matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_1/lift/fwd.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "basic_1/lift/props.ma".
  18
  19 lemma lift_gen_sort:
  20  \forall (h: nat).(\forall (d: nat).(\forall (n: nat).(\forall (t: T).((eq T
  21 (TSort n) (lift h d t)) \to (eq T t (TSort n))))))
  22 \def
  23  \lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (t: T).(T_ind
  24 (\lambda (t0: T).((eq T (TSort n) (lift h d t0)) \to (eq T t0 (TSort n))))
  25 (\lambda (n0: nat).(\lambda (H: (eq T (TSort n) (lift h d (TSort
  26 n0)))).(sym_eq T (TSort n) (TSort n0) H))) (\lambda (n0: nat).(\lambda (H:
  27 (eq T (TSort n) (lift h d (TLRef n0)))).(lt_le_e n0 d (eq T (TLRef n0) (TSort
  28 n)) (\lambda (_: (lt n0 d)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n0))
  29 (\lambda (t0: T).(eq T (TSort n) t0)) H (TLRef n0) (lift_lref_lt n0 h d (let
  30 H1 \def (eq_ind T (TSort n) (\lambda (ee: T).(match ee with [(TSort _)
  31 \Rightarrow True | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow
  32 False])) I (lift h d (TLRef n0)) H) in (False_ind (lt n0 d) H1)))) in (let H2
  33 \def (eq_ind T (TSort n) (\lambda (ee: T).(match ee with [(TSort _)
  34 \Rightarrow True | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow
  35 False])) I (TLRef n0) H1) in (False_ind (eq T (TLRef n0) (TSort n)) H2))))
  36 (\lambda (_: (le d n0)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n0)) (\lambda
  37 (t0: T).(eq T (TSort n) t0)) H (TLRef (plus n0 h)) (lift_lref_ge n0 h d (let
  38 H1 \def (eq_ind T (TSort n) (\lambda (ee: T).(match ee with [(TSort _)
  39 \Rightarrow True | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow
  40 False])) I (lift h d (TLRef n0)) H) in (False_ind (le d n0) H1)))) in (let H2
  41 \def (eq_ind T (TSort n) (\lambda (ee: T).(match ee with [(TSort _)
  42 \Rightarrow True | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow
  43 False])) I (TLRef (plus n0 h)) H1) in (False_ind (eq T (TLRef n0) (TSort n))
  44 H2))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (((eq T (TSort n)
  45 (lift h d t0)) \to (eq T t0 (TSort n))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (_: (((eq
  46 T (TSort n) (lift h d t1)) \to (eq T t1 (TSort n))))).(\lambda (H1: (eq T
  47 (TSort n) (lift h d (THead k t0 t1)))).(let H2 \def (eq_ind T (lift h d
  48 (THead k t0 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T (TSort n) t2)) H1 (THead k (lift h d
  49 t0) (lift h (s k d) t1)) (lift_head k t0 t1 h d)) in (let H3 \def (eq_ind T
  50 (TSort n) (\lambda (ee: T).(match ee with [(TSort _) \Rightarrow True |
  51 (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (THead k
  52 (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) H2) in (False_ind (eq T (THead k t0 t1)
  53 (TSort n)) H3))))))))) t)))).
  54
  55 lemma lift_gen_lref:
  56  \forall (t: T).(\forall (d: nat).(\forall (h: nat).(\forall (i: nat).((eq T
  57 (TLRef i) (lift h d t)) \to (or (land (lt i d) (eq T t (TLRef i))) (land (le
  58 (plus d h) i) (eq T t (TLRef (minus i h)))))))))
  59 \def
  60  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (d: nat).(\forall (h:
  61 nat).(\forall (i: nat).((eq T (TLRef i) (lift h d t0)) \to (or (land (lt i d)
  62 (eq T t0 (TLRef i))) (land (le (plus d h) i) (eq T t0 (TLRef (minus i
  63 h)))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda
  64 (i: nat).(\lambda (H: (eq T (TLRef i) (lift h d (TSort n)))).(let H0 \def
  65 (eq_ind T (lift h d (TSort n)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef i) t0)) H (TSort
  66 n) (lift_sort n h d)) in (let H1 \def (eq_ind T (TLRef i) (\lambda (ee:
  67 T).(match ee with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow True |
  68 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (TSort n) H0) in (False_ind (or (land
  69 (lt i d) (eq T (TSort n) (TLRef i))) (land (le (plus d h) i) (eq T (TSort n)
  70 (TLRef (minus i h))))) H1)))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (d:
  71 nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (i: nat).(\lambda (H: (eq T (TLRef i) (lift h
  72 d (TLRef n)))).(lt_le_e n d (or (land (lt i d) (eq T (TLRef n) (TLRef i)))
  73 (land (le (plus d h) i) (eq T (TLRef n) (TLRef (minus i h))))) (\lambda (H0:
  74 (lt n d)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T
  75 (TLRef i) t0)) H (TLRef n) (lift_lref_lt n h d H0)) in (let H2 \def (f_equal
  76 T nat (\lambda (e: T).(match e with [(TSort _) \Rightarrow i | (TLRef n0)
  77 \Rightarrow n0 | (THead _ _ _) \Rightarrow i])) (TLRef i) (TLRef n) H1) in
  78 (eq_ind_r nat n (\lambda (n0: nat).(or (land (lt n0 d) (eq T (TLRef n) (TLRef
  79 n0))) (land (le (plus d h) n0) (eq T (TLRef n) (TLRef (minus n0 h))))))
  80 (or_introl (land (lt n d) (eq T (TLRef n) (TLRef n))) (land (le (plus d h) n)
  81 (eq T (TLRef n) (TLRef (minus n h)))) (conj (lt n d) (eq T (TLRef n) (TLRef
  82 n)) H0 (refl_equal T (TLRef n)))) i H2)))) (\lambda (H0: (le d n)).(let H1
  83 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef i) t0)) H
  84 (TLRef (plus n h)) (lift_lref_ge n h d H0)) in (let H2 \def (f_equal T nat
  85 (\lambda (e: T).(match e with [(TSort _) \Rightarrow i | (TLRef n0)
  86 \Rightarrow n0 | (THead _ _ _) \Rightarrow i])) (TLRef i) (TLRef (plus n h))
  87 H1) in (eq_ind_r nat (plus n h) (\lambda (n0: nat).(or (land (lt n0 d) (eq T
  88 (TLRef n) (TLRef n0))) (land (le (plus d h) n0) (eq T (TLRef n) (TLRef (minus
  89 n0 h)))))) (eq_ind_r nat n (\lambda (n0: nat).(or (land (lt (plus n h) d) (eq
  90 T (TLRef n) (TLRef (plus n h)))) (land (le (plus d h) (plus n h)) (eq T
