matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_1/leq/asucc.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "basic_1/leq/props.ma".
  18
  19 lemma asucc_repl:
  20  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leq g a1 a2) \to (leq g
  21 (asucc g a1) (asucc g a2)))))
  22 \def
  23  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (leq g a1
  24 a2)).(leq_ind g (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).(leq g (asucc g a) (asucc g
  25 a0)))) (\lambda (h1: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (n1: nat).(\lambda (n2:
  26 nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (H0: (eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g
  27 (ASort h2 n2) k))).(nat_ind (\lambda (n: nat).((eq A (aplus g (ASort n n1) k)
  28 (aplus g (ASort h2 n2) k)) \to (leq g (match n with [O \Rightarrow (ASort O
  29 (next g n1)) | (S h) \Rightarrow (ASort h n1)]) (match h2 with [O \Rightarrow
  30 (ASort O (next g n2)) | (S h) \Rightarrow (ASort h n2)])))) (\lambda (H1: (eq
  31 A (aplus g (ASort O n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k))).(nat_ind (\lambda (n:
  32 nat).((eq A (aplus g (ASort O n1) k) (aplus g (ASort n n2) k)) \to (leq g
  33 (ASort O (next g n1)) (match n with [O \Rightarrow (ASort O (next g n2)) | (S
  34 h) \Rightarrow (ASort h n2)])))) (\lambda (H2: (eq A (aplus g (ASort O n1) k)
  35 (aplus g (ASort O n2) k))).(leq_sort g O O (next g n1) (next g n2) k (eq_ind
  36 A (aplus g (ASort O n1) (S k)) (\lambda (a: A).(eq A a (aplus g (ASort O
  37 (next g n2)) k))) (eq_ind A (aplus g (ASort O n2) (S k)) (\lambda (a: A).(eq
  38 A (aplus g (ASort O n1) (S k)) a)) (eq_ind_r A (aplus g (ASort O n2) k)
  39 (\lambda (a: A).(eq A (asucc g a) (asucc g (aplus g (ASort O n2) k))))
  40 (refl_equal A (asucc g (aplus g (ASort O n2) k))) (aplus g (ASort O n1) k)
  41 H2) (aplus g (ASort O (next g n2)) k) (aplus_sort_O_S_simpl g n2 k)) (aplus g
  42 (ASort O (next g n1)) k) (aplus_sort_O_S_simpl g n1 k)))) (\lambda (h3:
  43 nat).(\lambda (_: (((eq A (aplus g (ASort O n1) k) (aplus g (ASort h3 n2) k))
  44 \to (leq g (ASort O (next g n1)) (match h3 with [O \Rightarrow (ASort O (next
  45 g n2)) | (S h) \Rightarrow (ASort h n2)]))))).(\lambda (H2: (eq A (aplus g
  46 (ASort O n1) k) (aplus g (ASort (S h3) n2) k))).(leq_sort g O h3 (next g n1)
  47 n2 k (eq_ind A (aplus g (ASort O n1) (S k)) (\lambda (a: A).(eq A a (aplus g
  48 (ASort h3 n2) k))) (eq_ind A (aplus g (ASort (S h3) n2) (S k)) (\lambda (a:
  49 A).(eq A (aplus g (ASort O n1) (S k)) a)) (eq_ind_r A (aplus g (ASort (S h3)
  50 n2) k) (\lambda (a: A).(eq A (asucc g a) (asucc g (aplus g (ASort (S h3) n2)
  51 k)))) (refl_equal A (asucc g (aplus g (ASort (S h3) n2) k))) (aplus g (ASort
  52 O n1) k) H2) (aplus g (ASort h3 n2) k) (aplus_sort_S_S_simpl g n2 h3 k))
  53 (aplus g (ASort O (next g n1)) k) (aplus_sort_O_S_simpl g n1 k)))))) h2 H1))
  54 (\lambda (h3: nat).(\lambda (IHh1: (((eq A (aplus g (ASort h3 n1) k) (aplus g
  55 (ASort h2 n2) k)) \to (leq g (match h3 with [O \Rightarrow (ASort O (next g
  56 n1)) | (S h) \Rightarrow (ASort h n1)]) (match h2 with [O \Rightarrow (ASort
  57 O (next g n2)) | (S h) \Rightarrow (ASort h n2)]))))).(\lambda (H1: (eq A
  58 (aplus g (ASort (S h3) n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k))).(nat_ind (\lambda
  59 (n: nat).((eq A (aplus g (ASort (S h3) n1) k) (aplus g (ASort n n2) k)) \to
  60 ((((eq A (aplus g (ASort h3 n1) k) (aplus g (ASort n n2) k)) \to (leq g
  61 (match h3 with [O \Rightarrow (ASort O (next g n1)) | (S h) \Rightarrow
  62 (ASort h n1)]) (match n with [O \Rightarrow (ASort O (next g n2)) | (S h)
  63 \Rightarrow (ASort h n2)])))) \to (leq g (ASort h3 n1) (match n with [O
  64 \Rightarrow (ASort O (next g n2)) | (S h) \Rightarrow (ASort h n2)])))))
  65 (\lambda (H2: (eq A (aplus g (ASort (S h3) n1) k) (aplus g (ASort O n2)
  66 k))).(\lambda (_: (((eq A (aplus g (ASort h3 n1) k) (aplus g (ASort O n2) k))
  67 \to (leq g (match h3 with [O \Rightarrow (ASort O (next g n1)) | (S h)
