matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_1/leq/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "basic_1/leq/fwd.ma".
  18
  19 include "basic_1/aplus/props.ma".
  20
  21 lemma leq_refl:
  22  \forall (g: G).(\forall (a: A).(leq g a a))
  23 \def
  24  \lambda (g: G).(\lambda (a: A).(A_ind (\lambda (a0: A).(leq g a0 a0))
  25 (\lambda (n: nat).(\lambda (n0: nat).(leq_sort g n n n0 n0 O (refl_equal A
  26 (aplus g (ASort n n0) O))))) (\lambda (a0: A).(\lambda (H: (leq g a0
  27 a0)).(\lambda (a1: A).(\lambda (H0: (leq g a1 a1)).(leq_head g a0 a0 H a1 a1
  28 H0))))) a)).
  29
  30 lemma leq_eq:
  31  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((eq A a1 a2) \to (leq g a1
  32 a2))))
  33 \def
  34  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (eq A a1
  35 a2)).(eq_ind A a1 (\lambda (a: A).(leq g a1 a)) (leq_refl g a1) a2 H)))).
  36
  37 lemma leq_sym:
  38  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leq g a1 a2) \to (leq g
  39 a2 a1))))
  40 \def
  41  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (leq g a1
  42 a2)).(leq_ind g (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).(leq g a0 a))) (\lambda (h1:
  43 nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (n1: nat).(\lambda (n2: nat).(\lambda (k:
  44 nat).(\lambda (H0: (eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2)
  45 k))).(leq_sort g h2 h1 n2 n1 k (sym_eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g
  46 (ASort h2 n2) k) H0)))))))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(\lambda (_:
  47 (leq g a3 a4)).(\lambda (H1: (leq g a4 a3)).(\lambda (a5: A).(\lambda (a6:
  48 A).(\lambda (_: (leq g a5 a6)).(\lambda (H3: (leq g a6 a5)).(leq_head g a4 a3
  49 H1 a6 a5 H3))))))))) a1 a2 H)))).
  50
  51 theorem leq_trans:
  52  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leq g a1 a2) \to (\forall
  53 (a3: A).((leq g a2 a3) \to (leq g a1 a3))))))
  54 \def
  55  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (leq g a1
  56 a2)).(leq_ind g (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).(\forall (a3: A).((leq g a0
  57 a3) \to (leq g a a3))))) (\lambda (h1: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (n1:
  58 nat).(\lambda (n2: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (H0: (eq A (aplus g (ASort
  59 h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k))).(\lambda (a3: A).(\lambda (H1: (leq g
  60 (ASort h2 n2) a3)).(let H_x \def (leq_gen_sort1 g h2 n2 a3 H1) in (let H2
  61 \def H_x in (ex2_3_ind nat nat nat (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3:
  62 nat).(\lambda (k0: nat).(eq A (aplus g (ASort h2 n2) k0) (aplus g (ASort h3
  63 n3) k0))))) (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda (_: nat).(eq A a3
  64 (ASort h3 n3))))) (leq g (ASort h1 n1) a3) (\lambda (x0: nat).(\lambda (x1:
  65 nat).(\lambda (x2: nat).(\lambda (H3: (eq A (aplus g (ASort h2 n2) x2) (aplus
