matita/library/nat/sqrt.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "nat/times.ma".
  16 include "nat/compare.ma".
  17 include "nat/log.ma".
  18
  19 definition sqrt \def
  20   \lambda n.max n (\lambda x.leb (x*x) n).
  21
  22 theorem eq_sqrt: \forall n. sqrt (n*n) = n.
  23 intros.
  24 unfold sqrt.apply max_spec_to_max.
  25 unfold max_spec.split
  26   [split
  27     [cases n
  28       [apply le_n
  29       |rewrite > times_n_SO in ⊢ (? % ?).
  30        apply le_times_r.
  31        apply le_S_S.apply le_O_n
  32       ]
  33     |apply le_to_leb_true.apply le_n
  34     ]
  35   |intros.
  36    apply lt_to_leb_false.
  37    apply lt_times;assumption
  38   ]
  39 qed.
  40
  41 theorem le_sqrt_to_le_times_l : \forall m,n.n \leq sqrt m \to n*n \leq m.
  42 intros;apply (trans_le ? (sqrt m * sqrt m))
  43   [apply le_times;assumption
  44   |apply leb_true_to_le;apply (f_max_true (λx:nat.leb (x*x) m) m);
  45    apply (ex_intro ? ? O);split
  46      [apply le_O_n
  47      |simplify;reflexivity]]
  48 qed.
  49
  50 theorem lt_sqrt_to_le_times_l : \forall m,n.n < sqrt m \to n*n < m.
  51 intros;apply (trans_le ? (sqrt m * sqrt m))
  52   [apply (trans_le ? (S n * S n))
  53      [simplify in \vdash (? ? %);apply le_S_S;apply (trans_le ? (n * S n))
  54         [apply le_times_r;apply le_S;apply le_n
  55         |rewrite > sym_plus;rewrite > plus_n_O in \vdash (? % ?);
  56          apply le_plus_r;apply le_O_n]
  57      |apply le_times;assumption]
  58   |apply le_sqrt_to_le_times_l;apply le_n]
  59 qed.
  60
  61 theorem le_sqrt_to_le_times_r : \forall m,n.sqrt m < n \to m < n*n.
  62 intros;apply not_le_to_lt;intro;
  63 apply ((leb_false_to_not_le ? ?
  64            (lt_max_to_false (\lambda x.leb (x*x) m) m n H ?))
  65          H1);
  66 apply (trans_le ? ? ? ? H1);cases n
  67   [apply le_n
  68   |rewrite > times_n_SO in \vdash (? % ?);rewrite > sym_times;apply le_times
  69      [apply le_S_S;apply le_O_n
  70      |apply le_n]]
  71 qed.
  72
  73 lemma le_sqrt_n_n : \forall n.sqrt n \leq n.
  74 intro.unfold sqrt.apply le_max_n.
  75 qed.
  76
  77 lemma leq_sqrt_n : \forall n. sqrt n * sqrt n \leq n.
  78 intro;unfold sqrt;apply leb_true_to_le;apply f_max_true;apply (ex_intro ? ? O);
  79 split
  80   [apply le_O_n
  81   |simplify;reflexivity]
  82 qed.
  83
  84 alias num (instance 0) = "natural number".
  85
  86 lemma lt_sqrt_n : \forall n.1 < n \to sqrt n < n.
  87 intros.
  88 elim (le_to_or_lt_eq ? ? (le_sqrt_n_n n))
  89   [assumption
  90   |apply False_ind.
  91    apply (le_to_not_lt ? ? (leq_sqrt_n n)).
  92    rewrite > H1.
  93    rewrite > times_n_SO in ⊢ (? % ?).
  94    apply lt_times_r1
  95     [apply lt_to_le.assumption
  96     |assumption
  97     ]
  98   ]
  99 qed.
 100
 101 lemma lt_sqrt: \forall n.n < (exp (S (sqrt n)) 2).
 102 intro.
 103 cases n
 104   [apply le_n
 105   |cases n1
 106     [simplify.apply lt_to_le.apply lt_to_le.apply le_n
 107     |apply not_le_to_lt.
 108      apply leb_false_to_not_le.
 109      rewrite > exp_SSO.
 110      apply (lt_max_to_false (\lambda x.(leb (x*x) (S(S n2)))) (S(S n2)))
 111       [apply le_n
 112       |apply lt_sqrt_n.
 113        apply le_S_S.apply lt_O_S.
 114       ]
 115     ]
 116   ]
 117 qed.
 118
 119 lemma le_sqrt_n1: \forall n. n - 2*sqrt n \le exp (sqrt n) 2.
 120 intros.
 121 apply le_plus_to_minus.
 122 apply le_S_S_to_le.
