matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_1/leq/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "Basic-1/leq/fwd.ma".
  18
  19 include "Basic-1/aplus/props.ma".
  20
  21 theorem ahead_inj_snd:
  22  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).(\forall (a3: A).(\forall
  23 (a4: A).((leq g (AHead a1 a2) (AHead a3 a4)) \to (leq g a2 a4))))))
  24 \def
  25  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (a3: A).(\lambda
  26 (a4: A).(\lambda (H: (leq g (AHead a1 a2) (AHead a3 a4))).(let H_x \def
  27 (leq_gen_head1 g a1 a2 (AHead a3 a4) H) in (let H0 \def H_x in (ex3_2_ind A A
  28 (\lambda (a5: A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a5))) (\lambda (_: A).(\lambda
  29 (a6: A).(leq g a2 a6))) (\lambda (a5: A).(\lambda (a6: A).(eq A (AHead a3 a4)
  30 (AHead a5 a6)))) (leq g a2 a4) (\lambda (x0: A).(\lambda (x1: A).(\lambda
  31 (H1: (leq g a1 x0)).(\lambda (H2: (leq g a2 x1)).(\lambda (H3: (eq A (AHead
  32 a3 a4) (AHead x0 x1))).(let H4 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in
  33 A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a3 | (AHead a _)
  34 \Rightarrow a])) (AHead a3 a4) (AHead x0 x1) H3) in ((let H5 \def (f_equal A
  35 A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _)
  36 \Rightarrow a4 | (AHead _ a) \Rightarrow a])) (AHead a3 a4) (AHead x0 x1) H3)
  37 in (\lambda (H6: (eq A a3 x0)).(let H7 \def (eq_ind_r A x1 (\lambda (a:
  38 A).(leq g a2 a)) H2 a4 H5) in (let H8 \def (eq_ind_r A x0 (\lambda (a:
  39 A).(leq g a1 a)) H1 a3 H6) in H7)))) H4))))))) H0)))))))).
  40 (* COMMENTS
  41 Initial nodes: 259
  42 END *)
  43
  44 theorem leq_refl:
  45  \forall (g: G).(\forall (a: A).(leq g a a))
  46 \def
  47  \lambda (g: G).(\lambda (a: A).(A_ind (\lambda (a0: A).(leq g a0 a0))
  48 (\lambda (n: nat).(\lambda (n0: nat).(leq_sort g n n n0 n0 O (refl_equal A
  49 (aplus g (ASort n n0) O))))) (\lambda (a0: A).(\lambda (H: (leq g a0
  50 a0)).(\lambda (a1: A).(\lambda (H0: (leq g a1 a1)).(leq_head g a0 a0 H a1 a1
  51 H0))))) a)).
  52 (* COMMENTS
  53 Initial nodes: 87
  54 END *)
  55
  56 theorem leq_eq:
  57  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((eq A a1 a2) \to (leq g a1
  58 a2))))
  59 \def
  60  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (eq A a1
  61 a2)).(eq_ind A a1 (\lambda (a: A).(leq g a1 a)) (leq_refl g a1) a2 H)))).
  62 (* COMMENTS
  63 Initial nodes: 39
  64 END *)
  65
  66 theorem leq_sym:
  67  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leq g a1 a2) \to (leq g
  68 a2 a1))))
  69 \def
  70  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (leq g a1
  71 a2)).(leq_ind g (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).(leq g a0 a))) (\lambda (h1:
  72 nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (n1: nat).(\lambda (n2: nat).(\lambda (k:
  73 nat).(\lambda (H0: (eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2)
  74 k))).(leq_sort g h2 h1 n2 n1 k (sym_eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g
  75 (ASort h2 n2) k) H0)))))))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(\lambda (_:
  76 (leq g a3 a4)).(\lambda (H1: (leq g a4 a3)).(\lambda (a5: A).(\lambda (a6:
