matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_1/clear/fwd.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "basic_1/clear/defs.ma".
  18
  19 include "basic_1/C/fwd.ma".
  20
  21 implied rec lemma clear_ind (P: (C \to (C \to Prop))) (f: (\forall (b:
  22 B).(\forall (e: C).(\forall (u: T).(P (CHead e (Bind b) u) (CHead e (Bind b)
  23 u)))))) (f0: (\forall (e: C).(\forall (c: C).((clear e c) \to ((P e c) \to
  24 (\forall (f0: F).(\forall (u: T).(P (CHead e (Flat f0) u) c)))))))) (c: C)
  25 (c0: C) (c1: clear c c0) on c1: P c c0 \def match c1 with [(clear_bind b e u)
  26 \Rightarrow (f b e u) | (clear_flat e c2 c3 f1 u) \Rightarrow (f0 e c2 c3
  27 ((clear_ind P f f0) e c2 c3) f1 u)].
  28
  29 lemma clear_gen_sort:
  30  \forall (x: C).(\forall (n: nat).((clear (CSort n) x) \to (\forall (P:
  31 Prop).P)))
  32 \def
  33  \lambda (x: C).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (clear (CSort n) x)).(\lambda
  34 (P: Prop).(insert_eq C (CSort n) (\lambda (c: C).(clear c x)) (\lambda (_:
  35 C).P) (\lambda (y: C).(\lambda (H0: (clear y x)).(clear_ind (\lambda (c:
  36 C).(\lambda (_: C).((eq C c (CSort n)) \to P))) (\lambda (b: B).(\lambda (e:
  37 C).(\lambda (u: T).(\lambda (H1: (eq C (CHead e (Bind b) u) (CSort n))).(let
  38 H2 \def (eq_ind C (CHead e (Bind b) u) (\lambda (ee: C).(match ee with
  39 [(CSort _) \Rightarrow False | (CHead _ _ _) \Rightarrow True])) I (CSort n)
  40 H1) in (False_ind P H2)))))) (\lambda (e: C).(\lambda (c: C).(\lambda (_:
  41 (clear e c)).(\lambda (_: (((eq C e (CSort n)) \to P))).(\lambda (f:
  42 F).(\lambda (u: T).(\lambda (H3: (eq C (CHead e (Flat f) u) (CSort n))).(let
  43 H4 \def (eq_ind C (CHead e (Flat f) u) (\lambda (ee: C).(match ee with
  44 [(CSort _) \Rightarrow False | (CHead _ _ _) \Rightarrow True])) I (CSort n)
  45 H3) in (False_ind P H4))))))))) y x H0))) H)))).
  46
  47 lemma clear_gen_bind:
  48  \forall (b: B).(\forall (e: C).(\forall (x: C).(\forall (u: T).((clear
  49 (CHead e (Bind b) u) x) \to (eq C x (CHead e (Bind b) u))))))
  50 \def
  51  \lambda (b: B).(\lambda (e: C).(\lambda (x: C).(\lambda (u: T).(\lambda (H:
  52 (clear (CHead e (Bind b) u) x)).(insert_eq C (CHead e (Bind b) u) (\lambda
  53 (c: C).(clear c x)) (\lambda (c: C).(eq C x c)) (\lambda (y: C).(\lambda (H0:
  54 (clear y x)).(clear_ind (\lambda (c: C).(\lambda (c0: C).((eq C c (CHead e
  55 (Bind b) u)) \to (eq C c0 c)))) (\lambda (b0: B).(\lambda (e0: C).(\lambda
  56 (u0: T).(\lambda (H1: (eq C (CHead e0 (Bind b0) u0) (CHead e (Bind b)
  57 u))).(let H2 \def (f_equal C C (\lambda (e1: C).(match e1 with [(CSort _)
  58 \Rightarrow e0 | (CHead c _ _) \Rightarrow c])) (CHead e0 (Bind b0) u0)
  59 (CHead e (Bind b) u) H1) in ((let H3 \def (f_equal C B (\lambda (e1:
  60 C).(match e1 with [(CSort _) \Rightarrow b0 | (CHead _ k _) \Rightarrow
  61 (match k with [(Bind b1) \Rightarrow b1 | (Flat _) \Rightarrow b0])])) (CHead
  62 e0 (Bind b0) u0) (CHead e (Bind b) u) H1) in ((let H4 \def (f_equal C T