  91 (TLRef n) (TLRef n0))))) (or_intror (land (lt (plus n h) d) (eq T (TLRef n)
  92 (TLRef (plus n h)))) (land (le (plus d h) (plus n h)) (eq T (TLRef n) (TLRef
  93 n))) (conj (le (plus d h) (plus n h)) (eq T (TLRef n) (TLRef n))
  94 (le_plus_plus d n h h H0 (le_n h)) (refl_equal T (TLRef n)))) (minus (plus n
  95 h) h) (minus_plus_r n h)) i H2)))))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t0:
  96 T).(\lambda (_: ((\forall (d: nat).(\forall (h: nat).(\forall (i: nat).((eq T
  97 (TLRef i) (lift h d t0)) \to (or (land (lt i d) (eq T t0 (TLRef i))) (land
  98 (le (plus d h) i) (eq T t0 (TLRef (minus i h))))))))))).(\lambda (t1:
  99 T).(\lambda (_: ((\forall (d: nat).(\forall (h: nat).(\forall (i: nat).((eq T
 100 (TLRef i) (lift h d t1)) \to (or (land (lt i d) (eq T t1 (TLRef i))) (land
 101 (le (plus d h) i) (eq T t1 (TLRef (minus i h))))))))))).(\lambda (d:
 102 nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (i: nat).(\lambda (H1: (eq T (TLRef i) (lift
 103 h d (THead k t0 t1)))).(let H2 \def (eq_ind T (lift h d (THead k t0 t1))
 104 (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef i) t2)) H1 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k
 105 d) t1)) (lift_head k t0 t1 h d)) in (let H3 \def (eq_ind T (TLRef i) (\lambda
 106 (ee: T).(match ee with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow
 107 True | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (THead k (lift h d t0) (lift h (s
 108 k d) t1)) H2) in (False_ind (or (land (lt i d) (eq T (THead k t0 t1) (TLRef
 109 i))) (land (le (plus d h) i) (eq T (THead k t0 t1) (TLRef (minus i h)))))
 110 H3)))))))))))) t).
 111
 112 lemma lift_gen_lref_lt:
 113  \forall (h: nat).(\forall (d: nat).(\forall (n: nat).((lt n d) \to (\forall
 114 (t: T).((eq T (TLRef n) (lift h d t)) \to (eq T t (TLRef n)))))))
 115 \def
 116  \lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (lt n
 117 d)).(\lambda (t: T).(\lambda (H0: (eq T (TLRef n) (lift h d t))).(let H_x
 118 \def (lift_gen_lref t d h n H0) in (let H1 \def H_x in (or_ind (land (lt n d)
 119 (eq T t (TLRef n))) (land (le (plus d h) n) (eq T t (TLRef (minus n h)))) (eq
 120 T t (TLRef n)) (\lambda (H2: (land (lt n d) (eq T t (TLRef n)))).(land_ind
 121 (lt n d) (eq T t (TLRef n)) (eq T t (TLRef n)) (\lambda (_: (lt n
 122 d)).(\lambda (H4: (eq T t (TLRef n))).(eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0:
 123 T).(eq T t0 (TLRef n))) (refl_equal T (TLRef n)) t H4))) H2)) (\lambda (H2:
 124 (land (le (plus d h) n) (eq T t (TLRef (minus n h))))).(land_ind (le (plus d
 125 h) n) (eq T t (TLRef (minus n h))) (eq T t (TLRef n)) (\lambda (H3: (le (plus
 126 d h) n)).(\lambda (H4: (eq T t (TLRef (minus n h)))).(eq_ind_r T (TLRef
 127 (minus n h)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (TLRef n))) (le_false (plus d h) n (eq
 128 T (TLRef (minus n h)) (TLRef n)) H3 (lt_le_S n (plus d h) (le_plus_trans (S
 129 n) d h H))) t H4))) H2)) H1)))))))).
 130
 131 lemma lift_gen_lref_false:
 132  \forall (h: nat).(\forall (d: nat).(\forall (n: nat).((le d n) \to ((lt n
 133 (plus d h)) \to (\forall (t: T).((eq T (TLRef n) (lift h d t)) \to (\forall
 134 (P: Prop).P)))))))
 135 \def
 136  \lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (le d
 137 n)).(\lambda (H0: (lt n (plus d h))).(\lambda (t: T).(\lambda (H1: (eq T
 138 (TLRef n) (lift h d t))).(\lambda (P: Prop).(let H_x \def (lift_gen_lref t d
 139 h n H1) in (let H2 \def H_x in (or_ind (land (lt n d) (eq T t (TLRef n)))
 140 (land (le (plus d h) n) (eq T t (TLRef (minus n h)))) P (\lambda (H3: (land
 141 (lt n d) (eq T t (TLRef n)))).(land_ind (lt n d) (eq T t (TLRef n)) P
 142 (\lambda (H4: (lt n d)).(\lambda (_: (eq T t (TLRef n))).(le_false d n P H
 143 H4))) H3)) (\lambda (H3: (land (le (plus d h) n) (eq T t (TLRef (minus n
 144 h))))).(land_ind (le (plus d h) n) (eq T t (TLRef (minus n h))) P (\lambda
 145 (H4: (le (plus d h) n)).(\lambda (_: (eq T t (TLRef (minus n h)))).(le_false
 146 (plus d h) n P H4 H0))) H3)) H2)))))))))).
 147
 148 lemma lift_gen_lref_ge:
 149  \forall (h: nat).(\forall (d: nat).(\forall (n: nat).((le d n) \to (\forall
 150 (t: T).((eq T (TLRef (plus n h)) (lift h d t)) \to (eq T t (TLRef n)))))))
 151 \def
 152  \lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (le d
 153 n)).(\lambda (t: T).(\lambda (H0: (eq T (TLRef (plus n h)) (lift h d
 154 t))).(let H_x \def (lift_gen_lref t d h (plus n h) H0) in (let H1 \def H_x in
 155 (or_ind (land (lt (plus n h) d) (eq T t (TLRef (plus n h)))) (land (le (plus
 156 d h) (plus n h)) (eq T t (TLRef (minus (plus n h) h)))) (eq T t (TLRef n))
 157 (\lambda (H2: (land (lt (plus n h) d) (eq T t (TLRef (plus n h))))).(land_ind
 158 (lt (plus n h) d) (eq T t (TLRef (plus n h))) (eq T t (TLRef n)) (\lambda
 159 (H3: (lt (plus n h) d)).(\lambda (H4: (eq T t (TLRef (plus n h)))).(eq_ind_r
 160 T (TLRef (plus n h)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (TLRef n))) (le_false d n (eq
 161 T (TLRef (plus n h)) (TLRef n)) H (lt_le_S n d (simpl_lt_plus_r h n d
 162 (lt_le_trans (plus n h) d (plus d h) H3 (le_plus_l d h))))) t H4))) H2))
 163 (\lambda (H2: (land (le (plus d h) (plus n h)) (eq T t (TLRef (minus (plus n
 164 h) h))))).(land_ind (le (plus d h) (plus n h)) (eq T t (TLRef (minus (plus n
 165 h) h))) (eq T t (TLRef n)) (\lambda (_: (le (plus d h) (plus n h))).(\lambda
 166 (H4: (eq T t (TLRef (minus (plus n h) h)))).(eq_ind_r T (TLRef (minus (plus n
 167 h) h)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (TLRef n))) (f_equal nat T TLRef (minus
 168 (plus n h) h) n (minus_plus_r n h)) t H4))) H2)) H1)))))))).
