qed.
 169
 170 (* divides le *)
 171 theorem divides_to_le : \forall n,m. O < m \to n \divides m \to n \le m.
 172 intros. elim H1.rewrite > H2.cut (O < n2).
 173 apply (lt_O_n_elim n2 Hcut).intro.rewrite < sym_times.
 174 simplify.rewrite < sym_plus.
 175 apply le_plus_n.
 176 elim (le_to_or_lt_eq O n2).
 177 assumption.
 178 absurd (O<m).assumption.
 179 rewrite > H2.rewrite < H3.rewrite < times_n_O.
 180 apply (not_le_Sn_n O).
 181 apply le_O_n.
 182 qed.
 183
 184 theorem divides_to_lt_O : \forall n,m. O < m \to n \divides m \to O < n.
 185 intros.elim H1.
 186 elim (le_to_or_lt_eq O n (le_O_n n)).
 187 assumption.
 188 rewrite < H3.absurd (O < m).assumption.
 189 rewrite > H2.rewrite < H3.
 190 simplify.exact (not_le_Sn_n O).
 191 qed.
 192
 193
 194 (*divides and div*)
 195
 196 theorem divides_to_div: \forall n,m.divides n m \to m/n*n = m.
 197 intro.
 198 elim (le_to_or_lt_eq O n (le_O_n n))
 199   [rewrite > plus_n_O.
 200    rewrite < (divides_to_mod_O ? ? H H1).
 201    apply sym_eq.
 202    apply div_mod.
 203    assumption
 204   |elim H1.
 205    generalize in match H2.
 206    rewrite < H.
 207    simplify.
 208    intro.
 209    rewrite > H3.
 210    reflexivity
 211   ]
 212 qed.
 213
 214 theorem divides_div: \forall d,n. divides d n \to divides (n/d) n.
 215 intros.
 216 apply (witness ? ? d).
 217 apply sym_eq.
 218 apply divides_to_div.
 219 assumption.
 220 qed.
 221
 222 theorem div_div: \forall n,d:nat. O < n \to divides d n \to
 223 n/(n/d) = d.
 224 intros.
 225 apply (inj_times_l1 (n/d))
 226   [apply (lt_times_n_to_lt d)
 227     [apply (divides_to_lt_O ? ? H H1).
 228     |rewrite > divides_to_div;assumption
 229     ]
 230   |rewrite > divides_to_div
 231     [rewrite > sym_times.
 232      rewrite > divides_to_div
 233       [reflexivity
 234       |assumption
 235       ]
 236     |apply (witness ? ? d).
 237      apply sym_eq.
 238      apply divides_to_div.
 239      assumption
 240     ]
 241   ]
 242 qed.
 243
 244 theorem divides_to_eq_times_div_div_times: \forall a,b,c:nat.
 245 O \lt b \to c \divides b \to a * (b /c) = (a*b)/c.
 246 intros.
 247 elim H1.
 248 rewrite > H2.
 249 rewrite > (sym_times c n2).
 250 cut(O \lt c)
 251 [ rewrite > (lt_O_to_div_times n2 c)
 252   [ rewrite < assoc_times.
 253     rewrite > (lt_O_to_div_times (a *n2) c)
 254     [ reflexivity
 255     | assumption
 256     ]
 257   | assumption
 258   ]
 259 | apply (divides_to_lt_O c b);
 260     assumption.
 261 ]
 262 qed.
 263
 264
 265 (* boolean divides *)
 266 definition divides_b : nat \to nat \to bool \def
 267 \lambda n,m :nat. (eqb (m \mod n) O).
 268
 269 theorem divides_b_to_Prop :
 270 \forall n,m:nat. O < n \to
 271 match divides_b n m with
 272 [ true \Rightarrow n \divides m
 273 | false \Rightarrow n \ndivides m].
 274 intros.unfold divides_b.
 275 apply eqb_elim.
 276 intro.simplify.apply mod_O_to_divides.assumption.assumption.
 277 intro.simplify.unfold Not.intro.apply H1.apply divides_to_mod_O.assumption.assumption.
