matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_1/lift/fwd.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "Basic-1/lift/defs.ma".
  18
  19 theorem lift_sort:
  20  \forall (n: nat).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).(eq T (lift h d (TSort
  21 n)) (TSort n))))
  22 \def
  23  \lambda (n: nat).(\lambda (_: nat).(\lambda (_: nat).(refl_equal T (TSort
  24 n)))).
  25 (* COMMENTS
  26 Initial nodes: 13
  27 END *)
  28
  29 theorem lift_lref_lt:
  30  \forall (n: nat).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((lt n d) \to (eq T
  31 (lift h d (TLRef n)) (TLRef n)))))
  32 \def
  33  \lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (lt n
  34 d)).(eq_ind bool true (\lambda (b: bool).(eq T (TLRef (match b with [true
  35 \Rightarrow n | false \Rightarrow (plus n h)])) (TLRef n))) (refl_equal T
  36 (TLRef n)) (blt n d) (sym_eq bool (blt n d) true (lt_blt d n H)))))).
  37 (* COMMENTS
  38 Initial nodes: 72
  39 END *)
  40
  41 theorem lift_lref_ge:
  42  \forall (n: nat).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((le d n) \to (eq T
  43 (lift h d (TLRef n)) (TLRef (plus n h))))))
  44 \def
  45  \lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (le d
  46 n)).(eq_ind bool false (\lambda (b: bool).(eq T (TLRef (match b with [true
  47 \Rightarrow n | false \Rightarrow (plus n h)])) (TLRef (plus n h))))
  48 (refl_equal T (TLRef (plus n h))) (blt n d) (sym_eq bool (blt n d) false
  49 (le_bge d n H)))))).
  50 (* COMMENTS
  51 Initial nodes: 80
  52 END *)
  53
  54 theorem lift_head:
  55  \forall (k: K).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall
  56 (d: nat).(eq T (lift h d (THead k u t)) (THead k (lift h d u) (lift h (s k d)
  57 t)))))))
  58 \def
  59  \lambda (k: K).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (h: nat).(\lambda
  60 (d: nat).(refl_equal T (THead k (lift h d u) (lift h (s k d) t))))))).
  61 (* COMMENTS
  62 Initial nodes: 37
  63 END *)
  64
  65 theorem lift_bind:
  66  \forall (b: B).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall
  67 (d: nat).(eq T (lift h d (THead (Bind b) u t)) (THead (Bind b) (lift h d u)
  68 (lift h (S d) t)))))))
  69 \def
  70  \lambda (b: B).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (h: nat).(\lambda
  71 (d: nat).(refl_equal T (THead (Bind b) (lift h d u) (lift h (S d) t))))))).
  72 (* COMMENTS
  73 Initial nodes: 37
  74 END *)
  75
  76 theorem lift_flat:
  77  \forall (f: F).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall
  78 (d: nat).(eq T (lift h d (THead (Flat f) u t)) (THead (Flat f) (lift h d u)
  79 (lift h d t)))))))
  80 \def
  81  \lambda (f: F).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (h: nat).(\lambda
  82 (d: nat).(refl_equal T (THead (Flat f) (lift h d u) (lift h d t))))))).