 169
 170 lemma lift_gen_head:
 171  \forall (k: K).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (x: T).(\forall (h:
 172 nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k u t) (lift h d x)) \to (ex3_2 T T
 173 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead k y z)))) (\lambda (y:
 174 T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 175 T).(eq T t (lift h (s k d) z)))))))))))
 176 \def
 177  \lambda (k: K).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (x: T).(T_ind
 178 (\lambda (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k u t)
 179 (lift h d t0)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (THead
 180 k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda
 181 (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s k d) z))))))))) (\lambda (n:
 182 nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T (THead k u t)
 183 (lift h d (TSort n)))).(let H0 \def (eq_ind T (lift h d (TSort n)) (\lambda
 184 (t0: T).(eq T (THead k u t) t0)) H (TSort n) (lift_sort n h d)) in (let H1
 185 \def (eq_ind T (THead k u t) (\lambda (ee: T).(match ee with [(TSort _)
 186 \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow
 187 True])) I (TSort n) H0) in (False_ind (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z:
 188 T).(eq T (TSort n) (THead k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u
 189 (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s k d)
 190 z))))) H1))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
 191 nat).(\lambda (H: (eq T (THead k u t) (lift h d (TLRef n)))).(lt_le_e n d
 192 (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead k y z))))
 193 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 194 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s k d) z))))) (\lambda (H0: (lt n
 195 d)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T (THead
 196 k u t) t0)) H (TLRef n) (lift_lref_lt n h d H0)) in (let H2 \def (eq_ind T
 197 (THead k u t) (\lambda (ee: T).(match ee with [(TSort _) \Rightarrow False |
 198 (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TLRef n)
 199 H1) in (False_ind (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n)
 200 (THead k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y))))
 201 (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s k d) z))))) H2))))
 202 (\lambda (H0: (le d n)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n)) (\lambda
 203 (t0: T).(eq T (THead k u t) t0)) H (TLRef (plus n h)) (lift_lref_ge n h d
 204 H0)) in (let H2 \def (eq_ind T (THead k u t) (\lambda (ee: T).(match ee with
 205 [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _)
 206 \Rightarrow True])) I (TLRef (plus n h)) H1) in (False_ind (ex3_2 T T
 207 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead k y z)))) (\lambda (y:
 208 T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 209 T).(eq T t (lift h (s k d) z))))) H2))))))))) (\lambda (k0: K).(\lambda (t0:
 210 T).(\lambda (H: ((\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k u t)
 211 (lift h d t0)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (THead
 212 k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda
 213 (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s k d) z)))))))))).(\lambda (t1:
 214 T).(\lambda (H0: ((\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k u t)
 215 (lift h d t1)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t1 (THead
 216 k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda
 217 (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s k d) z)))))))))).(\lambda (h:
 218 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1: (eq T (THead k u t) (lift h d (THead k0
 219 t0 t1)))).(let H2 \def (eq_ind T (lift h d (THead k0 t0 t1)) (\lambda (t2:
 220 T).(eq T (THead k u t) t2)) H1 (THead k0 (lift h d t0) (lift h (s k0 d) t1))
 221 (lift_head k0 t0 t1 h d)) in (let H3 \def (f_equal T K (\lambda (e: T).(match
 222 e with [(TSort _) \Rightarrow k | (TLRef _) \Rightarrow k | (THead k1 _ _)
 223 \Rightarrow k1])) (THead k u t) (THead k0 (lift h d t0) (lift h (s k0 d) t1))
 224 H2) in ((let H4 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e with [(TSort _)
 225 \Rightarrow u | (TLRef _) \Rightarrow u | (THead _ t2 _) \Rightarrow t2]))
 226 (THead k u t) (THead k0 (lift h d t0) (lift h (s k0 d) t1)) H2) in ((let H5
 227 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e with [(TSort _) \Rightarrow t |
 228 (TLRef _) \Rightarrow t | (THead _ _ t2) \Rightarrow t2])) (THead k u t)
 229 (THead k0 (lift h d t0) (lift h (s k0 d) t1)) H2) in (\lambda (H6: (eq T u
 230 (lift h d t0))).(\lambda (H7: (eq K k k0)).(let H8 \def (eq_ind_r K k0
 231 (\lambda (k1: K).(eq T t (lift h (s k1 d) t1))) H5 k H7) in (eq_ind K k
 232 (\lambda (k1: K).(ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead k1
 233 t0 t1) (THead k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d
 234 y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s k d) z)))))) (let H9
 235 \def (eq_ind T t (\lambda (t2: T).(\forall (h0: nat).(\forall (d0: nat).((eq
 236 T (THead k u t2) (lift h0 d0 t1)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z:
 237 T).(eq T t1 (THead k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h0
 238 d0 y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t2 (lift h0 (s k d0)
 239 z))))))))) H0 (lift h (s k d) t1) H8) in (let H10 \def (eq_ind T t (\lambda
 240 (t2: T).(\forall (h0: nat).(\forall (d0: nat).((eq T (THead k u t2) (lift h0
 241 d0 t0)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (THead k y
 242 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h0 d0 y)))) (\lambda (_:
 243 T).(\lambda (z: T).(eq T t2 (lift h0 (s k d0) z))))))))) H (lift h (s k d)
 244 t1) H8) in (eq_ind_r T (lift h (s k d) t1) (\lambda (t2: T).(ex3_2 T T
 245 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead k t0 t1) (THead k y z))))
 246 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 247 T).(\lambda (z: T).(eq T t2 (lift h (s k d) z)))))) (let H11 \def (eq_ind T u
 248 (\lambda (t2: T).(\forall (h0: nat).(\forall (d0: nat).((eq T (THead k t2
 249 (lift h (s k d) t1)) (lift h0 d0 t0)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda
 250 (z: T).(eq T t0 (THead k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T t2
 251 (lift h0 d0 y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h (s k d) t1)
 252 (lift h0 (s k d0) z))))))))) H10 (lift h d t0) H6) in (let H12 \def (eq_ind T
 253 u (\lambda (t2: T).(\forall (h0: nat).(\forall (d0: nat).((eq T (THead k t2
 254 (lift h (s k d) t1)) (lift h0 d0 t1)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda
 255 (z: T).(eq T t1 (THead k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T t2
 256 (lift h0 d0 y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h (s k d) t1)
 257 (lift h0 (s k d0) z))))))))) H9 (lift h d t0) H6) in (eq_ind_r T (lift h d
 258 t0) (\lambda (t2: T).(ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead
 259 k t0 t1) (THead k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T t2 (lift h d
 260 y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h (s k d) t1) (lift h (s k
 261 d) z)))))) (ex3_2_intro T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead k t0
 262 t1) (THead k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h d t0)
 263 (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h (s k d) t1)
 264 (lift h (s k d) z)))) t0 t1 (refl_equal T (THead k t0 t1)) (refl_equal T
 265 (lift h d t0)) (refl_equal T (lift h (s k d) t1))) u H6))) t H8))) k0 H7)))))