  68 \Rightarrow (ASort h n1)]) (ASort O (next g n2)))))).(leq_sort g h3 O n1
  69 (next g n2) k (eq_ind A (aplus g (ASort O n2) (S k)) (\lambda (a: A).(eq A
  70 (aplus g (ASort h3 n1) k) a)) (eq_ind A (aplus g (ASort (S h3) n1) (S k))
  71 (\lambda (a: A).(eq A a (aplus g (ASort O n2) (S k)))) (eq_ind_r A (aplus g
  72 (ASort O n2) k) (\lambda (a: A).(eq A (asucc g a) (asucc g (aplus g (ASort O
  73 n2) k)))) (refl_equal A (asucc g (aplus g (ASort O n2) k))) (aplus g (ASort
  74 (S h3) n1) k) H2) (aplus g (ASort h3 n1) k) (aplus_sort_S_S_simpl g n1 h3 k))
  75 (aplus g (ASort O (next g n2)) k) (aplus_sort_O_S_simpl g n2 k))))) (\lambda
  76 (h4: nat).(\lambda (_: (((eq A (aplus g (ASort (S h3) n1) k) (aplus g (ASort
  77 h4 n2) k)) \to ((((eq A (aplus g (ASort h3 n1) k) (aplus g (ASort h4 n2) k))
  78 \to (leq g (match h3 with [O \Rightarrow (ASort O (next g n1)) | (S h)
  79 \Rightarrow (ASort h n1)]) (match h4 with [O \Rightarrow (ASort O (next g
  80 n2)) | (S h) \Rightarrow (ASort h n2)])))) \to (leq g (ASort h3 n1) (match h4
  81 with [O \Rightarrow (ASort O (next g n2)) | (S h) \Rightarrow (ASort h
  82 n2)])))))).(\lambda (H2: (eq A (aplus g (ASort (S h3) n1) k) (aplus g (ASort
  83 (S h4) n2) k))).(\lambda (_: (((eq A (aplus g (ASort h3 n1) k) (aplus g
  84 (ASort (S h4) n2) k)) \to (leq g (match h3 with [O \Rightarrow (ASort O (next
  85 g n1)) | (S h) \Rightarrow (ASort h n1)]) (ASort h4 n2))))).(leq_sort g h3 h4
  86 n1 n2 k (eq_ind A (aplus g (ASort (S h3) n1) (S k)) (\lambda (a: A).(eq A a
  87 (aplus g (ASort h4 n2) k))) (eq_ind A (aplus g (ASort (S h4) n2) (S k))
  88 (\lambda (a: A).(eq A (aplus g (ASort (S h3) n1) (S k)) a)) (eq_ind_r A
  89 (aplus g (ASort (S h4) n2) k) (\lambda (a: A).(eq A (asucc g a) (asucc g
  90 (aplus g (ASort (S h4) n2) k)))) (refl_equal A (asucc g (aplus g (ASort (S
  91 h4) n2) k))) (aplus g (ASort (S h3) n1) k) H2) (aplus g (ASort h4 n2) k)
  92 (aplus_sort_S_S_simpl g n2 h4 k)) (aplus g (ASort h3 n1) k)
  93 (aplus_sort_S_S_simpl g n1 h3 k))))))) h2 H1 IHh1)))) h1 H0))))))) (\lambda
  94 (a3: A).(\lambda (a4: A).(\lambda (H0: (leq g a3 a4)).(\lambda (_: (leq g
  95 (asucc g a3) (asucc g a4))).(\lambda (a5: A).(\lambda (a6: A).(\lambda (_:
  96 (leq g a5 a6)).(\lambda (H3: (leq g (asucc g a5) (asucc g a6))).(leq_head g
  97 a3 a4 H0 (asucc g a5) (asucc g a6) H3))))))))) a1 a2 H)))).
  98
  99 lemma asucc_inj:
 100  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leq g (asucc g a1) (asucc
 101 g a2)) \to (leq g a1 a2))))
 102 \def
 103  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(A_ind (\lambda (a: A).(\forall (a2:
 104 A).((leq g (asucc g a) (asucc g a2)) \to (leq g a a2)))) (\lambda (n:
 105 nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (a2: A).(A_ind (\lambda (a: A).((leq g
 106 (asucc g (ASort n n0)) (asucc g a)) \to (leq g (ASort n n0) a))) (\lambda
 107 (n1: nat).(\lambda (n2: nat).(\lambda (H: (leq g (asucc g (ASort n n0))
 108 (asucc g (ASort n1 n2)))).(nat_ind (\lambda (n3: nat).((leq g (asucc g (ASort
 109 n3 n0)) (asucc g (ASort n1 n2))) \to (leq g (ASort n3 n0) (ASort n1 n2))))
 110 (\lambda (H0: (leq g (asucc g (ASort O n0)) (asucc g (ASort n1
 111 n2)))).(nat_ind (\lambda (n3: nat).((leq g (asucc g (ASort O n0)) (asucc g
 112 (ASort n3 n2))) \to (leq g (ASort O n0) (ASort n3 n2)))) (\lambda (H1: (leq g
 113 (asucc g (ASort O n0)) (asucc g (ASort O n2)))).(let H_x \def (leq_gen_sort1
 114 g O (next g n0) (ASort O (next g n2)) H1) in (let H2 \def H_x in (ex2_3_ind
 115 nat nat nat (\lambda (n3: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k: nat).(eq A
 116 (aplus g (ASort O (next g n0)) k) (aplus g (ASort h2 n3) k))))) (\lambda (n3:
 117 nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_: nat).(eq A (ASort O (next g n2)) (ASort
 118 h2 n3))))) (leq g (ASort O n0) (ASort O n2)) (\lambda (x0: nat).(\lambda (x1:
 119 nat).(\lambda (x2: nat).(\lambda (H3: (eq A (aplus g (ASort O (next g n0))