 278 qed.
 279
 280 theorem divides_b_true_to_divides1:
 281 \forall n,m:nat. O < n \to
 282 (divides_b n m = true ) \to n \divides m.
 283 intros.
 284 change with
 285 match true with
 286 [ true \Rightarrow n \divides m
 287 | false \Rightarrow n \ndivides m].
 288 rewrite < H1.apply divides_b_to_Prop.
 289 assumption.
 290 qed.
 291
 292 theorem divides_b_true_to_divides:
 293 \forall n,m:nat. divides_b n m = true \to n \divides m.
 294 intros 2.apply (nat_case n)
 295   [apply (nat_case m)
 296     [intro.apply divides_n_n
 297     |simplify.intros.apply False_ind.
 298      apply not_eq_true_false.apply sym_eq.
 299      assumption
 300     ]
 301   |intros.
 302    apply divides_b_true_to_divides1
 303     [apply lt_O_S|assumption]
 304   ]
 305 qed.
 306
 307 theorem divides_b_false_to_not_divides1:
 308 \forall n,m:nat. O < n \to
 309 (divides_b n m = false ) \to n \ndivides m.
 310 intros.
 311 change with
 312 match false with
 313 [ true \Rightarrow n \divides m
 314 | false \Rightarrow n \ndivides m].
 315 rewrite < H1.apply divides_b_to_Prop.
 316 assumption.
 317 qed.
 318
 319 theorem divides_b_false_to_not_divides:
 320 \forall n,m:nat. divides_b n m = false \to n \ndivides m.
 321 intros 2.apply (nat_case n)
 322   [apply (nat_case m)
 323     [simplify.unfold Not.intros.
 324      apply not_eq_true_false.assumption
 325     |unfold Not.intros.elim H1.
 326      apply (not_eq_O_S m1).apply sym_eq.
 327      assumption
 328     ]
 329   |intros.
 330    apply divides_b_false_to_not_divides1
 331     [apply lt_O_S|assumption]
 332   ]
 333 qed.
 334
 335 theorem decidable_divides: \forall n,m:nat.O < n \to
 336 decidable (n \divides m).
 337 intros.unfold decidable.
 338 cut
 339 (match divides_b n m with
 340 [ true \Rightarrow n \divides m
 341 | false \Rightarrow n \ndivides m] \to n \divides m \lor n \ndivides m).
 342 apply Hcut.apply divides_b_to_Prop.assumption.
 343 elim (divides_b n m).left.apply H1.right.apply H1.
 344 qed.
 345
 346 theorem divides_to_divides_b_true : \forall n,m:nat. O < n \to
 347 n \divides m \to divides_b n m = true.
 348 intros.
 349 cut (match (divides_b n m) with
 350 [ true \Rightarrow n \divides m
 351 | false \Rightarrow n \ndivides m] \to ((divides_b n m) = true)).
 352 apply Hcut.apply divides_b_to_Prop.assumption.
 353 elim (divides_b n m).reflexivity.
 354 absurd (n \divides m).assumption.assumption.
 355 qed.
 356
 357 theorem divides_to_divides_b_true1 : \forall n,m:nat.
 358 O < m \to n \divides m \to divides_b n m = true.
 359 intro.
 360 elim (le_to_or_lt_eq O n (le_O_n n))
 361   [apply divides_to_divides_b_true
 362     [assumption|assumption]
 363   |apply False_ind.
 364    rewrite < H in H2.
 365    elim H2.
 366    simplify in H3.
 367    apply (not_le_Sn_O O).
 368    rewrite > H3 in H1.
 369    assumption
 370   ]
 371 qed.
 372
 373 theorem not_divides_to_divides_b_false: \forall n,m:nat. O < n \to
 374 \lnot(n \divides m) \to (divides_b n m) = false.
 375 intros.
 376 cut (match (divides_b n m) with
 377 [ true \Rightarrow n \divides m
 378 | false \Rightarrow n \ndivides m] \to ((divides_b n m) = false)).
