matita/library/nat/sigma_and_pi.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "nat/factorial.ma".
  16 include "nat/exp.ma".
  17 include "nat/lt_arith.ma".
  18
  19 let rec sigma n f m \def
  20   match n with
  21   [ O \Rightarrow (f m)
  22   | (S p) \Rightarrow (f (S p+m))+(sigma p f m)].
  23
  24 let rec pi n f m \def
  25   match n with
  26   [ O \Rightarrow f m
  27   | (S p) \Rightarrow (f (S p+m))*(pi p f m)].
  28
  29 theorem eq_sigma: \forall f,g:nat \to nat.
  30 \forall n,m:nat.
  31 (\forall i:nat. m \le i \to i \le m+n \to f i = g i) \to
  32 (sigma n f m) = (sigma n g m).
  33 intros 3.elim n.
  34 simplify.apply H.apply le_n.rewrite < plus_n_O.apply le_n.
  35 simplify.
  36 apply eq_f2.apply H1.
  37 change with (m \le (S n1)+m).apply le_plus_n.
  38 rewrite > (sym_plus m).apply le_n.
  39 apply H.intros.apply H1.assumption.
  40 rewrite < plus_n_Sm.
  41 apply le_S.assumption.
  42 qed.
  43
  44 theorem eq_pi: \forall f,g:nat \to nat.
  45 \forall n,m:nat.
  46 (\forall i:nat. m \le i \to i \le m+n \to f i = g i) \to
  47 (pi n f m) = (pi n g m).
  48 intros 3.elim n.
  49 simplify.apply H.apply le_n.rewrite < plus_n_O.apply le_n.
  50 simplify.
  51 apply eq_f2.apply H1.
  52 change with (m \le (S n1)+m).apply le_plus_n.
  53 rewrite > (sym_plus m).apply le_n.
  54 apply H.intros.apply H1.assumption.
  55 rewrite < plus_n_Sm.
  56 apply le_S.assumption.
  57 qed.
  58
  59 theorem eq_fact_pi: \forall n. (S n)! = pi n (\lambda m.m) (S O).
  60 intro.elim n.
  61 simplify.reflexivity.
  62 change with ((S(S n1))*(S n1)! = ((S n1)+(S O))*(pi n1 (\lambda m.m) (S O))).
  63 rewrite < plus_n_Sm.rewrite < plus_n_O.
  64 apply eq_f.assumption.
  65 qed.
  66
  67 theorem exp_pi_l: \forall f:nat\to nat.\forall n,m,a:nat.
  68 (exp a (S n))*pi n f m= pi n (\lambda p.a*(f p)) m.
  69 intros.elim n.simplify.rewrite < times_n_SO.reflexivity.
  70 simplify.
  71 rewrite < H.
  72 rewrite > assoc_times.
  73 rewrite > assoc_times in\vdash (? ?  ? %).
  74 apply eq_f.rewrite < assoc_times.
  75 rewrite < assoc_times.
  76 apply eq_f2.apply sym_times.reflexivity.
  77 qed.