 120 x2) (aplus g (ASort x1 x0) x2))).(\lambda (H4: (eq A (ASort O (next g n2))
 121 (ASort x1 x0))).(let H5 \def (f_equal A nat (\lambda (e: A).(match e with
 122 [(ASort n3 _) \Rightarrow n3 | (AHead _ _) \Rightarrow O])) (ASort O (next g
 123 n2)) (ASort x1 x0) H4) in ((let H6 \def (f_equal A nat (\lambda (e: A).(match
 124 e with [(ASort _ n3) \Rightarrow n3 | (AHead _ _) \Rightarrow ((match g with
 125 [(mk_G next _) \Rightarrow next]) n2)])) (ASort O (next g n2)) (ASort x1 x0)
 126 H4) in (\lambda (H7: (eq nat O x1)).(let H8 \def (eq_ind_r nat x1 (\lambda
 127 (n3: nat).(eq A (aplus g (ASort O (next g n0)) x2) (aplus g (ASort n3 x0)
 128 x2))) H3 O H7) in (let H9 \def (eq_ind_r nat x0 (\lambda (n3: nat).(eq A
 129 (aplus g (ASort O (next g n0)) x2) (aplus g (ASort O n3) x2))) H8 (next g n2)
 130 H6) in (let H10 \def (eq_ind_r A (aplus g (ASort O (next g n0)) x2) (\lambda
 131 (a: A).(eq A a (aplus g (ASort O (next g n2)) x2))) H9 (aplus g (ASort O n0)
 132 (S x2)) (aplus_sort_O_S_simpl g n0 x2)) in (let H11 \def (eq_ind_r A (aplus g
 133 (ASort O (next g n2)) x2) (\lambda (a: A).(eq A (aplus g (ASort O n0) (S x2))
 134 a)) H10 (aplus g (ASort O n2) (S x2)) (aplus_sort_O_S_simpl g n2 x2)) in
 135 (leq_sort g O O n0 n2 (S x2) H11))))))) H5))))))) H2)))) (\lambda (n3:
 136 nat).(\lambda (_: (((leq g (asucc g (ASort O n0)) (asucc g (ASort n3 n2)))
 137 \to (leq g (ASort O n0) (ASort n3 n2))))).(\lambda (H1: (leq g (asucc g
 138 (ASort O n0)) (asucc g (ASort (S n3) n2)))).(let H_x \def (leq_gen_sort1 g O
 139 (next g n0) (ASort n3 n2) H1) in (let H2 \def H_x in (ex2_3_ind nat nat nat
 140 (\lambda (n4: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g (ASort
 141 O (next g n0)) k) (aplus g (ASort h2 n4) k))))) (\lambda (n4: nat).(\lambda
 142 (h2: nat).(\lambda (_: nat).(eq A (ASort n3 n2) (ASort h2 n4))))) (leq g
 143 (ASort O n0) (ASort (S n3) n2)) (\lambda (x0: nat).(\lambda (x1:
 144 nat).(\lambda (x2: nat).(\lambda (H3: (eq A (aplus g (ASort O (next g n0))
 145 x2) (aplus g (ASort x1 x0) x2))).(\lambda (H4: (eq A (ASort n3 n2) (ASort x1
 146 x0))).(let H5 \def (f_equal A nat (\lambda (e: A).(match e with [(ASort n4 _)
 147 \Rightarrow n4 | (AHead _ _) \Rightarrow n3])) (ASort n3 n2) (ASort x1 x0)
 148 H4) in ((let H6 \def (f_equal A nat (\lambda (e: A).(match e with [(ASort _
 149 n4) \Rightarrow n4 | (AHead _ _) \Rightarrow n2])) (ASort n3 n2) (ASort x1
 150 x0) H4) in (\lambda (H7: (eq nat n3 x1)).(let H8 \def (eq_ind_r nat x1
 151 (\lambda (n4: nat).(eq A (aplus g (ASort O (next g n0)) x2) (aplus g (ASort
 152 n4 x0) x2))) H3 n3 H7) in (let H9 \def (eq_ind_r nat x0 (\lambda (n4:
 153 nat).(eq A (aplus g (ASort O (next g n0)) x2) (aplus g (ASort n3 n4) x2))) H8
 154 n2 H6) in (let H10 \def (eq_ind_r A (aplus g (ASort O (next g n0)) x2)
 155 (\lambda (a: A).(eq A a (aplus g (ASort n3 n2) x2))) H9 (aplus g (ASort O n0)
 156 (S x2)) (aplus_sort_O_S_simpl g n0 x2)) in (let H11 \def (eq_ind_r A (aplus g
 157 (ASort n3 n2) x2) (\lambda (a: A).(eq A (aplus g (ASort O n0) (S x2)) a)) H10
 158 (aplus g (ASort (S n3) n2) (S x2)) (aplus_sort_S_S_simpl g n2 n3 x2)) in
 159 (leq_sort g O (S n3) n0 n2 (S x2) H11))))))) H5))))))) H2)))))) n1 H0))
 160 (\lambda (n3: nat).(\lambda (IHn: (((leq g (asucc g (ASort n3 n0)) (asucc g
 161 (ASort n1 n2))) \to (leq g (ASort n3 n0) (ASort n1 n2))))).(\lambda (H0: (leq
 162 g (asucc g (ASort (S n3) n0)) (asucc g (ASort n1 n2)))).(nat_ind (\lambda
 163 (n4: nat).((leq g (asucc g (ASort (S n3) n0)) (asucc g (ASort n4 n2))) \to
 164 ((((leq g (asucc g (ASort n3 n0)) (asucc g (ASort n4 n2))) \to (leq g (ASort
 165 n3 n0) (ASort n4 n2)))) \to (leq g (ASort (S n3) n0) (ASort n4 n2)))))
 166 (\lambda (H1: (leq g (asucc g (ASort (S n3) n0)) (asucc g (ASort O
 167 n2)))).(\lambda (_: (((leq g (asucc g (ASort n3 n0)) (asucc g (ASort O n2)))
 168 \to (leq g (ASort n3 n0) (ASort O n2))))).(let H_x \def (leq_gen_sort1 g n3
 169 n0 (ASort O (next g n2)) H1) in (let H2 \def H_x in (ex2_3_ind nat nat nat