  63 (\lambda (e1: C).(match e1 with [(CSort _) \Rightarrow u0 | (CHead _ _ t)
  64 \Rightarrow t])) (CHead e0 (Bind b0) u0) (CHead e (Bind b) u) H1) in (\lambda
  65 (H5: (eq B b0 b)).(\lambda (H6: (eq C e0 e)).(eq_ind_r T u (\lambda (t:
  66 T).(eq C (CHead e0 (Bind b0) t) (CHead e0 (Bind b0) t))) (eq_ind_r C e
  67 (\lambda (c: C).(eq C (CHead c (Bind b0) u) (CHead c (Bind b0) u))) (eq_ind_r
  68 B b (\lambda (b1: B).(eq C (CHead e (Bind b1) u) (CHead e (Bind b1) u)))
  69 (refl_equal C (CHead e (Bind b) u)) b0 H5) e0 H6) u0 H4)))) H3)) H2))))))
  70 (\lambda (e0: C).(\lambda (c: C).(\lambda (_: (clear e0 c)).(\lambda (_:
  71 (((eq C e0 (CHead e (Bind b) u)) \to (eq C c e0)))).(\lambda (f: F).(\lambda
  72 (u0: T).(\lambda (H3: (eq C (CHead e0 (Flat f) u0) (CHead e (Bind b)
  73 u))).(let H4 \def (eq_ind C (CHead e0 (Flat f) u0) (\lambda (ee: C).(match ee
  74 with [(CSort _) \Rightarrow False | (CHead _ k _) \Rightarrow (match k with
  75 [(Bind _) \Rightarrow False | (Flat _) \Rightarrow True])])) I (CHead e (Bind
  76 b) u) H3) in (False_ind (eq C c (CHead e0 (Flat f) u0)) H4))))))))) y x H0)))
  77 H))))).
  78
  79 lemma clear_gen_flat:
  80  \forall (f: F).(\forall (e: C).(\forall (x: C).(\forall (u: T).((clear
  81 (CHead e (Flat f) u) x) \to (clear e x)))))
  82 \def
  83  \lambda (f: F).(\lambda (e: C).(\lambda (x: C).(\lambda (u: T).(\lambda (H:
  84 (clear (CHead e (Flat f) u) x)).(insert_eq C (CHead e (Flat f) u) (\lambda
  85 (c: C).(clear c x)) (\lambda (_: C).(clear e x)) (\lambda (y: C).(\lambda
  86 (H0: (clear y x)).(clear_ind (\lambda (c: C).(\lambda (c0: C).((eq C c (CHead
  87 e (Flat f) u)) \to (clear e c0)))) (\lambda (b: B).(\lambda (e0: C).(\lambda
  88 (u0: T).(\lambda (H1: (eq C (CHead e0 (Bind b) u0) (CHead e (Flat f)
  89 u))).(let H2 \def (eq_ind C (CHead e0 (Bind b) u0) (\lambda (ee: C).(match ee
  90 with [(CSort _) \Rightarrow False | (CHead _ k _) \Rightarrow (match k with
  91 [(Bind _) \Rightarrow True | (Flat _) \Rightarrow False])])) I (CHead e (Flat
  92 f) u) H1) in (False_ind (clear e (CHead e0 (Bind b) u0)) H2)))))) (\lambda
  93 (e0: C).(\lambda (c: C).(\lambda (H1: (clear e0 c)).(\lambda (H2: (((eq C e0
  94 (CHead e (Flat f) u)) \to (clear e c)))).(\lambda (f0: F).(\lambda (u0:
  95 T).(\lambda (H3: (eq C (CHead e0 (Flat f0) u0) (CHead e (Flat f) u))).(let H4
  96 \def (f_equal C C (\lambda (e1: C).(match e1 with [(CSort _) \Rightarrow e0 |
  97 (CHead c0 _ _) \Rightarrow c0])) (CHead e0 (Flat f0) u0) (CHead e (Flat f) u)
  98 H3) in ((let H5 \def (f_equal C F (\lambda (e1: C).(match e1 with [(CSort _)
  99 \Rightarrow f0 | (CHead _ k _) \Rightarrow (match k with [(Bind _)
 100 \Rightarrow f0 | (Flat f1) \Rightarrow f1])])) (CHead e0 (Flat f0) u0) (CHead
 101 e (Flat f) u) H3) in ((let H6 \def (f_equal C T (\lambda (e1: C).(match e1
 102 with [(CSort _) \Rightarrow u0 | (CHead _ _ t) \Rightarrow t])) (CHead e0
 103 (Flat f0) u0) (CHead e (Flat f) u) H3) in (\lambda (_: (eq F f0 f)).(\lambda
 104 (H8: (eq C e0 e)).(let H9 \def (eq_ind C e0 (\lambda (c0: C).((eq C c0 (CHead