 266 H4)) H3))))))))))) x)))).
 267
 268 lemma lift_gen_bind:
 269  \forall (b: B).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (x: T).(\forall (h:
 270 nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead (Bind b) u t) (lift h d x)) \to (ex3_2 T
 271 T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Bind b) y z)))) (\lambda
 272 (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 273 T).(eq T t (lift h (S d) z)))))))))))
 274 \def
 275  \lambda (b: B).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (x: T).(\lambda (h:
 276 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T (THead (Bind b) u t) (lift h d
 277 x))).(let H_x \def (lift_gen_head (Bind b) u t x h d H) in (let H0 \def H_x
 278 in (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Bind b) y
 279 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 280 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (S d) z)))) (ex3_2 T T (\lambda (y:
 281 T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Bind b) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda
 282 (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift
 283 h (S d) z))))) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H1: (eq T x (THead
 284 (Bind b) x0 x1))).(\lambda (H2: (eq T u (lift h d x0))).(\lambda (H3: (eq T t
 285 (lift h (S d) x1))).(eq_ind_r T (THead (Bind b) x0 x1) (\lambda (t0:
 286 T).(ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (THead (Bind b) y
 287 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 288 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (S d) z)))))) (eq_ind_r T (lift h (S d)
 289 x1) (\lambda (t0: T).(ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead
 290 (Bind b) x0 x1) (THead (Bind b) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T
 291 u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (lift h (S d)
 292 z)))))) (eq_ind_r T (lift h d x0) (\lambda (t0: T).(ex3_2 T T (\lambda (y:
 293 T).(\lambda (z: T).(eq T (THead (Bind b) x0 x1) (THead (Bind b) y z))))
 294 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T t0 (lift h d y)))) (\lambda (_:
 295 T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h (S d) x1) (lift h (S d) z)))))) (ex3_2_intro
 296 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead (Bind b) x0 x1) (THead (Bind
 297 b) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h d x0) (lift h d
 298 y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h (S d) x1) (lift h (S d)
 299 z)))) x0 x1 (refl_equal T (THead (Bind b) x0 x1)) (refl_equal T (lift h d
 300 x0)) (refl_equal T (lift h (S d) x1))) u H2) t H3) x H1)))))) H0))))))))).
 301
 302 lemma lift_gen_flat:
 303  \forall (f: F).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (x: T).(\forall (h:
 304 nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead (Flat f) u t) (lift h d x)) \to (ex3_2 T
 305 T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Flat f) y z)))) (\lambda
 306 (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 307 T).(eq T t (lift h d z)))))))))))
 308 \def
 309  \lambda (f: F).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (x: T).(\lambda (h:
 310 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T (THead (Flat f) u t) (lift h d
 311 x))).(let H_x \def (lift_gen_head (Flat f) u t x h d H) in (let H0 \def H_x
 312 in (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Flat f) y
 313 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 314 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h d z)))) (ex3_2 T T (\lambda (y:
 315 T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda
 316 (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift
 317 h d z))))) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H1: (eq T x (THead
 318 (Flat f) x0 x1))).(\lambda (H2: (eq T u (lift h d x0))).(\lambda (H3: (eq T t
 319 (lift h d x1))).(eq_ind_r T (THead (Flat f) x0 x1) (\lambda (t0: T).(ex3_2 T
 320 T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (THead (Flat f) y z)))) (\lambda
 321 (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 322 T).(eq T t (lift h d z)))))) (eq_ind_r T (lift h d x1) (\lambda (t0:
 323 T).(ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead (Flat f) x0 x1)
 324 (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d
 325 y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (lift h d z)))))) (eq_ind_r T
 326 (lift h d x0) (\lambda (t0: T).(ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq
 327 T (THead (Flat f) x0 x1) (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_:
 328 T).(eq T t0 (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h d
 329 x1) (lift h d z)))))) (ex3_2_intro T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T
 330 (THead (Flat f) x0 x1) (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_:
 331 T).(eq T (lift h d x0) (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T
 332 (lift h d x1) (lift h d z)))) x0 x1 (refl_equal T (THead (Flat f) x0 x1))