 170 (\lambda (n4: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g (ASort
 171 n3 n0) k) (aplus g (ASort h2 n4) k))))) (\lambda (n4: nat).(\lambda (h2:
 172 nat).(\lambda (_: nat).(eq A (ASort O (next g n2)) (ASort h2 n4))))) (leq g
 173 (ASort (S n3) n0) (ASort O n2)) (\lambda (x0: nat).(\lambda (x1:
 174 nat).(\lambda (x2: nat).(\lambda (H3: (eq A (aplus g (ASort n3 n0) x2) (aplus
 175 g (ASort x1 x0) x2))).(\lambda (H4: (eq A (ASort O (next g n2)) (ASort x1
 176 x0))).(let H5 \def (f_equal A nat (\lambda (e: A).(match e with [(ASort n4 _)
 177 \Rightarrow n4 | (AHead _ _) \Rightarrow O])) (ASort O (next g n2)) (ASort x1
 178 x0) H4) in ((let H6 \def (f_equal A nat (\lambda (e: A).(match e with [(ASort
 179 _ n4) \Rightarrow n4 | (AHead _ _) \Rightarrow ((match g with [(mk_G next _)
 180 \Rightarrow next]) n2)])) (ASort O (next g n2)) (ASort x1 x0) H4) in (\lambda
 181 (H7: (eq nat O x1)).(let H8 \def (eq_ind_r nat x1 (\lambda (n4: nat).(eq A
 182 (aplus g (ASort n3 n0) x2) (aplus g (ASort n4 x0) x2))) H3 O H7) in (let H9
 183 \def (eq_ind_r nat x0 (\lambda (n4: nat).(eq A (aplus g (ASort n3 n0) x2)
 184 (aplus g (ASort O n4) x2))) H8 (next g n2) H6) in (let H10 \def (eq_ind_r A
 185 (aplus g (ASort n3 n0) x2) (\lambda (a: A).(eq A a (aplus g (ASort O (next g
 186 n2)) x2))) H9 (aplus g (ASort (S n3) n0) (S x2)) (aplus_sort_S_S_simpl g n0
 187 n3 x2)) in (let H11 \def (eq_ind_r A (aplus g (ASort O (next g n2)) x2)
 188 (\lambda (a: A).(eq A (aplus g (ASort (S n3) n0) (S x2)) a)) H10 (aplus g
 189 (ASort O n2) (S x2)) (aplus_sort_O_S_simpl g n2 x2)) in (leq_sort g (S n3) O
 190 n0 n2 (S x2) H11))))))) H5))))))) H2))))) (\lambda (n4: nat).(\lambda (_:
 191 (((leq g (asucc g (ASort (S n3) n0)) (asucc g (ASort n4 n2))) \to ((((leq g
 192 (asucc g (ASort n3 n0)) (asucc g (ASort n4 n2))) \to (leq g (ASort n3 n0)
 193 (ASort n4 n2)))) \to (leq g (ASort (S n3) n0) (ASort n4 n2)))))).(\lambda
 194 (H1: (leq g (asucc g (ASort (S n3) n0)) (asucc g (ASort (S n4)
 195 n2)))).(\lambda (_: (((leq g (asucc g (ASort n3 n0)) (asucc g (ASort (S n4)
 196 n2))) \to (leq g (ASort n3 n0) (ASort (S n4) n2))))).(let H_x \def
 197 (leq_gen_sort1 g n3 n0 (ASort n4 n2) H1) in (let H2 \def H_x in (ex2_3_ind
 198 nat nat nat (\lambda (n5: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k: nat).(eq A
 199 (aplus g (ASort n3 n0) k) (aplus g (ASort h2 n5) k))))) (\lambda (n5:
 200 nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_: nat).(eq A (ASort n4 n2) (ASort h2
 201 n5))))) (leq g (ASort (S n3) n0) (ASort (S n4) n2)) (\lambda (x0:
 202 nat).(\lambda (x1: nat).(\lambda (x2: nat).(\lambda (H3: (eq A (aplus g
 203 (ASort n3 n0) x2) (aplus g (ASort x1 x0) x2))).(\lambda (H4: (eq A (ASort n4
 204 n2) (ASort x1 x0))).(let H5 \def (f_equal A nat (\lambda (e: A).(match e with
 205 [(ASort n5 _) \Rightarrow n5 | (AHead _ _) \Rightarrow n4])) (ASort n4 n2)
 206 (ASort x1 x0) H4) in ((let H6 \def (f_equal A nat (\lambda (e: A).(match e
 207 with [(ASort _ n5) \Rightarrow n5 | (AHead _ _) \Rightarrow n2])) (ASort n4
 208 n2) (ASort x1 x0) H4) in (\lambda (H7: (eq nat n4 x1)).(let H8 \def (eq_ind_r
 209 nat x1 (\lambda (n5: nat).(eq A (aplus g (ASort n3 n0) x2) (aplus g (ASort n5
 210 x0) x2))) H3 n4 H7) in (let H9 \def (eq_ind_r nat x0 (\lambda (n5: nat).(eq A
 211 (aplus g (ASort n3 n0) x2) (aplus g (ASort n4 n5) x2))) H8 n2 H6) in (let H10
 212 \def (eq_ind_r A (aplus g (ASort n3 n0) x2) (\lambda (a: A).(eq A a (aplus g
 213 (ASort n4 n2) x2))) H9 (aplus g (ASort (S n3) n0) (S x2))
 214 (aplus_sort_S_S_simpl g n0 n3 x2)) in (let H11 \def (eq_ind_r A (aplus g
 215 (ASort n4 n2) x2) (\lambda (a: A).(eq A (aplus g (ASort (S n3) n0) (S x2))
 216 a)) H10 (aplus g (ASort (S n4) n2) (S x2)) (aplus_sort_S_S_simpl g n2 n4 x2))
 217 in (leq_sort g (S n3) (S n4) n0 n2 (S x2) H11))))))) H5))))))) H2))))))) n1
 218 H0 IHn)))) n H)))) (\lambda (a: A).(\lambda (H: (((leq g (asucc g (ASort n
 219 n0)) (asucc g a)) \to (leq g (ASort n n0) a)))).(\lambda (a0: A).(\lambda
 220 (H0: (((leq g (asucc g (ASort n n0)) (asucc g a0)) \to (leq g (ASort n n0)