  83 (* COMMENTS
  84 Initial nodes: 35
  85 END *)
  86
  87 theorem lift_gen_sort:
  88  \forall (h: nat).(\forall (d: nat).(\forall (n: nat).(\forall (t: T).((eq T
  89 (TSort n) (lift h d t)) \to (eq T t (TSort n))))))
  90 \def
  91  \lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (t: T).(T_ind
  92 (\lambda (t0: T).((eq T (TSort n) (lift h d t0)) \to (eq T t0 (TSort n))))
  93 (\lambda (n0: nat).(\lambda (H: (eq T (TSort n) (lift h d (TSort
  94 n0)))).(sym_eq T (TSort n) (TSort n0) H))) (\lambda (n0: nat).(\lambda (H:
  95 (eq T (TSort n) (lift h d (TLRef n0)))).(lt_le_e n0 d (eq T (TLRef n0) (TSort
  96 n)) (\lambda (_: (lt n0 d)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n0))
  97 (\lambda (t0: T).(eq T (TSort n) t0)) H (TLRef n0) (lift_lref_lt n0 h d (let
  98 H1 \def (eq_ind T (TSort n) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda
  99 (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow True | (TLRef _) \Rightarrow False |
 100 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (lift h d (TLRef n0)) H) in (False_ind
 101 (lt n0 d) H1)))) in (let H2 \def (eq_ind T (TSort n) (\lambda (ee: T).(match
 102 ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow True |
 103 (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (TLRef n0)
 104 H1) in (False_ind (eq T (TLRef n0) (TSort n)) H2)))) (\lambda (_: (le d
 105 n0)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n0)) (\lambda (t0: T).(eq T
 106 (TSort n) t0)) H (TLRef (plus n0 h)) (lift_lref_ge n0 h d (let H1 \def
 107 (eq_ind T (TSort n) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_:
 108 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow True | (TLRef _) \Rightarrow False |
 109 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (lift h d (TLRef n0)) H) in (False_ind
 110 (le d n0) H1)))) in (let H2 \def (eq_ind T (TSort n) (\lambda (ee: T).(match
 111 ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow True |
 112 (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (TLRef
 113 (plus n0 h)) H1) in (False_ind (eq T (TLRef n0) (TSort n)) H2))))))) (\lambda
 114 (k: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (((eq T (TSort n) (lift h d t0)) \to (eq
 115 T t0 (TSort n))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (_: (((eq T (TSort n) (lift h d
 116 t1)) \to (eq T t1 (TSort n))))).(\lambda (H1: (eq T (TSort n) (lift h d
 117 (THead k t0 t1)))).(let H2 \def (eq_ind T (lift h d (THead k t0 t1)) (\lambda
 118 (t2: T).(eq T (TSort n) t2)) H1 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1))
 119 (lift_head k t0 t1 h d)) in (let H3 \def (eq_ind T (TSort n) (\lambda (ee:
 120 T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow
 121 True | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I
 122 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) H2) in (False_ind (eq T (THead k
 123 t0 t1) (TSort n)) H3))))))))) t)))).
 124 (* COMMENTS
 125 Initial nodes: 613
 126 END *)
 127
 128 theorem lift_gen_lref:
 129  \forall (t: T).(\forall (d: nat).(\forall (h: nat).(\forall (i: nat).((eq T
 130 (TLRef i) (lift h d t)) \to (or (land (lt i d) (eq T t (TLRef i))) (land (le
 131 (plus d h) i) (eq T t (TLRef (minus i h)))))))))
 132 \def
 133  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (d: nat).(\forall (h:
 134 nat).(\forall (i: nat).((eq T (TLRef i) (lift h d t0)) \to (or (land (lt i d)
 135 (eq T t0 (TLRef i))) (land (le (plus d h) i) (eq T t0 (TLRef (minus i
 136 h)))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda
 137 (i: nat).(\lambda (H: (eq T (TLRef i) (lift h d (TSort n)))).(let H0 \def
 138 (eq_ind T (lift h d (TSort n)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef i) t0)) H (TSort
