matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_1/arity/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "Basic-1/arity/fwd.ma".
  18
  19 theorem node_inh:
  20  \forall (g: G).(\forall (n: nat).(\forall (k: nat).(ex_2 C T (\lambda (c:
  21 C).(\lambda (t: T).(arity g c t (ASort k n)))))))
  22 \def
  23  \lambda (g: G).(\lambda (n: nat).(\lambda (k: nat).(nat_ind (\lambda (n0:
  24 nat).(ex_2 C T (\lambda (c: C).(\lambda (t: T).(arity g c t (ASort n0 n))))))
  25 (ex_2_intro C T (\lambda (c: C).(\lambda (t: T).(arity g c t (ASort O n))))
  26 (CSort O) (TSort n) (arity_sort g (CSort O) n)) (\lambda (n0: nat).(\lambda
  27 (H: (ex_2 C T (\lambda (c: C).(\lambda (t: T).(arity g c t (ASort n0
  28 n)))))).(let H0 \def H in (ex_2_ind C T (\lambda (c: C).(\lambda (t:
  29 T).(arity g c t (ASort n0 n)))) (ex_2 C T (\lambda (c: C).(\lambda (t:
  30 T).(arity g c t (ASort (S n0) n))))) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1:
  31 T).(\lambda (H1: (arity g x0 x1 (ASort n0 n))).(ex_2_intro C T (\lambda (c:
  32 C).(\lambda (t: T).(arity g c t (ASort (S n0) n)))) (CHead x0 (Bind Abst) x1)
  33 (TLRef O) (arity_abst g (CHead x0 (Bind Abst) x1) x0 x1 O (getl_refl Abst x0
  34 x1) (ASort (S n0) n) H1))))) H0)))) k))).
  35 (* COMMENTS
  36 Initial nodes: 253
  37 END *)
  38
  39 theorem arity_lift:
  40  \forall (g: G).(\forall (c2: C).(\forall (t: T).(\forall (a: A).((arity g c2
  41 t a) \to (\forall (c1: C).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((drop h d c1
  42 c2) \to (arity g c1 (lift h d t) a)))))))))
  43 \def
  44  \lambda (g: G).(\lambda (c2: C).(\lambda (t: T).(\lambda (a: A).(\lambda (H:
  45 (arity g c2 t a)).(arity_ind g (\lambda (c: C).(\lambda (t0: T).(\lambda (a0:
  46 A).(\forall (c1: C).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((drop h d c1 c) \to
  47 (arity g c1 (lift h d t0) a0)))))))) (\lambda (c: C).(\lambda (n:
  48 nat).(\lambda (c1: C).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (_: (drop
  49 h d c1 c)).(eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(arity g c1 t0 (ASort O
  50 n))) (arity_sort g c1 n) (lift h d (TSort n)) (lift_sort n h d))))))))
  51 (\lambda (c: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda
  52 (H0: (getl i c (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H1:
  53 (arity g d u a0)).(\lambda (H2: ((\forall (c1: C).(\forall (h: nat).(\forall
  54 (d0: nat).((drop h d0 c1 d) \to (arity g c1 (lift h d0 u) a0))))))).(\lambda
  55 (c1: C).(\lambda (h: nat).(\lambda (d0: nat).(\lambda (H3: (drop h d0 c1
  56 c)).(lt_le_e i d0 (arity g c1 (lift h d0 (TLRef i)) a0) (\lambda (H4: (lt i
  57 d0)).(eq_ind_r T (TLRef i) (\lambda (t0: T).(arity g c1 t0 a0)) (let H5 \def
  58 (drop_getl_trans_le i d0 (le_S_n i d0 (le_S (S i) d0 H4)) c1 c h H3 (CHead d
  59 (Bind Abbr) u) H0) in (ex3_2_ind C C (\lambda (e0: C).(\lambda (_: C).(drop i
  60 O c1 e0))) (\lambda (e0: C).(\lambda (e1: C).(drop h (minus d0 i) e0 e1)))
  61 (\lambda (_: C).(\lambda (e1: C).(clear e1 (CHead d (Bind Abbr) u)))) (arity
  62 g c1 (TLRef i) a0) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: C).(\lambda (H6: (drop i O
  63 c1 x0)).(\lambda (H7: (drop h (minus d0 i) x0 x1)).(\lambda (H8: (clear x1
  64 (CHead d (Bind Abbr) u))).(let H9 \def (eq_ind nat (minus d0 i) (\lambda (n:
  65 nat).(drop h n x0 x1)) H7 (S (minus d0 (S i))) (minus_x_Sy d0 i H4)) in (let
  66 H10 \def (drop_clear_S x1 x0 h (minus d0 (S i)) H9 Abbr d u H8) in (ex2_ind C
  67 (\lambda (c3: C).(clear x0 (CHead c3 (Bind Abbr) (lift h (minus d0 (S i))
  68 u)))) (\lambda (c3: C).(drop h (minus d0 (S i)) c3 d)) (arity g c1 (TLRef i)