 221 a0)))).(\lambda (H1: (leq g (asucc g (ASort n n0)) (asucc g (AHead a
 222 a0)))).(nat_ind (\lambda (n1: nat).((((leq g (asucc g (ASort n1 n0)) (asucc g
 223 a)) \to (leq g (ASort n1 n0) a))) \to ((((leq g (asucc g (ASort n1 n0))
 224 (asucc g a0)) \to (leq g (ASort n1 n0) a0))) \to ((leq g (asucc g (ASort n1
 225 n0)) (asucc g (AHead a a0))) \to (leq g (ASort n1 n0) (AHead a a0))))))
 226 (\lambda (_: (((leq g (asucc g (ASort O n0)) (asucc g a)) \to (leq g (ASort O
 227 n0) a)))).(\lambda (_: (((leq g (asucc g (ASort O n0)) (asucc g a0)) \to (leq
 228 g (ASort O n0) a0)))).(\lambda (H4: (leq g (asucc g (ASort O n0)) (asucc g
 229 (AHead a a0)))).(let H_x \def (leq_gen_sort1 g O (next g n0) (AHead a (asucc
 230 g a0)) H4) in (let H5 \def H_x in (ex2_3_ind nat nat nat (\lambda (n2:
 231 nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g (ASort O (next g
 232 n0)) k) (aplus g (ASort h2 n2) k))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2:
 233 nat).(\lambda (_: nat).(eq A (AHead a (asucc g a0)) (ASort h2 n2))))) (leq g
 234 (ASort O n0) (AHead a a0)) (\lambda (x0: nat).(\lambda (x1: nat).(\lambda
 235 (x2: nat).(\lambda (_: (eq A (aplus g (ASort O (next g n0)) x2) (aplus g
 236 (ASort x1 x0) x2))).(\lambda (H7: (eq A (AHead a (asucc g a0)) (ASort x1
 237 x0))).(let H8 \def (eq_ind A (AHead a (asucc g a0)) (\lambda (ee: A).(match
 238 ee with [(ASort _ _) \Rightarrow False | (AHead _ _) \Rightarrow True])) I
 239 (ASort x1 x0) H7) in (False_ind (leq g (ASort O n0) (AHead a a0)) H8)))))))
 240 H5)))))) (\lambda (n1: nat).(\lambda (_: (((((leq g (asucc g (ASort n1 n0))
 241 (asucc g a)) \to (leq g (ASort n1 n0) a))) \to ((((leq g (asucc g (ASort n1
 242 n0)) (asucc g a0)) \to (leq g (ASort n1 n0) a0))) \to ((leq g (asucc g (ASort
 243 n1 n0)) (asucc g (AHead a a0))) \to (leq g (ASort n1 n0) (AHead a
 244 a0))))))).(\lambda (_: (((leq g (asucc g (ASort (S n1) n0)) (asucc g a)) \to
 245 (leq g (ASort (S n1) n0) a)))).(\lambda (_: (((leq g (asucc g (ASort (S n1)
 246 n0)) (asucc g a0)) \to (leq g (ASort (S n1) n0) a0)))).(\lambda (H4: (leq g
 247 (asucc g (ASort (S n1) n0)) (asucc g (AHead a a0)))).(let H_x \def
 248 (leq_gen_sort1 g n1 n0 (AHead a (asucc g a0)) H4) in (let H5 \def H_x in
 249 (ex2_3_ind nat nat nat (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k:
 250 nat).(eq A (aplus g (ASort n1 n0) k) (aplus g (ASort h2 n2) k))))) (\lambda
 251 (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_: nat).(eq A (AHead a (asucc g a0))
 252 (ASort h2 n2))))) (leq g (ASort (S n1) n0) (AHead a a0)) (\lambda (x0:
 253 nat).(\lambda (x1: nat).(\lambda (x2: nat).(\lambda (_: (eq A (aplus g (ASort
 254 n1 n0) x2) (aplus g (ASort x1 x0) x2))).(\lambda (H7: (eq A (AHead a (asucc g
 255 a0)) (ASort x1 x0))).(let H8 \def (eq_ind A (AHead a (asucc g a0)) (\lambda
 256 (ee: A).(match ee with [(ASort _ _) \Rightarrow False | (AHead _ _)
 257 \Rightarrow True])) I (ASort x1 x0) H7) in (False_ind (leq g (ASort (S n1)
 258 n0) (AHead a a0)) H8))))))) H5)))))))) n H H0 H1)))))) a2)))) (\lambda (a:
 259 A).(\lambda (_: ((\forall (a2: A).((leq g (asucc g a) (asucc g a2)) \to (leq
 260 g a a2))))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H0: ((\forall (a2: A).((leq g (asucc g
 261 a0) (asucc g a2)) \to (leq g a0 a2))))).(\lambda (a2: A).(A_ind (\lambda (a3:
 262 A).((leq g (asucc g (AHead a a0)) (asucc g a3)) \to (leq g (AHead a a0) a3)))
 263 (\lambda (n: nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (H1: (leq g (asucc g (AHead a
 264 a0)) (asucc g (ASort n n0)))).(nat_ind (\lambda (n1: nat).((leq g (asucc g
 265 (AHead a a0)) (asucc g (ASort n1 n0))) \to (leq g (AHead a a0) (ASort n1
 266 n0)))) (\lambda (H2: (leq g (asucc g (AHead a a0)) (asucc g (ASort O
 267 n0)))).(let H_x \def (leq_gen_head1 g a (asucc g a0) (ASort O (next g n0))
 268 H2) in (let H3 \def H_x in (ex3_2_ind A A (\lambda (a3: A).(\lambda (_:
 269 A).(leq g a a3))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g (asucc g a0) a4)))
