matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_1/leq/fwd.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "basic_1/leq/defs.ma".
  18
  19 let rec leq_ind (g: G) (P: (A \to (A \to Prop))) (f: (\forall (h1:
  20 nat).(\forall (h2: nat).(\forall (n1: nat).(\forall (n2: nat).(\forall (k:
  21 nat).((eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k)) \to (P
  22 (ASort h1 n1) (ASort h2 n2))))))))) (f0: (\forall (a1: A).(\forall (a2:
  23 A).((leq g a1 a2) \to ((P a1 a2) \to (\forall (a3: A).(\forall (a4: A).((leq
  24 g a3 a4) \to ((P a3 a4) \to (P (AHead a1 a3) (AHead a2 a4))))))))))) (a: A)
  25 (a0: A) (l: leq g a a0) on l: P a a0 \def match l with [(leq_sort h1 h2 n1 n2
  26 k e) \Rightarrow (f h1 h2 n1 n2 k e) | (leq_head a1 a2 l0 a3 a4 l1)
  27 \Rightarrow (let TMP_1 \def ((leq_ind g P f f0) a1 a2 l0) in (let TMP_2 \def
  28 ((leq_ind g P f f0) a3 a4 l1) in (f0 a1 a2 l0 TMP_1 a3 a4 l1 TMP_2)))].
  29
  30 theorem leq_gen_sort1:
  31  \forall (g: G).(\forall (h1: nat).(\forall (n1: nat).(\forall (a2: A).((leq
  32 g (ASort h1 n1) a2) \to (ex2_3 nat nat nat (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2:
  33 nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2)
  34 k))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_: nat).(eq A a2
  35 (ASort h2 n2))))))))))
  36 \def
  37  \lambda (g: G).(\lambda (h1: nat).(\lambda (n1: nat).(\lambda (a2:
  38 A).(\lambda (H: (leq g (ASort h1 n1) a2)).(let TMP_1 \def (ASort h1 n1) in
  39 (let TMP_2 \def (\lambda (a: A).(leq g a a2)) in (let TMP_9 \def (\lambda (a:
  40 A).(let TMP_6 \def (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k:
  41 nat).(let TMP_3 \def (aplus g a k) in (let TMP_4 \def (ASort h2 n2) in (let
  42 TMP_5 \def (aplus g TMP_4 k) in (eq A TMP_3 TMP_5))))))) in (let TMP_8 \def
  43 (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_: nat).(let TMP_7 \def
  44 (ASort h2 n2) in (eq A a2 TMP_7))))) in (ex2_3 nat nat nat TMP_6 TMP_8)))) in
  45 (let TMP_78 \def (\lambda (y: A).(\lambda (H0: (leq g y a2)).(let TMP_16 \def
  46 (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).((eq A a (ASort h1 n1)) \to (let TMP_13 \def
  47 (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k: nat).(let TMP_10 \def
  48 (aplus g a k) in (let TMP_11 \def (ASort h2 n2) in (let TMP_12 \def (aplus g
  49 TMP_11 k) in (eq A TMP_10 TMP_12))))))) in (let TMP_15 \def (\lambda (n2:
  50 nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_: nat).(let TMP_14 \def (ASort h2 n2) in
  51 (eq A a0 TMP_14))))) in (ex2_3 nat nat nat TMP_13 TMP_15)))))) in (let TMP_64
  52 \def (\lambda (h0: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (n2:
  53 nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (H1: (eq A (aplus g (ASort h0 n0) k) (aplus g
  54 (ASort h2 n2) k))).(\lambda (H2: (eq A (ASort h0 n0) (ASort h1 n1))).(let
  55 TMP_17 \def (\lambda (e: A).(match e with [(ASort n _) \Rightarrow n | (AHead
  56 _ _) \Rightarrow h0])) in (let TMP_18 \def (ASort h0 n0) in (let TMP_19 \def
  57 (ASort h1 n1) in (let H3 \def (f_equal A nat TMP_17 TMP_18 TMP_19 H2) in (let
  58 TMP_20 \def (\lambda (e: A).(match e with [(ASort _ n) \Rightarrow n | (AHead
  59 _ _) \Rightarrow n0])) in (let TMP_21 \def (ASort h0 n0) in (let TMP_22 \def
  60 (ASort h1 n1) in (let H4 \def (f_equal A nat TMP_20 TMP_21 TMP_22 H2) in (let
  61 TMP_63 \def (\lambda (H5: (eq nat h0 h1)).(let TMP_27 \def (\lambda (n:
  62 nat).(let TMP_23 \def (ASort h0 n) in (let TMP_24 \def (aplus g TMP_23 k) in
  63 (let TMP_25 \def (ASort h2 n2) in (let TMP_26 \def (aplus g TMP_25 k) in (eq
  64 A TMP_24 TMP_26)))))) in (let H6 \def (eq_ind nat n0 TMP_27 H1 n1 H4) in (let
  65 TMP_36 \def (\lambda (n: nat).(let TMP_32 \def (\lambda (n3: nat).(\lambda