  69 a0) (\lambda (x: C).(\lambda (H11: (clear x0 (CHead x (Bind Abbr) (lift h
  70 (minus d0 (S i)) u)))).(\lambda (H12: (drop h (minus d0 (S i)) x
  71 d)).(arity_abbr g c1 x (lift h (minus d0 (S i)) u) i (getl_intro i c1 (CHead
  72 x (Bind Abbr) (lift h (minus d0 (S i)) u)) x0 H6 H11) a0 (H2 x h (minus d0 (S
  73 i)) H12))))) H10)))))))) H5)) (lift h d0 (TLRef i)) (lift_lref_lt i h d0
  74 H4))) (\lambda (H4: (le d0 i)).(eq_ind_r T (TLRef (plus i h)) (\lambda (t0:
  75 T).(arity g c1 t0 a0)) (arity_abbr g c1 d u (plus i h) (drop_getl_trans_ge i
  76 c1 c d0 h H3 (CHead d (Bind Abbr) u) H0 H4) a0 H1) (lift h d0 (TLRef i))
  77 (lift_lref_ge i h d0 H4)))))))))))))))) (\lambda (c: C).(\lambda (d:
  78 C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H0: (getl i c (CHead d (Bind
  79 Abst) u))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H1: (arity g d u (asucc g
  80 a0))).(\lambda (H2: ((\forall (c1: C).(\forall (h: nat).(\forall (d0:
  81 nat).((drop h d0 c1 d) \to (arity g c1 (lift h d0 u) (asucc g
  82 a0)))))))).(\lambda (c1: C).(\lambda (h: nat).(\lambda (d0: nat).(\lambda
  83 (H3: (drop h d0 c1 c)).(lt_le_e i d0 (arity g c1 (lift h d0 (TLRef i)) a0)
  84 (\lambda (H4: (lt i d0)).(eq_ind_r T (TLRef i) (\lambda (t0: T).(arity g c1
  85 t0 a0)) (let H5 \def (drop_getl_trans_le i d0 (le_S_n i d0 (le_S (S i) d0
  86 H4)) c1 c h H3 (CHead d (Bind Abst) u) H0) in (ex3_2_ind C C (\lambda (e0:
  87 C).(\lambda (_: C).(drop i O c1 e0))) (\lambda (e0: C).(\lambda (e1: C).(drop
  88 h (minus d0 i) e0 e1))) (\lambda (_: C).(\lambda (e1: C).(clear e1 (CHead d
  89 (Bind Abst) u)))) (arity g c1 (TLRef i) a0) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1:
  90 C).(\lambda (H6: (drop i O c1 x0)).(\lambda (H7: (drop h (minus d0 i) x0
  91 x1)).(\lambda (H8: (clear x1 (CHead d (Bind Abst) u))).(let H9 \def (eq_ind
  92 nat (minus d0 i) (\lambda (n: nat).(drop h n x0 x1)) H7 (S (minus d0 (S i)))
  93 (minus_x_Sy d0 i H4)) in (let H10 \def (drop_clear_S x1 x0 h (minus d0 (S i))
  94 H9 Abst d u H8) in (ex2_ind C (\lambda (c3: C).(clear x0 (CHead c3 (Bind
  95 Abst) (lift h (minus d0 (S i)) u)))) (\lambda (c3: C).(drop h (minus d0 (S
  96 i)) c3 d)) (arity g c1 (TLRef i) a0) (\lambda (x: C).(\lambda (H11: (clear x0
  97 (CHead x (Bind Abst) (lift h (minus d0 (S i)) u)))).(\lambda (H12: (drop h
  98 (minus d0 (S i)) x d)).(arity_abst g c1 x (lift h (minus d0 (S i)) u) i
  99 (getl_intro i c1 (CHead x (Bind Abst) (lift h (minus d0 (S i)) u)) x0 H6 H11)
 100 a0 (H2 x h (minus d0 (S i)) H12))))) H10)))))))) H5)) (lift h d0 (TLRef i))
 101 (lift_lref_lt i h d0 H4))) (\lambda (H4: (le d0 i)).(eq_ind_r T (TLRef (plus
 102 i h)) (\lambda (t0: T).(arity g c1 t0 a0)) (arity_abst g c1 d u (plus i h)
 103 (drop_getl_trans_ge i c1 c d0 h H3 (CHead d (Bind Abst) u) H0 H4) a0 H1)
 104 (lift h d0 (TLRef i)) (lift_lref_ge i h d0 H4)))))))))))))))) (\lambda (b:
 105 B).(\lambda (H0: (not (eq B b Abst))).(\lambda (c: C).(\lambda (u:
 106 T).(\lambda (a1: A).(\lambda (_: (arity g c u a1)).(\lambda (H2: ((\forall
 107 (c1: C).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((drop h d c1 c) \to (arity g c1
 108 (lift h d u) a1))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (a2: A).(\lambda (_: (arity
 109 g (CHead c (Bind b) u) t0 a2)).(\lambda (H4: ((\forall (c1: C).(\forall (h:
 110 nat).(\forall (d: nat).((drop h d c1 (CHead c (Bind b) u)) \to (arity g c1
 111 (lift h d t0) a2))))))).(\lambda (c1: C).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
 112 nat).(\lambda (H5: (drop h d c1 c)).(eq_ind_r T (THead (Bind b) (lift h d u)