 139 n) (lift_sort n h d)) in (let H1 \def (eq_ind T (TLRef i) (\lambda (ee:
 140 T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow
 141 False | (TLRef _) \Rightarrow True | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I
 142 (TSort n) H0) in (False_ind (or (land (lt i d) (eq T (TSort n) (TLRef i)))
 143 (land (le (plus d h) i) (eq T (TSort n) (TLRef (minus i h))))) H1))))))))
 144 (\lambda (n: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (i:
 145 nat).(\lambda (H: (eq T (TLRef i) (lift h d (TLRef n)))).(lt_le_e n d (or
 146 (land (lt i d) (eq T (TLRef n) (TLRef i))) (land (le (plus d h) i) (eq T
 147 (TLRef n) (TLRef (minus i h))))) (\lambda (H0: (lt n d)).(let H1 \def (eq_ind
 148 T (lift h d (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef i) t0)) H (TLRef n)
 149 (lift_lref_lt n h d H0)) in (let H2 \def (f_equal T nat (\lambda (e:
 150 T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with [(TSort _) \Rightarrow i |
 151 (TLRef n0) \Rightarrow n0 | (THead _ _ _) \Rightarrow i])) (TLRef i) (TLRef
 152 n) H1) in (eq_ind_r nat n (\lambda (n0: nat).(or (land (lt n0 d) (eq T (TLRef
 153 n) (TLRef n0))) (land (le (plus d h) n0) (eq T (TLRef n) (TLRef (minus n0
 154 h)))))) (or_introl (land (lt n d) (eq T (TLRef n) (TLRef n))) (land (le (plus
 155 d h) n) (eq T (TLRef n) (TLRef (minus n h)))) (conj (lt n d) (eq T (TLRef n)
 156 (TLRef n)) H0 (refl_equal T (TLRef n)))) i H2)))) (\lambda (H0: (le d
 157 n)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef
 158 i) t0)) H (TLRef (plus n h)) (lift_lref_ge n h d H0)) in (let H2 \def
 159 (f_equal T nat (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with
 160 [(TSort _) \Rightarrow i | (TLRef n0) \Rightarrow n0 | (THead _ _ _)
 161 \Rightarrow i])) (TLRef i) (TLRef (plus n h)) H1) in (eq_ind_r nat (plus n h)
 162 (\lambda (n0: nat).(or (land (lt n0 d) (eq T (TLRef n) (TLRef n0))) (land (le
 163 (plus d h) n0) (eq T (TLRef n) (TLRef (minus n0 h)))))) (eq_ind_r nat n
 164 (\lambda (n0: nat).(or (land (lt (plus n h) d) (eq T (TLRef n) (TLRef (plus n
 165 h)))) (land (le (plus d h) (plus n h)) (eq T (TLRef n) (TLRef n0)))))
 166 (or_intror (land (lt (plus n h) d) (eq T (TLRef n) (TLRef (plus n h)))) (land
 167 (le (plus d h) (plus n h)) (eq T (TLRef n) (TLRef n))) (conj (le (plus d h)
 168 (plus n h)) (eq T (TLRef n) (TLRef n)) (le_plus_plus d n h h H0 (le_n h))
 169 (refl_equal T (TLRef n)))) (minus (plus n h) h) (minus_plus_r n h)) i
 170 H2)))))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: ((\forall (d:
 171 nat).(\forall (h: nat).(\forall (i: nat).((eq T (TLRef i) (lift h d t0)) \to
 172 (or (land (lt i d) (eq T t0 (TLRef i))) (land (le (plus d h) i) (eq T t0
 173 (TLRef (minus i h))))))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (_: ((\forall (d:
 174 nat).(\forall (h: nat).(\forall (i: nat).((eq T (TLRef i) (lift h d t1)) \to
 175 (or (land (lt i d) (eq T t1 (TLRef i))) (land (le (plus d h) i) (eq T t1
 176 (TLRef (minus i h))))))))))).(\lambda (d: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (i:
 177 nat).(\lambda (H1: (eq T (TLRef i) (lift h d (THead k t0 t1)))).(let H2 \def
 178 (eq_ind T (lift h d (THead k t0 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef i) t2)) H1
 179 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) (lift_head k t0 t1 h d)) in (let
 180 H3 \def (eq_ind T (TLRef i) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda
 181 (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow True |
 182 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d)
 183 t1)) H2) in (False_ind (or (land (lt i d) (eq T (THead k t0 t1) (TLRef i)))
 184 (land (le (plus d h) i) (eq T (THead k t0 t1) (TLRef (minus i h)))))