 270 (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(eq A (ASort O (next g n0)) (AHead a3
 271 a4)))) (leq g (AHead a a0) (ASort O n0)) (\lambda (x0: A).(\lambda (x1:
 272 A).(\lambda (_: (leq g a x0)).(\lambda (_: (leq g (asucc g a0) x1)).(\lambda
 273 (H6: (eq A (ASort O (next g n0)) (AHead x0 x1))).(let H7 \def (eq_ind A
 274 (ASort O (next g n0)) (\lambda (ee: A).(match ee with [(ASort _ _)
 275 \Rightarrow True | (AHead _ _) \Rightarrow False])) I (AHead x0 x1) H6) in
 276 (False_ind (leq g (AHead a a0) (ASort O n0)) H7))))))) H3)))) (\lambda (n1:
 277 nat).(\lambda (_: (((leq g (asucc g (AHead a a0)) (asucc g (ASort n1 n0)))
 278 \to (leq g (AHead a a0) (ASort n1 n0))))).(\lambda (H2: (leq g (asucc g
 279 (AHead a a0)) (asucc g (ASort (S n1) n0)))).(let H_x \def (leq_gen_head1 g a
 280 (asucc g a0) (ASort n1 n0) H2) in (let H3 \def H_x in (ex3_2_ind A A (\lambda
 281 (a3: A).(\lambda (_: A).(leq g a a3))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq
 282 g (asucc g a0) a4))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(eq A (ASort n1 n0)
 283 (AHead a3 a4)))) (leq g (AHead a a0) (ASort (S n1) n0)) (\lambda (x0:
 284 A).(\lambda (x1: A).(\lambda (_: (leq g a x0)).(\lambda (_: (leq g (asucc g
 285 a0) x1)).(\lambda (H6: (eq A (ASort n1 n0) (AHead x0 x1))).(let H7 \def
 286 (eq_ind A (ASort n1 n0) (\lambda (ee: A).(match ee with [(ASort _ _)
 287 \Rightarrow True | (AHead _ _) \Rightarrow False])) I (AHead x0 x1) H6) in
 288 (False_ind (leq g (AHead a a0) (ASort (S n1) n0)) H7))))))) H3)))))) n H1))))
 289 (\lambda (a3: A).(\lambda (_: (((leq g (asucc g (AHead a a0)) (asucc g a3))
 290 \to (leq g (AHead a a0) a3)))).(\lambda (a4: A).(\lambda (_: (((leq g (asucc
 291 g (AHead a a0)) (asucc g a4)) \to (leq g (AHead a a0) a4)))).(\lambda (H3:
 292 (leq g (asucc g (AHead a a0)) (asucc g (AHead a3 a4)))).(let H_x \def
 293 (leq_gen_head1 g a (asucc g a0) (AHead a3 (asucc g a4)) H3) in (let H4 \def
 294 H_x in (ex3_2_ind A A (\lambda (a5: A).(\lambda (_: A).(leq g a a5)))
 295 (\lambda (_: A).(\lambda (a6: A).(leq g (asucc g a0) a6))) (\lambda (a5:
 296 A).(\lambda (a6: A).(eq A (AHead a3 (asucc g a4)) (AHead a5 a6)))) (leq g
 297 (AHead a a0) (AHead a3 a4)) (\lambda (x0: A).(\lambda (x1: A).(\lambda (H5:
 298 (leq g a x0)).(\lambda (H6: (leq g (asucc g a0) x1)).(\lambda (H7: (eq A
 299 (AHead a3 (asucc g a4)) (AHead x0 x1))).(let H8 \def (f_equal A A (\lambda
 300 (e: A).(match e with [(ASort _ _) \Rightarrow a3 | (AHead a5 _) \Rightarrow
 301 a5])) (AHead a3 (asucc g a4)) (AHead x0 x1) H7) in ((let H9 \def (f_equal A A
 302 (\lambda (e: A).(match e with [(ASort _ _) \Rightarrow (asucc g a4) | (AHead
 303 _ a5) \Rightarrow a5])) (AHead a3 (asucc g a4)) (AHead x0 x1) H7) in (\lambda
 304 (H10: (eq A a3 x0)).(let H11 \def (eq_ind_r A x1 (\lambda (a5: A).(leq g
 305 (asucc g a0) a5)) H6 (asucc g a4) H9) in (let H12 \def (eq_ind_r A x0
 306 (\lambda (a5: A).(leq g a a5)) H5 a3 H10) in (leq_head g a a3 H12 a0 a4 (H0
 307 a4 H11)))))) H8))))))) H4)))))))) a2)))))) a1)).
 308
 309 lemma leq_asucc:
 310  \forall (g: G).(\forall (a: A).(ex A (\lambda (a0: A).(leq g a (asucc g
 311 a0)))))
 312 \def
 313  \lambda (g: G).(\lambda (a: A).(A_ind (\lambda (a0: A).(ex A (\lambda (a1:
 314 A).(leq g a0 (asucc g a1))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (n0: nat).(ex_intro
 315 A (\lambda (a0: A).(leq g (ASort n n0) (asucc g a0))) (ASort (S n) n0)
 316 (leq_refl g (ASort n n0))))) (\lambda (a0: A).(\lambda (_: (ex A (\lambda
 317 (a1: A).(leq g a0 (asucc g a1))))).(\lambda (a1: A).(\lambda (H0: (ex A
 318 (\lambda (a2: A).(leq g a1 (asucc g a2))))).(let H1 \def H0 in (ex_ind A
 319 (\lambda (a2: A).(leq g a1 (asucc g a2))) (ex A (\lambda (a2: A).(leq g
 320 (AHead a0 a1) (asucc g a2)))) (\lambda (x: A).(\lambda (H2: (leq g a1 (asucc
 321 g x))).(ex_intro A (\lambda (a2: A).(leq g (AHead a0 a1) (asucc g a2)))
 322 (AHead a0 x) (leq_head g a0 a0 (leq_refl g a0) a1 (asucc g x) H2)))) H1))))))
 323 a)).