  66 (h3: nat).(\lambda (k0: nat).(let TMP_28 \def (ASort h0 n) in (let TMP_29
  67 \def (aplus g TMP_28 k0) in (let TMP_30 \def (ASort h3 n3) in (let TMP_31
  68 \def (aplus g TMP_30 k0) in (eq A TMP_29 TMP_31)))))))) in (let TMP_35 \def
  69 (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda (_: nat).(let TMP_33 \def
  70 (ASort h2 n2) in (let TMP_34 \def (ASort h3 n3) in (eq A TMP_33 TMP_34))))))
  71 in (ex2_3 nat nat nat TMP_32 TMP_35)))) in (let TMP_41 \def (\lambda (n:
  72 nat).(let TMP_37 \def (ASort n n1) in (let TMP_38 \def (aplus g TMP_37 k) in
  73 (let TMP_39 \def (ASort h2 n2) in (let TMP_40 \def (aplus g TMP_39 k) in (eq
  74 A TMP_38 TMP_40)))))) in (let H7 \def (eq_ind nat h0 TMP_41 H6 h1 H5) in (let
  75 TMP_50 \def (\lambda (n: nat).(let TMP_46 \def (\lambda (n3: nat).(\lambda
  76 (h3: nat).(\lambda (k0: nat).(let TMP_42 \def (ASort n n1) in (let TMP_43
  77 \def (aplus g TMP_42 k0) in (let TMP_44 \def (ASort h3 n3) in (let TMP_45
  78 \def (aplus g TMP_44 k0) in (eq A TMP_43 TMP_45)))))))) in (let TMP_49 \def
  79 (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda (_: nat).(let TMP_47 \def
  80 (ASort h2 n2) in (let TMP_48 \def (ASort h3 n3) in (eq A TMP_47 TMP_48))))))
  81 in (ex2_3 nat nat nat TMP_46 TMP_49)))) in (let TMP_55 \def (\lambda (n3:
  82 nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda (k0: nat).(let TMP_51 \def (ASort h1 n1) in
  83 (let TMP_52 \def (aplus g TMP_51 k0) in (let TMP_53 \def (ASort h3 n3) in
  84 (let TMP_54 \def (aplus g TMP_53 k0) in (eq A TMP_52 TMP_54)))))))) in (let
  85 TMP_58 \def (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda (_: nat).(let
  86 TMP_56 \def (ASort h2 n2) in (let TMP_57 \def (ASort h3 n3) in (eq A TMP_56
  87 TMP_57)))))) in (let TMP_59 \def (ASort h2 n2) in (let TMP_60 \def
  88 (refl_equal A TMP_59) in (let TMP_61 \def (ex2_3_intro nat nat nat TMP_55
  89 TMP_58 n2 h2 k H7 TMP_60) in (let TMP_62 \def (eq_ind_r nat h1 TMP_50 TMP_61
  90 h0 H5) in (eq_ind_r nat n1 TMP_36 TMP_62 n0 H4)))))))))))))) in (TMP_63
  91 H3))))))))))))))))) in (let TMP_77 \def (\lambda (a1: A).(\lambda (a3:
  92 A).(\lambda (_: (leq g a1 a3)).(\lambda (_: (((eq A a1 (ASort h1 n1)) \to
  93 (ex2_3 nat nat nat (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k:
  94 nat).(eq A (aplus g a1 k) (aplus g (ASort h2 n2) k))))) (\lambda (n2:
  95 nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_: nat).(eq A a3 (ASort h2
  96 n2))))))))).(\lambda (a4: A).(\lambda (a5: A).(\lambda (_: (leq g a4
  97 a5)).(\lambda (_: (((eq A a4 (ASort h1 n1)) \to (ex2_3 nat nat nat (\lambda
  98 (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g a4 k) (aplus g
  99 (ASort h2 n2) k))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_:
 100 nat).(eq A a5 (ASort h2 n2))))))))).(\lambda (H5: (eq A (AHead a1 a4) (ASort
 101 h1 n1))).(let TMP_65 \def (AHead a1 a4) in (let TMP_66 \def (\lambda (ee:
 102 A).(match ee with [(ASort _ _) \Rightarrow False | (AHead _ _) \Rightarrow
 103 True])) in (let TMP_67 \def (ASort h1 n1) in (let H6 \def (eq_ind A TMP_65
 104 TMP_66 I TMP_67 H5) in (let TMP_72 \def (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2:
 105 nat).(\lambda (k: nat).(let TMP_68 \def (AHead a1 a4) in (let TMP_69 \def
 106 (aplus g TMP_68 k) in (let TMP_70 \def (ASort h2 n2) in (let TMP_71 \def
 107 (aplus g TMP_70 k) in (eq A TMP_69 TMP_71)))))))) in (let TMP_75 \def
 108 (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_: nat).(let TMP_73 \def
 109 (AHead a3 a5) in (let TMP_74 \def (ASort h2 n2) in (eq A TMP_73 TMP_74))))))
 110 in (let TMP_76 \def (ex2_3 nat nat nat TMP_72 TMP_75) in (False_ind TMP_76
 111 H6))))))))))))))))) in (leq_ind g TMP_16 TMP_64 TMP_77 y a2 H0)))))) in
 112 (insert_eq A TMP_1 TMP_2 TMP_9 TMP_78 H))))))))).