 185 H3)))))))))))) t).
 186 (* COMMENTS
 187 Initial nodes: 1221
 188 END *)
 189
 190 theorem lift_gen_lref_lt:
 191  \forall (h: nat).(\forall (d: nat).(\forall (n: nat).((lt n d) \to (\forall
 192 (t: T).((eq T (TLRef n) (lift h d t)) \to (eq T t (TLRef n)))))))
 193 \def
 194  \lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (lt n
 195 d)).(\lambda (t: T).(\lambda (H0: (eq T (TLRef n) (lift h d t))).(let H_x
 196 \def (lift_gen_lref t d h n H0) in (let H1 \def H_x in (or_ind (land (lt n d)
 197 (eq T t (TLRef n))) (land (le (plus d h) n) (eq T t (TLRef (minus n h)))) (eq
 198 T t (TLRef n)) (\lambda (H2: (land (lt n d) (eq T t (TLRef n)))).(land_ind
 199 (lt n d) (eq T t (TLRef n)) (eq T t (TLRef n)) (\lambda (_: (lt n
 200 d)).(\lambda (H4: (eq T t (TLRef n))).(eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0:
 201 T).(eq T t0 (TLRef n))) (refl_equal T (TLRef n)) t H4))) H2)) (\lambda (H2:
 202 (land (le (plus d h) n) (eq T t (TLRef (minus n h))))).(land_ind (le (plus d
 203 h) n) (eq T t (TLRef (minus n h))) (eq T t (TLRef n)) (\lambda (H3: (le (plus
 204 d h) n)).(\lambda (H4: (eq T t (TLRef (minus n h)))).(eq_ind_r T (TLRef
 205 (minus n h)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (TLRef n))) (le_false (plus d h) n (eq
 206 T (TLRef (minus n h)) (TLRef n)) H3 (lt_le_S n (plus d h) (le_plus_trans (S
 207 n) d h H))) t H4))) H2)) H1)))))))).
 208 (* COMMENTS
 209 Initial nodes: 363
 210 END *)
 211
 212 theorem lift_gen_lref_false:
 213  \forall (h: nat).(\forall (d: nat).(\forall (n: nat).((le d n) \to ((lt n
 214 (plus d h)) \to (\forall (t: T).((eq T (TLRef n) (lift h d t)) \to (\forall
 215 (P: Prop).P)))))))
 216 \def
 217  \lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (le d
 218 n)).(\lambda (H0: (lt n (plus d h))).(\lambda (t: T).(\lambda (H1: (eq T
 219 (TLRef n) (lift h d t))).(\lambda (P: Prop).(let H_x \def (lift_gen_lref t d
 220 h n H1) in (let H2 \def H_x in (or_ind (land (lt n d) (eq T t (TLRef n)))
 221 (land (le (plus d h) n) (eq T t (TLRef (minus n h)))) P (\lambda (H3: (land
 222 (lt n d) (eq T t (TLRef n)))).(land_ind (lt n d) (eq T t (TLRef n)) P
 223 (\lambda (H4: (lt n d)).(\lambda (_: (eq T t (TLRef n))).(le_false d n P H
 224 H4))) H3)) (\lambda (H3: (land (le (plus d h) n) (eq T t (TLRef (minus n
 225 h))))).(land_ind (le (plus d h) n) (eq T t (TLRef (minus n h))) P (\lambda
 226 (H4: (le (plus d h) n)).(\lambda (_: (eq T t (TLRef (minus n h)))).(le_false
 227 (plus d h) n P H4 H0))) H3)) H2)))))))))).
 228 (* COMMENTS
 229 Initial nodes: 269
 230 END *)
 231
 232 theorem lift_gen_lref_ge:
 233  \forall (h: nat).(\forall (d: nat).(\forall (n: nat).((le d n) \to (\forall
 234 (t: T).((eq T (TLRef (plus n h)) (lift h d t)) \to (eq T t (TLRef n)))))))
 235 \def
 236  \lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (le d
 237 n)).(\lambda (t: T).(\lambda (H0: (eq T (TLRef (plus n h)) (lift h d
 238 t))).(let H_x \def (lift_gen_lref t d h (plus n h) H0) in (let H1 \def H_x in
 239 (or_ind (land (lt (plus n h) d) (eq T t (TLRef (plus n h)))) (land (le (plus
 240 d h) (plus n h)) (eq T t (TLRef (minus (plus n h) h)))) (eq T t (TLRef n))
 241 (\lambda (H2: (land (lt (plus n h) d) (eq T t (TLRef (plus n h))))).(land_ind
 242 (lt (plus n h) d) (eq T t (TLRef (plus n h))) (eq T t (TLRef n)) (\lambda
 243 (H3: (lt (plus n h) d)).(\lambda (H4: (eq T t (TLRef (plus n h)))).(eq_ind_r
 244 T (TLRef (plus n h)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (TLRef n))) (le_false d n (eq
 245 T (TLRef (plus n h)) (TLRef n)) H (lt_le_S n d (simpl_lt_plus_r h n d
 246 (lt_le_trans (plus n h) d (plus d h) H3 (le_plus_l d h))))) t H4))) H2))
 247 (\lambda (H2: (land (le (plus d h) (plus n h)) (eq T t (TLRef (minus (plus n
 248 h) h))))).(land_ind (le (plus d h) (plus n h)) (eq T t (TLRef (minus (plus n
 249 h) h))) (eq T t (TLRef n)) (\lambda (_: (le (plus d h) (plus n h))).(\lambda
 250 (H4: (eq T t (TLRef (minus (plus n h) h)))).(eq_ind_r T (TLRef (minus (plus n
 251 h) h)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (TLRef n))) (f_equal nat T TLRef (minus
 252 (plus n h) h) n (minus_plus_r n h)) t H4))) H2)) H1)))))))).
