]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/broken_lib/turing/multi_to_mono/multi_to_mono.ma
Merge branch 'declarative' into matita-lablgtk3
[helm.git] / matita / matita / broken_lib / turing / multi_to_mono / multi_to_mono.ma
1 include "turing/auxiliary_machines1.ma".
2 include "turing/multi_to_mono/shift_trace_machines.ma".
3
4 (******************************************************************************)
5 (* mtiL: complete move L for tape i. We reaching the left border of trace i,  *)
6 (* add a blank if there is no more tape, then move the i-trace and finally    *)
7 (* come back to the head position.                                            *)
8 (******************************************************************************)
9
10 (* we say that a tape is regular if for any trace after the first blank we
11   only have other blanks *)
12   
13 definition all_blanks_in ≝ λsig,l.
14   ∀x. mem ? x l → x = blank sig.  
15  
16 definition regular_i  ≝ λsig,n.λl:list (multi_sig sig n).λi.
17   all_blanks_in ? (after_blank ? (trace sig n i l)).
18
19 definition regular_trace ≝ λsig,n,a.λls,rs:list (multi_sig sig n).λi.
20   Or (And (regular_i sig n (a::ls) i) (regular_i sig n rs i))
21      (And (regular_i sig n ls i) (regular_i sig n (a::rs) i)).
22          
23 axiom regular_tail: ∀sig,n,l,i.
24   regular_i sig n l i → regular_i sig n (tail ? l) i.
25   
26 axiom regular_extend: ∀sig,n,l,i.
27    regular_i sig n l i → regular_i sig n (l@[all_blank sig n]) i.
28
29 axiom all_blank_after_blank: ∀sig,n,l1,b,l2,i. 
30   nth i ? (vec … b) (blank ?) = blank ? → 
31   regular_i sig n (l1@b::l2) i → all_blanks_in ? (trace sig n i l2).
32    
33 lemma regular_trace_extl:  ∀sig,n,a,ls,rs,i.
34   regular_trace sig n a ls rs i → 
35     regular_trace sig n a (ls@[all_blank sig n]) rs i.
36 #sig #n #a #ls #rs #i *
37   [* #H1 #H2 % % // @(regular_extend … H1)
38   |* #H1 #H2 %2 % // @(regular_extend … H1)
39   ]
40 qed.
41
42 lemma regular_cons_hd_rs: ∀sig,n.∀a:multi_sig sig n.∀ls,rs1,rs2,i.
43   regular_trace sig n a ls (rs1@rs2) i → 
44     regular_trace sig n a ls (rs1@((hd ? rs2 (all_blank …))::(tail ? rs2))) i.
45 #sig #n #a #ls #rs1 #rs2 #i cases rs2 [2: #b #tl #H @H] 
46 *[* #H1 >append_nil #H2 %1 % 
47    [@H1 | whd in match (hd ???); @(regular_extend … rs1) //]
48  |* #H1 >append_nil #H2 %2 % 
49    [@H1 | whd in match (hd ???); @(regular_extend … (a::rs1)) //]
50  ]
51 qed.
52
53 lemma eq_trace_to_regular : ∀sig,n.∀a1,a2:multi_sig sig n.∀ls1,ls2,rs1,rs2,i.
54    nth i ? (vec … a1) (blank ?) = nth i ? (vec … a2) (blank ?) →
55    trace sig n i ls1 = trace sig n i ls2 → 
56    trace sig n i rs1 = trace sig n i rs2 →
57    regular_trace sig n a1 ls1 rs1 i → 
58      regular_trace sig n a2 ls2 rs2 i.
59 #sig #n #a1 #a2 #ls1 #ls2 #rs1 #rs2 #i #H1 #H2 #H3 #H4
60 whd in match (regular_trace ??????); whd in match (regular_i ????);
61 whd in match (regular_i ?? rs2 ?); whd in match (regular_i ?? ls2 ?);
62 whd in match (regular_i ?? (a2::rs2) ?); whd in match (trace ????);
63 <trace_def whd in match (trace ??? (a2::rs2)); <trace_def 
64 <H1 <H2 <H3 @H4
65 qed.
66
67 (******************************* move_to_blank_L ******************************)
68 (* we compose machines together to reduce the number of output cases, and 
69    improve semantics *)
70    
71 definition move_to_blank_L ≝ λsig,n,i.