 379 apply Hcut.apply divides_b_to_Prop.assumption.
 380 elim (divides_b n m).
 381 absurd (n \divides m).assumption.assumption.
 382 reflexivity.
 383 qed.
 384
 385 theorem divides_b_div_true:
 386 \forall d,n. O < n \to
 387   divides_b d n = true \to divides_b (n/d) n = true.
 388 intros.
 389 apply divides_to_divides_b_true1
 390   [assumption
 391   |apply divides_div.
 392    apply divides_b_true_to_divides.
 393    assumption
 394   ]
 395 qed.
 396
 397 theorem divides_b_true_to_lt_O: \forall n,m. O < n \to divides_b m n = true \to O < m.
 398 intros.
 399 elim (le_to_or_lt_eq ? ? (le_O_n m))
 400   [assumption
 401   |apply False_ind.
 402    elim H1.
 403    rewrite < H2 in H1.
 404    simplify in H1.
 405    apply (lt_to_not_eq O n H).
 406    apply sym_eq.
 407    apply eqb_true_to_eq.
 408    assumption
 409   ]
 410 qed.
 411
 412 (* divides and pi *)
 413 theorem divides_f_pi_f : \forall f:nat \to nat.\forall n,m,i:nat.
 414 m \le i \to i \le n+m \to f i \divides pi n f m.
 415 intros 5.elim n.simplify.
 416 cut (i = m).rewrite < Hcut.apply divides_n_n.
 417 apply antisymmetric_le.assumption.assumption.
 418 simplify.
 419 cut (i < S n1+m \lor i = S n1 + m).
 420 elim Hcut.
 421 apply (transitive_divides ? (pi n1 f m)).
 422 apply H1.apply le_S_S_to_le. assumption.
 423 apply (witness ? ? (f (S n1+m))).apply sym_times.
 424 rewrite > H3.
 425 apply (witness ? ? (pi n1 f m)).reflexivity.
 426 apply le_to_or_lt_eq.assumption.
 427 qed.
 428
 429 (*
 430 theorem mod_S_pi: \forall f:nat \to nat.\forall n,i:nat.
 431 i < n \to (S O) < (f i) \to (S (pi n f)) \mod (f i) = (S O).
 432 intros.cut (pi n f) \mod (f i) = O.
 433 rewrite < Hcut.
 434 apply mod_S.apply trans_lt O (S O).apply le_n (S O).assumption.
 435 rewrite > Hcut.assumption.
 436 apply divides_to_mod_O.apply trans_lt O (S O).apply le_n (S O).assumption.
 437 apply divides_f_pi_f.assumption.
 438 qed.
 439 *)
 440
 441 (* divides and fact *)
 442 theorem divides_fact : \forall n,i:nat.
 443 O < i \to i \le n \to i \divides n!.
 444 intros 3.elim n.absurd (O<i).assumption.apply (le_n_O_elim i H1).
 445 apply (not_le_Sn_O O).
 446 change with (i \divides (S n1)*n1!).
 447 apply (le_n_Sm_elim i n1 H2).
 448 intro.
 449 apply (transitive_divides ? n1!).
 450 apply H1.apply le_S_S_to_le. assumption.
 451 apply (witness ? ? (S n1)).apply sym_times.
 452 intro.
 453 rewrite > H3.
 454 apply (witness ? ? n1!).reflexivity.
 455 qed.
 456
 457 theorem mod_S_fact: \forall n,i:nat.
 458 (S O) < i \to i \le n \to (S n!) \mod i = (S O).
 459 intros.cut (n! \mod i = O).
 460 rewrite < Hcut.
 461 apply mod_S.apply (trans_lt O (S O)).apply (le_n (S O)).assumption.
 462 rewrite > Hcut.assumption.
 463 apply divides_to_mod_O.apply (trans_lt O (S O)).apply (le_n (S O)).assumption.
 464 apply divides_fact.apply (trans_lt O (S O)).apply (le_n (S O)).assumption.
 465 assumption.
 466 qed.
 467
 468 theorem not_divides_S_fact: \forall n,i:nat.