 113 (lift h (s (Bind b) d) t0)) (\lambda (t1: T).(arity g c1 t1 a2)) (arity_bind
 114 g b H0 c1 (lift h d u) a1 (H2 c1 h d H5) (lift h (s (Bind b) d) t0) a2 (H4
 115 (CHead c1 (Bind b) (lift h d u)) h (s (Bind b) d) (drop_skip_bind h d c1 c H5
 116 b u))) (lift h d (THead (Bind b) u t0)) (lift_head (Bind b) u t0 h
 117 d))))))))))))))))) (\lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (a1: A).(\lambda
 118 (_: (arity g c u (asucc g a1))).(\lambda (H1: ((\forall (c1: C).(\forall (h:
 119 nat).(\forall (d: nat).((drop h d c1 c) \to (arity g c1 (lift h d u) (asucc g
 120 a1)))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (a2: A).(\lambda (_: (arity g (CHead c
 121 (Bind Abst) u) t0 a2)).(\lambda (H3: ((\forall (c1: C).(\forall (h:
 122 nat).(\forall (d: nat).((drop h d c1 (CHead c (Bind Abst) u)) \to (arity g c1
 123 (lift h d t0) a2))))))).(\lambda (c1: C).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
 124 nat).(\lambda (H4: (drop h d c1 c)).(eq_ind_r T (THead (Bind Abst) (lift h d
 125 u) (lift h (s (Bind Abst) d) t0)) (\lambda (t1: T).(arity g c1 t1 (AHead a1
 126 a2))) (arity_head g c1 (lift h d u) a1 (H1 c1 h d H4) (lift h (s (Bind Abst)
 127 d) t0) a2 (H3 (CHead c1 (Bind Abst) (lift h d u)) h (s (Bind Abst) d)
 128 (drop_skip_bind h d c1 c H4 Abst u))) (lift h d (THead (Bind Abst) u t0))
 129 (lift_head (Bind Abst) u t0 h d))))))))))))))) (\lambda (c: C).(\lambda (u:
 130 T).(\lambda (a1: A).(\lambda (_: (arity g c u a1)).(\lambda (H1: ((\forall
 131 (c1: C).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((drop h d c1 c) \to (arity g c1
 132 (lift h d u) a1))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (a2: A).(\lambda (_: (arity
 133 g c t0 (AHead a1 a2))).(\lambda (H3: ((\forall (c1: C).(\forall (h:
 134 nat).(\forall (d: nat).((drop h d c1 c) \to (arity g c1 (lift h d t0) (AHead
 135 a1 a2)))))))).(\lambda (c1: C).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda
 136 (H4: (drop h d c1 c)).(eq_ind_r T (THead (Flat Appl) (lift h d u) (lift h (s
 137 (Flat Appl) d) t0)) (\lambda (t1: T).(arity g c1 t1 a2)) (arity_appl g c1
 138 (lift h d u) a1 (H1 c1 h d H4) (lift h (s (Flat Appl) d) t0) a2 (H3 c1 h (s
 139 (Flat Appl) d) H4)) (lift h d (THead (Flat Appl) u t0)) (lift_head (Flat
 140 Appl) u t0 h d))))))))))))))) (\lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (a0:
 141 A).(\lambda (_: (arity g c u (asucc g a0))).(\lambda (H1: ((\forall (c1:
 142 C).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((drop h d c1 c) \to (arity g c1 (lift
 143 h d u) (asucc g a0)))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (arity g c t0
 144 a0)).(\lambda (H3: ((\forall (c1: C).(\forall (h: nat).(\forall (d:
 145 nat).((drop h d c1 c) \to (arity g c1 (lift h d t0) a0))))))).(\lambda (c1:
 146 C).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H4: (drop h d c1
 147 c)).(eq_ind_r T (THead (Flat Cast) (lift h d u) (lift h (s (Flat Cast) d)
 148 t0)) (\lambda (t1: T).(arity g c1 t1 a0)) (arity_cast g c1 (lift h d u) a0
 149 (H1 c1 h d H4) (lift h (s (Flat Cast) d) t0) (H3 c1 h (s (Flat Cast) d) H4))
 150 (lift h d (THead (Flat Cast) u t0)) (lift_head (Flat Cast) u t0 h
 151 d)))))))))))))) (\lambda (c: C).(\lambda (t0: T).(\lambda (a1: A).(\lambda
 152 (_: (arity g c t0 a1)).(\lambda (H1: ((\forall (c1: C).(\forall (h:
 153 nat).(\forall (d: nat).((drop h d c1 c) \to (arity g c1 (lift h d t0)
 154 a1))))))).(\lambda (a2: A).(\lambda (H2: (leq g a1 a2)).(\lambda (c1:
 155 C).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H3: (drop h d c1
 156 c)).(arity_repl g c1 (lift h d t0) a1 (H1 c1 h d H3) a2 H2)))))))))))) c2 t a