72   (move_until ? L (no_blank sig n i)) · extend ? (all_blank sig n).
73
74 (*
75 definition R_move_to_blank_L ≝ λsig,n,i,t1,t2.
76 (current ? t1 = None ? → 
77   t2 = midtape (multi_sig sig n) (left ? t1) (all_blank …) (right ? t1)) ∧
78 ∀ls,a,rs.t1 = midtape ? ls a rs → 
79   ((no_blank sig n i a = false) ∧ t2 = t1) ∨
80   (∃b,ls1,ls2.
81     (no_blank sig n i b = false) ∧ 
82     (∀j.j ≤n → to_blank_i ?? j (ls1@b::ls2) = to_blank_i ?? j ls) ∧
83     t2 = midtape ? ls2 b ((reverse ? (a::ls1))@rs)). 
84 *)
85
86 definition R_move_to_blank_L ≝ λsig,n,i,t1,t2.
87 (current ? t1 = None ? → 
88   t2 = midtape (multi_sig sig n) (left ? t1) (all_blank …) (right ? t1)) ∧
89 ∀ls,a,rs.
90   t1 = midtape (multi_sig sig n) ls a rs → 
91   regular_i sig n (a::ls) i →
92   (∀j. j ≠ i → regular_trace … a ls rs j) →
93   (∃b,ls1,ls2.
94     (regular_i sig n (ls1@b::ls2) i) ∧ 
95     (∀j. j ≠ i → regular_trace … 
96       (hd ? (ls1@b::ls2) (all_blank …)) (tail ? (ls1@b::ls2)) rs j) ∧ 
97     (no_blank sig n i b = false) ∧ 
98     (hd (multi_sig sig n) (ls1@[b]) (all_blank …) = a) ∧ (* not implied by the next fact *)
99     (∀j.j ≤n → to_blank_i ?? j (ls1@b::ls2) = to_blank_i ?? j (a::ls)) ∧
100     t2 = midtape ? ls2 b ((reverse ? ls1)@rs)).
101
102 theorem sem_move_to_blank_L: ∀sig,n,i. 
103   move_to_blank_L sig n i  ⊨ R_move_to_blank_L sig n i.
104 #sig #n #i 
105 @(sem_seq_app ?????? 
106   (ssem_move_until_L ? (no_blank sig n i)) (sem_extend ? (all_blank sig n)))
107 #tin #tout * #t1 * * #Ht1a #Ht1b * #Ht2a #Ht2b %
108   [#Hcur >(Ht1a Hcur) in Ht2a; /2 by /
109   |#ls #a #rs #Htin #Hreg #Hreg2 -Ht1a cases (Ht1b … Htin)
110     [* #Hnb #Ht1 -Ht1b -Ht2a >Ht1 in Ht2b; >Htin #H 
111      %{a} %{[ ]} %{ls} 
112      %[%[%[%[%[@Hreg|@Hreg2]|@Hnb]|//]|//]|@H normalize % #H1 destruct (H1)]
113     |* 
114     [(* we find the blank *)
115      * #ls1 * #b * #ls2 * * * #H1 #H2 #H3 #Ht1
116      >Ht1 in Ht2b; #Hout -Ht1b
117      %{b} %{(a::ls1)} %{ls2} 
118      %[%[%[%[%[>H1 in Hreg; #H @H 
119               |#j #jneqi whd in match (hd ???); whd in match (tail ??);
120                <H1 @(Hreg2 j jneqi)]|@H2] |//]|>H1 //]
121       |@Hout normalize % normalize #H destruct (H)
122       ]
123     |* #b * #lss * * #H1 #H2 #Ht1 -Ht1b >Ht1 in Ht2a; 
124      whd in match (left ??); whd in match (right ??); #Hout
125      %{(all_blank …)} %{(lss@[b])} %{[]}
126      %[%[%[%[%[<H2 @regular_extend // 
127               |<H2 #j #jneqi whd in match (hd ???); whd in match (tail ??); 
128                @regular_trace_extl @Hreg2 //]
129             |whd in match (no_blank ????); >blank_all_blank //]
130           |<H2 //]
131         |#j #lejn <H2 @sym_eq @to_blank_i_ext]
132       |>reverse_append >reverse_single @Hout normalize // 
133       ]
134     ]
135   ]
136 qed.
