matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_1/lift/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "Basic-1/lift/fwd.ma".
  18
  19 include "Basic-1/s/props.ma".
  20
  21 theorem thead_x_lift_y_y:
  22  \forall (k: K).(\forall (t: T).(\forall (v: T).(\forall (h: nat).(\forall
  23 (d: nat).((eq T (THead k v (lift h d t)) t) \to (\forall (P: Prop).P))))))
  24 \def
  25  \lambda (k: K).(\lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (v:
  26 T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k v (lift h d t0)) t0)
  27 \to (\forall (P: Prop).P)))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (v: T).(\lambda (h:
  28 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T (THead k v (lift h d (TSort n)))
  29 (TSort n))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind T (THead k v (lift h d
  30 (TSort n))) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with
  31 [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _)
  32 \Rightarrow True])) I (TSort n) H) in (False_ind P H0)))))))) (\lambda (n:
  33 nat).(\lambda (v: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T
  34 (THead k v (lift h d (TLRef n))) (TLRef n))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def
  35 (eq_ind T (THead k v (lift h d (TLRef n))) (\lambda (ee: T).(match ee in T
  36 return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _)
  37 \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TLRef n) H) in
  38 (False_ind P H0)))))))) (\lambda (k0: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (_:
  39 ((\forall (v: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k v (lift
  40 h d t0)) t0) \to (\forall (P: Prop).P))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0:
  41 ((\forall (v: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k v (lift
  42 h d t1)) t1) \to (\forall (P: Prop).P))))))).(\lambda (v: T).(\lambda (h:
  43 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1: (eq T (THead k v (lift h d (THead k0 t0
  44 t1))) (THead k0 t0 t1))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def (f_equal T K
  45 (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).K) with [(TSort _)
  46 \Rightarrow k | (TLRef _) \Rightarrow k | (THead k1 _ _) \Rightarrow k1]))
  47 (THead k v (lift h d (THead k0 t0 t1))) (THead k0 t0 t1) H1) in ((let H3 \def
  48 (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with
  49 [(TSort _) \Rightarrow v | (TLRef _) \Rightarrow v | (THead _ t2 _)
  50 \Rightarrow t2])) (THead k v (lift h d (THead k0 t0 t1))) (THead k0 t0 t1)
  51 H1) in ((let H4 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return
  52 (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow (THead k0 ((let rec lref_map
  53 (f: ((nat \to nat))) (d0: nat) (t2: T) on t2: T \def (match t2 with [(TSort
  54 n) \Rightarrow (TSort n) | (TLRef i) \Rightarrow (TLRef (match (blt i d0)
  55 with [true \Rightarrow i | false \Rightarrow (f i)])) | (THead k1 u t3)
  56 \Rightarrow (THead k1 (lref_map f d0 u) (lref_map f (s k1 d0) t3))]) in
  57 lref_map) (\lambda (x: nat).(plus x h)) d t0) ((let rec lref_map (f: ((nat
  58 \to nat))) (d0: nat) (t2: T) on t2: T \def (match t2 with [(TSort n)
  59 \Rightarrow (TSort n) | (TLRef i) \Rightarrow (TLRef (match (blt i d0) with
  60 [true \Rightarrow i | false \Rightarrow (f i)])) | (THead k1 u t3)
  61 \Rightarrow (THead k1 (lref_map f d0 u) (lref_map f (s k1 d0) t3))]) in
  62 lref_map) (\lambda (x: nat).(plus x h)) (s k0 d) t1)) | (TLRef _) \Rightarrow
  63 (THead k0 ((let rec lref_map (f: ((nat \to nat))) (d0: nat) (t2: T) on t2: T
  64 \def (match t2 with [(TSort n) \Rightarrow (TSort n) | (TLRef i) \Rightarrow
  65 (TLRef (match (blt i d0) with [true \Rightarrow i | false \Rightarrow (f
  66 i)])) | (THead k1 u t3) \Rightarrow (THead k1 (lref_map f d0 u) (lref_map f
  67 (s k1 d0) t3))]) in lref_map) (\lambda (x: nat).(plus x h)) d t0) ((let rec
  68 lref_map (f: ((nat \to nat))) (d0: nat) (t2: T) on t2: T \def (match t2 with
  69 [(TSort n) \Rightarrow (TSort n) | (TLRef i) \Rightarrow (TLRef (match (blt i
  70 d0) with [true \Rightarrow i | false \Rightarrow (f i)])) | (THead k1 u t3)
  71 \Rightarrow (THead k1 (lref_map f d0 u) (lref_map f (s k1 d0) t3))]) in
  72 lref_map) (\lambda (x: nat).(plus x h)) (s k0 d) t1)) | (THead _ _ t2)
  73 \Rightarrow t2])) (THead k v (lift h d (THead k0 t0 t1))) (THead k0 t0 t1)
  74 H1) in (\lambda (_: (eq T v t0)).(\lambda (H6: (eq K k k0)).(let H7 \def
  75 (eq_ind K k (\lambda (k1: K).(\forall (v0: T).(\forall (h0: nat).(\forall
  76 (d0: nat).((eq T (THead k1 v0 (lift h0 d0 t1)) t1) \to (\forall (P0:
  77 Prop).P0)))))) H0 k0 H6) in (let H8 \def (eq_ind T (lift h d (THead k0 t0
  78 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 t1)) H4 (THead k0 (lift h d t0) (lift h (s k0
  79 d) t1)) (lift_head k0 t0 t1 h d)) in (H7 (lift h d t0) h (s k0 d) H8 P))))))