  66 g (ASort x1 x0) x2))).(\lambda (H4: (eq A a3 (ASort x1 x0))).(let H5 \def
  67 (f_equal A A (\lambda (e: A).e) a3 (ASort x1 x0) H4) in (eq_ind_r A (ASort x1
  68 x0) (\lambda (a: A).(leq g (ASort h1 n1) a)) (lt_le_e k x2 (leq g (ASort h1
  69 n1) (ASort x1 x0)) (\lambda (H6: (lt k x2)).(let H_y \def (aplus_reg_r g
  70 (ASort h1 n1) (ASort h2 n2) k k H0 (minus x2 k)) in (let H7 \def (eq_ind_r
  71 nat (plus (minus x2 k) k) (\lambda (n: nat).(eq A (aplus g (ASort h1 n1) n)
  72 (aplus g (ASort h2 n2) n))) H_y x2 (le_plus_minus_sym k x2 (le_trans k (S k)
  73 x2 (le_S k k (le_n k)) H6))) in (leq_sort g h1 x1 n1 x0 x2 (trans_eq A (aplus
  74 g (ASort h1 n1) x2) (aplus g (ASort h2 n2) x2) (aplus g (ASort x1 x0) x2) H7
  75 H3))))) (\lambda (H6: (le x2 k)).(let H_y \def (aplus_reg_r g (ASort h2 n2)
  76 (ASort x1 x0) x2 x2 H3 (minus k x2)) in (let H7 \def (eq_ind_r nat (plus
  77 (minus k x2) x2) (\lambda (n: nat).(eq A (aplus g (ASort h2 n2) n) (aplus g
  78 (ASort x1 x0) n))) H_y k (le_plus_minus_sym x2 k H6)) in (leq_sort g h1 x1 n1
  79 x0 k (trans_eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k) (aplus g
  80 (ASort x1 x0) k) H0 H7)))))) a3 H5))))))) H2))))))))))) (\lambda (a3:
  81 A).(\lambda (a4: A).(\lambda (_: (leq g a3 a4)).(\lambda (H1: ((\forall (a5:
  82 A).((leq g a4 a5) \to (leq g a3 a5))))).(\lambda (a5: A).(\lambda (a6:
  83 A).(\lambda (_: (leq g a5 a6)).(\lambda (H3: ((\forall (a7: A).((leq g a6 a7)
  84 \to (leq g a5 a7))))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H4: (leq g (AHead a4 a6)
  85 a0)).(let H_x \def (leq_gen_head1 g a4 a6 a0 H4) in (let H5 \def H_x in
  86 (ex3_2_ind A A (\lambda (a7: A).(\lambda (_: A).(leq g a4 a7))) (\lambda (_:
  87 A).(\lambda (a8: A).(leq g a6 a8))) (\lambda (a7: A).(\lambda (a8: A).(eq A
  88 a0 (AHead a7 a8)))) (leq g (AHead a3 a5) a0) (\lambda (x0: A).(\lambda (x1:
  89 A).(\lambda (H6: (leq g a4 x0)).(\lambda (H7: (leq g a6 x1)).(\lambda (H8:
  90 (eq A a0 (AHead x0 x1))).(let H9 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).e) a0
  91 (AHead x0 x1) H8) in (eq_ind_r A (AHead x0 x1) (\lambda (a: A).(leq g (AHead
  92 a3 a5) a)) (leq_head g a3 x0 (H1 x0 H6) a5 x1 (H3 x1 H7)) a0 H9)))))))
  93 H5))))))))))))) a1 a2 H)))).
  94
  95 lemma leq_ahead_false_1:
  96  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leq g (AHead a1 a2) a1)
  97 \to (\forall (P: Prop).P))))
  98 \def
  99  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(A_ind (\lambda (a: A).(\forall (a2:
 100 A).((leq g (AHead a a2) a) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda (n:
 101 nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (leq g (AHead (ASort n
 102 n0) a2) (ASort n n0))).(\lambda (P: Prop).(nat_ind (\lambda (n1: nat).((leq g
 103 (AHead (ASort n1 n0) a2) (ASort n1 n0)) \to P)) (\lambda (H0: (leq g (AHead
 104 (ASort O n0) a2) (ASort O n0))).(let H_x \def (leq_gen_head1 g (ASort O n0)