  77 A).(\lambda (_: (leq g a5 a6)).(\lambda (H3: (leq g a6 a5)).(leq_head g a4 a3
  78 H1 a6 a5 H3))))))))) a1 a2 H)))).
  79 (* COMMENTS
  80 Initial nodes: 173
  81 END *)
  82
  83 theorem leq_trans:
  84  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leq g a1 a2) \to (\forall
  85 (a3: A).((leq g a2 a3) \to (leq g a1 a3))))))
  86 \def
  87  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (leq g a1
  88 a2)).(leq_ind g (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).(\forall (a3: A).((leq g a0
  89 a3) \to (leq g a a3))))) (\lambda (h1: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (n1:
  90 nat).(\lambda (n2: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (H0: (eq A (aplus g (ASort
  91 h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k))).(\lambda (a3: A).(\lambda (H1: (leq g
  92 (ASort h2 n2) a3)).(let H_x \def (leq_gen_sort1 g h2 n2 a3 H1) in (let H2
  93 \def H_x in (ex2_3_ind nat nat nat (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3:
  94 nat).(\lambda (k0: nat).(eq A (aplus g (ASort h2 n2) k0) (aplus g (ASort h3
  95 n3) k0))))) (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda (_: nat).(eq A a3
  96 (ASort h3 n3))))) (leq g (ASort h1 n1) a3) (\lambda (x0: nat).(\lambda (x1:
  97 nat).(\lambda (x2: nat).(\lambda (H3: (eq A (aplus g (ASort h2 n2) x2) (aplus
  98 g (ASort x1 x0) x2))).(\lambda (H4: (eq A a3 (ASort x1 x0))).(let H5 \def
  99 (f_equal A A (\lambda (e: A).e) a3 (ASort x1 x0) H4) in (eq_ind_r A (ASort x1
 100 x0) (\lambda (a: A).(leq g (ASort h1 n1) a)) (lt_le_e k x2 (leq g (ASort h1
 101 n1) (ASort x1 x0)) (\lambda (H6: (lt k x2)).(let H_y \def (aplus_reg_r g
 102 (ASort h1 n1) (ASort h2 n2) k k H0 (minus x2 k)) in (let H7 \def (eq_ind_r
 103 nat (plus (minus x2 k) k) (\lambda (n: nat).(eq A (aplus g (ASort h1 n1) n)
 104 (aplus g (ASort h2 n2) n))) H_y x2 (le_plus_minus_sym k x2 (le_trans k (S k)
 105 x2 (le_S k k (le_n k)) H6))) in (leq_sort g h1 x1 n1 x0 x2 (trans_eq A (aplus
 106 g (ASort h1 n1) x2) (aplus g (ASort h2 n2) x2) (aplus g (ASort x1 x0) x2) H7
 107 H3))))) (\lambda (H6: (le x2 k)).(let H_y \def (aplus_reg_r g (ASort h2 n2)
 108 (ASort x1 x0) x2 x2 H3 (minus k x2)) in (let H7 \def (eq_ind_r nat (plus
 109 (minus k x2) x2) (\lambda (n: nat).(eq A (aplus g (ASort h2 n2) n) (aplus g
 110 (ASort x1 x0) n))) H_y k (le_plus_minus_sym x2 k H6)) in (leq_sort g h1 x1 n1
 111 x0 k (trans_eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k) (aplus g
 112 (ASort x1 x0) k) H0 H7)))))) a3 H5))))))) H2))))))))))) (\lambda (a3:
 113 A).(\lambda (a4: A).(\lambda (_: (leq g a3 a4)).(\lambda (H1: ((\forall (a5:
 114 A).((leq g a4 a5) \to (leq g a3 a5))))).(\lambda (a5: A).(\lambda (a6:
 115 A).(\lambda (_: (leq g a5 a6)).(\lambda (H3: ((\forall (a7: A).((leq g a6 a7)
 116 \to (leq g a5 a7))))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H4: (leq g (AHead a4 a6)
 117 a0)).(let H_x \def (leq_gen_head1 g a4 a6 a0 H4) in (let H5 \def H_x in
 118 (ex3_2_ind A A (\lambda (a7: A).(\lambda (_: A).(leq g a4 a7))) (\lambda (_:
 119 A).(\lambda (a8: A).(leq g a6 a8))) (\lambda (a7: A).(\lambda (a8: A).(eq A
 120 a0 (AHead a7 a8)))) (leq g (AHead a3 a5) a0) (\lambda (x0: A).(\lambda (x1:
 121 A).(\lambda (H6: (leq g a4 x0)).(\lambda (H7: (leq g a6 x1)).(\lambda (H8:
 122 (eq A a0 (AHead x0 x1))).(let H9 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).e) a0
 123 (AHead x0 x1) H8) in (eq_ind_r A (AHead x0 x1) (\lambda (a: A).(leq g (AHead
 124 a3 a5) a)) (leq_head g a3 x0 (H1 x0 H6) a5 x1 (H3 x1 H7)) a0 H9)))))))