 157 H))))).
 158 (* COMMENTS
 159 Initial nodes: 2661
 160 END *)
 161
 162 theorem arity_mono:
 163  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (t: T).(\forall (a1: A).((arity g c
 164 t a1) \to (\forall (a2: A).((arity g c t a2) \to (leq g a1 a2)))))))
 165 \def
 166  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (t: T).(\lambda (a1: A).(\lambda (H:
 167 (arity g c t a1)).(arity_ind g (\lambda (c0: C).(\lambda (t0: T).(\lambda (a:
 168 A).(\forall (a2: A).((arity g c0 t0 a2) \to (leq g a a2)))))) (\lambda (c0:
 169 C).(\lambda (n: nat).(\lambda (a2: A).(\lambda (H0: (arity g c0 (TSort n)
 170 a2)).(leq_sym g a2 (ASort O n) (arity_gen_sort g c0 n a2 H0)))))) (\lambda
 171 (c0: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H0: (getl
 172 i c0 (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (a: A).(\lambda (_: (arity g d u
 173 a)).(\lambda (H2: ((\forall (a2: A).((arity g d u a2) \to (leq g a
 174 a2))))).(\lambda (a2: A).(\lambda (H3: (arity g c0 (TLRef i) a2)).(let H4
 175 \def (arity_gen_lref g c0 i a2 H3) in (or_ind (ex2_2 C T (\lambda (d0:
 176 C).(\lambda (u0: T).(getl i c0 (CHead d0 (Bind Abbr) u0)))) (\lambda (d0:
 177 C).(\lambda (u0: T).(arity g d0 u0 a2)))) (ex2_2 C T (\lambda (d0:
 178 C).(\lambda (u0: T).(getl i c0 (CHead d0 (Bind Abst) u0)))) (\lambda (d0:
 179 C).(\lambda (u0: T).(arity g d0 u0 (asucc g a2))))) (leq g a a2) (\lambda
 180 (H5: (ex2_2 C T (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(getl i c0 (CHead d0 (Bind
 181 Abbr) u0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(arity g d0 u0
 182 a2))))).(ex2_2_ind C T (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(getl i c0 (CHead d0
 183 (Bind Abbr) u0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(arity g d0 u0 a2)))
 184 (leq g a a2) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda (H6: (getl i c0
 185 (CHead x0 (Bind Abbr) x1))).(\lambda (H7: (arity g x0 x1 a2)).(let H8 \def
 186 (eq_ind C (CHead d (Bind Abbr) u) (\lambda (c1: C).(getl i c0 c1)) H0 (CHead
 187 x0 (Bind Abbr) x1) (getl_mono c0 (CHead d (Bind Abbr) u) i H0 (CHead x0 (Bind
 188 Abbr) x1) H6)) in (let H9 \def (f_equal C C (\lambda (e: C).(match e in C
 189 return (\lambda (_: C).C) with [(CSort _) \Rightarrow d | (CHead c1 _ _)
 190 \Rightarrow c1])) (CHead d (Bind Abbr) u) (CHead x0 (Bind Abbr) x1)
 191 (getl_mono c0 (CHead d (Bind Abbr) u) i H0 (CHead x0 (Bind Abbr) x1) H6)) in
 192 ((let H10 \def (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_:
 193 C).T) with [(CSort _) \Rightarrow u | (CHead _ _ t0) \Rightarrow t0])) (CHead
 194 d (Bind Abbr) u) (CHead x0 (Bind Abbr) x1) (getl_mono c0 (CHead d (Bind Abbr)
 195 u) i H0 (CHead x0 (Bind Abbr) x1) H6)) in (\lambda (H11: (eq C d x0)).(let
 196 H12 \def (eq_ind_r T x1 (\lambda (t0: T).(getl i c0 (CHead x0 (Bind Abbr)
 197 t0))) H8 u H10) in (let H13 \def (eq_ind_r T x1 (\lambda (t0: T).(arity g x0
 198 t0 a2)) H7 u H10) in (let H14 \def (eq_ind_r C x0 (\lambda (c1: C).(getl i c0
 199 (CHead c1 (Bind Abbr) u))) H12 d H11) in (let H15 \def (eq_ind_r C x0
 200 (\lambda (c1: C).(arity g c1 u a2)) H13 d H11) in (H2 a2 H15))))))) H9)))))))
 201 H5)) (\lambda (H5: (ex2_2 C T (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(getl i c0
 202 (CHead d0 (Bind Abst) u0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(arity g d0 u0
 203 (asucc g a2)))))).(ex2_2_ind C T (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(getl i c0
 204 (CHead d0 (Bind Abst) u0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(arity g d0 u0
 205 (asucc g a2)))) (leq g a a2) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda (H6:
 206 (getl i c0 (CHead x0 (Bind Abst) x1))).(\lambda (_: (arity g x0 x1 (asucc g
 207 a2))).(let H8 \def (eq_ind C (CHead d (Bind Abbr) u) (\lambda (c1: C).(getl i
 208 c0 c1)) H0 (CHead x0 (Bind Abst) x1) (getl_mono c0 (CHead d (Bind Abbr) u) i
 209 H0 (CHead x0 (Bind Abst) x1) H6)) in (let H9 \def (eq_ind C (CHead d (Bind
 210 Abbr) u) (\lambda (ee: C).(match ee in C return (\lambda (_: C).Prop) with
 211 [(CSort _) \Rightarrow False | (CHead _ k _) \Rightarrow (match k in K return
