matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_1/leq/fwd.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "basic_1/leq/defs.ma".
  18
  19 implied rec lemma leq_ind (g: G) (P: (A \to (A \to Prop))) (f: (\forall (h1:
  20 nat).(\forall (h2: nat).(\forall (n1: nat).(\forall (n2: nat).(\forall (k:
  21 nat).((eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k)) \to (P
  22 (ASort h1 n1) (ASort h2 n2))))))))) (f0: (\forall (a1: A).(\forall (a2:
  23 A).((leq g a1 a2) \to ((P a1 a2) \to (\forall (a3: A).(\forall (a4: A).((leq
  24 g a3 a4) \to ((P a3 a4) \to (P (AHead a1 a3) (AHead a2 a4))))))))))) (a: A)
  25 (a0: A) (l: leq g a a0) on l: P a a0 \def match l with [(leq_sort h1 h2 n1 n2
  26 k e) \Rightarrow (f h1 h2 n1 n2 k e) | (leq_head a1 a2 l0 a3 a4 l1)
  27 \Rightarrow (f0 a1 a2 l0 ((leq_ind g P f f0) a1 a2 l0) a3 a4 l1 ((leq_ind g P
  28 f f0) a3 a4 l1))].
  29
  30 lemma leq_gen_sort1:
  31  \forall (g: G).(\forall (h1: nat).(\forall (n1: nat).(\forall (a2: A).((leq
  32 g (ASort h1 n1) a2) \to (ex2_3 nat nat nat (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2:
  33 nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2)
  34 k))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_: nat).(eq A a2
  35 (ASort h2 n2))))))))))
  36 \def
  37  \lambda (g: G).(\lambda (h1: nat).(\lambda (n1: nat).(\lambda (a2:
  38 A).(\lambda (H: (leq g (ASort h1 n1) a2)).(insert_eq A (ASort h1 n1) (\lambda
  39 (a: A).(leq g a a2)) (\lambda (a: A).(ex2_3 nat nat nat (\lambda (n2:
  40 nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g a k) (aplus g (ASort
  41 h2 n2) k))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_: nat).(eq A
  42 a2 (ASort h2 n2))))))) (\lambda (y: A).(\lambda (H0: (leq g y a2)).(leq_ind g
  43 (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).((eq A a (ASort h1 n1)) \to (ex2_3 nat nat
  44 nat (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g a
  45 k) (aplus g (ASort h2 n2) k))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2:
  46 nat).(\lambda (_: nat).(eq A a0 (ASort h2 n2))))))))) (\lambda (h0:
  47 nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (n2: nat).(\lambda (k:
  48 nat).(\lambda (H1: (eq A (aplus g (ASort h0 n0) k) (aplus g (ASort h2 n2)
  49 k))).(\lambda (H2: (eq A (ASort h0 n0) (ASort h1 n1))).(let H3 \def (f_equal
  50 A nat (\lambda (e: A).(match e with [(ASort n _) \Rightarrow n | (AHead _ _)
  51 \Rightarrow h0])) (ASort h0 n0) (ASort h1 n1) H2) in ((let H4 \def (f_equal A
  52 nat (\lambda (e: A).(match e with [(ASort _ n) \Rightarrow n | (AHead _ _)
  53 \Rightarrow n0])) (ASort h0 n0) (ASort h1 n1) H2) in (\lambda (H5: (eq nat h0
  54 h1)).(let H6 \def (eq_ind nat n0 (\lambda (n: nat).(eq A (aplus g (ASort h0
  55 n) k) (aplus g (ASort h2 n2) k))) H1 n1 H4) in (eq_ind_r nat n1 (\lambda (n:
  56 nat).(ex2_3 nat nat nat (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda (k0:
  57 nat).(eq A (aplus g (ASort h0 n) k0) (aplus g (ASort h3 n3) k0))))) (\lambda