 469 (S O) < i \to i \le n \to i \ndivides S n!.
 470 intros.
 471 apply divides_b_false_to_not_divides.
 472 unfold divides_b.
 473 rewrite > mod_S_fact[simplify.reflexivity|assumption|assumption].
 474 qed.
 475
 476 (* prime *)
 477 definition prime : nat \to  Prop \def
 478 \lambda n:nat. (S O) < n \land
 479 (\forall m:nat. m \divides n \to (S O) < m \to  m = n).
 480
 481 theorem not_prime_O: \lnot (prime O).
 482 unfold Not.unfold prime.intro.elim H.apply (not_le_Sn_O (S O) H1).
 483 qed.
 484
 485 theorem not_prime_SO: \lnot (prime (S O)).
 486 unfold Not.unfold prime.intro.elim H.apply (not_le_Sn_n (S O) H1).
 487 qed.
 488
 489 theorem prime_to_lt_O: \forall p. prime p \to O < p.
 490 intros.elim H.apply lt_to_le.assumption.
 491 qed.
 492
 493 (* smallest factor *)
 494 definition smallest_factor : nat \to nat \def
 495 \lambda n:nat.
 496 match n with
 497 [ O \Rightarrow O
 498 | (S p) \Rightarrow
 499   match p with
 500   [ O \Rightarrow (S O)
 501   | (S q) \Rightarrow min_aux q (S (S O)) (\lambda m.(eqb ((S(S q)) \mod m) O))]].
 502
 503 (* it works !
 504 theorem example1 : smallest_factor (S(S(S O))) = (S(S(S O))).
 505 normalize.reflexivity.
 506 qed.
 507
 508 theorem example2: smallest_factor (S(S(S(S O)))) = (S(S O)).
 509 normalize.reflexivity.
 510 qed.
 511
 512 theorem example3 : smallest_factor (S(S(S(S(S(S(S O))))))) = (S(S(S(S(S(S(S O))))))).
 513 simplify.reflexivity.
 514 qed. *)
 515
 516 theorem lt_SO_smallest_factor:
 517 \forall n:nat. (S O) < n \to (S O) < (smallest_factor n).
 518 intro.
 519 apply (nat_case n).intro.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O (S O) H).
 520 intro.apply (nat_case m).intro. apply False_ind.apply (not_le_Sn_n (S O) H).
 521 intros.
 522 change with
 523 (S O < min_aux m1 (S (S O)) (\lambda m.(eqb ((S(S m1)) \mod m) O))).
 524 apply (lt_to_le_to_lt ? (S (S O))).
 525 apply (le_n (S(S O))).
 526 cut ((S(S O)) = (S(S m1)) - m1).
 527 rewrite > Hcut.
 528 apply le_min_aux.
 529 apply sym_eq.apply plus_to_minus.
 530 rewrite < sym_plus.simplify.reflexivity.
 531 qed.
 532
 533 theorem lt_O_smallest_factor: \forall n:nat. O < n \to O < (smallest_factor n).
 534 intro.
 535 apply (nat_case n).intro.apply False_ind.apply (not_le_Sn_n O H).
 536 intro.apply (nat_case m).intro.
 537 simplify.unfold lt.apply le_n.
 538 intros.apply (trans_lt ? (S O)).
 539 unfold lt.apply le_n.
 540 apply lt_SO_smallest_factor.unfold lt. apply le_S_S.
 541 apply le_S_S.apply le_O_n.
 542 qed.
 543
 544 theorem divides_smallest_factor_n :
 545 \forall n:nat. O < n \to smallest_factor n \divides n.
 546 intro.
 547 apply (nat_case n).intro.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O O H).
 548 intro.apply (nat_case m).intro. simplify.
 549 apply (witness ? ? (S O)). simplify.reflexivity.
 550 intros.
 551 apply divides_b_true_to_divides.
 552 change with
 553 (eqb ((S(S m1)) \mod (min_aux m1 (S (S O))
 554   (\lambda m.(eqb ((S(S m1)) \mod m) O)))) O = true).