 212 (\lambda (_: K).Prop) with [(Bind b) \Rightarrow (match b in B return
 213 (\lambda (_: B).Prop) with [Abbr \Rightarrow True | Abst \Rightarrow False |
 214 Void \Rightarrow False]) | (Flat _) \Rightarrow False])])) I (CHead x0 (Bind
 215 Abst) x1) (getl_mono c0 (CHead d (Bind Abbr) u) i H0 (CHead x0 (Bind Abst)
 216 x1) H6)) in (False_ind (leq g a a2) H9))))))) H5)) H4)))))))))))) (\lambda
 217 (c0: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H0: (getl
 218 i c0 (CHead d (Bind Abst) u))).(\lambda (a: A).(\lambda (_: (arity g d u
 219 (asucc g a))).(\lambda (H2: ((\forall (a2: A).((arity g d u a2) \to (leq g
 220 (asucc g a) a2))))).(\lambda (a2: A).(\lambda (H3: (arity g c0 (TLRef i)
 221 a2)).(let H4 \def (arity_gen_lref g c0 i a2 H3) in (or_ind (ex2_2 C T
 222 (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(getl i c0 (CHead d0 (Bind Abbr) u0))))
 223 (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(arity g d0 u0 a2)))) (ex2_2 C T (\lambda
 224 (d0: C).(\lambda (u0: T).(getl i c0 (CHead d0 (Bind Abst) u0)))) (\lambda
 225 (d0: C).(\lambda (u0: T).(arity g d0 u0 (asucc g a2))))) (leq g a a2)
 226 (\lambda (H5: (ex2_2 C T (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(getl i c0 (CHead
 227 d0 (Bind Abbr) u0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(arity g d0 u0
 228 a2))))).(ex2_2_ind C T (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(getl i c0 (CHead d0
 229 (Bind Abbr) u0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(arity g d0 u0 a2)))
 230 (leq g a a2) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda (H6: (getl i c0
 231 (CHead x0 (Bind Abbr) x1))).(\lambda (_: (arity g x0 x1 a2)).(let H8 \def
 232 (eq_ind C (CHead d (Bind Abst) u) (\lambda (c1: C).(getl i c0 c1)) H0 (CHead
 233 x0 (Bind Abbr) x1) (getl_mono c0 (CHead d (Bind Abst) u) i H0 (CHead x0 (Bind
 234 Abbr) x1) H6)) in (let H9 \def (eq_ind C (CHead d (Bind Abst) u) (\lambda
 235 (ee: C).(match ee in C return (\lambda (_: C).Prop) with [(CSort _)
 236 \Rightarrow False | (CHead _ k _) \Rightarrow (match k in K return (\lambda
 237 (_: K).Prop) with [(Bind b) \Rightarrow (match b in B return (\lambda (_:
 238 B).Prop) with [Abbr \Rightarrow False | Abst \Rightarrow True | Void
 239 \Rightarrow False]) | (Flat _) \Rightarrow False])])) I (CHead x0 (Bind Abbr)
 240 x1) (getl_mono c0 (CHead d (Bind Abst) u) i H0 (CHead x0 (Bind Abbr) x1) H6))
 241 in (False_ind (leq g a a2) H9))))))) H5)) (\lambda (H5: (ex2_2 C T (\lambda
 242 (d0: C).(\lambda (u0: T).(getl i c0 (CHead d0 (Bind Abst) u0)))) (\lambda
 243 (d0: C).(\lambda (u0: T).(arity g d0 u0 (asucc g a2)))))).(ex2_2_ind C T
 244 (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(getl i c0 (CHead d0 (Bind Abst) u0))))
 245 (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(arity g d0 u0 (asucc g a2)))) (leq g a a2)
 246 (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda (H6: (getl i c0 (CHead x0 (Bind
 247 Abst) x1))).(\lambda (H7: (arity g x0 x1 (asucc g a2))).(let H8 \def (eq_ind
 248 C (CHead d (Bind Abst) u) (\lambda (c1: C).(getl i c0 c1)) H0 (CHead x0 (Bind
 249 Abst) x1) (getl_mono c0 (CHead d (Bind Abst) u) i H0 (CHead x0 (Bind Abst)
 250 x1) H6)) in (let H9 \def (f_equal C C (\lambda (e: C).(match e in C return
 251 (\lambda (_: C).C) with [(CSort _) \Rightarrow d | (CHead c1 _ _) \Rightarrow
 252 c1])) (CHead d (Bind Abst) u) (CHead x0 (Bind Abst) x1) (getl_mono c0 (CHead
 253 d (Bind Abst) u) i H0 (CHead x0 (Bind Abst) x1) H6)) in ((let H10 \def
 254 (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).T) with
 255 [(CSort _) \Rightarrow u | (CHead _ _ t0) \Rightarrow t0])) (CHead d (Bind
 256 Abst) u) (CHead x0 (Bind Abst) x1) (getl_mono c0 (CHead d (Bind Abst) u) i H0
 257 (CHead x0 (Bind Abst) x1) H6)) in (\lambda (H11: (eq C d x0)).(let H12 \def
 258 (eq_ind_r T x1 (\lambda (t0: T).(getl i c0 (CHead x0 (Bind Abst) t0))) H8 u
 259 H10) in (let H13 \def (eq_ind_r T x1 (\lambda (t0: T).(arity g x0 t0 (asucc g
 260 a2))) H7 u H10) in (let H14 \def (eq_ind_r C x0 (\lambda (c1: C).(getl i c0