  58 (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda (_: nat).(eq A (ASort h2 n2) (ASort h3
  59 n3))))))) (let H7 \def (eq_ind nat h0 (\lambda (n: nat).(eq A (aplus g (ASort
  60 n n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k))) H6 h1 H5) in (eq_ind_r nat h1 (\lambda
  61 (n: nat).(ex2_3 nat nat nat (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda
  62 (k0: nat).(eq A (aplus g (ASort n n1) k0) (aplus g (ASort h3 n3) k0)))))
  63 (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda (_: nat).(eq A (ASort h2 n2)
  64 (ASort h3 n3))))))) (ex2_3_intro nat nat nat (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3:
  65 nat).(\lambda (k0: nat).(eq A (aplus g (ASort h1 n1) k0) (aplus g (ASort h3
  66 n3) k0))))) (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda (_: nat).(eq A
  67 (ASort h2 n2) (ASort h3 n3))))) n2 h2 k H7 (refl_equal A (ASort h2 n2))) h0
  68 H5)) n0 H4)))) H3))))))))) (\lambda (a1: A).(\lambda (a3: A).(\lambda (_:
  69 (leq g a1 a3)).(\lambda (_: (((eq A a1 (ASort h1 n1)) \to (ex2_3 nat nat nat
  70 (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g a1 k)
  71 (aplus g (ASort h2 n2) k))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda
  72 (_: nat).(eq A a3 (ASort h2 n2))))))))).(\lambda (a4: A).(\lambda (a5:
  73 A).(\lambda (_: (leq g a4 a5)).(\lambda (_: (((eq A a4 (ASort h1 n1)) \to
  74 (ex2_3 nat nat nat (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k:
  75 nat).(eq A (aplus g a4 k) (aplus g (ASort h2 n2) k))))) (\lambda (n2:
  76 nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_: nat).(eq A a5 (ASort h2
  77 n2))))))))).(\lambda (H5: (eq A (AHead a1 a4) (ASort h1 n1))).(let H6 \def
  78 (eq_ind A (AHead a1 a4) (\lambda (ee: A).(match ee with [(ASort _ _)
  79 \Rightarrow False | (AHead _ _) \Rightarrow True])) I (ASort h1 n1) H5) in
  80 (False_ind (ex2_3 nat nat nat (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda
  81 (k: nat).(eq A (aplus g (AHead a1 a4) k) (aplus g (ASort h2 n2) k)))))
  82 (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_: nat).(eq A (AHead a3 a5)
  83 (ASort h2 n2)))))) H6))))))))))) y a2 H0))) H))))).
  84
  85 lemma leq_gen_head1:
  86  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).(\forall (a: A).((leq g
  87 (AHead a1 a2) a) \to (ex3_2 A A (\lambda (a3: A).(\lambda (_: A).(leq g a1
  88 a3))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g a2 a4))) (\lambda (a3:
  89 A).(\lambda (a4: A).(eq A a (AHead a3 a4)))))))))
  90 \def
  91  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (a: A).(\lambda
  92 (H: (leq g (AHead a1 a2) a)).(insert_eq A (AHead a1 a2) (\lambda (a0: A).(leq
  93 g a0 a)) (\lambda (_: A).(ex3_2 A A (\lambda (a3: A).(\lambda (_: A).(leq g
  94 a1 a3))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g a2 a4))) (\lambda (a3:
  95 A).(\lambda (a4: A).(eq A a (AHead a3 a4)))))) (\lambda (y: A).(\lambda (H0:
  96 (leq g y a)).(leq_ind g (\lambda (a0: A).(\lambda (a3: A).((eq A a0 (AHead a1