 333 (refl_equal T (lift h d x0)) (refl_equal T (lift h d x1))) u H2) t H3) x
 334 H1)))))) H0))))))))).
 335
 336 lemma lift_inj:
 337  \forall (x: T).(\forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T
 338 (lift h d x) (lift h d t)) \to (eq T x t)))))
 339 \def
 340  \lambda (x: T).(T_ind (\lambda (t: T).(\forall (t0: T).(\forall (h:
 341 nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t) (lift h d t0)) \to (eq T t
 342 t0)))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (t: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
 343 nat).(\lambda (H: (eq T (lift h d (TSort n)) (lift h d t))).(let H0 \def
 344 (eq_ind T (lift h d (TSort n)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift h d t))) H
 345 (TSort n) (lift_sort n h d)) in (sym_eq T t (TSort n) (lift_gen_sort h d n t
 346 H0)))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (t: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
 347 nat).(\lambda (H: (eq T (lift h d (TLRef n)) (lift h d t))).(lt_le_e n d (eq
 348 T (TLRef n) t) (\lambda (H0: (lt n d)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d
 349 (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift h d t))) H (TLRef n) (lift_lref_lt
 350 n h d H0)) in (sym_eq T t (TLRef n) (lift_gen_lref_lt h d n (lt_le_trans n d
 351 d H0 (le_n d)) t H1)))) (\lambda (H0: (le d n)).(let H1 \def (eq_ind T (lift
 352 h d (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift h d t))) H (TLRef (plus n h))
 353 (lift_lref_ge n h d H0)) in (sym_eq T t (TLRef n) (lift_gen_lref_ge h d n H0
 354 t H1)))))))))) (\lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (t:
 355 T).(((\forall (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t)
 356 (lift h d t0)) \to (eq T t t0)))))) \to (\forall (t0: T).(((\forall (t1:
 357 T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t0) (lift h d t1))
 358 \to (eq T t0 t1)))))) \to (\forall (t1: T).(\forall (h: nat).(\forall (d:
 359 nat).((eq T (lift h d (THead k0 t t0)) (lift h d t1)) \to (eq T (THead k0 t
 360 t0) t1)))))))))) (\lambda (b: B).(\lambda (t: T).(\lambda (H: ((\forall (t0:
 361 T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t) (lift h d t0)) \to
 362 (eq T t t0))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (H0: ((\forall (t1: T).(\forall
 363 (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t0) (lift h d t1)) \to (eq T t0
 364 t1))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1:
 365 (eq T (lift h d (THead (Bind b) t t0)) (lift h d t1))).(let H2 \def (eq_ind T
 366 (lift h d (THead (Bind b) t t0)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift h d t1))) H1
 367 (THead (Bind b) (lift h d t) (lift h (S d) t0)) (lift_bind b t t0 h d)) in
 368 (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t1 (THead (Bind b) y
 369 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h d t) (lift h d y))))
 370 (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h (S d) t0) (lift h (S d) z))))
 371 (eq T (THead (Bind b) t t0) t1) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda
 372 (H3: (eq T t1 (THead (Bind b) x0 x1))).(\lambda (H4: (eq T (lift h d t) (lift
 373 h d x0))).(\lambda (H5: (eq T (lift h (S d) t0) (lift h (S d) x1))).(eq_ind_r
 374 T (THead (Bind b) x0 x1) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) t t0) t2))
 375 (sym_eq T (THead (Bind b) x0 x1) (THead (Bind b) t t0) (sym_eq T (THead (Bind
 376 b) t t0) (THead (Bind b) x0 x1) (f_equal3 K T T T THead (Bind b) (Bind b) t
 377 x0 t0 x1 (refl_equal K (Bind b)) (H x0 h d H4) (H0 x1 h (S d) H5)))) t1
 378 H3)))))) (lift_gen_bind b (lift h d t) (lift h (S d) t0) t1 h d
 379 H2)))))))))))) (\lambda (f: F).(\lambda (t: T).(\lambda (H: ((\forall (t0:
 380 T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t) (lift h d t0)) \to
 381 (eq T t t0))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (H0: ((\forall (t1: T).(\forall
 382 (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t0) (lift h d t1)) \to (eq T t0
 383 t1))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1:
 384 (eq T (lift h d (THead (Flat f) t t0)) (lift h d t1))).(let H2 \def (eq_ind T
 385 (lift h d (THead (Flat f) t t0)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift h d t1))) H1
 386 (THead (Flat f) (lift h d t) (lift h d t0)) (lift_flat f t t0 h d)) in
 387 (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t1 (THead (Flat f) y
 388 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h d t) (lift h d y))))
 389 (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h d t0) (lift h d z)))) (eq T
 390 (THead (Flat f) t t0) t1) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H3: (eq
 391 T t1 (THead (Flat f) x0 x1))).(\lambda (H4: (eq T (lift h d t) (lift h d
 392 x0))).(\lambda (H5: (eq T (lift h d t0) (lift h d x1))).(eq_ind_r T (THead
 393 (Flat f) x0 x1) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) t t0) t2)) (sym_eq T
 394 (THead (Flat f) x0 x1) (THead (Flat f) t t0) (sym_eq T (THead (Flat f) t t0)
 395 (THead (Flat f) x0 x1) (f_equal3 K T T T THead (Flat f) (Flat f) t x0 t0 x1
 396 (refl_equal K (Flat f)) (H x0 h d H4) (H0 x1 h d H5)))) t1 H3))))))
 397 (lift_gen_flat f (lift h d t) (lift h d t0) t1 h d H2)))))))))))) k)) x).
 398
 399 lemma lift_gen_lift:
 400  \forall (t1: T).(\forall (x: T).(\forall (h1: nat).(\forall (h2:
 401 nat).(\forall (d1: nat).(\forall (d2: nat).((le d1 d2) \to ((eq T (lift h1 d1
 402 t1) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1
 403 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t1 (lift h2 d2 t2)))))))))))
 404 \def
 405  \lambda (t1: T).(T_ind (\lambda (t: T).(\forall (x: T).(\forall (h1:
 406 nat).(\forall (h2: nat).(\forall (d1: nat).(\forall (d2: nat).((le d1 d2) \to
 407 ((eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2:
 408 T).(eq T x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h2 d2
 409 t2)))))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (x: T).(\lambda (h1: nat).(\lambda
 410 (h2: nat).(\lambda (d1: nat).(\lambda (d2: nat).(\lambda (_: (le d1
 411 d2)).(\lambda (H0: (eq T (lift h1 d1 (TSort n)) (lift h2 (plus d2 h1)
 412 x))).(let H1 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (TSort n)) (\lambda (t: T).(eq T t