 113
 114 theorem leq_gen_head1:
 115  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).(\forall (a: A).((leq g
 116 (AHead a1 a2) a) \to (ex3_2 A A (\lambda (a3: A).(\lambda (_: A).(leq g a1
 117 a3))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g a2 a4))) (\lambda (a3:
 118 A).(\lambda (a4: A).(eq A a (AHead a3 a4)))))))))
 119 \def
 120  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (a: A).(\lambda
 121 (H: (leq g (AHead a1 a2) a)).(let TMP_1 \def (AHead a1 a2) in (let TMP_2 \def
 122 (\lambda (a0: A).(leq g a0 a)) in (let TMP_7 \def (\lambda (_: A).(let TMP_3
 123 \def (\lambda (a3: A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a3))) in (let TMP_4 \def
 124 (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g a2 a4))) in (let TMP_6 \def (\lambda
 125 (a3: A).(\lambda (a4: A).(let TMP_5 \def (AHead a3 a4) in (eq A a TMP_5))))
 126 in (ex3_2 A A TMP_3 TMP_4 TMP_6))))) in (let TMP_50 \def (\lambda (y:
 127 A).(\lambda (H0: (leq g y a)).(let TMP_12 \def (\lambda (a0: A).(\lambda (a3:
 128 A).((eq A a0 (AHead a1 a2)) \to (let TMP_8 \def (\lambda (a4: A).(\lambda (_:
 129 A).(leq g a1 a4))) in (let TMP_9 \def (\lambda (_: A).(\lambda (a5: A).(leq g
 130 a2 a5))) in (let TMP_11 \def (\lambda (a4: A).(\lambda (a5: A).(let TMP_10
 131 \def (AHead a4 a5) in (eq A a3 TMP_10)))) in (ex3_2 A A TMP_8 TMP_9
 132 TMP_11))))))) in (let TMP_22 \def (\lambda (h1: nat).(\lambda (h2:
 133 nat).(\lambda (n1: nat).(\lambda (n2: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (_: (eq
 134 A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k))).(\lambda (H2: (eq A
 135 (ASort h1 n1) (AHead a1 a2))).(let TMP_13 \def (ASort h1 n1) in (let TMP_14
 136 \def (\lambda (ee: A).(match ee with [(ASort _ _) \Rightarrow True | (AHead _
 137 _) \Rightarrow False])) in (let TMP_15 \def (AHead a1 a2) in (let H3 \def
 138 (eq_ind A TMP_13 TMP_14 I TMP_15 H2) in (let TMP_16 \def (\lambda (a3:
 139 A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a3))) in (let TMP_17 \def (\lambda (_:
 140 A).(\lambda (a4: A).(leq g a2 a4))) in (let TMP_20 \def (\lambda (a3:
 141 A).(\lambda (a4: A).(let TMP_18 \def (ASort h2 n2) in (let TMP_19 \def (AHead
 142 a3 a4) in (eq A TMP_18 TMP_19))))) in (let TMP_21 \def (ex3_2 A A TMP_16
 143 TMP_17 TMP_20) in (False_ind TMP_21 H3)))))))))))))))) in (let TMP_49 \def
 144 (\lambda (a0: A).(\lambda (a3: A).(\lambda (H1: (leq g a0 a3)).(\lambda (H2:
 145 (((eq A a0 (AHead a1 a2)) \to (ex3_2 A A (\lambda (a4: A).(\lambda (_:
 146 A).(leq g a1 a4))) (\lambda (_: A).(\lambda (a5: A).(leq g a2 a5))) (\lambda
 147 (a4: A).(\lambda (a5: A).(eq A a3 (AHead a4 a5)))))))).(\lambda (a4:
 148 A).(\lambda (a5: A).(\lambda (H3: (leq g a4 a5)).(\lambda (H4: (((eq A a4
 149 (AHead a1 a2)) \to (ex3_2 A A (\lambda (a6: A).(\lambda (_: A).(leq g a1
 150 a6))) (\lambda (_: A).(\lambda (a7: A).(leq g a2 a7))) (\lambda (a6:
 151 A).(\lambda (a7: A).(eq A a5 (AHead a6 a7)))))))).(\lambda (H5: (eq A (AHead
 152 a0 a4) (AHead a1 a2))).(let TMP_23 \def (\lambda (e: A).(match e with [(ASort
 153 _ _) \Rightarrow a0 | (AHead a6 _) \Rightarrow a6])) in (let TMP_24 \def
 154 (AHead a0 a4) in (let TMP_25 \def (AHead a1 a2) in (let H6 \def (f_equal A A
 155 TMP_23 TMP_24 TMP_25 H5) in (let TMP_26 \def (\lambda (e: A).(match e with
 156 [(ASort _ _) \Rightarrow a4 | (AHead _ a6) \Rightarrow a6])) in (let TMP_27
 157 \def (AHead a0 a4) in (let TMP_28 \def (AHead a1 a2) in (let H7 \def (f_equal
 158 A A TMP_26 TMP_27 TMP_28 H5) in (let TMP_48 \def (\lambda (H8: (eq A a0
 159 a1)).(let TMP_33 \def (\lambda (a6: A).((eq A a6 (AHead a1 a2)) \to (let
 160 TMP_29 \def (\lambda (a7: A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a7))) in (let TMP_30
 161 \def (\lambda (_: A).(\lambda (a8: A).(leq g a2 a8))) in (let TMP_32 \def
 162 (\lambda (a7: A).(\lambda (a8: A).(let TMP_31 \def (AHead a7 a8) in (eq A a5
 163 TMP_31)))) in (ex3_2 A A TMP_29 TMP_30 TMP_32)))))) in (let H9 \def (eq_ind A
 164 a4 TMP_33 H4 a2 H7) in (let TMP_34 \def (\lambda (a6: A).(leq g a6 a5)) in
 165 (let H10 \def (eq_ind A a4 TMP_34 H3 a2 H7) in (let TMP_39 \def (\lambda (a6:
 166 A).((eq A a6 (AHead a1 a2)) \to (let TMP_35 \def (\lambda (a7: A).(\lambda
 167 (_: A).(leq g a1 a7))) in (let TMP_36 \def (\lambda (_: A).(\lambda (a8:
 168 A).(leq g a2 a8))) in (let TMP_38 \def (\lambda (a7: A).(\lambda (a8: A).(let
 169 TMP_37 \def (AHead a7 a8) in (eq A a3 TMP_37)))) in (ex3_2 A A TMP_35 TMP_36
 170 TMP_38)))))) in (let H11 \def (eq_ind A a0 TMP_39 H2 a1 H8) in (let TMP_40
 171 \def (\lambda (a6: A).(leq g a6 a3)) in (let H12 \def (eq_ind A a0 TMP_40 H1
 172 a1 H8) in (let TMP_41 \def (\lambda (a6: A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a6)))
 173 in (let TMP_42 \def (\lambda (_: A).(\lambda (a7: A).(leq g a2 a7))) in (let
 174 TMP_45 \def (\lambda (a6: A).(\lambda (a7: A).(let TMP_43 \def (AHead a3 a5)
 175 in (let TMP_44 \def (AHead a6 a7) in (eq A TMP_43 TMP_44))))) in (let TMP_46
 176 \def (AHead a3 a5) in (let TMP_47 \def (refl_equal A TMP_46) in (ex3_2_intro
 177 A A TMP_41 TMP_42 TMP_45 a3 a5 H12 H10 TMP_47))))))))))))))) in (TMP_48
 178 H6))))))))))))))))))) in (leq_ind g TMP_12 TMP_22 TMP_49 y a H0)))))) in
 179 (insert_eq A TMP_1 TMP_2 TMP_7 TMP_50 H))))))))).