 555 apply f_min_aux_true.
 556 apply (ex_intro nat ? (S(S m1))).
 557 split.split.
 558 apply (le_S_S_to_le (S (S O)) (S (S m1)) ?).
 559 apply (minus_le_O_to_le (S (S (S O))) (S (S (S m1))) ?).
 560 apply (le_n O).
 561 rewrite < sym_plus. simplify. apply le_n.
 562 apply (eq_to_eqb_true (mod (S (S m1)) (S (S m1))) O ?).
 563 apply (mod_n_n (S (S m1)) ?).
 564 apply (H).
 565 qed.
 566
 567 theorem le_smallest_factor_n :
 568 \forall n:nat. smallest_factor n \le n.
 569 intro.apply (nat_case n).simplify.apply le_n.
 570 intro.apply (nat_case m).simplify.apply le_n.
 571 intro.apply divides_to_le.
 572 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 573 apply divides_smallest_factor_n.
 574 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 575 qed.
 576
 577 theorem lt_smallest_factor_to_not_divides: \forall n,i:nat.
 578 (S O) < n \to (S O) < i \to i < (smallest_factor n) \to i \ndivides n.
 579 intros 2.
 580 apply (nat_case n).intro.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O (S O) H).
 581 intro.apply (nat_case m).intro. apply False_ind.apply (not_le_Sn_n (S O) H).
 582 intros.
 583 apply divides_b_false_to_not_divides.
 584 apply (lt_min_aux_to_false
 585 (\lambda i:nat.eqb ((S(S m1)) \mod i) O) (S (S O)) m1 i).
 586 assumption.
 587 assumption.
 588 qed.
 589
 590 theorem prime_smallest_factor_n :
 591 \forall n:nat. (S O) < n \to prime (smallest_factor n).
 592 intro.change with ((S(S O)) \le n \to (S O) < (smallest_factor n) \land
 593 (\forall m:nat. m \divides smallest_factor n \to (S O) < m \to  m = (smallest_factor n))).
 594 intro.split.
 595 apply lt_SO_smallest_factor.assumption.
 596 intros.
 597 cut (le m (smallest_factor n)).
 598 elim (le_to_or_lt_eq m (smallest_factor n) Hcut).
 599 absurd (m \divides n).
 600 apply (transitive_divides m (smallest_factor n)).
 601 assumption.
 602 apply divides_smallest_factor_n.
 603 apply (trans_lt ? (S O)). unfold lt. apply le_n. exact H.
 604 apply lt_smallest_factor_to_not_divides.
 605 exact H.assumption.assumption.assumption.
 606 apply divides_to_le.
 607 apply (trans_lt O (S O)).
 608 apply (le_n (S O)).
 609 apply lt_SO_smallest_factor.
 610 exact H.
 611 assumption.
 612 qed.
 613
 614 theorem prime_to_smallest_factor: \forall n. prime n \to
 615 smallest_factor n = n.
 616 intro.apply (nat_case n).intro.apply False_ind.apply (not_prime_O H).
 617 intro.apply (nat_case m).intro.apply False_ind.apply (not_prime_SO H).
 618 intro.
 619 change with
 620 ((S O) < (S(S m1)) \land
 621 (\forall m:nat. m \divides S(S m1) \to (S O) < m \to  m = (S(S m1))) \to
 622 smallest_factor (S(S m1)) = (S(S m1))).
 623 intro.elim H.apply H2.
 624 apply divides_smallest_factor_n.
 625 apply (trans_lt ? (S O)).unfold lt. apply le_n.assumption.
 626 apply lt_SO_smallest_factor.
 627 assumption.
 628 qed.
 629
 630 (* a number n > O is prime iff its smallest factor is n *)
 631 definition primeb \def \lambda n:nat.
 632 match n with
 633 [ O \Rightarrow false
 634 | (S p) \Rightarrow
 635   match p with
 636   [ O \Rightarrow false
 637   | (S q) \Rightarrow eqb (smallest_factor (S(S q))) (S(S q))]].