  97 a2)) \to (ex3_2 A A (\lambda (a4: A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a4))) (\lambda
  98 (_: A).(\lambda (a5: A).(leq g a2 a5))) (\lambda (a4: A).(\lambda (a5: A).(eq
  99 A a3 (AHead a4 a5)))))))) (\lambda (h1: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (n1:
 100 nat).(\lambda (n2: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (_: (eq A (aplus g (ASort
 101 h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k))).(\lambda (H2: (eq A (ASort h1 n1)
 102 (AHead a1 a2))).(let H3 \def (eq_ind A (ASort h1 n1) (\lambda (ee: A).(match
 103 ee with [(ASort _ _) \Rightarrow True | (AHead _ _) \Rightarrow False])) I
 104 (AHead a1 a2) H2) in (False_ind (ex3_2 A A (\lambda (a3: A).(\lambda (_:
 105 A).(leq g a1 a3))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g a2 a4))) (\lambda
 106 (a3: A).(\lambda (a4: A).(eq A (ASort h2 n2) (AHead a3 a4))))) H3)))))))))
 107 (\lambda (a0: A).(\lambda (a3: A).(\lambda (H1: (leq g a0 a3)).(\lambda (H2:
 108 (((eq A a0 (AHead a1 a2)) \to (ex3_2 A A (\lambda (a4: A).(\lambda (_:
 109 A).(leq g a1 a4))) (\lambda (_: A).(\lambda (a5: A).(leq g a2 a5))) (\lambda
 110 (a4: A).(\lambda (a5: A).(eq A a3 (AHead a4 a5)))))))).(\lambda (a4:
 111 A).(\lambda (a5: A).(\lambda (H3: (leq g a4 a5)).(\lambda (H4: (((eq A a4
 112 (AHead a1 a2)) \to (ex3_2 A A (\lambda (a6: A).(\lambda (_: A).(leq g a1
 113 a6))) (\lambda (_: A).(\lambda (a7: A).(leq g a2 a7))) (\lambda (a6:
 114 A).(\lambda (a7: A).(eq A a5 (AHead a6 a7)))))))).(\lambda (H5: (eq A (AHead
 115 a0 a4) (AHead a1 a2))).(let H6 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e
 116 with [(ASort _ _) \Rightarrow a0 | (AHead a6 _) \Rightarrow a6])) (AHead a0
 117 a4) (AHead a1 a2) H5) in ((let H7 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e
 118 with [(ASort _ _) \Rightarrow a4 | (AHead _ a6) \Rightarrow a6])) (AHead a0
 119 a4) (AHead a1 a2) H5) in (\lambda (H8: (eq A a0 a1)).(let H9 \def (eq_ind A
 120 a4 (\lambda (a6: A).((eq A a6 (AHead a1 a2)) \to (ex3_2 A A (\lambda (a7:
 121 A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a7))) (\lambda (_: A).(\lambda (a8: A).(leq g a2
 122 a8))) (\lambda (a7: A).(\lambda (a8: A).(eq A a5 (AHead a7 a8))))))) H4 a2
 123 H7) in (let H10 \def (eq_ind A a4 (\lambda (a6: A).(leq g a6 a5)) H3 a2 H7)
 124 in (let H11 \def (eq_ind A a0 (\lambda (a6: A).((eq A a6 (AHead a1 a2)) \to
 125 (ex3_2 A A (\lambda (a7: A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a7))) (\lambda (_:
 126 A).(\lambda (a8: A).(leq g a2 a8))) (\lambda (a7: A).(\lambda (a8: A).(eq A
 127 a3 (AHead a7 a8))))))) H2 a1 H8) in (let H12 \def (eq_ind A a0 (\lambda (a6:
 128 A).(leq g a6 a3)) H1 a1 H8) in (ex3_2_intro A A (\lambda (a6: A).(\lambda (_:
 129 A).(leq g a1 a6))) (\lambda (_: A).(\lambda (a7: A).(leq g a2 a7))) (\lambda
 130 (a6: A).(\lambda (a7: A).(eq A (AHead a3 a5) (AHead a6 a7)))) a3 a5 H12 H10
 131 (refl_equal A (AHead a3 a5))))))))) H6))))))))))) y a H0))) H))))).