 105 a2 (ASort O n0) H0) in (let H1 \def H_x in (ex3_2_ind A A (\lambda (a3:
 106 A).(\lambda (_: A).(leq g (ASort O n0) a3))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4:
 107 A).(leq g a2 a4))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(eq A (ASort O n0)
 108 (AHead a3 a4)))) P (\lambda (x0: A).(\lambda (x1: A).(\lambda (_: (leq g
 109 (ASort O n0) x0)).(\lambda (_: (leq g a2 x1)).(\lambda (H4: (eq A (ASort O
 110 n0) (AHead x0 x1))).(let H5 \def (eq_ind A (ASort O n0) (\lambda (ee:
 111 A).(match ee with [(ASort _ _) \Rightarrow True | (AHead _ _) \Rightarrow
 112 False])) I (AHead x0 x1) H4) in (False_ind P H5))))))) H1)))) (\lambda (n1:
 113 nat).(\lambda (_: (((leq g (AHead (ASort n1 n0) a2) (ASort n1 n0)) \to
 114 P))).(\lambda (H0: (leq g (AHead (ASort (S n1) n0) a2) (ASort (S n1)
 115 n0))).(let H_x \def (leq_gen_head1 g (ASort (S n1) n0) a2 (ASort (S n1) n0)
 116 H0) in (let H1 \def H_x in (ex3_2_ind A A (\lambda (a3: A).(\lambda (_:
 117 A).(leq g (ASort (S n1) n0) a3))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g a2
 118 a4))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(eq A (ASort (S n1) n0) (AHead a3
 119 a4)))) P (\lambda (x0: A).(\lambda (x1: A).(\lambda (_: (leq g (ASort (S n1)
 120 n0) x0)).(\lambda (_: (leq g a2 x1)).(\lambda (H4: (eq A (ASort (S n1) n0)
 121 (AHead x0 x1))).(let H5 \def (eq_ind A (ASort (S n1) n0) (\lambda (ee:
 122 A).(match ee with [(ASort _ _) \Rightarrow True | (AHead _ _) \Rightarrow
 123 False])) I (AHead x0 x1) H4) in (False_ind P H5))))))) H1)))))) n H))))))
 124 (\lambda (a: A).(\lambda (H: ((\forall (a2: A).((leq g (AHead a a2) a) \to
 125 (\forall (P: Prop).P))))).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: ((\forall (a2:
 126 A).((leq g (AHead a0 a2) a0) \to (\forall (P: Prop).P))))).(\lambda (a2:
 127 A).(\lambda (H1: (leq g (AHead (AHead a a0) a2) (AHead a a0))).(\lambda (P:
 128 Prop).(let H_x \def (leq_gen_head1 g (AHead a a0) a2 (AHead a a0) H1) in (let
 129 H2 \def H_x in (ex3_2_ind A A (\lambda (a3: A).(\lambda (_: A).(leq g (AHead
 130 a a0) a3))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g a2 a4))) (\lambda (a3:
 131 A).(\lambda (a4: A).(eq A (AHead a a0) (AHead a3 a4)))) P (\lambda (x0:
 132 A).(\lambda (x1: A).(\lambda (H3: (leq g (AHead a a0) x0)).(\lambda (H4: (leq
 133 g a2 x1)).(\lambda (H5: (eq A (AHead a a0) (AHead x0 x1))).(let H6 \def
 134 (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e with [(ASort _ _) \Rightarrow a |
 135 (AHead a3 _) \Rightarrow a3])) (AHead a a0) (AHead x0 x1) H5) in ((let H7
 136 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e with [(ASort _ _) \Rightarrow a0 |
 137 (AHead _ a3) \Rightarrow a3])) (AHead a a0) (AHead x0 x1) H5) in (\lambda
 138 (H8: (eq A a x0)).(let H9 \def (eq_ind_r A x1 (\lambda (a3: A).(leq g a2 a3))
 139 H4 a0 H7) in (let H10 \def (eq_ind_r A x0 (\lambda (a3: A).(leq g (AHead a
 140 a0) a3)) H3 a H8) in (H a0 H10 P))))) H6))))))) H2)))))))))) a1)).