 324
 325 lemma leq_ahead_asucc_false:
 326  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leq g (AHead a1 a2)
 327 (asucc g a1)) \to (\forall (P: Prop).P))))
 328 \def
 329  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(A_ind (\lambda (a: A).(\forall (a2:
 330 A).((leq g (AHead a a2) (asucc g a)) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda
 331 (n: nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (leq g (AHead
 332 (ASort n n0) a2) (match n with [O \Rightarrow (ASort O (next g n0)) | (S h)
 333 \Rightarrow (ASort h n0)]))).(\lambda (P: Prop).(nat_ind (\lambda (n1:
 334 nat).((leq g (AHead (ASort n1 n0) a2) (match n1 with [O \Rightarrow (ASort O
 335 (next g n0)) | (S h) \Rightarrow (ASort h n0)])) \to P)) (\lambda (H0: (leq g
 336 (AHead (ASort O n0) a2) (ASort O (next g n0)))).(let H_x \def (leq_gen_head1
 337 g (ASort O n0) a2 (ASort O (next g n0)) H0) in (let H1 \def H_x in (ex3_2_ind
 338 A A (\lambda (a3: A).(\lambda (_: A).(leq g (ASort O n0) a3))) (\lambda (_:
 339 A).(\lambda (a4: A).(leq g a2 a4))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(eq A
 340 (ASort O (next g n0)) (AHead a3 a4)))) P (\lambda (x0: A).(\lambda (x1:
 341 A).(\lambda (_: (leq g (ASort O n0) x0)).(\lambda (_: (leq g a2 x1)).(\lambda
 342 (H4: (eq A (ASort O (next g n0)) (AHead x0 x1))).(let H5 \def (eq_ind A
 343 (ASort O (next g n0)) (\lambda (ee: A).(match ee with [(ASort _ _)
 344 \Rightarrow True | (AHead _ _) \Rightarrow False])) I (AHead x0 x1) H4) in
 345 (False_ind P H5))))))) H1)))) (\lambda (n1: nat).(\lambda (_: (((leq g (AHead
 346 (ASort n1 n0) a2) (match n1 with [O \Rightarrow (ASort O (next g n0)) | (S h)
 347 \Rightarrow (ASort h n0)])) \to P))).(\lambda (H0: (leq g (AHead (ASort (S
 348 n1) n0) a2) (ASort n1 n0))).(let H_x \def (leq_gen_head1 g (ASort (S n1) n0)
 349 a2 (ASort n1 n0) H0) in (let H1 \def H_x in (ex3_2_ind A A (\lambda (a3:
 350 A).(\lambda (_: A).(leq g (ASort (S n1) n0) a3))) (\lambda (_: A).(\lambda
 351 (a4: A).(leq g a2 a4))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(eq A (ASort n1 n0)
 352 (AHead a3 a4)))) P (\lambda (x0: A).(\lambda (x1: A).(\lambda (_: (leq g
 353 (ASort (S n1) n0) x0)).(\lambda (_: (leq g a2 x1)).(\lambda (H4: (eq A (ASort
 354 n1 n0) (AHead x0 x1))).(let H5 \def (eq_ind A (ASort n1 n0) (\lambda (ee:
 355 A).(match ee with [(ASort _ _) \Rightarrow True | (AHead _ _) \Rightarrow
 356 False])) I (AHead x0 x1) H4) in (False_ind P H5))))))) H1)))))) n H))))))
 357 (\lambda (a: A).(\lambda (_: ((\forall (a2: A).((leq g (AHead a a2) (asucc g
 358 a)) \to (\forall (P: Prop).P))))).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: ((\forall
 359 (a2: A).((leq g (AHead a0 a2) (asucc g a0)) \to (\forall (P:
 360 Prop).P))))).(\lambda (a2: A).(\lambda (H1: (leq g (AHead (AHead a a0) a2)
 361 (AHead a (asucc g a0)))).(\lambda (P: Prop).(let H_x \def (leq_gen_head1 g
 362 (AHead a a0) a2 (AHead a (asucc g a0)) H1) in (let H2 \def H_x in (ex3_2_ind
 363 A A (\lambda (a3: A).(\lambda (_: A).(leq g (AHead a a0) a3))) (\lambda (_:
 364 A).(\lambda (a4: A).(leq g a2 a4))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(eq A
 365 (AHead a (asucc g a0)) (AHead a3 a4)))) P (\lambda (x0: A).(\lambda (x1:
 366 A).(\lambda (H3: (leq g (AHead a a0) x0)).(\lambda (H4: (leq g a2
 367 x1)).(\lambda (H5: (eq A (AHead a (asucc g a0)) (AHead x0 x1))).(let H6 \def
 368 (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e with [(ASort _ _) \Rightarrow a |
 369 (AHead a3 _) \Rightarrow a3])) (AHead a (asucc g a0)) (AHead x0 x1) H5) in
 370 ((let H7 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e with [(ASort _ _)
 371 \Rightarrow (asucc g a0) | (AHead _ a3) \Rightarrow a3])) (AHead a (asucc g
 372 a0)) (AHead x0 x1) H5) in (\lambda (H8: (eq A a x0)).(let H9 \def (eq_ind_r A
 373 x1 (\lambda (a3: A).(leq g a2 a3)) H4 (asucc g a0) H7) in (let H10 \def
 374 (eq_ind_r A x0 (\lambda (a3: A).(leq g (AHead a a0) a3)) H3 a H8) in
 375 (leq_ahead_false_1 g a a0 H10 P))))) H6))))))) H2)))))))))) a1)).