 132
 133 lemma leq_gen_sort2:
 134  \forall (g: G).(\forall (h1: nat).(\forall (n1: nat).(\forall (a2: A).((leq
 135 g a2 (ASort h1 n1)) \to (ex2_3 nat nat nat (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2:
 136 nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g (ASort h2 n2) k) (aplus g (ASort h1 n1)
 137 k))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_: nat).(eq A a2
 138 (ASort h2 n2))))))))))
 139 \def
 140  \lambda (g: G).(\lambda (h1: nat).(\lambda (n1: nat).(\lambda (a2:
 141 A).(\lambda (H: (leq g a2 (ASort h1 n1))).(insert_eq A (ASort h1 n1) (\lambda
 142 (a: A).(leq g a2 a)) (\lambda (a: A).(ex2_3 nat nat nat (\lambda (n2:
 143 nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g (ASort h2 n2) k)
 144 (aplus g a k))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_: nat).(eq
 145 A a2 (ASort h2 n2))))))) (\lambda (y: A).(\lambda (H0: (leq g a2 y)).(leq_ind
 146 g (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).((eq A a0 (ASort h1 n1)) \to (ex2_3 nat
 147 nat nat (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus
 148 g (ASort h2 n2) k) (aplus g a0 k))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2:
 149 nat).(\lambda (_: nat).(eq A a (ASort h2 n2))))))))) (\lambda (h0:
 150 nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (n2: nat).(\lambda (k:
 151 nat).(\lambda (H1: (eq A (aplus g (ASort h0 n0) k) (aplus g (ASort h2 n2)
 152 k))).(\lambda (H2: (eq A (ASort h2 n2) (ASort h1 n1))).(let H3 \def (f_equal
 153 A nat (\lambda (e: A).(match e with [(ASort n _) \Rightarrow n | (AHead _ _)
 154 \Rightarrow h2])) (ASort h2 n2) (ASort h1 n1) H2) in ((let H4 \def (f_equal A
 155 nat (\lambda (e: A).(match e with [(ASort _ n) \Rightarrow n | (AHead _ _)
 156 \Rightarrow n2])) (ASort h2 n2) (ASort h1 n1) H2) in (\lambda (H5: (eq nat h2
 157 h1)).(let H6 \def (eq_ind nat n2 (\lambda (n: nat).(eq A (aplus g (ASort h0
 158 n0) k) (aplus g (ASort h2 n) k))) H1 n1 H4) in (eq_ind_r nat n1 (\lambda (n:
 159 nat).(ex2_3 nat nat nat (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda (k0:
 160 nat).(eq A (aplus g (ASort h3 n3) k0) (aplus g (ASort h2 n) k0))))) (\lambda
 161 (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda (_: nat).(eq A (ASort h0 n0) (ASort h3
 162 n3))))))) (let H7 \def (eq_ind nat h2 (\lambda (n: nat).(eq A (aplus g (ASort
 163 h0 n0) k) (aplus g (ASort n n1) k))) H6 h1 H5) in (eq_ind_r nat h1 (\lambda
 164 (n: nat).(ex2_3 nat nat nat (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda
 165 (k0: nat).(eq A (aplus g (ASort h3 n3) k0) (aplus g (ASort n n1) k0)))))
 166 (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda (_: nat).(eq A (ASort h0 n0)
 167 (ASort h3 n3))))))) (ex2_3_intro nat nat nat (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3:
 168 nat).(\lambda (k0: nat).(eq A (aplus g (ASort h3 n3) k0) (aplus g (ASort h1
 169 n1) k0))))) (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda (_: nat).(eq A
 170 (ASort h0 n0) (ASort h3 n3))))) n0 h0 k H7 (refl_equal A (ASort h0 n0))) h2
 171 H5)) n2 H4)))) H3))))))))) (\lambda (a1: A).(\lambda (a3: A).(\lambda (_:
 172 (leq g a1 a3)).(\lambda (_: (((eq A a3 (ASort h1 n1)) \to (ex2_3 nat nat nat
 173 (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g (ASort
 174 h2 n2) k) (aplus g a3 k))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda
 175 (_: nat).(eq A a1 (ASort h2 n2))))))))).(\lambda (a4: A).(\lambda (a5:
 176 A).(\lambda (_: (leq g a4 a5)).(\lambda (_: (((eq A a5 (ASort h1 n1)) \to
 177 (ex2_3 nat nat nat (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k:
 178 nat).(eq A (aplus g (ASort h2 n2) k) (aplus g a5 k))))) (\lambda (n2:
 179 nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_: nat).(eq A a4 (ASort h2
 180 n2))))))))).(\lambda (H5: (eq A (AHead a3 a5) (ASort h1 n1))).(let H6 \def
 181 (eq_ind A (AHead a3 a5) (\lambda (ee: A).(match ee with [(ASort _ _)
 182 \Rightarrow False | (AHead _ _) \Rightarrow True])) I (ASort h1 n1) H5) in
 183 (False_ind (ex2_3 nat nat nat (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda
 184 (k: nat).(eq A (aplus g (ASort h2 n2) k) (aplus g (AHead a3 a5) k)))))
 185 (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_: nat).(eq A (AHead a1 a4)
 186 (ASort h2 n2)))))) H6))))))))))) a2 y H0))) H))))).