 413 (lift h2 (plus d2 h1) x))) H0 (TSort n) (lift_sort n h1 d1)) in (eq_ind_r T
 414 (TSort n) (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h1 d1 t2)))
 415 (\lambda (t2: T).(eq T (TSort n) (lift h2 d2 t2))))) (ex_intro2 T (\lambda
 416 (t2: T).(eq T (TSort n) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TSort n)
 417 (lift h2 d2 t2))) (TSort n) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t: T).(eq T
 418 (TSort n) t)) (refl_equal T (TSort n)) (lift h1 d1 (TSort n)) (lift_sort n h1
 419 d1)) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t: T).(eq T (TSort n) t)) (refl_equal T
 420 (TSort n)) (lift h2 d2 (TSort n)) (lift_sort n h2 d2))) x (lift_gen_sort h2
 421 (plus d2 h1) n x H1))))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (x: T).(\lambda
 422 (h1: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (d1: nat).(\lambda (d2: nat).(\lambda
 423 (H: (le d1 d2)).(\lambda (H0: (eq T (lift h1 d1 (TLRef n)) (lift h2 (plus d2
 424 h1) x))).(lt_le_e n d1 (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1 t2)))
 425 (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (H1: (lt n
 426 d1)).(let H2 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (TLRef n)) (\lambda (t: T).(eq T t
 427 (lift h2 (plus d2 h1) x))) H0 (TLRef n) (lift_lref_lt n h1 d1 H1)) in
 428 (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift
 429 h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))))) (ex_intro2 T
 430 (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T
 431 (TLRef n) (lift h2 d2 t2))) (TLRef n) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t:
 432 T).(eq T (TLRef n) t)) (refl_equal T (TLRef n)) (lift h1 d1 (TLRef n))
 433 (lift_lref_lt n h1 d1 H1)) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef
 434 n) t)) (refl_equal T (TLRef n)) (lift h2 d2 (TLRef n)) (lift_lref_lt n h2 d2
 435 (lt_le_trans n d1 d2 H1 H)))) x (lift_gen_lref_lt h2 (plus d2 h1) n
 436 (lt_le_trans n d1 (plus d2 h1) H1 (le_plus_trans d1 d2 h1 H)) x H2))))
 437 (\lambda (H1: (le d1 n)).(let H2 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (TLRef n))
 438 (\lambda (t: T).(eq T t (lift h2 (plus d2 h1) x))) H0 (TLRef (plus n h1))
 439 (lift_lref_ge n h1 d1 H1)) in (lt_le_e n d2 (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x
 440 (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))))
 441 (\lambda (H3: (lt n d2)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n h1)) (\lambda (t: T).(ex2
 442 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n)
 443 (lift h2 d2 t2))))) (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef (plus n h1))
 444 (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))) (TLRef
 445 n) (eq_ind_r T (TLRef (plus n h1)) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef (plus n h1))
 446 t)) (refl_equal T (TLRef (plus n h1))) (lift h1 d1 (TLRef n)) (lift_lref_ge n
 447 h1 d1 H1)) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef n) t))
 448 (refl_equal T (TLRef n)) (lift h2 d2 (TLRef n)) (lift_lref_lt n h2 d2 H3))) x
 449 (lift_gen_lref_lt h2 (plus d2 h1) (plus n h1) (lt_reg_r n d2 h1 H3) x H2)))
 450 (\lambda (H3: (le d2 n)).(lt_le_e n (plus d2 h2) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq
 451 T x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))))
 452 (\lambda (H4: (lt n (plus d2 h2))).(lift_gen_lref_false h2 (plus d2 h1) (plus
 453 n h1) (le_plus_plus d2 n h1 h1 H3 (le_n h1)) (eq_ind_r nat (plus (plus d2 h2)
 454 h1) (\lambda (n0: nat).(lt (plus n h1) n0)) (lt_reg_r n (plus d2 h2) h1 H4)
 455 (plus (plus d2 h1) h2) (plus_permute_2_in_3 d2 h1 h2)) x H2 (ex2 T (\lambda
 456 (t2: T).(eq T x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2
 457 d2 t2)))))) (\lambda (H4: (le (plus d2 h2) n)).(let H5 \def (eq_ind nat (plus
 458 n h1) (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0) (lift h2 (plus d2 h1) x))) H2 (plus
 459 (minus (plus n h1) h2) h2) (le_plus_minus_sym h2 (plus n h1) (le_plus_trans
 460 h2 n h1 (le_trans h2 (plus d2 h2) n (le_plus_r d2 h2) H4)))) in (eq_ind_r T
 461 (TLRef (minus (plus n h1) h2)) (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T
 462 t (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2)))))
 463 (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef (minus (plus n h1) h2)) (lift h1
 464 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))) (TLRef (minus n
 465 h2)) (eq_ind_r nat (plus (minus n h2) h1) (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0)
 466 (lift h1 d1 (TLRef (minus n h2))))) (eq_ind_r T (TLRef (plus (minus n h2)
 467 h1)) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef (plus (minus n h2) h1)) t)) (refl_equal T
 468 (TLRef (plus (minus n h2) h1))) (lift h1 d1 (TLRef (minus n h2)))
 469 (lift_lref_ge (minus n h2) h1 d1 (le_trans d1 d2 (minus n h2) H (le_minus d2
 470 n h2 H4)))) (minus (plus n h1) h2) (le_minus_plus h2 n (le_trans h2 (plus d2
 471 h2) n (le_plus_r d2 h2) H4) h1)) (eq_ind_r nat (plus (minus n h2) h2)
 472 (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0) (lift h2 d2 (TLRef (minus n0 h2)))))
 473 (eq_ind_r T (TLRef (plus (minus (plus (minus n h2) h2) h2) h2)) (\lambda (t:
 474 T).(eq T (TLRef (plus (minus n h2) h2)) t)) (sym_eq T (TLRef (plus (minus
 475 (plus (minus n h2) h2) h2) h2)) (TLRef (plus (minus n h2) h2)) (f_equal nat T
 476 TLRef (plus (minus (plus (minus n h2) h2) h2) h2) (plus (minus n h2) h2)
 477 (f_equal2 nat nat nat plus (minus (plus (minus n h2) h2) h2) (minus n h2) h2
 478 h2 (minus_plus_r (minus n h2) h2) (refl_equal nat h2)))) (lift h2 d2 (TLRef
 479 (minus (plus (minus n h2) h2) h2))) (lift_lref_ge (minus (plus (minus n h2)
 480 h2) h2) h2 d2 (le_minus d2 (plus (minus n h2) h2) h2 (le_plus_plus d2 (minus
 481 n h2) h2 h2 (le_minus d2 n h2 H4) (le_n h2))))) n (le_plus_minus_sym h2 n
 482 (le_trans h2 (plus d2 h2) n (le_plus_r d2 h2) H4)))) x (lift_gen_lref_ge h2
 483 (plus d2 h1) (minus (plus n h1) h2) (arith0 h2 d2 n H4 h1) x
 484 H5)))))))))))))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t: T).(\lambda (H: ((\forall
 485 (x: T).(\forall (h1: nat).(\forall (h2: nat).(\forall (d1: nat).(\forall (d2:
 486 nat).((le d1 d2) \to ((eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2