 105 e (Flat f) u)) \to (clear e c))) H2 e H8) in (let H10 \def (eq_ind C e0
 106 (\lambda (c0: C).(clear c0 c)) H1 e H8) in H10))))) H5)) H4))))))))) y x
 107 H0))) H))))).
 108
 109 lemma clear_gen_flat_r:
 110  \forall (f: F).(\forall (x: C).(\forall (e: C).(\forall (u: T).((clear x
 111 (CHead e (Flat f) u)) \to (\forall (P: Prop).P)))))
 112 \def
 113  \lambda (f: F).(\lambda (x: C).(\lambda (e: C).(\lambda (u: T).(\lambda (H:
 114 (clear x (CHead e (Flat f) u))).(\lambda (P: Prop).(insert_eq C (CHead e
 115 (Flat f) u) (\lambda (c: C).(clear x c)) (\lambda (_: C).P) (\lambda (y:
 116 C).(\lambda (H0: (clear x y)).(clear_ind (\lambda (_: C).(\lambda (c0:
 117 C).((eq C c0 (CHead e (Flat f) u)) \to P))) (\lambda (b: B).(\lambda (e0:
 118 C).(\lambda (u0: T).(\lambda (H1: (eq C (CHead e0 (Bind b) u0) (CHead e (Flat
 119 f) u))).(let H2 \def (eq_ind C (CHead e0 (Bind b) u0) (\lambda (ee: C).(match
 120 ee with [(CSort _) \Rightarrow False | (CHead _ k _) \Rightarrow (match k
 121 with [(Bind _) \Rightarrow True | (Flat _) \Rightarrow False])])) I (CHead e
 122 (Flat f) u) H1) in (False_ind P H2)))))) (\lambda (e0: C).(\lambda (c:
 123 C).(\lambda (H1: (clear e0 c)).(\lambda (H2: (((eq C c (CHead e (Flat f) u))
 124 \to P))).(\lambda (_: F).(\lambda (_: T).(\lambda (H3: (eq C c (CHead e (Flat
 125 f) u))).(let H4 \def (eq_ind C c (\lambda (c0: C).((eq C c0 (CHead e (Flat f)
 126 u)) \to P)) H2 (CHead e (Flat f) u) H3) in (let H5 \def (eq_ind C c (\lambda
 127 (c0: C).(clear e0 c0)) H1 (CHead e (Flat f) u) H3) in (H4 (refl_equal C
 128 (CHead e (Flat f) u)))))))))))) x y H0))) H)))))).
 129
 130 lemma clear_gen_all:
 131  \forall (c1: C).(\forall (c2: C).((clear c1 c2) \to (ex_3 B C T (\lambda (b:
 132 B).(\lambda (e: C).(\lambda (u: T).(eq C c2 (CHead e (Bind b) u))))))))
 133 \def
 134  \lambda (c1: C).(\lambda (c2: C).(\lambda (H: (clear c1 c2)).(clear_ind
 135 (\lambda (_: C).(\lambda (c0: C).(ex_3 B C T (\lambda (b: B).(\lambda (e:
 136 C).(\lambda (u: T).(eq C c0 (CHead e (Bind b) u)))))))) (\lambda (b:
 137 B).(\lambda (e: C).(\lambda (u: T).(ex_3_intro B C T (\lambda (b0:
 138 B).(\lambda (e0: C).(\lambda (u0: T).(eq C (CHead e (Bind b) u) (CHead e0
 139 (Bind b0) u0))))) b e u (refl_equal C (CHead e (Bind b) u)))))) (\lambda (e:
 140 C).(\lambda (c: C).(\lambda (H0: (clear e c)).(\lambda (H1: (ex_3 B C T
 141 (\lambda (b: B).(\lambda (e0: C).(\lambda (u: T).(eq C c (CHead e0 (Bind b)
 142 u))))))).(\lambda (_: F).(\lambda (_: T).(let H2 \def H1 in (ex_3_ind B C T
 143 (\lambda (b: B).(\lambda (e0: C).(\lambda (u0: T).(eq C c (CHead e0 (Bind b)
 144 u0))))) (ex_3 B C T (\lambda (b: B).(\lambda (e0: C).(\lambda (u0: T).(eq C c
 145 (CHead e0 (Bind b) u0)))))) (\lambda (x0: B).(\lambda (x1: C).(\lambda (x2:
 146 T).(\lambda (H3: (eq C c (CHead x1 (Bind x0) x2))).(let H4 \def (eq_ind C c
 147 (\lambda (c0: C).(clear e c0)) H0 (CHead x1 (Bind x0) x2) H3) in (eq_ind_r C
 148 (CHead x1 (Bind x0) x2) (\lambda (c0: C).(ex_3 B C T (\lambda (b: B).(\lambda
 149 (e0: C).(\lambda (u0: T).(eq C c0 (CHead e0 (Bind b) u0))))))) (ex_3_intro B
 150 C T (\lambda (b: B).(\lambda (e0: C).(\lambda (u0: T).(eq C (CHead x1 (Bind
 151 x0) x2) (CHead e0 (Bind b) u0))))) x0 x1 x2 (refl_equal C (CHead x1 (Bind x0)
 152 x2))) c H3)))))) H2)))))))) c1 c2 H))).