 187
 188 lemma leq_gen_head2:
 189  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).(\forall (a: A).((leq g a
 190 (AHead a1 a2)) \to (ex3_2 A A (\lambda (a3: A).(\lambda (_: A).(leq g a3
 191 a1))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g a4 a2))) (\lambda (a3:
 192 A).(\lambda (a4: A).(eq A a (AHead a3 a4)))))))))
 193 \def
 194  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (a: A).(\lambda
 195 (H: (leq g a (AHead a1 a2))).(insert_eq A (AHead a1 a2) (\lambda (a0: A).(leq
 196 g a a0)) (\lambda (_: A).(ex3_2 A A (\lambda (a3: A).(\lambda (_: A).(leq g
 197 a3 a1))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g a4 a2))) (\lambda (a3:
 198 A).(\lambda (a4: A).(eq A a (AHead a3 a4)))))) (\lambda (y: A).(\lambda (H0:
 199 (leq g a y)).(leq_ind g (\lambda (a0: A).(\lambda (a3: A).((eq A a3 (AHead a1
 200 a2)) \to (ex3_2 A A (\lambda (a4: A).(\lambda (_: A).(leq g a4 a1))) (\lambda
 201 (_: A).(\lambda (a5: A).(leq g a5 a2))) (\lambda (a4: A).(\lambda (a5: A).(eq
 202 A a0 (AHead a4 a5)))))))) (\lambda (h1: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (n1:
 203 nat).(\lambda (n2: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (_: (eq A (aplus g (ASort
 204 h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k))).(\lambda (H2: (eq A (ASort h2 n2)
 205 (AHead a1 a2))).(let H3 \def (eq_ind A (ASort h2 n2) (\lambda (ee: A).(match
 206 ee with [(ASort _ _) \Rightarrow True | (AHead _ _) \Rightarrow False])) I
 207 (AHead a1 a2) H2) in (False_ind (ex3_2 A A (\lambda (a3: A).(\lambda (_:
 208 A).(leq g a3 a1))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g a4 a2))) (\lambda
 209 (a3: A).(\lambda (a4: A).(eq A (ASort h1 n1) (AHead a3 a4))))) H3)))))))))
 210 (\lambda (a0: A).(\lambda (a3: A).(\lambda (H1: (leq g a0 a3)).(\lambda (H2:
 211 (((eq A a3 (AHead a1 a2)) \to (ex3_2 A A (\lambda (a4: A).(\lambda (_:
 212 A).(leq g a4 a1))) (\lambda (_: A).(\lambda (a5: A).(leq g a5 a2))) (\lambda
 213 (a4: A).(\lambda (a5: A).(eq A a0 (AHead a4 a5)))))))).(\lambda (a4:
 214 A).(\lambda (a5: A).(\lambda (H3: (leq g a4 a5)).(\lambda (H4: (((eq A a5
 215 (AHead a1 a2)) \to (ex3_2 A A (\lambda (a6: A).(\lambda (_: A).(leq g a6
 216 a1))) (\lambda (_: A).(\lambda (a7: A).(leq g a7 a2))) (\lambda (a6:
 217 A).(\lambda (a7: A).(eq A a4 (AHead a6 a7)))))))).(\lambda (H5: (eq A (AHead
 218 a3 a5) (AHead a1 a2))).(let H6 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e
 219 with [(ASort _ _) \Rightarrow a3 | (AHead a6 _) \Rightarrow a6])) (AHead a3