 261 (CHead c1 (Bind Abst) u))) H12 d H11) in (let H15 \def (eq_ind_r C x0
 262 (\lambda (c1: C).(arity g c1 u (asucc g a2))) H13 d H11) in (asucc_inj g a a2
 263 (H2 (asucc g a2) H15)))))))) H9))))))) H5)) H4)))))))))))) (\lambda (b:
 264 B).(\lambda (H0: (not (eq B b Abst))).(\lambda (c0: C).(\lambda (u:
 265 T).(\lambda (a2: A).(\lambda (_: (arity g c0 u a2)).(\lambda (_: ((\forall
 266 (a3: A).((arity g c0 u a3) \to (leq g a2 a3))))).(\lambda (t0: T).(\lambda
 267 (a3: A).(\lambda (_: (arity g (CHead c0 (Bind b) u) t0 a3)).(\lambda (H4:
 268 ((\forall (a4: A).((arity g (CHead c0 (Bind b) u) t0 a4) \to (leq g a3
 269 a4))))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H5: (arity g c0 (THead (Bind b) u t0)
 270 a0)).(let H6 \def (arity_gen_bind b H0 g c0 u t0 a0 H5) in (ex2_ind A
 271 (\lambda (a4: A).(arity g c0 u a4)) (\lambda (_: A).(arity g (CHead c0 (Bind
 272 b) u) t0 a0)) (leq g a3 a0) (\lambda (x: A).(\lambda (_: (arity g c0 u
 273 x)).(\lambda (H8: (arity g (CHead c0 (Bind b) u) t0 a0)).(H4 a0 H8))))
 274 H6))))))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (u: T).(\lambda (a2: A).(\lambda
 275 (_: (arity g c0 u (asucc g a2))).(\lambda (H1: ((\forall (a3: A).((arity g c0
 276 u a3) \to (leq g (asucc g a2) a3))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (a3:
 277 A).(\lambda (_: (arity g (CHead c0 (Bind Abst) u) t0 a3)).(\lambda (H3:
 278 ((\forall (a4: A).((arity g (CHead c0 (Bind Abst) u) t0 a4) \to (leq g a3
 279 a4))))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H4: (arity g c0 (THead (Bind Abst) u t0)
 280 a0)).(let H5 \def (arity_gen_abst g c0 u t0 a0 H4) in (ex3_2_ind A A (\lambda
 281 (a4: A).(\lambda (a5: A).(eq A a0 (AHead a4 a5)))) (\lambda (a4: A).(\lambda
 282 (_: A).(arity g c0 u (asucc g a4)))) (\lambda (_: A).(\lambda (a5: A).(arity
 283 g (CHead c0 (Bind Abst) u) t0 a5))) (leq g (AHead a2 a3) a0) (\lambda (x0:
 284 A).(\lambda (x1: A).(\lambda (H6: (eq A a0 (AHead x0 x1))).(\lambda (H7:
 285 (arity g c0 u (asucc g x0))).(\lambda (H8: (arity g (CHead c0 (Bind Abst) u)
 286 t0 x1)).(eq_ind_r A (AHead x0 x1) (\lambda (a: A).(leq g (AHead a2 a3) a))
 287 (leq_head g a2 x0 (asucc_inj g a2 x0 (H1 (asucc g x0) H7)) a3 x1 (H3 x1 H8))
 288 a0 H6)))))) H5))))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (u: T).(\lambda (a2:
 289 A).(\lambda (_: (arity g c0 u a2)).(\lambda (_: ((\forall (a3: A).((arity g
 290 c0 u a3) \to (leq g a2 a3))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (a3: A).(\lambda (_:
 291 (arity g c0 t0 (AHead a2 a3))).(\lambda (H3: ((\forall (a4: A).((arity g c0
 292 t0 a4) \to (leq g (AHead a2 a3) a4))))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H4: (arity
 293 g c0 (THead (Flat Appl) u t0) a0)).(let H5 \def (arity_gen_appl g c0 u t0 a0
 294 H4) in (ex2_ind A (\lambda (a4: A).(arity g c0 u a4)) (\lambda (a4: A).(arity
 295 g c0 t0 (AHead a4 a0))) (leq g a3 a0) (\lambda (x: A).(\lambda (_: (arity g
 296 c0 u x)).(\lambda (H7: (arity g c0 t0 (AHead x a0))).(ahead_inj_snd g a2 a3 x
 297 a0 (H3 (AHead x a0) H7))))) H5))))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (u:
 298 T).(\lambda (a: A).(\lambda (_: (arity g c0 u (asucc g a))).(\lambda (_:
 299 ((\forall (a2: A).((arity g c0 u a2) \to (leq g (asucc g a) a2))))).(\lambda
 300 (t0: T).(\lambda (_: (arity g c0 t0 a)).(\lambda (H3: ((\forall (a2:
 301 A).((arity g c0 t0 a2) \to (leq g a a2))))).(\lambda (a2: A).(\lambda (H4:
 302 (arity g c0 (THead (Flat Cast) u t0) a2)).(let H5 \def (arity_gen_cast g c0 u
 303 t0 a2 H4) in (land_ind (arity g c0 u (asucc g a2)) (arity g c0 t0 a2) (leq g
 304 a a2) (\lambda (_: (arity g c0 u (asucc g a2))).(\lambda (H7: (arity g c0 t0
 305 a2)).(H3 a2 H7))) H5)))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (t0: T).(\lambda
 306 (a2: A).(\lambda (_: (arity g c0 t0 a2)).(\lambda (H1: ((\forall (a3:
 307 A).((arity g c0 t0 a3) \to (leq g a2 a3))))).(\lambda (a3: A).(\lambda (H2:
 308 (leq g a2 a3)).(\lambda (a0: A).(\lambda (H3: (arity g c0 t0 a0)).(leq_trans
 309 g a3 a2 (leq_sym g a2 a3 H2) a0 (H1 a0 H3))))))))))) c t a1 H))))).