 253 (* COMMENTS
 254 Initial nodes: 473
 255 END *)
 256
 257 theorem lift_gen_head:
 258  \forall (k: K).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (x: T).(\forall (h:
 259 nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k u t) (lift h d x)) \to (ex3_2 T T
 260 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead k y z)))) (\lambda (y:
 261 T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 262 T).(eq T t (lift h (s k d) z)))))))))))
 263 \def
 264  \lambda (k: K).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (x: T).(T_ind
 265 (\lambda (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k u t)
 266 (lift h d t0)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (THead
 267 k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda
 268 (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s k d) z))))))))) (\lambda (n:
 269 nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T (THead k u t)
 270 (lift h d (TSort n)))).(let H0 \def (eq_ind T (lift h d (TSort n)) (\lambda
 271 (t0: T).(eq T (THead k u t) t0)) H (TSort n) (lift_sort n h d)) in (let H1
 272 \def (eq_ind T (THead k u t) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda
 273 (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False
 274 | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TSort n) H0) in (False_ind (ex3_2 T T
 275 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TSort n) (THead k y z)))) (\lambda (y:
 276 T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 277 T).(eq T t (lift h (s k d) z))))) H1))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (h:
 278 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T (THead k u t) (lift h d (TLRef
 279 n)))).(lt_le_e n d (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n)
 280 (THead k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y))))
 281 (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s k d) z))))) (\lambda (H0:
 282 (lt n d)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T
 283 (THead k u t) t0)) H (TLRef n) (lift_lref_lt n h d H0)) in (let H2 \def
 284 (eq_ind T (THead k u t) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_:
 285 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False |
 286 (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TLRef n) H1) in (False_ind (ex3_2 T T
 287 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead k y z)))) (\lambda (y:
 288 T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 289 T).(eq T t (lift h (s k d) z))))) H2)))) (\lambda (H0: (le d n)).(let H1 \def
 290 (eq_ind T (lift h d (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T (THead k u t) t0)) H
 291 (TLRef (plus n h)) (lift_lref_ge n h d H0)) in (let H2 \def (eq_ind T (THead
 292 k u t) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with
 293 [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _)
 294 \Rightarrow True])) I (TLRef (plus n h)) H1) in (False_ind (ex3_2 T T
 295 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead k y z)))) (\lambda (y:
 296 T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 297 T).(eq T t (lift h (s k d) z))))) H2))))))))) (\lambda (k0: K).(\lambda (t0:
 298 T).(\lambda (H: ((\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k u t)
 299 (lift h d t0)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (THead
 300 k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda
 301 (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s k d) z)))))))))).(\lambda (t1:
 302 T).(\lambda (H0: ((\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k u t)
 303 (lift h d t1)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t1 (THead
 304 k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda
 305 (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s k d) z)))))))))).(\lambda (h:
 306 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1: (eq T (THead k u t) (lift h d (THead k0
 307 t0 t1)))).(let H2 \def (eq_ind T (lift h d (THead k0 t0 t1)) (\lambda (t2:
 308 T).(eq T (THead k u t) t2)) H1 (THead k0 (lift h d t0) (lift h (s k0 d) t1))
 309 (lift_head k0 t0 t1 h d)) in (let H3 \def (f_equal T K (\lambda (e: T).(match
 310 e in T return (\lambda (_: T).K) with [(TSort _) \Rightarrow k | (TLRef _)
 311 \Rightarrow k | (THead k1 _ _) \Rightarrow k1])) (THead k u t) (THead k0
 312 (lift h d t0) (lift h (s k0 d) t1)) H2) in ((let H4 \def (f_equal T T
 313 (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _)
 314 \Rightarrow u | (TLRef _) \Rightarrow u | (THead _ t2 _) \Rightarrow t2]))
 315 (THead k u t) (THead k0 (lift h d t0) (lift h (s k0 d) t1)) H2) in ((let H5
 316 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T)
 317 with [(TSort _) \Rightarrow t | (TLRef _) \Rightarrow t | (THead _ _ t2)
 318 \Rightarrow t2])) (THead k u t) (THead k0 (lift h d t0) (lift h (s k0 d) t1))
 319 H2) in (\lambda (H6: (eq T u (lift h d t0))).(\lambda (H7: (eq K k k0)).(let
 320 H8 \def (eq_ind_r K k0 (\lambda (k1: K).(eq T t (lift h (s k1 d) t1))) H5 k
 321 H7) in (eq_ind K k (\lambda (k1: K).(ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z:
 322 T).(eq T (THead k1 t0 t1) (THead k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_:
 323 T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s
 324 k d) z)))))) (let H9 \def (eq_ind T t (\lambda (t2: T).(\forall (h0:
 325 nat).(\forall (d0: nat).((eq T (THead k u t2) (lift h0 d0 t1)) \to (ex3_2 T T
 326 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t1 (THead k y z)))) (\lambda (y:
 327 T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h0 d0 y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 328 T).(eq T t2 (lift h0 (s k d0) z))))))))) H0 (lift h (s k d) t1) H8) in (let
 329 H10 \def (eq_ind T t (\lambda (t2: T).(\forall (h0: nat).(\forall (d0:
 330 nat).((eq T (THead k u t2) (lift h0 d0 t0)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y:
 331 T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (THead k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_:
 332 T).(eq T u (lift h0 d0 y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t2 (lift
 333 h0 (s k d0) z))))))))) H (lift h (s k d) t1) H8) in (eq_ind_r T (lift h (s k
 334 d) t1) (\lambda (t2: T).(ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T
 335 (THead k t0 t1) (THead k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u
 336 (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t2 (lift h (s k d)
 337 z)))))) (let H11 \def (eq_ind T u (\lambda (t2: T).(\forall (h0:
 338 nat).(\forall (d0: nat).((eq T (THead k t2 (lift h (s k d) t1)) (lift h0 d0
 339 t0)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (THead k y z))))
 340 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T t2 (lift h0 d0 y)))) (\lambda (_:
 341 T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h (s k d) t1) (lift h0 (s k d0) z))))))))) H10
 342 (lift h d t0) H6) in (let H12 \def (eq_ind T u (\lambda (t2: T).(\forall (h0:
 343 nat).(\forall (d0: nat).((eq T (THead k t2 (lift h (s k d) t1)) (lift h0 d0
 344 t1)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t1 (THead k y z))))
 345 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T t2 (lift h0 d0 y)))) (\lambda (_:
 346 T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h (s k d) t1) (lift h0 (s k d0) z))))))))) H9
 347 (lift h d t0) H6) in (eq_ind_r T (lift h d t0) (\lambda (t2: T).(ex3_2 T T
 348 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead k t0 t1) (THead k y z))))
 349 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T t2 (lift h d y)))) (\lambda (_:
 350 T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h (s k d) t1) (lift h (s k d) z))))))
 351 (ex3_2_intro T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead k t0 t1) (THead
 352 k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h d t0) (lift h d y))))
 353 (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h (s k d) t1) (lift h (s k d)
 354 z)))) t0 t1 (refl_equal T (THead k t0 t1)) (refl_equal T (lift h d t0))
 355 (refl_equal T (lift h (s k d) t1))) u H6))) t H8))) k0 H7))))) H4))