 180
 181 theorem leq_gen_sort2:
 182  \forall (g: G).(\forall (h1: nat).(\forall (n1: nat).(\forall (a2: A).((leq
 183 g a2 (ASort h1 n1)) \to (ex2_3 nat nat nat (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2:
 184 nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g (ASort h2 n2) k) (aplus g (ASort h1 n1)
 185 k))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_: nat).(eq A a2
 186 (ASort h2 n2))))))))))
 187 \def
 188  \lambda (g: G).(\lambda (h1: nat).(\lambda (n1: nat).(\lambda (a2:
 189 A).(\lambda (H: (leq g a2 (ASort h1 n1))).(let TMP_1 \def (ASort h1 n1) in
 190 (let TMP_2 \def (\lambda (a: A).(leq g a2 a)) in (let TMP_9 \def (\lambda (a:
 191 A).(let TMP_6 \def (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k:
 192 nat).(let TMP_3 \def (ASort h2 n2) in (let TMP_4 \def (aplus g TMP_3 k) in
 193 (let TMP_5 \def (aplus g a k) in (eq A TMP_4 TMP_5))))))) in (let TMP_8 \def
 194 (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_: nat).(let TMP_7 \def
 195 (ASort h2 n2) in (eq A a2 TMP_7))))) in (ex2_3 nat nat nat TMP_6 TMP_8)))) in
 196 (let TMP_78 \def (\lambda (y: A).(\lambda (H0: (leq g a2 y)).(let TMP_16 \def
 197 (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).((eq A a0 (ASort h1 n1)) \to (let TMP_13
 198 \def (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k: nat).(let TMP_10 \def
 199 (ASort h2 n2) in (let TMP_11 \def (aplus g TMP_10 k) in (let TMP_12 \def
 200 (aplus g a0 k) in (eq A TMP_11 TMP_12))))))) in (let TMP_15 \def (\lambda
 201 (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_: nat).(let TMP_14 \def (ASort h2 n2)
 202 in (eq A a TMP_14))))) in (ex2_3 nat nat nat TMP_13 TMP_15)))))) in (let
 203 TMP_64 \def (\lambda (h0: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda
 204 (n2: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (H1: (eq A (aplus g (ASort h0 n0) k)
 205 (aplus g (ASort h2 n2) k))).(\lambda (H2: (eq A (ASort h2 n2) (ASort h1
 206 n1))).(let TMP_17 \def (\lambda (e: A).(match e with [(ASort n _) \Rightarrow
 207 n | (AHead _ _) \Rightarrow h2])) in (let TMP_18 \def (ASort h2 n2) in (let
 208 TMP_19 \def (ASort h1 n1) in (let H3 \def (f_equal A nat TMP_17 TMP_18 TMP_19
 209 H2) in (let TMP_20 \def (\lambda (e: A).(match e with [(ASort _ n)
 210 \Rightarrow n | (AHead _ _) \Rightarrow n2])) in (let TMP_21 \def (ASort h2
 211 n2) in (let TMP_22 \def (ASort h1 n1) in (let H4 \def (f_equal A nat TMP_20
 212 TMP_21 TMP_22 H2) in (let TMP_63 \def (\lambda (H5: (eq nat h2 h1)).(let
 213 TMP_27 \def (\lambda (n: nat).(let TMP_23 \def (ASort h0 n0) in (let TMP_24
 214 \def (aplus g TMP_23 k) in (let TMP_25 \def (ASort h2 n) in (let TMP_26 \def
 215 (aplus g TMP_25 k) in (eq A TMP_24 TMP_26)))))) in (let H6 \def (eq_ind nat
 216 n2 TMP_27 H1 n1 H4) in (let TMP_36 \def (\lambda (n: nat).(let TMP_32 \def
 217 (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda (k0: nat).(let TMP_28 \def
 218 (ASort h3 n3) in (let TMP_29 \def (aplus g TMP_28 k0) in (let TMP_30 \def
 219 (ASort h2 n) in (let TMP_31 \def (aplus g TMP_30 k0) in (eq A TMP_29
 220 TMP_31)))))))) in (let TMP_35 \def (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3:
 221 nat).(\lambda (_: nat).(let TMP_33 \def (ASort h0 n0) in (let TMP_34 \def
 222 (ASort h3 n3) in (eq A TMP_33 TMP_34)))))) in (ex2_3 nat nat nat TMP_32