  80 H3)) H2)))))))))))) t)).
  81 (* COMMENTS
  82 Initial nodes: 887
  83 END *)
  84
  85 theorem lift_r:
  86  \forall (t: T).(\forall (d: nat).(eq T (lift O d t) t))
  87 \def
  88  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (d: nat).(eq T (lift O d t0)
  89 t0))) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: nat).(refl_equal T (TSort n)))) (\lambda
  90 (n: nat).(\lambda (d: nat).(lt_le_e n d (eq T (lift O d (TLRef n)) (TLRef n))
  91 (\lambda (H: (lt n d)).(eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (TLRef
  92 n))) (refl_equal T (TLRef n)) (lift O d (TLRef n)) (lift_lref_lt n O d H)))
  93 (\lambda (H: (le d n)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n O)) (\lambda (t0: T).(eq T
  94 t0 (TLRef n))) (f_equal nat T TLRef (plus n O) n (sym_eq nat n (plus n O)
  95 (plus_n_O n))) (lift O d (TLRef n)) (lift_lref_ge n O d H)))))) (\lambda (k:
  96 K).(\lambda (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (d: nat).(eq T (lift O d t0)
  97 t0)))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (d: nat).(eq T (lift O d t1)
  98 t1)))).(\lambda (d: nat).(eq_ind_r T (THead k (lift O d t0) (lift O (s k d)
  99 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (THead k t0 t1))) (f_equal3 K T T T THead k k
 100 (lift O d t0) t0 (lift O (s k d) t1) t1 (refl_equal K k) (H d) (H0 (s k d)))
 101 (lift O d (THead k t0 t1)) (lift_head k t0 t1 O d)))))))) t).
 102 (* COMMENTS
 103 Initial nodes: 367
 104 END *)
 105
 106 theorem lift_lref_gt:
 107  \forall (d: nat).(\forall (n: nat).((lt d n) \to (eq T (lift (S O) d (TLRef
 108 (pred n))) (TLRef n))))
 109 \def
 110  \lambda (d: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (lt d n)).(eq_ind_r T (TLRef
 111 (plus (pred n) (S O))) (\lambda (t: T).(eq T t (TLRef n))) (eq_ind nat (plus
 112 (S O) (pred n)) (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0) (TLRef n))) (eq_ind nat n
 113 (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0) (TLRef n))) (refl_equal T (TLRef n)) (S
 114 (pred n)) (S_pred n d H)) (plus (pred n) (S O)) (plus_sym (S O) (pred n)))
 115 (lift (S O) d (TLRef (pred n))) (lift_lref_ge (pred n) (S O) d (le_S_n d
 116 (pred n) (eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(le (S d) n0)) H (S (pred n))
 117 (S_pred n d H))))))).