 638
 639 (* it works!
 640 theorem example4 : primeb (S(S(S O))) = true.
 641 normalize.reflexivity.
 642 qed.
 643
 644 theorem example5 : primeb (S(S(S(S(S(S O)))))) = false.
 645 normalize.reflexivity.
 646 qed.
 647
 648 theorem example6 : primeb (S(S(S(S((S(S(S(S(S(S(S O)))))))))))) = true.
 649 normalize.reflexivity.
 650 qed.
 651
 652 theorem example7 : primeb (S(S(S(S(S(S((S(S(S(S((S(S(S(S(S(S(S O))))))))))))))))))) = true.
 653 normalize.reflexivity.
 654 qed. *)
 655
 656 theorem primeb_to_Prop: \forall n.
 657 match primeb n with
 658 [ true \Rightarrow prime n
 659 | false \Rightarrow \lnot (prime n)].
 660 intro.
 661 apply (nat_case n).simplify.unfold Not.unfold prime.intro.elim H.apply (not_le_Sn_O (S O) H1).
 662 intro.apply (nat_case m).simplify.unfold Not.unfold prime.intro.elim H.apply (not_le_Sn_n (S O) H1).
 663 intro.
 664 change with
 665 match eqb (smallest_factor (S(S m1))) (S(S m1)) with
 666 [ true \Rightarrow prime (S(S m1))
 667 | false \Rightarrow \lnot (prime (S(S m1)))].
 668 apply (eqb_elim (smallest_factor (S(S m1))) (S(S m1))).
 669 intro.simplify.
 670 rewrite < H.
 671 apply prime_smallest_factor_n.
 672 unfold lt.apply le_S_S.apply le_S_S.apply le_O_n.
 673 intro.simplify.
 674 change with (prime (S(S m1)) \to False).
 675 intro.apply H.
 676 apply prime_to_smallest_factor.
 677 assumption.
 678 qed.
 679
 680 theorem primeb_true_to_prime : \forall n:nat.
 681 primeb n = true \to prime n.
 682 intros.change with
 683 match true with
 684 [ true \Rightarrow prime n
 685 | false \Rightarrow \lnot (prime n)].
 686 rewrite < H.
 687 apply primeb_to_Prop.
 688 qed.
 689
 690 theorem primeb_false_to_not_prime : \forall n:nat.
 691 primeb n = false \to \lnot (prime n).
 692 intros.change with
 693 match false with
 694 [ true \Rightarrow prime n
 695 | false \Rightarrow \lnot (prime n)].
 696 rewrite < H.
 697 apply primeb_to_Prop.
 698 qed.
 699
 700 theorem decidable_prime : \forall n:nat.decidable (prime n).
 701 intro.unfold decidable.
 702 cut
 703 (match primeb n with
 704 [ true \Rightarrow prime n
 705 | false \Rightarrow \lnot (prime n)] \to (prime n) \lor \lnot (prime n)).
 706 apply Hcut.apply primeb_to_Prop.
 707 elim (primeb n).left.apply H.right.apply H.
 708 qed.
 709
 710 theorem prime_to_primeb_true: \forall n:nat.
 711 prime n \to primeb n = true.
 712 intros.
 713 cut (match (primeb n) with
 714 [ true \Rightarrow prime n
 715 | false \Rightarrow \lnot (prime n)] \to ((primeb n) = true)).
 716 apply Hcut.apply primeb_to_Prop.
 717 elim (primeb n).reflexivity.
 718 absurd (prime n).assumption.assumption.
 719 qed.
 720
 721 theorem not_prime_to_primeb_false: \forall n:nat.
 722 \lnot(prime n) \to primeb n = false.
 723 intros.
 724 cut (match (primeb n) with
 725 [ true \Rightarrow prime n
 726 | false \Rightarrow \lnot (prime n)] \to ((primeb n) = false)).
 727 apply Hcut.apply primeb_to_Prop.
 728 elim (primeb n).
 729 absurd (prime n).assumption.assumption.
 730 reflexivity.
 731 qed.
 732