 141
 142 lemma leq_ahead_false_2:
 143  \forall (g: G).(\forall (a2: A).(\forall (a1: A).((leq g (AHead a1 a2) a2)
 144 \to (\forall (P: Prop).P))))
 145 \def
 146  \lambda (g: G).(\lambda (a2: A).(A_ind (\lambda (a: A).(\forall (a1:
 147 A).((leq g (AHead a1 a) a) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda (n:
 148 nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (a1: A).(\lambda (H: (leq g (AHead a1 (ASort
 149 n n0)) (ASort n n0))).(\lambda (P: Prop).(nat_ind (\lambda (n1: nat).((leq g
 150 (AHead a1 (ASort n1 n0)) (ASort n1 n0)) \to P)) (\lambda (H0: (leq g (AHead
 151 a1 (ASort O n0)) (ASort O n0))).(let H_x \def (leq_gen_head1 g a1 (ASort O
 152 n0) (ASort O n0) H0) in (let H1 \def H_x in (ex3_2_ind A A (\lambda (a3:
 153 A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a3))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g
 154 (ASort O n0) a4))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(eq A (ASort O n0)
 155 (AHead a3 a4)))) P (\lambda (x0: A).(\lambda (x1: A).(\lambda (_: (leq g a1
 156 x0)).(\lambda (_: (leq g (ASort O n0) x1)).(\lambda (H4: (eq A (ASort O n0)
 157 (AHead x0 x1))).(let H5 \def (eq_ind A (ASort O n0) (\lambda (ee: A).(match
 158 ee with [(ASort _ _) \Rightarrow True | (AHead _ _) \Rightarrow False])) I
 159 (AHead x0 x1) H4) in (False_ind P H5))))))) H1)))) (\lambda (n1:
 160 nat).(\lambda (_: (((leq g (AHead a1 (ASort n1 n0)) (ASort n1 n0)) \to
 161 P))).(\lambda (H0: (leq g (AHead a1 (ASort (S n1) n0)) (ASort (S n1)
 162 n0))).(let H_x \def (leq_gen_head1 g a1 (ASort (S n1) n0) (ASort (S n1) n0)
 163 H0) in (let H1 \def H_x in (ex3_2_ind A A (\lambda (a3: A).(\lambda (_:
 164 A).(leq g a1 a3))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g (ASort (S n1) n0)
 165 a4))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(eq A (ASort (S n1) n0) (AHead a3
 166 a4)))) P (\lambda (x0: A).(\lambda (x1: A).(\lambda (_: (leq g a1
 167 x0)).(\lambda (_: (leq g (ASort (S n1) n0) x1)).(\lambda (H4: (eq A (ASort (S
 168 n1) n0) (AHead x0 x1))).(let H5 \def (eq_ind A (ASort (S n1) n0) (\lambda
 169 (ee: A).(match ee with [(ASort _ _) \Rightarrow True | (AHead _ _)
 170 \Rightarrow False])) I (AHead x0 x1) H4) in (False_ind P H5))))))) H1)))))) n
 171 H)))))) (\lambda (a: A).(\lambda (_: ((\forall (a1: A).((leq g (AHead a1 a)
 172 a) \to (\forall (P: Prop).P))))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H0: ((\forall
 173 (a1: A).((leq g (AHead a1 a0) a0) \to (\forall (P: Prop).P))))).(\lambda (a1:
 174 A).(\lambda (H1: (leq g (AHead a1 (AHead a a0)) (AHead a a0))).(\lambda (P:
 175 Prop).(let H_x \def (leq_gen_head1 g a1 (AHead a a0) (AHead a a0) H1) in (let
 176 H2 \def H_x in (ex3_2_ind A A (\lambda (a3: A).(\lambda (_: A).(leq g a1
 177 a3))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g (AHead a a0) a4))) (\lambda
 178 (a3: A).(\lambda (a4: A).(eq A (AHead a a0) (AHead a3 a4)))) P (\lambda (x0:
 179 A).(\lambda (x1: A).(\lambda (H3: (leq g a1 x0)).(\lambda (H4: (leq g (AHead
 180 a a0) x1)).(\lambda (H5: (eq A (AHead a a0) (AHead x0 x1))).(let H6 \def
 181 (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e with [(ASort _ _) \Rightarrow a |
 182 (AHead a3 _) \Rightarrow a3])) (AHead a a0) (AHead x0 x1) H5) in ((let H7
 183 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e with [(ASort _ _) \Rightarrow a0 |
 184 (AHead _ a3) \Rightarrow a3])) (AHead a a0) (AHead x0 x1) H5) in (\lambda
 185 (H8: (eq A a x0)).(let H9 \def (eq_ind_r A x1 (\lambda (a3: A).(leq g (AHead
 186 a a0) a3)) H4 a0 H7) in (let H10 \def (eq_ind_r A x0 (\lambda (a3: A).(leq g
 187 a1 a3)) H3 a H8) in (H0 a H9 P))))) H6))))))) H2)))))))))) a2)).
 188