 118 (* COMMENTS
 119 Initial nodes: 193
 120 END *)
 121
 122 theorem lifts_tapp:
 123  \forall (h: nat).(\forall (d: nat).(\forall (v: T).(\forall (vs: TList).(eq
 124 TList (lifts h d (TApp vs v)) (TApp (lifts h d vs) (lift h d v))))))
 125 \def
 126  \lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (v: T).(\lambda (vs:
 127 TList).(TList_ind (\lambda (t: TList).(eq TList (lifts h d (TApp t v)) (TApp
 128 (lifts h d t) (lift h d v)))) (refl_equal TList (TCons (lift h d v) TNil))
 129 (\lambda (t: T).(\lambda (t0: TList).(\lambda (H: (eq TList (lifts h d (TApp
 130 t0 v)) (TApp (lifts h d t0) (lift h d v)))).(eq_ind_r TList (TApp (lifts h d
 131 t0) (lift h d v)) (\lambda (t1: TList).(eq TList (TCons (lift h d t) t1)
 132 (TCons (lift h d t) (TApp (lifts h d t0) (lift h d v))))) (refl_equal TList
 133 (TCons (lift h d t) (TApp (lifts h d t0) (lift h d v)))) (lifts h d (TApp t0
 134 v)) H)))) vs)))).
 135 (* COMMENTS
 136 Initial nodes: 215
 137 END *)
 138
 139 theorem lift_inj:
 140  \forall (x: T).(\forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T
 141 (lift h d x) (lift h d t)) \to (eq T x t)))))
 142 \def
 143  \lambda (x: T).(T_ind (\lambda (t: T).(\forall (t0: T).(\forall (h:
 144 nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t) (lift h d t0)) \to (eq T t
 145 t0)))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (t: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
 146 nat).(\lambda (H: (eq T (lift h d (TSort n)) (lift h d t))).(let H0 \def
 147 (eq_ind T (lift h d (TSort n)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift h d t))) H
 148 (TSort n) (lift_sort n h d)) in (sym_eq T t (TSort n) (lift_gen_sort h d n t
 149 H0)))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (t: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
 150 nat).(\lambda (H: (eq T (lift h d (TLRef n)) (lift h d t))).(lt_le_e n d (eq
 151 T (TLRef n) t) (\lambda (H0: (lt n d)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d
 152 (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift h d t))) H (TLRef n) (lift_lref_lt
 153 n h d H0)) in (sym_eq T t (TLRef n) (lift_gen_lref_lt h d n (lt_le_trans n d
 154 d H0 (le_n d)) t H1)))) (\lambda (H0: (le d n)).(let H1 \def (eq_ind T (lift
 155 h d (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift h d t))) H (TLRef (plus n h))
 156 (lift_lref_ge n h d H0)) in (sym_eq T t (TLRef n) (lift_gen_lref_ge h d n H0
 157 t H1)))))))))) (\lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (t:
 158 T).(((\forall (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t)
 159 (lift h d t0)) \to (eq T t t0)))))) \to (\forall (t0: T).(((\forall (t1:
 160 T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t0) (lift h d t1))
 161 \to (eq T t0 t1)))))) \to (\forall (t1: T).(\forall (h: nat).(\forall (d:
 162 nat).((eq T (lift h d (THead k0 t t0)) (lift h d t1)) \to (eq T (THead k0 t
 163 t0) t1)))))))))) (\lambda (b: B).(\lambda (t: T).(\lambda (H: ((\forall (t0:
 164 T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t) (lift h d t0)) \to
 165 (eq T t t0))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (H0: ((\forall (t1: T).(\forall
 166 (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t0) (lift h d t1)) \to (eq T t0
 167 t1))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1:
 168 (eq T (lift h d (THead (Bind b) t t0)) (lift h d t1))).(let H2 \def (eq_ind T
 169 (lift h d (THead (Bind b) t t0)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift h d t1))) H1
 170 (THead (Bind b) (lift h d t) (lift h (S d) t0)) (lift_bind b t t0 h d)) in
 171 (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t1 (THead (Bind b) y
 172 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h d t) (lift h d y))))
 173 (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h (S d) t0) (lift h (S d) z))))
 174 (eq T (THead (Bind b) t t0) t1) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda
 175 (H3: (eq T t1 (THead (Bind b) x0 x1))).(\lambda (H4: (eq T (lift h d t) (lift