137
138 (******************************************************************************)
139    
140 definition shift_i_L ≝ λsig,n,i.
141    ncombf_r (multi_sig …) (shift_i sig n i) (all_blank sig n) ·
142    mti sig n i · 
143    extend ? (all_blank sig n).
144    
145 definition R_shift_i_L ≝ λsig,n,i,t1,t2.
146     (∀a,ls,rs. 
147       t1 = midtape ? ls a rs  → 
148       ((∃rs1,b,rs2,a1,rss.
149         rs = rs1@b::rs2 ∧ 
150         nth i ? (vec … b) (blank ?) = (blank ?) ∧
151         (∀x. mem ? x rs1 → nth i ? (vec … x) (blank ?) ≠ (blank ?)) ∧
152         shift_l sig n i (a::rs1) (a1::rss) ∧
153         t2 = midtape (multi_sig sig n) ((reverse ? (a1::rss))@ls) b rs2) ∨
154       (∃b,rss. 
155         (∀x. mem ? x rs → nth i ? (vec … x) (blank ?) ≠ (blank ?)) ∧
156         shift_l sig n i (a::rs) (rss@[b]) ∧
157         t2 = midtape (multi_sig sig n) 
158           ((reverse ? (rss@[b]))@ls) (all_blank sig n) [ ]))).
159
160 definition R_shift_i_L_new ≝ λsig,n,i,t1,t2.
161   (∀a,ls,rs. 
162    t1 = midtape ? ls a rs  → 
163    ∃rs1,b,rs2,rss.
164       b = hd ? rs2 (all_blank sig n) ∧
165       nth i ? (vec … b) (blank ?) = (blank ?) ∧
166       rs = rs1@rs2 ∧ 
167       (∀x. mem ? x rs1 → nth i ? (vec … x) (blank ?) ≠ (blank ?)) ∧
168       shift_l sig n i (a::rs1) rss ∧
169       t2 = midtape (multi_sig sig n) ((reverse ? rss)@ls) b (tail ? rs2)). 
170           
171 theorem sem_shift_i_L: ∀sig,n,i. shift_i_L sig n i  ⊨ R_shift_i_L sig n i.
172 #sig #n #i 
173 @(sem_seq_app ?????? 
174   (sem_ncombf_r (multi_sig sig n) (shift_i sig n i)(all_blank sig n))
175    (sem_seq ????? (ssem_mti sig n i) 
176     (sem_extend ? (all_blank sig n))))
177 #tin #tout * #t1 * * #Ht1a #Ht1b * #t2 * * #Ht2a #Ht2b * #Htout1 #Htout2
178 #a #ls #rs cases rs
179   [#Htin %2 %{(shift_i sig n i a (all_blank sig n))} %{[ ]} 
180    %[%[#x @False_ind | @daemon]
181     |lapply (Ht1a … Htin) -Ht1a -Ht1b #Ht1 
182      lapply (Ht2a … Ht1) -Ht2a -Ht2b #Ht2 >Ht2 in Htout1; 
183      >Ht1 whd in match (left ??); whd in match (right ??); #Htout @Htout // 
184     ]
185   |#a1 #rs1 #Htin 
186    lapply (Ht1b … Htin) -Ht1a -Ht1b #Ht1 
187    lapply (Ht2b … Ht1) -Ht2a -Ht2b *
188     [(* a1 is blank *) * #H1 #H2 %1
189      %{[ ]} %{a1} %{rs1} %{(shift_i sig n i a a1)} %{[ ]}
190      %[%[%[%[// |//] |#x @False_ind] | @daemon]
191       |>Htout2 [>H2 >reverse_single @Ht1 |>H2 >Ht1 normalize % #H destruct (H)]
192       ]
193     |*
194     [* #rs10 * #b * #rs2 * #rss * * * * #H1 #H2 #H3 #H4
195      #Ht2 %1 
196      %{(a1::rs10)} %{b} %{rs2} %{(shift_i sig n i a a1)} %{rss}
197      %[%[%[%[>H1 //|//] |@H3] |@daemon ]
198       |>reverse_cons >associative_append 
199        >H2 in Htout2; #Htout >Htout [@Ht2| >Ht2 normalize % #H destruct (H)]  
200       ]
201     |* #b * #rss * * #H1 #H2 
202      #Ht2 %2
203      %{(shift_i sig n i b (all_blank sig n))} %{(shift_i sig n i a a1::rss)}
204      %[%[@H1 |@daemon ]
205       |>Ht2 in Htout1; #Htout >Htout //
206        whd in match (left ??); whd in match (right ??);
207        >reverse_append >reverse_single >associative_append  >reverse_cons
208        >associative_append // 
209        ]
210      ]
211    ]
212  ]
213 qed.