 356 H3))))))))))) x)))).
 357 (* COMMENTS
 358 Initial nodes: 2083
 359 END *)
 360
 361 theorem lift_gen_bind:
 362  \forall (b: B).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (x: T).(\forall (h:
 363 nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead (Bind b) u t) (lift h d x)) \to (ex3_2 T
 364 T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Bind b) y z)))) (\lambda
 365 (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 366 T).(eq T t (lift h (S d) z)))))))))))
 367 \def
 368  \lambda (b: B).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (x: T).(\lambda (h:
 369 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T (THead (Bind b) u t) (lift h d
 370 x))).(let H_x \def (lift_gen_head (Bind b) u t x h d H) in (let H0 \def H_x
 371 in (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Bind b) y
 372 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 373 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (S d) z)))) (ex3_2 T T (\lambda (y:
 374 T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Bind b) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda
 375 (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift
 376 h (S d) z))))) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H1: (eq T x (THead
 377 (Bind b) x0 x1))).(\lambda (H2: (eq T u (lift h d x0))).(\lambda (H3: (eq T t
 378 (lift h (S d) x1))).(eq_ind_r T (THead (Bind b) x0 x1) (\lambda (t0:
 379 T).(ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (THead (Bind b) y
 380 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 381 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (S d) z)))))) (eq_ind_r T (lift h (S d)
 382 x1) (\lambda (t0: T).(ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead
 383 (Bind b) x0 x1) (THead (Bind b) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T
 384 u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (lift h (S d)
 385 z)))))) (eq_ind_r T (lift h d x0) (\lambda (t0: T).(ex3_2 T T (\lambda (y:
 386 T).(\lambda (z: T).(eq T (THead (Bind b) x0 x1) (THead (Bind b) y z))))
 387 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T t0 (lift h d y)))) (\lambda (_:
 388 T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h (S d) x1) (lift h (S d) z)))))) (ex3_2_intro
 389 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead (Bind b) x0 x1) (THead (Bind
 390 b) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h d x0) (lift h d
 391 y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h (S d) x1) (lift h (S d)
 392 z)))) x0 x1 (refl_equal T (THead (Bind b) x0 x1)) (refl_equal T (lift h d
 393 x0)) (refl_equal T (lift h (S d) x1))) u H2) t H3) x H1)))))) H0))))))))).
 394 (* COMMENTS
 395 Initial nodes: 637
 396 END *)
 397
 398 theorem lift_gen_flat:
 399  \forall (f: F).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (x: T).(\forall (h:
 400 nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead (Flat f) u t) (lift h d x)) \to (ex3_2 T
 401 T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Flat f) y z)))) (\lambda
 402 (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 403 T).(eq T t (lift h d z)))))))))))
 404 \def
 405  \lambda (f: F).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (x: T).(\lambda (h:
 406 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T (THead (Flat f) u t) (lift h d
 407 x))).(let H_x \def (lift_gen_head (Flat f) u t x h d H) in (let H0 \def H_x
 408 in (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Flat f) y
 409 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 410 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h d z)))) (ex3_2 T T (\lambda (y:
 411 T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda
 412 (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift
 413 h d z))))) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H1: (eq T x (THead
 414 (Flat f) x0 x1))).(\lambda (H2: (eq T u (lift h d x0))).(\lambda (H3: (eq T t
 415 (lift h d x1))).(eq_ind_r T (THead (Flat f) x0 x1) (\lambda (t0: T).(ex3_2 T
 416 T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (THead (Flat f) y z)))) (\lambda
 417 (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 418 T).(eq T t (lift h d z)))))) (eq_ind_r T (lift h d x1) (\lambda (t0:
 419 T).(ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead (Flat f) x0 x1)
 420 (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d
 421 y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (lift h d z)))))) (eq_ind_r T
 422 (lift h d x0) (\lambda (t0: T).(ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq
 423 T (THead (Flat f) x0 x1) (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_:
 424 T).(eq T t0 (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h d
 425 x1) (lift h d z)))))) (ex3_2_intro T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T
 426 (THead (Flat f) x0 x1) (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_:
 427 T).(eq T (lift h d x0) (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T
 428 (lift h d x1) (lift h d z)))) x0 x1 (refl_equal T (THead (Flat f) x0 x1))
 429 (refl_equal T (lift h d x0)) (refl_equal T (lift h d x1))) u H2) t H3) x
 430 H1)))))) H0))))))))).
 431 (* COMMENTS
 432 Initial nodes: 615
 433 END *)
 434