 176 h d x0))).(\lambda (H5: (eq T (lift h (S d) t0) (lift h (S d) x1))).(eq_ind_r
 177 T (THead (Bind b) x0 x1) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) t t0) t2))
 178 (f_equal3 K T T T THead (Bind b) (Bind b) t x0 t0 x1 (refl_equal K (Bind b))
 179 (H x0 h d H4) (H0 x1 h (S d) H5)) t1 H3)))))) (lift_gen_bind b (lift h d t)
 180 (lift h (S d) t0) t1 h d H2)))))))))))) (\lambda (f: F).(\lambda (t:
 181 T).(\lambda (H: ((\forall (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T
 182 (lift h d t) (lift h d t0)) \to (eq T t t0))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda
 183 (H0: ((\forall (t1: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d
 184 t0) (lift h d t1)) \to (eq T t0 t1))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (h:
 185 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1: (eq T (lift h d (THead (Flat f) t t0))
 186 (lift h d t1))).(let H2 \def (eq_ind T (lift h d (THead (Flat f) t t0))
 187 (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift h d t1))) H1 (THead (Flat f) (lift h d t)
 188 (lift h d t0)) (lift_flat f t t0 h d)) in (ex3_2_ind T T (\lambda (y:
 189 T).(\lambda (z: T).(eq T t1 (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda
 190 (_: T).(eq T (lift h d t) (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq
 191 T (lift h d t0) (lift h d z)))) (eq T (THead (Flat f) t t0) t1) (\lambda (x0:
 192 T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H3: (eq T t1 (THead (Flat f) x0 x1))).(\lambda
 193 (H4: (eq T (lift h d t) (lift h d x0))).(\lambda (H5: (eq T (lift h d t0)
 194 (lift h d x1))).(eq_ind_r T (THead (Flat f) x0 x1) (\lambda (t2: T).(eq T
 195 (THead (Flat f) t t0) t2)) (f_equal3 K T T T THead (Flat f) (Flat f) t x0 t0
 196 x1 (refl_equal K (Flat f)) (H x0 h d H4) (H0 x1 h d H5)) t1 H3))))))
 197 (lift_gen_flat f (lift h d t) (lift h d t0) t1 h d H2)))))))))))) k)) x).
 198 (* COMMENTS
 199 Initial nodes: 1391
 200 END *)
 201
 202 theorem lift_gen_lift:
 203  \forall (t1: T).(\forall (x: T).(\forall (h1: nat).(\forall (h2:
 204 nat).(\forall (d1: nat).(\forall (d2: nat).((le d1 d2) \to ((eq T (lift h1 d1
 205 t1) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1
 206 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t1 (lift h2 d2 t2)))))))))))
 207 \def
 208  \lambda (t1: T).(T_ind (\lambda (t: T).(\forall (x: T).(\forall (h1:
 209 nat).(\forall (h2: nat).(\forall (d1: nat).(\forall (d2: nat).((le d1 d2) \to
 210 ((eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2:
 211 T).(eq T x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h2 d2
 212 t2)))))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (x: T).(\lambda (h1: nat).(\lambda
 213 (h2: nat).(\lambda (d1: nat).(\lambda (d2: nat).(\lambda (_: (le d1
 214 d2)).(\lambda (H0: (eq T (lift h1 d1 (TSort n)) (lift h2 (plus d2 h1)
 215 x))).(let H1 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (TSort n)) (\lambda (t: T).(eq T t
 216 (lift h2 (plus d2 h1) x))) H0 (TSort n) (lift_sort n h1 d1)) in (eq_ind_r T
 217 (TSort n) (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h1 d1 t2)))
 218 (\lambda (t2: T).(eq T (TSort n) (lift h2 d2 t2))))) (ex_intro2 T (\lambda
 219 (t2: T).(eq T (TSort n) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TSort n)
 220 (lift h2 d2 t2))) (TSort n) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t: T).(eq T
 221 (TSort n) t)) (refl_equal T (TSort n)) (lift h1 d1 (TSort n)) (lift_sort n h1
 222 d1)) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t: T).(eq T (TSort n) t)) (refl_equal T
 223 (TSort n)) (lift h2 d2 (TSort n)) (lift_sort n h2 d2))) x (lift_gen_sort h2
 224 (plus d2 h1) n x H1))))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (x: T).(\lambda
 225 (h1: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (d1: nat).(\lambda (d2: nat).(\lambda
 226 (H: (le d1 d2)).(\lambda (H0: (eq T (lift h1 d1 (TLRef n)) (lift h2 (plus d2