 223 TMP_35)))) in (let TMP_41 \def (\lambda (n: nat).(let TMP_37 \def (ASort h0
 224 n0) in (let TMP_38 \def (aplus g TMP_37 k) in (let TMP_39 \def (ASort n n1)
 225 in (let TMP_40 \def (aplus g TMP_39 k) in (eq A TMP_38 TMP_40)))))) in (let
 226 H7 \def (eq_ind nat h2 TMP_41 H6 h1 H5) in (let TMP_50 \def (\lambda (n:
 227 nat).(let TMP_46 \def (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda (k0:
 228 nat).(let TMP_42 \def (ASort h3 n3) in (let TMP_43 \def (aplus g TMP_42 k0)
 229 in (let TMP_44 \def (ASort n n1) in (let TMP_45 \def (aplus g TMP_44 k0) in
 230 (eq A TMP_43 TMP_45)))))))) in (let TMP_49 \def (\lambda (n3: nat).(\lambda
 231 (h3: nat).(\lambda (_: nat).(let TMP_47 \def (ASort h0 n0) in (let TMP_48
 232 \def (ASort h3 n3) in (eq A TMP_47 TMP_48)))))) in (ex2_3 nat nat nat TMP_46
 233 TMP_49)))) in (let TMP_55 \def (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda
 234 (k0: nat).(let TMP_51 \def (ASort h3 n3) in (let TMP_52 \def (aplus g TMP_51
 235 k0) in (let TMP_53 \def (ASort h1 n1) in (let TMP_54 \def (aplus g TMP_53 k0)
 236 in (eq A TMP_52 TMP_54)))))))) in (let TMP_58 \def (\lambda (n3:
 237 nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda (_: nat).(let TMP_56 \def (ASort h0 n0) in
 238 (let TMP_57 \def (ASort h3 n3) in (eq A TMP_56 TMP_57)))))) in (let TMP_59
 239 \def (ASort h0 n0) in (let TMP_60 \def (refl_equal A TMP_59) in (let TMP_61
 240 \def (ex2_3_intro nat nat nat TMP_55 TMP_58 n0 h0 k H7 TMP_60) in (let TMP_62
 241 \def (eq_ind_r nat h1 TMP_50 TMP_61 h2 H5) in (eq_ind_r nat n1 TMP_36 TMP_62
 242 n2 H4)))))))))))))) in (TMP_63 H3))))))))))))))))) in (let TMP_77 \def
 243 (\lambda (a1: A).(\lambda (a3: A).(\lambda (_: (leq g a1 a3)).(\lambda (_:
 244 (((eq A a3 (ASort h1 n1)) \to (ex2_3 nat nat nat (\lambda (n2: nat).(\lambda
 245 (h2: nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g (ASort h2 n2) k) (aplus g a3
 246 k))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_: nat).(eq A a1
 247 (ASort h2 n2))))))))).(\lambda (a4: A).(\lambda (a5: A).(\lambda (_: (leq g
 248 a4 a5)).(\lambda (_: (((eq A a5 (ASort h1 n1)) \to (ex2_3 nat nat nat
 249 (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g (ASort
 250 h2 n2) k) (aplus g a5 k))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda
 251 (_: nat).(eq A a4 (ASort h2 n2))))))))).(\lambda (H5: (eq A (AHead a3 a5)
 252 (ASort h1 n1))).(let TMP_65 \def (AHead a3 a5) in (let TMP_66 \def (\lambda
 253 (ee: A).(match ee with [(ASort _ _) \Rightarrow False | (AHead _ _)
 254 \Rightarrow True])) in (let TMP_67 \def (ASort h1 n1) in (let H6 \def (eq_ind
 255 A TMP_65 TMP_66 I TMP_67 H5) in (let TMP_72 \def (\lambda (n2: nat).(\lambda
 256 (h2: nat).(\lambda (k: nat).(let TMP_68 \def (ASort h2 n2) in (let TMP_69
 257 \def (aplus g TMP_68 k) in (let TMP_70 \def (AHead a3 a5) in (let TMP_71 \def
 258 (aplus g TMP_70 k) in (eq A TMP_69 TMP_71)))))))) in (let TMP_75 \def
 259 (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_: nat).(let TMP_73 \def
 260 (AHead a1 a4) in (let TMP_74 \def (ASort h2 n2) in (eq A TMP_73 TMP_74))))))
 261 in (let TMP_76 \def (ex2_3 nat nat nat TMP_72 TMP_75) in (False_ind TMP_76
 262 H6))))))))))))))))) in (leq_ind g TMP_16 TMP_64 TMP_77 a2 y H0)))))) in
 263 (insert_eq A TMP_1 TMP_2 TMP_9 TMP_78 H))))))))).