 310 (* COMMENTS
 311 Initial nodes: 2947
 312 END *)
 313
 314 theorem arity_repellent:
 315  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (w: T).(\forall (t: T).(\forall (a1:
 316 A).((arity g (CHead c (Bind Abst) w) t a1) \to (\forall (a2: A).((arity g c
 317 (THead (Bind Abst) w t) a2) \to ((leq g a1 a2) \to (\forall (P:
 318 Prop).P)))))))))
 319 \def
 320  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (w: T).(\lambda (t: T).(\lambda (a1:
 321 A).(\lambda (H: (arity g (CHead c (Bind Abst) w) t a1)).(\lambda (a2:
 322 A).(\lambda (H0: (arity g c (THead (Bind Abst) w t) a2)).(\lambda (H1: (leq g
 323 a1 a2)).(\lambda (P: Prop).(let H_y \def (arity_repl g (CHead c (Bind Abst)
 324 w) t a1 H a2 H1) in (let H2 \def (arity_gen_abst g c w t a2 H0) in (ex3_2_ind
 325 A A (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(eq A a2 (AHead a3 a4)))) (\lambda (a3:
 326 A).(\lambda (_: A).(arity g c w (asucc g a3)))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4:
 327 A).(arity g (CHead c (Bind Abst) w) t a4))) P (\lambda (x0: A).(\lambda (x1:
 328 A).(\lambda (H3: (eq A a2 (AHead x0 x1))).(\lambda (_: (arity g c w (asucc g
 329 x0))).(\lambda (H5: (arity g (CHead c (Bind Abst) w) t x1)).(let H6 \def
 330 (eq_ind A a2 (\lambda (a: A).(arity g (CHead c (Bind Abst) w) t a)) H_y
 331 (AHead x0 x1) H3) in (leq_ahead_false_2 g x1 x0 (arity_mono g (CHead c (Bind
 332 Abst) w) t (AHead x0 x1) H6 x1 H5) P))))))) H2)))))))))))).
 333 (* COMMENTS
 334 Initial nodes: 283
 335 END *)
 336
 337 theorem arity_appls_cast:
 338  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (vs:
 339 TList).(\forall (a: A).((arity g c (THeads (Flat Appl) vs u) (asucc g a)) \to
 340 ((arity g c (THeads (Flat Appl) vs t) a) \to (arity g c (THeads (Flat Appl)
 341 vs (THead (Flat Cast) u t)) a))))))))
 342 \def
 343  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (vs:
 344 TList).(TList_ind (\lambda (t0: TList).(\forall (a: A).((arity g c (THeads
 345 (Flat Appl) t0 u) (asucc g a)) \to ((arity g c (THeads (Flat Appl) t0 t) a)
 346 \to (arity g c (THeads (Flat Appl) t0 (THead (Flat Cast) u t)) a)))))
 347 (\lambda (a: A).(\lambda (H: (arity g c u (asucc g a))).(\lambda (H0: (arity
 348 g c t a)).(arity_cast g c u a H t H0)))) (\lambda (t0: T).(\lambda (t1:
 349 TList).(\lambda (H: ((\forall (a: A).((arity g c (THeads (Flat Appl) t1 u)
 350 (asucc g a)) \to ((arity g c (THeads (Flat Appl) t1 t) a) \to (arity g c
 351 (THeads (Flat Appl) t1 (THead (Flat Cast) u t)) a)))))).(\lambda (a:
 352 A).(\lambda (H0: (arity g c (THead (Flat Appl) t0 (THeads (Flat Appl) t1 u))
 353 (asucc g a))).(\lambda (H1: (arity g c (THead (Flat Appl) t0 (THeads (Flat
 354 Appl) t1 t)) a)).(let H2 \def (arity_gen_appl g c t0 (THeads (Flat Appl) t1
 355 t) a H1) in (ex2_ind A (\lambda (a1: A).(arity g c t0 a1)) (\lambda (a1:
 356 A).(arity g c (THeads (Flat Appl) t1 t) (AHead a1 a))) (arity g c (THead
 357 (Flat Appl) t0 (THeads (Flat Appl) t1 (THead (Flat Cast) u t))) a) (\lambda
 358 (x: A).(\lambda (H3: (arity g c t0 x)).(\lambda (H4: (arity g c (THeads (Flat
 359 Appl) t1 t) (AHead x a))).(let H5 \def (arity_gen_appl g c t0 (THeads (Flat
 360 Appl) t1 u) (asucc g a) H0) in (ex2_ind A (\lambda (a1: A).(arity g c t0 a1))
 361 (\lambda (a1: A).(arity g c (THeads (Flat Appl) t1 u) (AHead a1 (asucc g
 362 a)))) (arity g c (THead (Flat Appl) t0 (THeads (Flat Appl) t1 (THead (Flat
 363 Cast) u t))) a) (\lambda (x0: A).(\lambda (H6: (arity g c t0 x0)).(\lambda
 364 (H7: (arity g c (THeads (Flat Appl) t1 u) (AHead x0 (asucc g
 365 a)))).(arity_appl g c t0 x H3 (THeads (Flat Appl) t1 (THead (Flat Cast) u t))
 366 a (H (AHead x a) (arity_repl g c (THeads (Flat Appl) t1 u) (AHead x (asucc g
 367 a)) (arity_repl g c (THeads (Flat Appl) t1 u) (AHead x0 (asucc g a)) H7
 368 (AHead x (asucc g a)) (leq_head g x0 x (arity_mono g c t0 x0 H6 x H3) (asucc
 369 g a) (asucc g a) (leq_refl g (asucc g a)))) (asucc g (AHead x a)) (leq_refl g
 370 (asucc g (AHead x a)))) H4))))) H5))))) H2)))))))) vs))))).