 227 h1) x))).(lt_le_e n d1 (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1 t2)))
 228 (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (H1: (lt n
 229 d1)).(let H2 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (TLRef n)) (\lambda (t: T).(eq T t
 230 (lift h2 (plus d2 h1) x))) H0 (TLRef n) (lift_lref_lt n h1 d1 H1)) in
 231 (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift
 232 h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))))) (ex_intro2 T
 233 (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T
 234 (TLRef n) (lift h2 d2 t2))) (TLRef n) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t:
 235 T).(eq T (TLRef n) t)) (refl_equal T (TLRef n)) (lift h1 d1 (TLRef n))
 236 (lift_lref_lt n h1 d1 H1)) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef
 237 n) t)) (refl_equal T (TLRef n)) (lift h2 d2 (TLRef n)) (lift_lref_lt n h2 d2
 238 (lt_le_trans n d1 d2 H1 H)))) x (lift_gen_lref_lt h2 (plus d2 h1) n
 239 (lt_le_trans n d1 (plus d2 h1) H1 (le_plus_trans d1 d2 h1 H)) x H2))))
 240 (\lambda (H1: (le d1 n)).(let H2 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (TLRef n))
 241 (\lambda (t: T).(eq T t (lift h2 (plus d2 h1) x))) H0 (TLRef (plus n h1))
 242 (lift_lref_ge n h1 d1 H1)) in (lt_le_e n d2 (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x
 243 (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))))
 244 (\lambda (H3: (lt n d2)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n h1)) (\lambda (t: T).(ex2
 245 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n)
 246 (lift h2 d2 t2))))) (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef (plus n h1))
 247 (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))) (TLRef
 248 n) (eq_ind_r T (TLRef (plus n h1)) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef (plus n h1))
 249 t)) (refl_equal T (TLRef (plus n h1))) (lift h1 d1 (TLRef n)) (lift_lref_ge n
 250 h1 d1 H1)) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef n) t))
 251 (refl_equal T (TLRef n)) (lift h2 d2 (TLRef n)) (lift_lref_lt n h2 d2 H3))) x
 252 (lift_gen_lref_lt h2 (plus d2 h1) (plus n h1) (lt_reg_r n d2 h1 H3) x H2)))
 253 (\lambda (H3: (le d2 n)).(lt_le_e n (plus d2 h2) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq
 254 T x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))))
 255 (\lambda (H4: (lt n (plus d2 h2))).(lift_gen_lref_false h2 (plus d2 h1) (plus
 256 n h1) (le_plus_plus d2 n h1 h1 H3 (le_n h1)) (eq_ind_r nat (plus (plus d2 h2)
 257 h1) (\lambda (n0: nat).(lt (plus n h1) n0)) (lt_reg_r n (plus d2 h2) h1 H4)
 258 (plus (plus d2 h1) h2) (plus_permute_2_in_3 d2 h1 h2)) x H2 (ex2 T (\lambda
 259 (t2: T).(eq T x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2
 260 d2 t2)))))) (\lambda (H4: (le (plus d2 h2) n)).(let H5 \def (eq_ind nat (plus
 261 n h1) (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0) (lift h2 (plus d2 h1) x))) H2 (plus
 262 (minus (plus n h1) h2) h2) (le_plus_minus_sym h2 (plus n h1) (le_plus_trans
 263 h2 n h1 (le_trans h2 (plus d2 h2) n (le_plus_r d2 h2) H4)))) in (eq_ind_r T
 264 (TLRef (minus (plus n h1) h2)) (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T
 265 t (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2)))))
 266 (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef (minus (plus n h1) h2)) (lift h1
 267 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))) (TLRef (minus n
 268 h2)) (eq_ind_r nat (plus (minus n h2) h1) (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0)
 269 (lift h1 d1 (TLRef (minus n h2))))) (eq_ind_r T (TLRef (plus (minus n h2)
 270 h1)) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef (plus (minus n h2) h1)) t)) (refl_equal T
 271 (TLRef (plus (minus n h2) h1))) (lift h1 d1 (TLRef (minus n h2)))
 272 (lift_lref_ge (minus n h2) h1 d1 (le_trans d1 d2 (minus n h2) H (le_minus d2
 273 n h2 H4)))) (minus (plus n h1) h2) (le_minus_plus h2 n (le_trans h2 (plus d2
 274 h2) n (le_plus_r d2 h2) H4) h1)) (eq_ind_r nat (plus (minus n h2) h2)