214  
215 theorem sem_shift_i_L_new: ∀sig,n,i. 
216   shift_i_L sig n i  ⊨ R_shift_i_L_new sig n i.
217 #sig #n #i 
218 @(Realize_to_Realize … (sem_shift_i_L sig n i))
219 #t1 #t2 #H #a #ls #rs #Ht1 lapply (H a ls rs Ht1) *
220   [* #rs1 * #b * #rs2 * #a1 * #rss * * * * #H1 #H2 #H3 #H4 #Ht2
221    %{rs1} %{b} %{(b::rs2)} %{(a1::rss)} 
222    %[%[%[%[%[//|@H2]|@H1]|@H3]|@H4] | whd in match (tail ??); @Ht2]
223   |* #b * #rss * * #H1 #H2 #Ht2
224    %{rs} %{(all_blank sig n)} %{[]} %{(rss@[b])} 
225    %[%[%[%[%[//|@blank_all_blank]|//]|@H1]|@H2] | whd in match (tail ??); @Ht2]
226   ]
227 qed.
228    
229
230 (*******************************************************************************
231 The following machine implements a full move of for a trace: we reach the left 
232 border, shift the i-th trace and come back to the head position. *)  
233
234 (* this exclude the possibility that traces do not overlap: the head must 
235 remain inside all traces *)
236
237 definition mtiL ≝ λsig,n,i.
238    move_to_blank_L sig n i · 
239    shift_i_L sig n i ·
240    move_until ? L (no_head sig n). 
241    
242 definition Rmtil ≝ λsig,n,i,t1,t2.
243   ∀ls,a,rs. 
244    t1 = midtape (multi_sig sig n) ls a rs → 
245    nth n ? (vec … a) (blank ?) = head ? →  
246    (∀i.regular_trace sig n a ls rs i) → 
247    (* next: we cannot be on rightof on trace i *)
248    (nth i ? (vec … a) (blank ?) = (blank ?) 
249      → nth i ? (vec … (hd ? rs (all_blank …))) (blank ?) ≠ (blank ?)) →
250    no_head_in … ls →   
251    no_head_in … rs  → 
252    (∃ls1,a1,rs1.
253      t2 = midtape (multi_sig …) ls1 a1 rs1 ∧
254      (∀i.regular_trace … a1 ls1 rs1 i) ∧
255      (∀j. j ≤ n → j ≠ i → to_blank_i ? n j (a1::ls1) = to_blank_i ? n j (a::ls)) ∧
256      (∀j. j ≤ n → j ≠ i → to_blank_i ? n j rs1 = to_blank_i ? n j rs) ∧
257      (to_blank_i ? n i ls1 = to_blank_i ? n i (a::ls)) ∧
258      (to_blank_i ? n i (a1::rs1)) = to_blank_i ? n i rs).
259
260 theorem sem_Rmtil: ∀sig,n,i. i < n → mtiL sig n i  ⊨ Rmtil sig n i.
261 #sig #n #i #lt_in
262 @(sem_seq_app ?????? 
