matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_1/aprem/fwd.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "basic_1/aprem/defs.ma".
  18
  19 let rec aprem_ind (P: (nat \to (A \to (A \to Prop)))) (f: (\forall (a1:
  20 A).(\forall (a2: A).(P O (AHead a1 a2) a1)))) (f0: (\forall (a2: A).(\forall
  21 (a: A).(\forall (i: nat).((aprem i a2 a) \to ((P i a2 a) \to (\forall (a1:
  22 A).(P (S i) (AHead a1 a2) a)))))))) (n: nat) (a: A) (a0: A) (a1: aprem n a
  23 a0) on a1: P n a a0 \def match a1 with [(aprem_zero a2 a3) \Rightarrow (f a2
  24 a3) | (aprem_succ a2 a3 i a4 a5) \Rightarrow (let TMP_1 \def ((aprem_ind P f
  25 f0) i a2 a3 a4) in (f0 a2 a3 i a4 TMP_1 a5))].
  26
  27 theorem aprem_gen_sort:
  28  \forall (x: A).(\forall (i: nat).(\forall (h: nat).(\forall (n: nat).((aprem
  29 i (ASort h n) x) \to False))))
  30 \def
  31  \lambda (x: A).(\lambda (i: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (n:
  32 nat).(\lambda (H: (aprem i (ASort h n) x)).(let TMP_1 \def (ASort h n) in
  33 (let TMP_2 \def (\lambda (a: A).(aprem i a x)) in (let TMP_3 \def (\lambda
  34 (_: A).False) in (let TMP_13 \def (\lambda (y: A).(\lambda (H0: (aprem i y
  35 x)).(let TMP_4 \def (\lambda (_: nat).(\lambda (a: A).(\lambda (_: A).((eq A
  36 a (ASort h n)) \to False)))) in (let TMP_8 \def (\lambda (a1: A).(\lambda
  37 (a2: A).(\lambda (H1: (eq A (AHead a1 a2) (ASort h n))).(let TMP_5 \def
  38 (AHead a1 a2) in (let TMP_6 \def (\lambda (ee: A).(match ee with [(ASort _ _)
  39 \Rightarrow False | (AHead _ _) \Rightarrow True])) in (let TMP_7 \def (ASort
  40 h n) in (let H2 \def (eq_ind A TMP_5 TMP_6 I TMP_7 H1) in (False_ind False
  41 H2)))))))) in (let TMP_12 \def (\lambda (a2: A).(\lambda (a: A).(\lambda (i0:
  42 nat).(\lambda (_: (aprem i0 a2 a)).(\lambda (_: (((eq A a2 (ASort h n)) \to
  43 False))).(\lambda (a1: A).(\lambda (H3: (eq A (AHead a1 a2) (ASort h
  44 n))).(let TMP_9 \def (AHead a1 a2) in (let TMP_10 \def (\lambda (ee:
  45 A).(match ee with [(ASort _ _) \Rightarrow False | (AHead _ _) \Rightarrow
  46 True])) in (let TMP_11 \def (ASort h n) in (let H4 \def (eq_ind A TMP_9
  47 TMP_10 I TMP_11 H3) in (False_ind False H4)))))))))))) in (aprem_ind TMP_4
  48 TMP_8 TMP_12 i y x H0)))))) in (insert_eq A TMP_1 TMP_2 TMP_3 TMP_13
  49 H))))))))).
  50
  51 theorem aprem_gen_head_O:
  52  \forall (a1: A).(\forall (a2: A).(\forall (x: A).((aprem O (AHead a1 a2) x)
  53 \to (eq A x a1))))
  54 \def
  55  \lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (x: A).(\lambda (H: (aprem O
  56 (AHead a1 a2) x)).(let TMP_1 \def (AHead a1 a2) in (let TMP_2 \def (\lambda
  57 (a: A).(aprem O a x)) in (let TMP_3 \def (\lambda (_: A).(eq A x a1)) in (let
  58 TMP_29 \def (\lambda (y: A).(\lambda (H0: (aprem O y x)).(let TMP_4 \def
  59 (\lambda (n: nat).(aprem n y x)) in (let TMP_5 \def (\lambda (_: nat).((eq A
  60 y (AHead a1 a2)) \to (eq A x a1))) in (let TMP_28 \def (\lambda (y0:
  61 nat).(\lambda (H1: (aprem y0 y x)).(let TMP_6 \def (\lambda (n: nat).(\lambda
  62 (a: A).(\lambda (a0: A).((eq nat n O) \to ((eq A a (AHead a1 a2)) \to (eq A
  63 a0 a1)))))) in (let TMP_14 \def (\lambda (a0: A).(\lambda (a3: A).(\lambda
  64 (_: (eq nat O O)).(\lambda (H3: (eq A (AHead a0 a3) (AHead a1 a2))).(let
  65 TMP_7 \def (\lambda (e: A).(match e with [(ASort _ _) \Rightarrow a0 | (AHead
  66 a _) \Rightarrow a])) in (let TMP_8 \def (AHead a0 a3) in (let TMP_9 \def
  67 (AHead a1 a2) in (let H4 \def (f_equal A A TMP_7 TMP_8 TMP_9 H3) in (let
  68 TMP_10 \def (\lambda (e: A).(match e with [(ASort _ _) \Rightarrow a3 |
  69 (AHead _ a) \Rightarrow a])) in (let TMP_11 \def (AHead a0 a3) in (let TMP_12
  70 \def (AHead a1 a2) in (let H5 \def (f_equal A A TMP_10 TMP_11 TMP_12 H3) in
  71 (let TMP_13 \def (\lambda (H6: (eq A a0 a1)).H6) in (TMP_13 H4))))))))))))))
  72 in (let TMP_27 \def (\lambda (a0: A).(\lambda (a: A).(\lambda (i:
  73 nat).(\lambda (H2: (aprem i a0 a)).(\lambda (H3: (((eq nat i O) \to ((eq A a0
  74 (AHead a1 a2)) \to (eq A a a1))))).(\lambda (a3: A).(\lambda (H4: (eq nat (S
  75 i) O)).(\lambda (H5: (eq A (AHead a3 a0) (AHead a1 a2))).(let TMP_15 \def
  76 (\lambda (e: A).(match e with [(ASort _ _) \Rightarrow a3 | (AHead a4 _)
  77 \Rightarrow a4])) in (let TMP_16 \def (AHead a3 a0) in (let TMP_17 \def
  78 (AHead a1 a2) in (let H6 \def (f_equal A A TMP_15 TMP_16 TMP_17 H5) in (let
  79 TMP_18 \def (\lambda (e: A).(match e with [(ASort _ _) \Rightarrow a0 |
  80 (AHead _ a4) \Rightarrow a4])) in (let TMP_19 \def (AHead a3 a0) in (let
  81 TMP_20 \def (AHead a1 a2) in (let H7 \def (f_equal A A TMP_18 TMP_19 TMP_20
  82 H5) in (let TMP_26 \def (\lambda (_: (eq A a3 a1)).(let TMP_21 \def (\lambda
  83 (a4: A).((eq nat i O) \to ((eq A a4 (AHead a1 a2)) \to (eq A a a1)))) in (let
  84 H9 \def (eq_ind A a0 TMP_21 H3 a2 H7) in (let TMP_22 \def (\lambda (a4:
  85 A).(aprem i a4 a)) in (let H10 \def (eq_ind A a0 TMP_22 H2 a2 H7) in (let
  86 TMP_23 \def (S i) in (let TMP_24 \def (\lambda (ee: nat).(match ee with [O
  87 \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True])) in (let H11 \def (eq_ind nat
  88 TMP_23 TMP_24 I O H4) in (let TMP_25 \def (eq A a a1) in (False_ind TMP_25
  89 H11)))))))))) in (TMP_26 H6)))))))))))))))))) in (aprem_ind TMP_6 TMP_14
  90 TMP_27 y0 y x H1)))))) in (insert_eq nat O TMP_4 TMP_5 TMP_28 H0)))))) in
  91 (insert_eq A TMP_1 TMP_2 TMP_3 TMP_29 H)))))))).