 275 (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0) (lift h2 d2 (TLRef (minus n0 h2)))))
 276 (eq_ind_r T (TLRef (plus (minus (plus (minus n h2) h2) h2) h2)) (\lambda (t:
 277 T).(eq T (TLRef (plus (minus n h2) h2)) t)) (f_equal nat T TLRef (plus (minus
 278 n h2) h2) (plus (minus (plus (minus n h2) h2) h2) h2) (f_equal2 nat nat nat
 279 plus (minus n h2) (minus (plus (minus n h2) h2) h2) h2 h2 (sym_eq nat (minus
 280 (plus (minus n h2) h2) h2) (minus n h2) (minus_plus_r (minus n h2) h2))
 281 (refl_equal nat h2))) (lift h2 d2 (TLRef (minus (plus (minus n h2) h2) h2)))
 282 (lift_lref_ge (minus (plus (minus n h2) h2) h2) h2 d2 (le_minus d2 (plus
 283 (minus n h2) h2) h2 (le_plus_plus d2 (minus n h2) h2 h2 (le_minus d2 n h2 H4)
 284 (le_n h2))))) n (le_plus_minus_sym h2 n (le_trans h2 (plus d2 h2) n
 285 (le_plus_r d2 h2) H4)))) x (lift_gen_lref_ge h2 (plus d2 h1) (minus (plus n
 286 h1) h2) (arith0 h2 d2 n H4 h1) x H5)))))))))))))))))) (\lambda (k:
 287 K).(\lambda (t: T).(\lambda (H: ((\forall (x: T).(\forall (h1: nat).(\forall
 288 (h2: nat).(\forall (d1: nat).(\forall (d2: nat).((le d1 d2) \to ((eq T (lift
 289 h1 d1 t) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift
 290 h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h2 d2 t2))))))))))))).(\lambda
 291 (t0: T).(\lambda (H0: ((\forall (x: T).(\forall (h1: nat).(\forall (h2:
 292 nat).(\forall (d1: nat).(\forall (d2: nat).((le d1 d2) \to ((eq T (lift h1 d1
 293 t0) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1
 294 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t0 (lift h2 d2 t2))))))))))))).(\lambda (x:
 295 T).(\lambda (h1: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (d1: nat).(\lambda (d2:
 296 nat).(\lambda (H1: (le d1 d2)).(\lambda (H2: (eq T (lift h1 d1 (THead k t
 297 t0)) (lift h2 (plus d2 h1) x))).(K_ind (\lambda (k0: K).((eq T (lift h1 d1
 298 (THead k0 t t0)) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T
 299 x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead k0 t t0) (lift h2 d2
 300 t2)))))) (\lambda (b: B).(\lambda (H3: (eq T (lift h1 d1 (THead (Bind b) t
 301 t0)) (lift h2 (plus d2 h1) x))).(let H4 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (THead
 302 (Bind b) t t0)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift h2 (plus d2 h1) x))) H3
 303 (THead (Bind b) (lift h1 d1 t) (lift h1 (S d1) t0)) (lift_bind b t t0 h1 d1))
 304 in (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Bind b) y
 305 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2
 306 h1) y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h1 (S d1) t0) (lift h2
 307 (S (plus d2 h1)) z)))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1 t2)))
 308 (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) t t0) (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (x0:
 309 T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H5: (eq T x (THead (Bind b) x0 x1))).(\lambda
 310 (H6: (eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2 h1) x0))).(\lambda (H7: (eq T
 311 (lift h1 (S d1) t0) (lift h2 (S (plus d2 h1)) x1))).(eq_ind_r T (THead (Bind
 312 b) x0 x1) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T t2 (lift h1 d1 t3)))
 313 (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) t t0) (lift h2 d2 t3))))) (ex2_ind T
 314 (\lambda (t2: T).(eq T x0 (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h2
 315 d2 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) x0 x1) (lift h1 d1
 316 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) t t0) (lift h2 d2 t2))))
 317 (\lambda (x2: T).(\lambda (H8: (eq T x0 (lift h1 d1 x2))).(\lambda (H9: (eq T
 318 t (lift h2 d2 x2))).(eq_ind_r T (lift h1 d1 x2) (\lambda (t2: T).(ex2 T
 319 (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) t2 x1) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3:
 320 T).(eq T (THead (Bind b) t t0) (lift h2 d2 t3))))) (eq_ind_r T (lift h2 d2
 321 x2) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1