 125 H5))))))))))))) a1 a2 H)))).
 126 (* COMMENTS
 127 Initial nodes: 869
 128 END *)
 129
 130 theorem leq_ahead_false_1:
 131  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leq g (AHead a1 a2) a1)
 132 \to (\forall (P: Prop).P))))
 133 \def
 134  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(A_ind (\lambda (a: A).(\forall (a2:
 135 A).((leq g (AHead a a2) a) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda (n:
 136 nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (leq g (AHead (ASort n
 137 n0) a2) (ASort n n0))).(\lambda (P: Prop).(nat_ind (\lambda (n1: nat).((leq g
 138 (AHead (ASort n1 n0) a2) (ASort n1 n0)) \to P)) (\lambda (H0: (leq g (AHead
 139 (ASort O n0) a2) (ASort O n0))).(let H_x \def (leq_gen_head1 g (ASort O n0)
 140 a2 (ASort O n0) H0) in (let H1 \def H_x in (ex3_2_ind A A (\lambda (a3:
 141 A).(\lambda (_: A).(leq g (ASort O n0) a3))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4:
 142 A).(leq g a2 a4))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(eq A (ASort O n0)
 143 (AHead a3 a4)))) P (\lambda (x0: A).(\lambda (x1: A).(\lambda (_: (leq g
 144 (ASort O n0) x0)).(\lambda (_: (leq g a2 x1)).(\lambda (H4: (eq A (ASort O
 145 n0) (AHead x0 x1))).(let H5 \def (eq_ind A (ASort O n0) (\lambda (ee:
 146 A).(match ee in A return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow
 147 True | (AHead _ _) \Rightarrow False])) I (AHead x0 x1) H4) in (False_ind P
 148 H5))))))) H1)))) (\lambda (n1: nat).(\lambda (_: (((leq g (AHead (ASort n1
 149 n0) a2) (ASort n1 n0)) \to P))).(\lambda (H0: (leq g (AHead (ASort (S n1) n0)
 150 a2) (ASort (S n1) n0))).(let H_x \def (leq_gen_head1 g (ASort (S n1) n0) a2
 151 (ASort (S n1) n0) H0) in (let H1 \def H_x in (ex3_2_ind A A (\lambda (a3:
 152 A).(\lambda (_: A).(leq g (ASort (S n1) n0) a3))) (\lambda (_: A).(\lambda
 153 (a4: A).(leq g a2 a4))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(eq A (ASort (S n1)
 154 n0) (AHead a3 a4)))) P (\lambda (x0: A).(\lambda (x1: A).(\lambda (_: (leq g
 155 (ASort (S n1) n0) x0)).(\lambda (_: (leq g a2 x1)).(\lambda (H4: (eq A (ASort
 156 (S n1) n0) (AHead x0 x1))).(let H5 \def (eq_ind A (ASort (S n1) n0) (\lambda
 157 (ee: A).(match ee in A return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _)
 158 \Rightarrow True | (AHead _ _) \Rightarrow False])) I (AHead x0 x1) H4) in
 159 (False_ind P H5))))))) H1)))))) n H)))))) (\lambda (a: A).(\lambda (H:
 160 ((\forall (a2: A).((leq g (AHead a a2) a) \to (\forall (P:
 161 Prop).P))))).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: ((\forall (a2: A).((leq g (AHead
 162 a0 a2) a0) \to (\forall (P: Prop).P))))).(\lambda (a2: A).(\lambda (H1: (leq
 163 g (AHead (AHead a a0) a2) (AHead a a0))).(\lambda (P: Prop).(let H_x \def
 164 (leq_gen_head1 g (AHead a a0) a2 (AHead a a0) H1) in (let H2 \def H_x in
 165 (ex3_2_ind A A (\lambda (a3: A).(\lambda (_: A).(leq g (AHead a a0) a3)))
 166 (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g a2 a4))) (\lambda (a3: A).(\lambda
 167 (a4: A).(eq A (AHead a a0) (AHead a3 a4)))) P (\lambda (x0: A).(\lambda (x1:
 168 A).(\lambda (H3: (leq g (AHead a a0) x0)).(\lambda (H4: (leq g a2
 169 x1)).(\lambda (H5: (eq A (AHead a a0) (AHead x0 x1))).(let H6 \def (f_equal A
 170 A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _)
 171 \Rightarrow a | (AHead a3 _) \Rightarrow a3])) (AHead a a0) (AHead x0 x1) H5)
 172 in ((let H7 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda
 173 (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a0 | (AHead _ a3) \Rightarrow a3]))