 487 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t (lift
 488 h2 d2 t2))))))))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (H0: ((\forall (x:
 489 T).(\forall (h1: nat).(\forall (h2: nat).(\forall (d1: nat).(\forall (d2:
 490 nat).((le d1 d2) \to ((eq T (lift h1 d1 t0) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to
 491 (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t0
 492 (lift h2 d2 t2))))))))))))).(\lambda (x: T).(\lambda (h1: nat).(\lambda (h2:
 493 nat).(\lambda (d1: nat).(\lambda (d2: nat).(\lambda (H1: (le d1 d2)).(\lambda
 494 (H2: (eq T (lift h1 d1 (THead k t t0)) (lift h2 (plus d2 h1) x))).(K_ind
 495 (\lambda (k0: K).((eq T (lift h1 d1 (THead k0 t t0)) (lift h2 (plus d2 h1)
 496 x)) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2:
 497 T).(eq T (THead k0 t t0) (lift h2 d2 t2)))))) (\lambda (b: B).(\lambda (H3:
 498 (eq T (lift h1 d1 (THead (Bind b) t t0)) (lift h2 (plus d2 h1) x))).(let H4
 499 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (THead (Bind b) t t0)) (\lambda (t2: T).(eq T t2
 500 (lift h2 (plus d2 h1) x))) H3 (THead (Bind b) (lift h1 d1 t) (lift h1 (S d1)
 501 t0)) (lift_bind b t t0 h1 d1)) in (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z:
 502 T).(eq T x (THead (Bind b) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T
 503 (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2 h1) y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 504 T).(eq T (lift h1 (S d1) t0) (lift h2 (S (plus d2 h1)) z)))) (ex2 T (\lambda
 505 (t2: T).(eq T x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) t
 506 t0) (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H5: (eq T
 507 x (THead (Bind b) x0 x1))).(\lambda (H6: (eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus
 508 d2 h1) x0))).(\lambda (H7: (eq T (lift h1 (S d1) t0) (lift h2 (S (plus d2
 509 h1)) x1))).(eq_ind_r T (THead (Bind b) x0 x1) (\lambda (t2: T).(ex2 T
 510 (\lambda (t3: T).(eq T t2 (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead
 511 (Bind b) t t0) (lift h2 d2 t3))))) (ex2_ind T (\lambda (t2: T).(eq T x0 (lift
 512 h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h2 d2 t2))) (ex2 T (\lambda (t2:
 513 T).(eq T (THead (Bind b) x0 x1) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T
 514 (THead (Bind b) t t0) (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (x2: T).(\lambda (H8: (eq T
 515 x0 (lift h1 d1 x2))).(\lambda (H9: (eq T t (lift h2 d2 x2))).(eq_ind_r T
 516 (lift h1 d1 x2) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind
 517 b) t2 x1) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) t t0)
 518 (lift h2 d2 t3))))) (eq_ind_r T (lift h2 d2 x2) (\lambda (t2: T).(ex2 T
 519 (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2) x1) (lift h1 d1 t3)))
 520 (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) t2 t0) (lift h2 d2 t3))))) (let H10
 521 \def (refl_equal nat (plus (S d2) h1)) in (let H11 \def (eq_ind nat (S (plus
 522 d2 h1)) (\lambda (n: nat).(eq T (lift h1 (S d1) t0) (lift h2 n x1))) H7 (plus
 523 (S d2) h1) H10) in (ex2_ind T (\lambda (t2: T).(eq T x1 (lift h1 (S d1) t2)))
 524 (\lambda (t2: T).(eq T t0 (lift h2 (S d2) t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T
 525 (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2) x1) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T
 526 (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) t0) (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (x3:
 527 T).(\lambda (H12: (eq T x1 (lift h1 (S d1) x3))).(\lambda (H13: (eq T t0
 528 (lift h2 (S d2) x3))).(eq_ind_r T (lift h1 (S d1) x3) (\lambda (t2: T).(ex2 T
 529 (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2) t2) (lift h1 d1 t3)))
 530 (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) t0) (lift h2 d2
 531 t3))))) (eq_ind_r T (lift h2 (S d2) x3) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3:
 532 T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2) (lift h1 (S d1) x3)) (lift h1 d1
 533 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) t2) (lift h2 d2
 534 t3))))) (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2)
 535 (lift h1 (S d1) x3)) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b)
 536 (lift h2 d2 x2) (lift h2 (S d2) x3)) (lift h2 d2 t2))) (THead (Bind b) x2 x3)
 537 (eq_ind_r T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2) (lift h1 (S d1) x3)) (\lambda
 538 (t2: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2) (lift h1 (S d1) x3)) t2))
 539 (refl_equal T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2) (lift h1 (S d1) x3))) (lift h1
 540 d1 (THead (Bind b) x2 x3)) (lift_bind b x2 x3 h1 d1)) (eq_ind_r T (THead
 541 (Bind b) (lift h2 d2 x2) (lift h2 (S d2) x3)) (\lambda (t2: T).(eq T (THead
 542 (Bind b) (lift h2 d2 x2) (lift h2 (S d2) x3)) t2)) (refl_equal T (THead (Bind
 543 b) (lift h2 d2 x2) (lift h2 (S d2) x3))) (lift h2 d2 (THead (Bind b) x2 x3))
 544 (lift_bind b x2 x3 h2 d2))) t0 H13) x1 H12)))) (H0 x1 h1 h2 (S d1) (S d2)
 545 (le_n_S d1 d2 H1) H11)))) t H9) x0 H8)))) (H x0 h1 h2 d1 d2 H1 H6)) x
 546 H5)))))) (lift_gen_bind b (lift h1 d1 t) (lift h1 (S d1) t0) x h2 (plus d2
 547 h1) H4))))) (\lambda (f: F).(\lambda (H3: (eq T (lift h1 d1 (THead (Flat f) t
 548 t0)) (lift h2 (plus d2 h1) x))).(let H4 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (THead
 549 (Flat f) t t0)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift h2 (plus d2 h1) x))) H3
 550 (THead (Flat f) (lift h1 d1 t) (lift h1 d1 t0)) (lift_flat f t t0 h1 d1)) in
 551 (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Flat f) y
 552 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2
 553 h1) y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h1 d1 t0) (lift h2
 554 (plus d2 h1) z)))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1 t2))) (\lambda
 555 (t2: T).(eq T (THead (Flat f) t t0) (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (x0:
 556 T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H5: (eq T x (THead (Flat f) x0 x1))).(\lambda
 557 (H6: (eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2 h1) x0))).(\lambda (H7: (eq T
 558 (lift h1 d1 t0) (lift h2 (plus d2 h1) x1))).(eq_ind_r T (THead (Flat f) x0