263   (sem_move_to_blank_L … )
264    (sem_seq ????? (sem_shift_i_L_new …)
265     (ssem_move_until_L ? (no_head sig n))))
266 #tin #tout * #t1 * * #_ #Ht1 * #t2 * #Ht2 * #_ #Htout
267 (* we start looking into Rmitl *)
268 #ls #a #rs #Htin (* tin is a midtape *)
269 #Hhead #Hreg #no_rightof #Hnohead_ls #Hnohead_rs 
270 cut (regular_i sig n (a::ls) i)
271   [cases (Hreg i) * // 
272    cases (true_or_false (nth i ? (vec … a) (blank ?) == (blank ?))) #Htest
273     [#_ @daemon (* absurd, since hd rs non e' blank *)
274     |#H #_ @daemon]] #Hreg1
275 lapply (Ht1 … Htin Hreg1 ?) [#j #_ @Hreg] -Ht1 -Htin
276 * #b * #ls1 * #ls2 * * * * * #reg_ls1_i #reg_ls1_j #Hno_blankb #Hhead #Hls1 #Ht1
277 lapply (Ht2 … Ht1) -Ht2 -Ht1 
278 * #rs1 * #b0 * #rs2 * #rss * * * * * #Hb0 #Hb0blank #Hrs1 #Hrs1b #Hrss #Ht2
279 (* we need to recover the position of the head of the emulated machine
280    that is the head of ls1. This is somewhere inside rs1 *) 
281 cut (∃rs11. rs1 = (reverse ? ls1)@rs11)
282   [cut (ls1 = [ ] ∨ ∃aa,tlls1. ls1 = aa::tlls1)
283     [cases ls1 [%1 // | #aa #tlls1 %2 %{aa} %{tlls1} //]] *
284       [#H1ls1 %{rs1} >H1ls1 //
285       |* #aa * #tlls1 #H1ls1 >H1ls1 in Hrs1; 
286        cut (aa = a) [>H1ls1 in Hls1; #H @(to_blank_hd … H)] #eqaa >eqaa  
287        #Hrs1_aux cases (compare_append … (sym_eq … Hrs1_aux)) #l *
288         [* #H1 #H2 %{l} @H1
289         |(* this is absurd : if l is empty, the case is as before.
290            if l is not empty then it must start with a blank, since it is the
291            first character in rs2. But in this case we would have a blank 
292            inside ls1=a::tls1 that is absurd *)
293           @daemon
294         ]]]   
295    * #rs11 #H1
296 cut (rs = rs11@rs2)
297   [@(injective_append_l … (reverse … ls1)) >Hrs1 <associative_append <H1 //] #H2
298 lapply (Htout … Ht2) -Htout -Ht2 *
299   [(* the current character on trace i holds the head-mark.
300       The case is absurd, since b0 is the head of rs2, that is a sublist of rs, 
301       and the head-mark is not in rs *)
302    * #H3 @False_ind @(absurd (nth n ? (vec … b0) (blank sig) = head ?)) 
303      [@(\P ?) @injective_notb @H3 ]
304    @Hnohead_rs >H2 >trace_append @mem_append_l2 
305    lapply Hb0 cases rs2 
306     [whd in match (hd ???); #H >H in H3; whd in match (no_head ???); 
307      >all_blank_n normalize -H #H destruct (H); @False_ind
308     |#c #r #H4 %1 >H4 //
309     ]
310   |* 
311   [(* we reach the head position *)
312    (* cut (trace sig n j (a1::ls20)=trace sig n j (ls1@b::ls2)) *)
313    * #ls10 * #a1 * #ls20 * * * #Hls20 #Ha1 #Hnh #Htout
314    cut (∀j.j ≠ i →
315       trace sig n j (reverse (multi_sig sig n) rs1@b::ls2) = 
316       trace sig n j (ls10@a1::ls20))
317     [#j #ineqj >append_cons <reverse_cons >trace_def <map_append <reverse_map
318      lapply (trace_shift_neq …lt_in ? (sym_not_eq … ineqj) … Hrss) [//] #Htr
319      <(trace_def …  (b::rs1)) <Htr >reverse_map >map_append @eq_f @Hls20 ] 
320    #Htracej
321    cut (trace sig n i (reverse (multi_sig sig n) (rs1@[b0])@ls2) = 
322         trace sig n i (ls10@a1::ls20))
323     [>trace_def <map_append <reverse_map <map_append <(trace_def … [b0]) 
324      cut (trace sig n i [b0] = [blank ?]) [@daemon] #Hcut >Hcut
325      lapply (trace_shift … lt_in … Hrss) [//] whd in match (tail ??); #Htr <Htr
326      >reverse_map >map_append <trace_def <Hls20 % 
327     ] 
328    #Htracei
329    cut (∀j. j ≠ i →
330       (trace sig n j (reverse (multi_sig sig n) rs11) = trace sig n j ls10) ∧ 
331       (trace sig n j (ls1@b::ls2) = trace sig n j (a1::ls20)))
332    [@daemon (* si fa 
333      #j #ineqj @(first_P_to_eq ? (λx. x ≠ head ?))