 123 cut (S ((sqrt n)\sup 2+2*sqrt n) = (exp (S(sqrt n)) 2))
 124   [rewrite > Hcut.apply lt_sqrt
 125   |rewrite > exp_SSO.rewrite > exp_SSO.
 126    simplify.apply eq_f.
 127    rewrite < times_n_Sm.
 128    rewrite < plus_n_O.
 129    rewrite < assoc_plus in ⊢ (? ? ? %).
 130    rewrite > sym_plus.
 131    reflexivity
 132   ]
 133 qed.
 134
 135 (* falso per n=2, m=7 e n=3, m =15 *)
 136 lemma le_sqrt_nl: \forall n,m. 3 < n \to
 137 m*(pred m)*n \le exp (sqrt ((exp m 2)*n)) 2.
 138 intros.
 139 rewrite > minus_n_O in ⊢ (? (? (? ? (? %)) ?) ?).
 140 rewrite < eq_minus_S_pred.
 141 rewrite > distr_times_minus.
 142 rewrite < times_n_SO.
 143 rewrite > sym_times.
 144 rewrite > distr_times_minus.
 145 rewrite > sym_times.
 146 apply (trans_le ? (m*m*n -2*sqrt(m*m*n)))
 147   [apply monotonic_le_minus_r.
 148    apply (le_exp_to_le1 ? ? 2)
 149     [apply lt_O_S
 150     |rewrite < times_exp.
 151      apply (trans_le ? ((exp 2 2)*(m*m*n)))
 152       [apply le_times_r.
 153        rewrite > exp_SSO.
 154        apply leq_sqrt_n
 155       |rewrite < exp_SSO.
 156        rewrite < times_exp.
 157        rewrite < assoc_times.
 158        rewrite < sym_times in ⊢ (? (? % ?) ?).
 159        rewrite > assoc_times.
 160        rewrite > sym_times.
 161        apply le_times_l.
 162        rewrite > exp_SSO in ⊢ (? ? %).
 163        apply le_times_l.
 164        assumption
 165       ]
 166     ]
 167   |rewrite <exp_SSO.
 168    apply le_sqrt_n1
 169   ]
 170 qed.
 171
 172 lemma le_sqrt_log_n : \forall n,b. 2 < b \to sqrt n * log b n \leq n.
 173 intros.
 174 apply (trans_le ? ? ? ? (leq_sqrt_n ?));
 175 apply le_times_r;unfold sqrt;
 176 apply f_m_to_le_max
 177   [apply le_log_n_n;apply lt_to_le;assumption
 178   |apply le_to_leb_true;elim (le_to_or_lt_eq ? ? (le_O_n n))
 179      [apply (trans_le ? (exp b (log b n)))
 180         [elim (log b n)
 181            [apply le_O_n
 182            |simplify in \vdash (? ? %);
 183            elim (le_to_or_lt_eq ? ? (le_O_n n1))
 184               [elim (le_to_or_lt_eq ? ? H3)
 185                  [apply (trans_le ? (3*(n1*n1)));
 186                     [simplify in \vdash (? % ?);rewrite > sym_times in \vdash (? % ?);
 187                      simplify in \vdash (? % ?);
 188                      simplify;rewrite > sym_plus;
 189                      rewrite > plus_n_Sm;rewrite > sym_plus in \vdash (? (? % ?) ?);
 190                      rewrite > assoc_plus;apply le_plus_r;
 191                      rewrite < plus_n_Sm;
 192                      rewrite < plus_n_O;
 193                      apply lt_plus;rewrite > times_n_SO in \vdash (? % ?);
 194                      apply lt_times_r1;assumption;
 195                     |apply le_times
 196                        [assumption
 197                        |assumption]]
 198                  |rewrite < H4;apply le_times
 199                     [apply lt_to_le;assumption
 200                     |apply lt_to_le;simplify;rewrite < times_n_SO;assumption]]
 201              |rewrite < H3;simplify;rewrite < times_n_SO;do 2 apply lt_to_le;assumption]]
 202         |simplify;apply le_exp_log;assumption]
 203      |rewrite < H1;simplify;apply le_n]]
 204 qed.
 205
 206 (* monotonicity *)
 207 theorem monotonic_sqrt: monotonic nat le sqrt.
 208 unfold.intros.
 209 unfold sqrt in ⊢ (? ? (% ?)).
 210 apply f_m_to_le_max
 211   [apply (trans_le ? ? ? ? H).
 212    apply le_sqrt_n_n
 213   |apply le_to_leb_true.
 214    apply (trans_le ? ? ? ? H).
 215    apply leq_sqrt_n
 216   ]
 217 qed.
 218
 219