  92
  93 theorem aprem_gen_head_S:
  94  \forall (a1: A).(\forall (a2: A).(\forall (x: A).(\forall (i: nat).((aprem
  95 (S i) (AHead a1 a2) x) \to (aprem i a2 x)))))
  96 \def
  97  \lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (x: A).(\lambda (i: nat).(\lambda
  98 (H: (aprem (S i) (AHead a1 a2) x)).(let TMP_1 \def (AHead a1 a2) in (let
  99 TMP_3 \def (\lambda (a: A).(let TMP_2 \def (S i) in (aprem TMP_2 a x))) in
 100 (let TMP_4 \def (\lambda (_: A).(aprem i a2 x)) in (let TMP_38 \def (\lambda
 101 (y: A).(\lambda (H0: (aprem (S i) y x)).(let TMP_5 \def (S i) in (let TMP_6
 102 \def (\lambda (n: nat).(aprem n y x)) in (let TMP_7 \def (\lambda (_:
 103 nat).((eq A y (AHead a1 a2)) \to (aprem i a2 x))) in (let TMP_37 \def
 104 (\lambda (y0: nat).(\lambda (H1: (aprem y0 y x)).(let TMP_8 \def (\lambda (n:
 105 nat).(\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).((eq nat n (S i)) \to ((eq A a (AHead
 106 a1 a2)) \to (aprem i a2 a0)))))) in (let TMP_21 \def (\lambda (a0:
 107 A).(\lambda (a3: A).(\lambda (H2: (eq nat O (S i))).(\lambda (H3: (eq A
 108 (AHead a0 a3) (AHead a1 a2))).(let TMP_9 \def (\lambda (e: A).(match e with
 109 [(ASort _ _) \Rightarrow a0 | (AHead a _) \Rightarrow a])) in (let TMP_10
 110 \def (AHead a0 a3) in (let TMP_11 \def (AHead a1 a2) in (let H4 \def (f_equal
 111 A A TMP_9 TMP_10 TMP_11 H3) in (let TMP_12 \def (\lambda (e: A).(match e with
 112 [(ASort _ _) \Rightarrow a3 | (AHead _ a) \Rightarrow a])) in (let TMP_13
 113 \def (AHead a0 a3) in (let TMP_14 \def (AHead a1 a2) in (let H5 \def (f_equal
 114 A A TMP_12 TMP_13 TMP_14 H3) in (let TMP_20 \def (\lambda (H6: (eq A a0
 115 a1)).(let TMP_15 \def (\lambda (a: A).(aprem i a2 a)) in (let TMP_16 \def
 116 (\lambda (ee: nat).(match ee with [O \Rightarrow True | (S _) \Rightarrow
 117 False])) in (let TMP_17 \def (S i) in (let H7 \def (eq_ind nat O TMP_16 I
 118 TMP_17 H2) in (let TMP_18 \def (aprem i a2 a1) in (let TMP_19 \def (False_ind
 119 TMP_18 H7) in (eq_ind_r A a1 TMP_15 TMP_19 a0 H6)))))))) in (TMP_20
 120 H4)))))))))))))) in (let TMP_36 \def (\lambda (a0: A).(\lambda (a:
 121 A).(\lambda (i0: nat).(\lambda (H2: (aprem i0 a0 a)).(\lambda (H3: (((eq nat
 122 i0 (S i)) \to ((eq A a0 (AHead a1 a2)) \to (aprem i a2 a))))).(\lambda (a3:
 123 A).(\lambda (H4: (eq nat (S i0) (S i))).(\lambda (H5: (eq A (AHead a3 a0)
 124 (AHead a1 a2))).(let TMP_22 \def (\lambda (e: A).(match e with [(ASort _ _)
 125 \Rightarrow a3 | (AHead a4 _) \Rightarrow a4])) in (let TMP_23 \def (AHead a3
 126 a0) in (let TMP_24 \def (AHead a1 a2) in (let H6 \def (f_equal A A TMP_22
 127 TMP_23 TMP_24 H5) in (let TMP_25 \def (\lambda (e: A).(match e with [(ASort _
 128 _) \Rightarrow a0 | (AHead _ a4) \Rightarrow a4])) in (let TMP_26 \def (AHead
 129 a3 a0) in (let TMP_27 \def (AHead a1 a2) in (let H7 \def (f_equal A A TMP_25
 130 TMP_26 TMP_27 H5) in (let TMP_35 \def (\lambda (_: (eq A a3 a1)).(let TMP_28
 131 \def (\lambda (a4: A).((eq nat i0 (S i)) \to ((eq A a4 (AHead a1 a2)) \to
 132 (aprem i a2 a)))) in (let H9 \def (eq_ind A a0 TMP_28 H3 a2 H7) in (let
 133 TMP_29 \def (\lambda (a4: A).(aprem i0 a4 a)) in (let H10 \def (eq_ind A a0
 134 TMP_29 H2 a2 H7) in (let TMP_30 \def (\lambda (e: nat).(match e with [O
 135 \Rightarrow i0 | (S n) \Rightarrow n])) in (let TMP_31 \def (S i0) in (let
 136 TMP_32 \def (S i) in (let H11 \def (f_equal nat nat TMP_30 TMP_31 TMP_32 H4)
 137 in (let TMP_33 \def (\lambda (n: nat).((eq nat n (S i)) \to ((eq A a2 (AHead
 138 a1 a2)) \to (aprem i a2 a)))) in (let H12 \def (eq_ind nat i0 TMP_33 H9 i
 139 H11) in (let TMP_34 \def (\lambda (n: nat).(aprem n a2 a)) in (let H13 \def
 140 (eq_ind nat i0 TMP_34 H10 i H11) in H13))))))))))))) in (TMP_35
 141 H6)))))))))))))))))) in (aprem_ind TMP_8 TMP_21 TMP_36 y0 y x H1)))))) in
 142 (insert_eq nat TMP_5 TMP_6 TMP_7 TMP_37 H0))))))) in (insert_eq A TMP_1 TMP_3
 143 TMP_4 TMP_38 H))))))))).
 144