 264
 265 theorem leq_gen_head2:
 266  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).(\forall (a: A).((leq g a
 267 (AHead a1 a2)) \to (ex3_2 A A (\lambda (a3: A).(\lambda (_: A).(leq g a3
 268 a1))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g a4 a2))) (\lambda (a3:
 269 A).(\lambda (a4: A).(eq A a (AHead a3 a4)))))))))
 270 \def
 271  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (a: A).(\lambda
 272 (H: (leq g a (AHead a1 a2))).(let TMP_1 \def (AHead a1 a2) in (let TMP_2 \def
 273 (\lambda (a0: A).(leq g a a0)) in (let TMP_7 \def (\lambda (_: A).(let TMP_3
 274 \def (\lambda (a3: A).(\lambda (_: A).(leq g a3 a1))) in (let TMP_4 \def
 275 (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g a4 a2))) in (let TMP_6 \def (\lambda
 276 (a3: A).(\lambda (a4: A).(let TMP_5 \def (AHead a3 a4) in (eq A a TMP_5))))
 277 in (ex3_2 A A TMP_3 TMP_4 TMP_6))))) in (let TMP_50 \def (\lambda (y:
 278 A).(\lambda (H0: (leq g a y)).(let TMP_12 \def (\lambda (a0: A).(\lambda (a3:
 279 A).((eq A a3 (AHead a1 a2)) \to (let TMP_8 \def (\lambda (a4: A).(\lambda (_:
 280 A).(leq g a4 a1))) in (let TMP_9 \def (\lambda (_: A).(\lambda (a5: A).(leq g
 281 a5 a2))) in (let TMP_11 \def (\lambda (a4: A).(\lambda (a5: A).(let TMP_10
 282 \def (AHead a4 a5) in (eq A a0 TMP_10)))) in (ex3_2 A A TMP_8 TMP_9
 283 TMP_11))))))) in (let TMP_22 \def (\lambda (h1: nat).(\lambda (h2:
 284 nat).(\lambda (n1: nat).(\lambda (n2: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (_: (eq
 285 A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k))).(\lambda (H2: (eq A
 286 (ASort h2 n2) (AHead a1 a2))).(let TMP_13 \def (ASort h2 n2) in (let TMP_14
 287 \def (\lambda (ee: A).(match ee with [(ASort _ _) \Rightarrow True | (AHead _
 288 _) \Rightarrow False])) in (let TMP_15 \def (AHead a1 a2) in (let H3 \def
 289 (eq_ind A TMP_13 TMP_14 I TMP_15 H2) in (let TMP_16 \def (\lambda (a3:
 290 A).(\lambda (_: A).(leq g a3 a1))) in (let TMP_17 \def (\lambda (_:
 291 A).(\lambda (a4: A).(leq g a4 a2))) in (let TMP_20 \def (\lambda (a3:
 292 A).(\lambda (a4: A).(let TMP_18 \def (ASort h1 n1) in (let TMP_19 \def (AHead
 293 a3 a4) in (eq A TMP_18 TMP_19))))) in (let TMP_21 \def (ex3_2 A A TMP_16
 294 TMP_17 TMP_20) in (False_ind TMP_21 H3)))))))))))))))) in (let TMP_49 \def
 295 (\lambda (a0: A).(\lambda (a3: A).(\lambda (H1: (leq g a0 a3)).(\lambda (H2:
 296 (((eq A a3 (AHead a1 a2)) \to (ex3_2 A A (\lambda (a4: A).(\lambda (_:
 297 A).(leq g a4 a1))) (\lambda (_: A).(\lambda (a5: A).(leq g a5 a2))) (\lambda
 298 (a4: A).(\lambda (a5: A).(eq A a0 (AHead a4 a5)))))))).(\lambda (a4:
 299 A).(\lambda (a5: A).(\lambda (H3: (leq g a4 a5)).(\lambda (H4: (((eq A a5
 300 (AHead a1 a2)) \to (ex3_2 A A (\lambda (a6: A).(\lambda (_: A).(leq g a6
 301 a1))) (\lambda (_: A).(\lambda (a7: A).(leq g a7 a2))) (\lambda (a6:
 302 A).(\lambda (a7: A).(eq A a4 (AHead a6 a7)))))))).(\lambda (H5: (eq A (AHead
 303 a3 a5) (AHead a1 a2))).(let TMP_23 \def (\lambda (e: A).(match e with [(ASort
 304 _ _) \Rightarrow a3 | (AHead a6 _) \Rightarrow a6])) in (let TMP_24 \def
 305 (AHead a3 a5) in (let TMP_25 \def (AHead a1 a2) in (let H6 \def (f_equal A A
 306 TMP_23 TMP_24 TMP_25 H5) in (let TMP_26 \def (\lambda (e: A).(match e with
 307 [(ASort _ _) \Rightarrow a5 | (AHead _ a6) \Rightarrow a6])) in (let TMP_27
 308 \def (AHead a3 a5) in (let TMP_28 \def (AHead a1 a2) in (let H7 \def (f_equal
 309 A A TMP_26 TMP_27 TMP_28 H5) in (let TMP_48 \def (\lambda (H8: (eq A a3