 174 (AHead a a0) (AHead x0 x1) H5) in (\lambda (H8: (eq A a x0)).(let H9 \def
 175 (eq_ind_r A x1 (\lambda (a3: A).(leq g a2 a3)) H4 a0 H7) in (let H10 \def
 176 (eq_ind_r A x0 (\lambda (a3: A).(leq g (AHead a a0) a3)) H3 a H8) in (H a0
 177 H10 P))))) H6))))))) H2)))))))))) a1)).
 178 (* COMMENTS
 179 Initial nodes: 797
 180 END *)
 181
 182 theorem leq_ahead_false_2:
 183  \forall (g: G).(\forall (a2: A).(\forall (a1: A).((leq g (AHead a1 a2) a2)
 184 \to (\forall (P: Prop).P))))
 185 \def
 186  \lambda (g: G).(\lambda (a2: A).(A_ind (\lambda (a: A).(\forall (a1:
 187 A).((leq g (AHead a1 a) a) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda (n:
 188 nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (a1: A).(\lambda (H: (leq g (AHead a1 (ASort
 189 n n0)) (ASort n n0))).(\lambda (P: Prop).(nat_ind (\lambda (n1: nat).((leq g
 190 (AHead a1 (ASort n1 n0)) (ASort n1 n0)) \to P)) (\lambda (H0: (leq g (AHead
 191 a1 (ASort O n0)) (ASort O n0))).(let H_x \def (leq_gen_head1 g a1 (ASort O
 192 n0) (ASort O n0) H0) in (let H1 \def H_x in (ex3_2_ind A A (\lambda (a3:
 193 A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a3))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g
 194 (ASort O n0) a4))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(eq A (ASort O n0)
 195 (AHead a3 a4)))) P (\lambda (x0: A).(\lambda (x1: A).(\lambda (_: (leq g a1
 196 x0)).(\lambda (_: (leq g (ASort O n0) x1)).(\lambda (H4: (eq A (ASort O n0)
 197 (AHead x0 x1))).(let H5 \def (eq_ind A (ASort O n0) (\lambda (ee: A).(match
 198 ee in A return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow True |
 199 (AHead _ _) \Rightarrow False])) I (AHead x0 x1) H4) in (False_ind P
 200 H5))))))) H1)))) (\lambda (n1: nat).(\lambda (_: (((leq g (AHead a1 (ASort n1
 201 n0)) (ASort n1 n0)) \to P))).(\lambda (H0: (leq g (AHead a1 (ASort (S n1)
 202 n0)) (ASort (S n1) n0))).(let H_x \def (leq_gen_head1 g a1 (ASort (S n1) n0)
 203 (ASort (S n1) n0) H0) in (let H1 \def H_x in (ex3_2_ind A A (\lambda (a3:
 204 A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a3))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g
 205 (ASort (S n1) n0) a4))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(eq A (ASort (S n1)
 206 n0) (AHead a3 a4)))) P (\lambda (x0: A).(\lambda (x1: A).(\lambda (_: (leq g
 207 a1 x0)).(\lambda (_: (leq g (ASort (S n1) n0) x1)).(\lambda (H4: (eq A (ASort
 208 (S n1) n0) (AHead x0 x1))).(let H5 \def (eq_ind A (ASort (S n1) n0) (\lambda
 209 (ee: A).(match ee in A return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _)
 210 \Rightarrow True | (AHead _ _) \Rightarrow False])) I (AHead x0 x1) H4) in
 211 (False_ind P H5))))))) H1)))))) n H)))))) (\lambda (a: A).(\lambda (_:
 212 ((\forall (a1: A).((leq g (AHead a1 a) a) \to (\forall (P:
 213 Prop).P))))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H0: ((\forall (a1: A).((leq g (AHead
 214 a1 a0) a0) \to (\forall (P: Prop).P))))).(\lambda (a1: A).(\lambda (H1: (leq
 215 g (AHead a1 (AHead a a0)) (AHead a a0))).(\lambda (P: Prop).(let H_x \def
 216 (leq_gen_head1 g a1 (AHead a a0) (AHead a a0) H1) in (let H2 \def H_x in
 217 (ex3_2_ind A A (\lambda (a3: A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a3))) (\lambda (_:
 218 A).(\lambda (a4: A).(leq g (AHead a a0) a4))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4:
 219 A).(eq A (AHead a a0) (AHead a3 a4)))) P (\lambda (x0: A).(\lambda (x1:
 220 A).(\lambda (H3: (leq g a1 x0)).(\lambda (H4: (leq g (AHead a a0)
 221 x1)).(\lambda (H5: (eq A (AHead a a0) (AHead x0 x1))).(let H6 \def (f_equal A
 222 A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _)
 223 \Rightarrow a | (AHead a3 _) \Rightarrow a3])) (AHead a a0) (AHead x0 x1) H5)
 224 in ((let H7 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda
 225 (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a0 | (AHead _ a3) \Rightarrow a3]))
 226 (AHead a a0) (AHead x0 x1) H5) in (\lambda (H8: (eq A a x0)).(let H9 \def
 227 (eq_ind_r A x1 (\lambda (a3: A).(leq g (AHead a a0) a3)) H4 a0 H7) in (let
 228 H10 \def (eq_ind_r A x0 (\lambda (a3: A).(leq g a1 a3)) H3 a H8) in (H0 a H9
 229 P))))) H6))))))) H2)))))))))) a2)).
 230 (* COMMENTS
 231 Initial nodes: 797
 232 END *)
 233