 371 (* COMMENTS
 372 Initial nodes: 707
 373 END *)
 374
 375 theorem arity_appls_abbr:
 376  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (d: C).(\forall (v: T).(\forall (i:
 377 nat).((getl i c (CHead d (Bind Abbr) v)) \to (\forall (vs: TList).(\forall
 378 (a: A).((arity g c (THeads (Flat Appl) vs (lift (S i) O v)) a) \to (arity g c
 379 (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)) a)))))))))
 380 \def
 381  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (d: C).(\lambda (v: T).(\lambda (i:
 382 nat).(\lambda (H: (getl i c (CHead d (Bind Abbr) v))).(\lambda (vs:
 383 TList).(TList_ind (\lambda (t: TList).(\forall (a: A).((arity g c (THeads
 384 (Flat Appl) t (lift (S i) O v)) a) \to (arity g c (THeads (Flat Appl) t
 385 (TLRef i)) a)))) (\lambda (a: A).(\lambda (H0: (arity g c (lift (S i) O v)
 386 a)).(arity_abbr g c d v i H a (arity_gen_lift g c v a (S i) O H0 d (getl_drop
 387 Abbr c d v i H))))) (\lambda (t: T).(\lambda (t0: TList).(\lambda (H0:
 388 ((\forall (a: A).((arity g c (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S i) O v)) a) \to
 389 (arity g c (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i)) a))))).(\lambda (a: A).(\lambda
 390 (H1: (arity g c (THead (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S i) O
 391 v))) a)).(let H2 \def (arity_gen_appl g c t (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S
 392 i) O v)) a H1) in (ex2_ind A (\lambda (a1: A).(arity g c t a1)) (\lambda (a1:
 393 A).(arity g c (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S i) O v)) (AHead a1 a))) (arity
 394 g c (THead (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i))) a) (\lambda (x:
 395 A).(\lambda (H3: (arity g c t x)).(\lambda (H4: (arity g c (THeads (Flat
 396 Appl) t0 (lift (S i) O v)) (AHead x a))).(arity_appl g c t x H3 (THeads (Flat
 397 Appl) t0 (TLRef i)) a (H0 (AHead x a) H4))))) H2))))))) vs))))))).
 398 (* COMMENTS
 399 Initial nodes: 425
 400 END *)
 401
 402 theorem arity_appls_bind:
 403  \forall (g: G).(\forall (b: B).((not (eq B b Abst)) \to (\forall (c:
 404 C).(\forall (v: T).(\forall (a1: A).((arity g c v a1) \to (\forall (t:
 405 T).(\forall (vs: TList).(\forall (a2: A).((arity g (CHead c (Bind b) v)
 406 (THeads (Flat Appl) (lifts (S O) O vs) t) a2) \to (arity g c (THeads (Flat
 407 Appl) vs (THead (Bind b) v t)) a2)))))))))))
 408 \def
 409  \lambda (g: G).(\lambda (b: B).(\lambda (H: (not (eq B b Abst))).(\lambda
 410 (c: C).(\lambda (v: T).(\lambda (a1: A).(\lambda (H0: (arity g c v
 411 a1)).(\lambda (t: T).(\lambda (vs: TList).(TList_ind (\lambda (t0:
 412 TList).(\forall (a2: A).((arity g (CHead c (Bind b) v) (THeads (Flat Appl)
 413 (lifts (S O) O t0) t) a2) \to (arity g c (THeads (Flat Appl) t0 (THead (Bind
 414 b) v t)) a2)))) (\lambda (a2: A).(\lambda (H1: (arity g (CHead c (Bind b) v)
 415 t a2)).(arity_bind g b H c v a1 H0 t a2 H1))) (\lambda (t0: T).(\lambda (t1:
 416 TList).(\lambda (H1: ((\forall (a2: A).((arity g (CHead c (Bind b) v) (THeads
 417 (Flat Appl) (lifts (S O) O t1) t) a2) \to (arity g c (THeads (Flat Appl) t1
 418 (THead (Bind b) v t)) a2))))).(\lambda (a2: A).(\lambda (H2: (arity g (CHead
 419 c (Bind b) v) (THead (Flat Appl) (lift (S O) O t0) (THeads (Flat Appl) (lifts
 420 (S O) O t1) t)) a2)).(let H3 \def (arity_gen_appl g (CHead c (Bind b) v)
 421 (lift (S O) O t0) (THeads (Flat Appl) (lifts (S O) O t1) t) a2 H2) in
 422 (ex2_ind A (\lambda (a3: A).(arity g (CHead c (Bind b) v) (lift (S O) O t0)
 423 a3)) (\lambda (a3: A).(arity g (CHead c (Bind b) v) (THeads (Flat Appl)
 424 (lifts (S O) O t1) t) (AHead a3 a2))) (arity g c (THead (Flat Appl) t0
 425 (THeads (Flat Appl) t1 (THead (Bind b) v t))) a2) (\lambda (x: A).(\lambda
 426 (H4: (arity g (CHead c (Bind b) v) (lift (S O) O t0) x)).(\lambda (H5: (arity
 427 g (CHead c (Bind b) v) (THeads (Flat Appl) (lifts (S O) O t1) t) (AHead x
 428 a2))).(arity_appl g c t0 x (arity_gen_lift g (CHead c (Bind b) v) t0 x (S O)
 429 O H4 c (drop_drop (Bind b) O c c (drop_refl c) v)) (THeads (Flat Appl) t1
 430 (THead (Bind b) v t)) a2 (H1 (AHead x a2) H5))))) H3))))))) vs))))))))).
 431 (* COMMENTS
 432 Initial nodes: 567
 433 END *)
 434