 310 a1)).(let TMP_33 \def (\lambda (a6: A).((eq A a6 (AHead a1 a2)) \to (let
 311 TMP_29 \def (\lambda (a7: A).(\lambda (_: A).(leq g a7 a1))) in (let TMP_30
 312 \def (\lambda (_: A).(\lambda (a8: A).(leq g a8 a2))) in (let TMP_32 \def
 313 (\lambda (a7: A).(\lambda (a8: A).(let TMP_31 \def (AHead a7 a8) in (eq A a4
 314 TMP_31)))) in (ex3_2 A A TMP_29 TMP_30 TMP_32)))))) in (let H9 \def (eq_ind A
 315 a5 TMP_33 H4 a2 H7) in (let TMP_34 \def (\lambda (a6: A).(leq g a4 a6)) in
 316 (let H10 \def (eq_ind A a5 TMP_34 H3 a2 H7) in (let TMP_39 \def (\lambda (a6:
 317 A).((eq A a6 (AHead a1 a2)) \to (let TMP_35 \def (\lambda (a7: A).(\lambda
 318 (_: A).(leq g a7 a1))) in (let TMP_36 \def (\lambda (_: A).(\lambda (a8:
 319 A).(leq g a8 a2))) in (let TMP_38 \def (\lambda (a7: A).(\lambda (a8: A).(let
 320 TMP_37 \def (AHead a7 a8) in (eq A a0 TMP_37)))) in (ex3_2 A A TMP_35 TMP_36
 321 TMP_38)))))) in (let H11 \def (eq_ind A a3 TMP_39 H2 a1 H8) in (let TMP_40
 322 \def (\lambda (a6: A).(leq g a0 a6)) in (let H12 \def (eq_ind A a3 TMP_40 H1
 323 a1 H8) in (let TMP_41 \def (\lambda (a6: A).(\lambda (_: A).(leq g a6 a1)))
 324 in (let TMP_42 \def (\lambda (_: A).(\lambda (a7: A).(leq g a7 a2))) in (let
 325 TMP_45 \def (\lambda (a6: A).(\lambda (a7: A).(let TMP_43 \def (AHead a0 a4)
 326 in (let TMP_44 \def (AHead a6 a7) in (eq A TMP_43 TMP_44))))) in (let TMP_46
 327 \def (AHead a0 a4) in (let TMP_47 \def (refl_equal A TMP_46) in (ex3_2_intro
 328 A A TMP_41 TMP_42 TMP_45 a0 a4 H12 H10 TMP_47))))))))))))))) in (TMP_48
 329 H6))))))))))))))))))) in (leq_ind g TMP_12 TMP_22 TMP_49 a y H0)))))) in
 330 (insert_eq A TMP_1 TMP_2 TMP_7 TMP_50 H))))))))).
 331
 332 theorem ahead_inj_snd:
 333  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).(\forall (a3: A).(\forall
 334 (a4: A).((leq g (AHead a1 a2) (AHead a3 a4)) \to (leq g a2 a4))))))
 335 \def
 336  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (a3: A).(\lambda
 337 (a4: A).(\lambda (H: (leq g (AHead a1 a2) (AHead a3 a4))).(let TMP_1 \def
 338 (AHead a3 a4) in (let H_x \def (leq_gen_head1 g a1 a2 TMP_1 H) in (let H0
 339 \def H_x in (let TMP_2 \def (\lambda (a5: A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a5)))
 340 in (let TMP_3 \def (\lambda (_: A).(\lambda (a6: A).(leq g a2 a6))) in (let
 341 TMP_6 \def (\lambda (a5: A).(\lambda (a6: A).(let TMP_4 \def (AHead a3 a4) in
 342 (let TMP_5 \def (AHead a5 a6) in (eq A TMP_4 TMP_5))))) in (let TMP_7 \def
 343 (leq g a2 a4) in (let TMP_17 \def (\lambda (x0: A).(\lambda (x1: A).(\lambda
 344 (H1: (leq g a1 x0)).(\lambda (H2: (leq g a2 x1)).(\lambda (H3: (eq A (AHead
 345 a3 a4) (AHead x0 x1))).(let TMP_8 \def (\lambda (e: A).(match e with [(ASort
 346 _ _) \Rightarrow a3 | (AHead a _) \Rightarrow a])) in (let TMP_9 \def (AHead
 347 a3 a4) in (let TMP_10 \def (AHead x0 x1) in (let H4 \def (f_equal A A TMP_8
 348 TMP_9 TMP_10 H3) in (let TMP_11 \def (\lambda (e: A).(match e with [(ASort _
 349 _) \Rightarrow a4 | (AHead _ a) \Rightarrow a])) in (let TMP_12 \def (AHead
 350 a3 a4) in (let TMP_13 \def (AHead x0 x1) in (let H5 \def (f_equal A A TMP_11
 351 TMP_12 TMP_13 H3) in (let TMP_16 \def (\lambda (H6: (eq A a3 x0)).(let TMP_14
 352 \def (\lambda (a: A).(leq g a2 a)) in (let H7 \def (eq_ind_r A x1 TMP_14 H2
 353 a4 H5) in (let TMP_15 \def (\lambda (a: A).(leq g a1 a)) in (let H8 \def
 354 (eq_ind_r A x0 TMP_15 H1 a3 H6) in H7))))) in (TMP_16 H4))))))))))))))) in
 355 (ex3_2_ind A A TMP_2 TMP_3 TMP_6 TMP_7 TMP_17 H0)))))))))))))).
 356