 153
 154 theorem clear_mono:
 155  \forall (c: C).(\forall (c1: C).((clear c c1) \to (\forall (c2: C).((clear c
 156 c2) \to (eq C c1 c2)))))
 157 \def
 158  \lambda (c: C).(C_ind (\lambda (c0: C).(\forall (c1: C).((clear c0 c1) \to
 159 (\forall (c2: C).((clear c0 c2) \to (eq C c1 c2)))))) (\lambda (n:
 160 nat).(\lambda (c1: C).(\lambda (_: (clear (CSort n) c1)).(\lambda (c2:
 161 C).(\lambda (H0: (clear (CSort n) c2)).(clear_gen_sort c2 n H0 (eq C c1
 162 c2))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (H: ((\forall (c1: C).((clear c0 c1) \to
 163 (\forall (c2: C).((clear c0 c2) \to (eq C c1 c2))))))).(\lambda (k:
 164 K).(\lambda (t: T).(\lambda (c1: C).(\lambda (H0: (clear (CHead c0 k t)
 165 c1)).(\lambda (c2: C).(\lambda (H1: (clear (CHead c0 k t) c2)).(K_ind
 166 (\lambda (k0: K).((clear (CHead c0 k0 t) c1) \to ((clear (CHead c0 k0 t) c2)
 167 \to (eq C c1 c2)))) (\lambda (b: B).(\lambda (H2: (clear (CHead c0 (Bind b)
 168 t) c1)).(\lambda (H3: (clear (CHead c0 (Bind b) t) c2)).(eq_ind_r C (CHead c0
 169 (Bind b) t) (\lambda (c3: C).(eq C c1 c3)) (eq_ind_r C (CHead c0 (Bind b) t)
 170 (\lambda (c3: C).(eq C c3 (CHead c0 (Bind b) t))) (refl_equal C (CHead c0
 171 (Bind b) t)) c1 (clear_gen_bind b c0 c1 t H2)) c2 (clear_gen_bind b c0 c2 t
 172 H3))))) (\lambda (f: F).(\lambda (H2: (clear (CHead c0 (Flat f) t)
 173 c1)).(\lambda (H3: (clear (CHead c0 (Flat f) t) c2)).(H c1 (clear_gen_flat f
 174 c0 c1 t H2) c2 (clear_gen_flat f c0 c2 t H3))))) k H0 H1))))))))) c).
 175
 176 lemma clear_cle:
 177  \forall (c1: C).(\forall (c2: C).((clear c1 c2) \to (cle c2 c1)))
 178 \def
 179  \lambda (c1: C).(C_ind (\lambda (c: C).(\forall (c2: C).((clear c c2) \to
 180 (le (cweight c2) (cweight c))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (c2: C).(\lambda
 181 (H: (clear (CSort n) c2)).(clear_gen_sort c2 n H (le (cweight c2) O)))))
 182 (\lambda (c: C).(\lambda (H: ((\forall (c2: C).((clear c c2) \to (le (cweight
 183 c2) (cweight c)))))).(\lambda (k: K).(\lambda (t: T).(\lambda (c2:
 184 C).(\lambda (H0: (clear (CHead c k t) c2)).(K_ind (\lambda (k0: K).((clear
 185 (CHead c k0 t) c2) \to (le (cweight c2) (plus (cweight c) (tweight t)))))
 186 (\lambda (b: B).(\lambda (H1: (clear (CHead c (Bind b) t) c2)).(eq_ind_r C
 187 (CHead c (Bind b) t) (\lambda (c0: C).(le (cweight c0) (plus (cweight c)
 188 (tweight t)))) (le_n (plus (cweight c) (tweight t))) c2 (clear_gen_bind b c
 189 c2 t H1)))) (\lambda (f: F).(\lambda (H1: (clear (CHead c (Flat f) t)
 190 c2)).(le_plus_trans (cweight c2) (cweight c) (tweight t) (H c2
 191 (clear_gen_flat f c c2 t H1))))) k H0))))))) c1).
 192