 559 x1) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T t2 (lift h1 d1 t3)))
 560 (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) t t0) (lift h2 d2 t3))))) (ex2_ind T
 561 (\lambda (t2: T).(eq T x0 (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h2
 562 d2 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) x0 x1) (lift h1 d1
 563 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) t t0) (lift h2 d2 t2))))
 564 (\lambda (x2: T).(\lambda (H8: (eq T x0 (lift h1 d1 x2))).(\lambda (H9: (eq T
 565 t (lift h2 d2 x2))).(eq_ind_r T (lift h1 d1 x2) (\lambda (t2: T).(ex2 T
 566 (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) t2 x1) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3:
 567 T).(eq T (THead (Flat f) t t0) (lift h2 d2 t3))))) (eq_ind_r T (lift h2 d2
 568 x2) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1
 569 d1 x2) x1) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) t2 t0)
 570 (lift h2 d2 t3))))) (ex2_ind T (\lambda (t2: T).(eq T x1 (lift h1 d1 t2)))
 571 (\lambda (t2: T).(eq T t0 (lift h2 d2 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T
 572 (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) x1) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T
 573 (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) t0) (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (x3:
 574 T).(\lambda (H10: (eq T x1 (lift h1 d1 x3))).(\lambda (H11: (eq T t0 (lift h2
 575 d2 x3))).(eq_ind_r T (lift h1 d1 x3) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3:
 576 T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) t2) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3:
 577 T).(eq T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) t0) (lift h2 d2 t3))))) (eq_ind_r T
 578 (lift h2 d2 x3) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat
 579 f) (lift h1 d1 x2) (lift h1 d1 x3)) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T
 580 (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) t2) (lift h2 d2 t3))))) (ex_intro2 T (\lambda
 581 (t2: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) (lift h1 d1 x3)) (lift h1 d1
 582 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) (lift h2 d2 x3))
 583 (lift h2 d2 t2))) (THead (Flat f) x2 x3) (eq_ind_r T (THead (Flat f) (lift h1
 584 d1 x2) (lift h1 d1 x3)) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1
 585 x2) (lift h1 d1 x3)) t2)) (refl_equal T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) (lift
 586 h1 d1 x3))) (lift h1 d1 (THead (Flat f) x2 x3)) (lift_flat f x2 x3 h1 d1))
 587 (eq_ind_r T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) (lift h2 d2 x3)) (\lambda (t2:
 588 T).(eq T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) (lift h2 d2 x3)) t2)) (refl_equal T
 589 (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) (lift h2 d2 x3))) (lift h2 d2 (THead (Flat f)
 590 x2 x3)) (lift_flat f x2 x3 h2 d2))) t0 H11) x1 H10)))) (H0 x1 h1 h2 d1 d2 H1
 591 H7)) t H9) x0 H8)))) (H x0 h1 h2 d1 d2 H1 H6)) x H5)))))) (lift_gen_flat f
 592 (lift h1 d1 t) (lift h1 d1 t0) x h2 (plus d2 h1) H4))))) k H2)))))))))))))
 593 t1).
 594
 595 lemma lifts_inj:
 596  \forall (xs: TList).(\forall (ts: TList).(\forall (h: nat).(\forall (d:
 597 nat).((eq TList (lifts h d xs) (lifts h d ts)) \to (eq TList xs ts)))))
 598 \def
 599  \lambda (xs: TList).(TList_ind (\lambda (t: TList).(\forall (ts:
 600 TList).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq TList (lifts h d t) (lifts h
 601 d ts)) \to (eq TList t ts)))))) (\lambda (ts: TList).(TList_ind (\lambda (t:
 602 TList).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq TList (lifts h d TNil) (lifts
 603 h d t)) \to (eq TList TNil t))))) (\lambda (_: nat).(\lambda (_:
 604 nat).(\lambda (_: (eq TList TNil TNil)).(refl_equal TList TNil)))) (\lambda
 605 (t: T).(\lambda (t0: TList).(\lambda (_: ((\forall (h: nat).(\forall (d:
 606 nat).((eq TList TNil (lifts h d t0)) \to (eq TList TNil t0)))))).(\lambda (h:
 607 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H0: (eq TList TNil (TCons (lift h d t)
 608 (lifts h d t0)))).(let H1 \def (eq_ind TList TNil (\lambda (ee: TList).(match
 609 ee with [TNil \Rightarrow True | (TCons _ _) \Rightarrow False])) I (TCons
 610 (lift h d t) (lifts h d t0)) H0) in (False_ind (eq TList TNil (TCons t t0))
 611 H1)))))))) ts)) (\lambda (t: T).(\lambda (t0: TList).(\lambda (H: ((\forall
 612 (ts: TList).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq TList (lifts h d t0)
 613 (lifts h d ts)) \to (eq TList t0 ts))))))).(\lambda (ts: TList).(TList_ind
 614 (\lambda (t1: TList).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq TList (lifts h
 615 d (TCons t t0)) (lifts h d t1)) \to (eq TList (TCons t t0) t1))))) (\lambda
 616 (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H0: (eq TList (TCons (lift h d t) (lifts
 617 h d t0)) TNil)).(let H1 \def (eq_ind TList (TCons (lift h d t) (lifts h d
 618 t0)) (\lambda (ee: TList).(match ee with [TNil \Rightarrow False | (TCons _
 619 _) \Rightarrow True])) I TNil H0) in (False_ind (eq TList (TCons t t0) TNil)
 620 H1))))) (\lambda (t1: T).(\lambda (t2: TList).(\lambda (_: ((\forall (h:
 621 nat).(\forall (d: nat).((eq TList (TCons (lift h d t) (lifts h d t0)) (lifts
 622 h d t2)) \to (eq TList (TCons t t0) t2)))))).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
 623 nat).(\lambda (H1: (eq TList (TCons (lift h d t) (lifts h d t0)) (TCons (lift
 624 h d t1) (lifts h d t2)))).(let H2 \def (f_equal TList T (\lambda (e:
 625 TList).(match e with [TNil \Rightarrow (lref_map (\lambda (x: nat).(plus x
 626 h)) d t) | (TCons t3 _) \Rightarrow t3])) (TCons (lift h d t) (lifts h d t0))
 627 (TCons (lift h d t1) (lifts h d t2)) H1) in ((let H3 \def (f_equal TList
 628 TList (\lambda (e: TList).(match e with [TNil \Rightarrow (lifts h d t0) |
 629 (TCons _ t3) \Rightarrow t3])) (TCons (lift h d t) (lifts h d t0)) (TCons
 630 (lift h d t1) (lifts h d t2)) H1) in (\lambda (H4: (eq T (lift h d t) (lift h
 631 d t1))).(eq_ind T t (\lambda (t3: T).(eq TList (TCons t t0) (TCons t3 t2)))
 632 (f_equal2 T TList TList TCons t t t0 t2 (refl_equal T t) (H t2 h d H3)) t1
 633 (lift_inj t t1 h d H4)))) H2)))))))) ts))))) xs).
 634