334       [lapply (Htracej … ineqj) >trace_def in ⊢ (%→?); <map_append 
335        >trace_def in ⊢ (%→?); <map_append #H @H  
336       | *) ] #H2
337   cut ((trace sig n i (b0::reverse ? rs11) = trace sig n i (ls10@[a1])) ∧ 
338       (trace sig n i (ls1@ls2) = trace sig n i ls20))
339    [>H1 in Htracei; >reverse_append >reverse_single >reverse_append 
340      >reverse_reverse >associative_append >associative_append
341      @daemon
342     ] #H3    
343   cut (∀j. j ≠ i → 
344     trace sig n j (reverse (multi_sig sig n) ls10@rs2) = trace sig n j rs)
345     [#j #jneqi @(injective_append_l … (trace sig n j (reverse ? ls1)))
346      >map_append >map_append >Hrs1 >H1 >associative_append 
347      <map_append <map_append in ⊢ (???%); @eq_f 
348      <map_append <map_append @eq_f2 // @sym_eq 
349      <(reverse_reverse … rs11) <reverse_map <reverse_map in ⊢ (???%);
350      @eq_f @(proj1 … (H2 j jneqi))] #Hrs_j
351    %{ls20} %{a1} %{(reverse ? (b0::ls10)@tail (multi_sig sig n) rs2)}
352    %[%[%[%[%[@Htout
353     |#j cases (decidable_eq_nat j i)
354       [#eqji >eqji (* by cases wether a1 is blank *)
355        @daemon
356       |#jneqi lapply (reg_ls1_j … jneqi) #H4 
357        >reverse_cons >associative_append >Hb0 @regular_cons_hd_rs
358        @(eq_trace_to_regular … H4)
359         [<hd_trace >(proj2 … (H2 … jneqi)) >hd_trace %
360         |<tail_trace >(proj2 … (H2 … jneqi)) >tail_trace %
361         |@sym_eq @Hrs_j //
362         ]
363       ]]
364     |#j #lejn #jneqi <(Hls1 … lejn) 
365      >to_blank_i_def >to_blank_i_def @eq_f @sym_eq @(proj2 … (H2 j jneqi))]
366     |#j #lejn #jneqi >reverse_cons >associative_append >Hb0
367      <to_blank_hd_cons >to_blank_i_def >to_blank_i_def @eq_f @Hrs_j //]
368     |<(Hls1 i) [2:@lt_to_le //] 
369      lapply (all_blank_after_blank … reg_ls1_i) 
370        [@(\P ?) @daemon] #allb_ls2
371      whd in match (to_blank_i ????); <(proj2 … H3)
372      @daemon ]
373     |>reverse_cons >associative_append  
374      cut (to_blank_i sig n i rs = to_blank_i sig n i (rs11@[b0])) [@daemon] 
375      #Hcut >Hcut >(to_blank_i_chop  … b0 (a1::reverse …ls10)) [2: @Hb0blank]
376      >to_blank_i_def >to_blank_i_def @eq_f 
377      >trace_def >trace_def @injective_reverse >reverse_map >reverse_cons
378      >reverse_reverse >reverse_map >reverse_append >reverse_single @sym_eq
379      @(proj1 … H3)
380     ]
381   |(*we do not find the head: this is absurd *)
382    * #b1 * #lss * * #H2 @False_ind 
383    cut (∀x0. mem ? x0 (trace sig n n (b0::reverse ? rss@ls2)) → x0 ≠ head ?)
384      [@daemon] -H2 #H2
385    lapply (trace_shift_neq sig n i n … lt_in … Hrss)
386      [@lt_to_not_eq @lt_in | // ] 
387    #H3 @(absurd 
388         (nth n ? (vec … (hd ? (ls1@[b]) (all_blank sig n))) (blank ?) = head ?))
389      [>Hhead //
390      |@H2 >trace_def %2 <map_append @mem_append_l1 <reverse_map <trace_def 
391       >H3 >H1 >trace_def >reverse_map >reverse_cons >reverse_append 
392       >reverse_reverse >associative_append <map_append @mem_append_l2
393       cases ls1 [%1 % |#x #ll %1 %]
394      ]
395    ]
396  ]
397 qed.