 376
 377 lemma leq_asucc_false:
 378  \forall (g: G).(\forall (a: A).((leq g (asucc g a) a) \to (\forall (P:
 379 Prop).P)))
 380 \def
 381  \lambda (g: G).(\lambda (a: A).(A_ind (\lambda (a0: A).((leq g (asucc g a0)
 382 a0) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (n: nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda
 383 (H: (leq g (match n with [O \Rightarrow (ASort O (next g n0)) | (S h)
 384 \Rightarrow (ASort h n0)]) (ASort n n0))).(\lambda (P: Prop).(nat_ind
 385 (\lambda (n1: nat).((leq g (match n1 with [O \Rightarrow (ASort O (next g
 386 n0)) | (S h) \Rightarrow (ASort h n0)]) (ASort n1 n0)) \to P)) (\lambda (H0:
 387 (leq g (ASort O (next g n0)) (ASort O n0))).(let H_x \def (leq_gen_sort1 g O
 388 (next g n0) (ASort O n0) H0) in (let H1 \def H_x in (ex2_3_ind nat nat nat
 389 (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g (ASort
 390 O (next g n0)) k) (aplus g (ASort h2 n2) k))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda
 391 (h2: nat).(\lambda (_: nat).(eq A (ASort O n0) (ASort h2 n2))))) P (\lambda
 392 (x0: nat).(\lambda (x1: nat).(\lambda (x2: nat).(\lambda (H2: (eq A (aplus g
 393 (ASort O (next g n0)) x2) (aplus g (ASort x1 x0) x2))).(\lambda (H3: (eq A
 394 (ASort O n0) (ASort x1 x0))).(let H4 \def (f_equal A nat (\lambda (e:
 395 A).(match e with [(ASort n1 _) \Rightarrow n1 | (AHead _ _) \Rightarrow O]))
 396 (ASort O n0) (ASort x1 x0) H3) in ((let H5 \def (f_equal A nat (\lambda (e:
 397 A).(match e with [(ASort _ n1) \Rightarrow n1 | (AHead _ _) \Rightarrow n0]))
 398 (ASort O n0) (ASort x1 x0) H3) in (\lambda (H6: (eq nat O x1)).(let H7 \def
 399 (eq_ind_r nat x1 (\lambda (n1: nat).(eq A (aplus g (ASort O (next g n0)) x2)
 400 (aplus g (ASort n1 x0) x2))) H2 O H6) in (let H8 \def (eq_ind_r nat x0
 401 (\lambda (n1: nat).(eq A (aplus g (ASort O (next g n0)) x2) (aplus g (ASort O
 402 n1) x2))) H7 n0 H5) in (let H9 \def (eq_ind_r A (aplus g (ASort O (next g
 403 n0)) x2) (\lambda (a0: A).(eq A a0 (aplus g (ASort O n0) x2))) H8 (aplus g
 404 (ASort O n0) (S x2)) (aplus_sort_O_S_simpl g n0 x2)) in (let H_y \def
 405 (aplus_inj g (S x2) x2 (ASort O n0) H9) in (le_Sx_x x2 (eq_ind_r nat x2
 406 (\lambda (n1: nat).(le n1 x2)) (le_n x2) (S x2) H_y) P))))))) H4)))))))
 407 H1)))) (\lambda (n1: nat).(\lambda (_: (((leq g (match n1 with [O \Rightarrow
 408 (ASort O (next g n0)) | (S h) \Rightarrow (ASort h n0)]) (ASort n1 n0)) \to
 409 P))).(\lambda (H0: (leq g (ASort n1 n0) (ASort (S n1) n0))).(let H_x \def
 410 (leq_gen_sort1 g n1 n0 (ASort (S n1) n0) H0) in (let H1 \def H_x in
 411 (ex2_3_ind nat nat nat (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k:
 412 nat).(eq A (aplus g (ASort n1 n0) k) (aplus g (ASort h2 n2) k))))) (\lambda
 413 (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_: nat).(eq A (ASort (S n1) n0) (ASort
 414 h2 n2))))) P (\lambda (x0: nat).(\lambda (x1: nat).(\lambda (x2:
 415 nat).(\lambda (H2: (eq A (aplus g (ASort n1 n0) x2) (aplus g (ASort x1 x0)
 416 x2))).(\lambda (H3: (eq A (ASort (S n1) n0) (ASort x1 x0))).(let H4 \def
 417 (f_equal A nat (\lambda (e: A).(match e with [(ASort n2 _) \Rightarrow n2 |
 418 (AHead _ _) \Rightarrow (S n1)])) (ASort (S n1) n0) (ASort x1 x0) H3) in
 419 ((let H5 \def (f_equal A nat (\lambda (e: A).(match e with [(ASort _ n2)
 420 \Rightarrow n2 | (AHead _ _) \Rightarrow n0])) (ASort (S n1) n0) (ASort x1
 421 x0) H3) in (\lambda (H6: (eq nat (S n1) x1)).(let H7 \def (eq_ind_r nat x1
 422 (\lambda (n2: nat).(eq A (aplus g (ASort n1 n0) x2) (aplus g (ASort n2 x0)
 423 x2))) H2 (S n1) H6) in (let H8 \def (eq_ind_r nat x0 (\lambda (n2: nat).(eq A
 424 (aplus g (ASort n1 n0) x2) (aplus g (ASort (S n1) n2) x2))) H7 n0 H5) in (let
 425 H9 \def (eq_ind_r A (aplus g (ASort n1 n0) x2) (\lambda (a0: A).(eq A a0
 426 (aplus g (ASort (S n1) n0) x2))) H8 (aplus g (ASort (S n1) n0) (S x2))
 427 (aplus_sort_S_S_simpl g n0 n1 x2)) in (let H_y \def (aplus_inj g (S x2) x2
 428 (ASort (S n1) n0) H9) in (le_Sx_x x2 (eq_ind_r nat x2 (\lambda (n2: nat).(le
 429 n2 x2)) (le_n x2) (S x2) H_y) P))))))) H4))))))) H1)))))) n H))))) (\lambda
 430 (a0: A).(\lambda (_: (((leq g (asucc g a0) a0) \to (\forall (P:
 431 Prop).P)))).(\lambda (a1: A).(\lambda (H0: (((leq g (asucc g a1) a1) \to
 432 (\forall (P: Prop).P)))).(\lambda (H1: (leq g (AHead a0 (asucc g a1)) (AHead
 433 a0 a1))).(\lambda (P: Prop).(let H_x \def (leq_gen_head1 g a0 (asucc g a1)
 434 (AHead a0 a1) H1) in (let H2 \def H_x in (ex3_2_ind A A (\lambda (a3:
 435 A).(\lambda (_: A).(leq g a0 a3))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g
 436 (asucc g a1) a4))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(eq A (AHead a0 a1)
 437 (AHead a3 a4)))) P (\lambda (x0: A).(\lambda (x1: A).(\lambda (H3: (leq g a0
 438 x0)).(\lambda (H4: (leq g (asucc g a1) x1)).(\lambda (H5: (eq A (AHead a0 a1)
 439 (AHead x0 x1))).(let H6 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e with
 440 [(ASort _ _) \Rightarrow a0 | (AHead a2 _) \Rightarrow a2])) (AHead a0 a1)
 441 (AHead x0 x1) H5) in ((let H7 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e with
 442 [(ASort _ _) \Rightarrow a1 | (AHead _ a2) \Rightarrow a2])) (AHead a0 a1)
 443 (AHead x0 x1) H5) in (\lambda (H8: (eq A a0 x0)).(let H9 \def (eq_ind_r A x1
 444 (\lambda (a2: A).(leq g (asucc g a1) a2)) H4 a1 H7) in (let H10 \def
 445 (eq_ind_r A x0 (\lambda (a2: A).(leq g a0 a2)) H3 a0 H8) in (H0 H9 P)))))
 446 H6))))))) H2))))))))) a)).
 447