 220 a5) (AHead a1 a2) H5) in ((let H7 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e
 221 with [(ASort _ _) \Rightarrow a5 | (AHead _ a6) \Rightarrow a6])) (AHead a3
 222 a5) (AHead a1 a2) H5) in (\lambda (H8: (eq A a3 a1)).(let H9 \def (eq_ind A
 223 a5 (\lambda (a6: A).((eq A a6 (AHead a1 a2)) \to (ex3_2 A A (\lambda (a7:
 224 A).(\lambda (_: A).(leq g a7 a1))) (\lambda (_: A).(\lambda (a8: A).(leq g a8
 225 a2))) (\lambda (a7: A).(\lambda (a8: A).(eq A a4 (AHead a7 a8))))))) H4 a2
 226 H7) in (let H10 \def (eq_ind A a5 (\lambda (a6: A).(leq g a4 a6)) H3 a2 H7)
 227 in (let H11 \def (eq_ind A a3 (\lambda (a6: A).((eq A a6 (AHead a1 a2)) \to
 228 (ex3_2 A A (\lambda (a7: A).(\lambda (_: A).(leq g a7 a1))) (\lambda (_:
 229 A).(\lambda (a8: A).(leq g a8 a2))) (\lambda (a7: A).(\lambda (a8: A).(eq A
 230 a0 (AHead a7 a8))))))) H2 a1 H8) in (let H12 \def (eq_ind A a3 (\lambda (a6:
 231 A).(leq g a0 a6)) H1 a1 H8) in (ex3_2_intro A A (\lambda (a6: A).(\lambda (_:
 232 A).(leq g a6 a1))) (\lambda (_: A).(\lambda (a7: A).(leq g a7 a2))) (\lambda
 233 (a6: A).(\lambda (a7: A).(eq A (AHead a0 a4) (AHead a6 a7)))) a0 a4 H12 H10
 234 (refl_equal A (AHead a0 a4))))))))) H6))))))))))) a y H0))) H))))).
 235
 236 lemma ahead_inj_snd:
 237  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).(\forall (a3: A).(\forall
 238 (a4: A).((leq g (AHead a1 a2) (AHead a3 a4)) \to (leq g a2 a4))))))
 239 \def
 240  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (a3: A).(\lambda
 241 (a4: A).(\lambda (H: (leq g (AHead a1 a2) (AHead a3 a4))).(let H_x \def
 242 (leq_gen_head1 g a1 a2 (AHead a3 a4) H) in (let H0 \def H_x in (ex3_2_ind A A
 243 (\lambda (a5: A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a5))) (\lambda (_: A).(\lambda
 244 (a6: A).(leq g a2 a6))) (\lambda (a5: A).(\lambda (a6: A).(eq A (AHead a3 a4)
 245 (AHead a5 a6)))) (leq g a2 a4) (\lambda (x0: A).(\lambda (x1: A).(\lambda
 246 (H1: (leq g a1 x0)).(\lambda (H2: (leq g a2 x1)).(\lambda (H3: (eq A (AHead
 247 a3 a4) (AHead x0 x1))).(let H4 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e
 248 with [(ASort _ _) \Rightarrow a3 | (AHead a _) \Rightarrow a])) (AHead a3 a4)
 249 (AHead x0 x1) H3) in ((let H5 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e with
 250 [(ASort _ _) \Rightarrow a4 | (AHead _ a) \Rightarrow a])) (AHead a3 a4)
 251 (AHead x0 x1) H3) in (\lambda (H6: (eq A a3 x0)).(let H7 \def (eq_ind_r A x1
 252 (\lambda (a: A).(leq g a2 a)) H2 a4 H5) in (let H8 \def (eq_ind_r A x0
 253 (\lambda (a: A).(leq g a1 a)) H1 a3 H6) in H7)))) H4))))))) H0)))))))).
 254