 322 d1 x2) x1) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) t2 t0)
 323 (lift h2 d2 t3))))) (let H10 \def (refl_equal nat (plus (S d2) h1)) in (let
 324 H11 \def (eq_ind nat (S (plus d2 h1)) (\lambda (n: nat).(eq T (lift h1 (S d1)
 325 t0) (lift h2 n x1))) H7 (plus (S d2) h1) H10) in (ex2_ind T (\lambda (t2:
 326 T).(eq T x1 (lift h1 (S d1) t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t0 (lift h2 (S d2)
 327 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2) x1) (lift
 328 h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) t0) (lift
 329 h2 d2 t2)))) (\lambda (x3: T).(\lambda (H12: (eq T x1 (lift h1 (S d1)
 330 x3))).(\lambda (H13: (eq T t0 (lift h2 (S d2) x3))).(eq_ind_r T (lift h1 (S
 331 d1) x3) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift
 332 h1 d1 x2) t2) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift
 333 h2 d2 x2) t0) (lift h2 d2 t3))))) (eq_ind_r T (lift h2 (S d2) x3) (\lambda
 334 (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2) (lift
 335 h1 (S d1) x3)) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift
 336 h2 d2 x2) t2) (lift h2 d2 t3))))) (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead
 337 (Bind b) (lift h1 d1 x2) (lift h1 (S d1) x3)) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2:
 338 T).(eq T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) (lift h2 (S d2) x3)) (lift h2 d2
 339 t2))) (THead (Bind b) x2 x3) (eq_ind_r T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2)
 340 (lift h1 (S d1) x3)) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2)
 341 (lift h1 (S d1) x3)) t2)) (refl_equal T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2) (lift
 342 h1 (S d1) x3))) (lift h1 d1 (THead (Bind b) x2 x3)) (lift_bind b x2 x3 h1
 343 d1)) (eq_ind_r T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) (lift h2 (S d2) x3))
 344 (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) (lift h2 (S d2) x3))
 345 t2)) (refl_equal T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) (lift h2 (S d2) x3)))
 346 (lift h2 d2 (THead (Bind b) x2 x3)) (lift_bind b x2 x3 h2 d2))) t0 H13) x1
 347 H12)))) (H0 x1 h1 h2 (S d1) (S d2) (le_n_S d1 d2 H1) H11)))) t H9) x0 H8))))
 348 (H x0 h1 h2 d1 d2 H1 H6)) x H5)))))) (lift_gen_bind b (lift h1 d1 t) (lift h1
 349 (S d1) t0) x h2 (plus d2 h1) H4))))) (\lambda (f: F).(\lambda (H3: (eq T
 350 (lift h1 d1 (THead (Flat f) t t0)) (lift h2 (plus d2 h1) x))).(let H4 \def
 351 (eq_ind T (lift h1 d1 (THead (Flat f) t t0)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift
 352 h2 (plus d2 h1) x))) H3 (THead (Flat f) (lift h1 d1 t) (lift h1 d1 t0))
 353 (lift_flat f t t0 h1 d1)) in (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z:
 354 T).(eq T x (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T
 355 (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2 h1) y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 356 T).(eq T (lift h1 d1 t0) (lift h2 (plus d2 h1) z)))) (ex2 T (\lambda (t2:
 357 T).(eq T x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) t t0)
 358 (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H5: (eq T x
 359 (THead (Flat f) x0 x1))).(\lambda (H6: (eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2
 360 h1) x0))).(\lambda (H7: (eq T (lift h1 d1 t0) (lift h2 (plus d2 h1)
 361 x1))).(eq_ind_r T (THead (Flat f) x0 x1) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda
 362 (t3: T).(eq T t2 (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) t
 363 t0) (lift h2 d2 t3))))) (ex2_ind T (\lambda (t2: T).(eq T x0 (lift h1 d1
 364 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h2 d2 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq
 365 T (THead (Flat f) x0 x1) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead
 366 (Flat f) t t0) (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (x2: T).(\lambda (H8: (eq T x0
 367 (lift h1 d1 x2))).(\lambda (H9: (eq T t (lift h2 d2 x2))).(eq_ind_r T (lift
 368 h1 d1 x2) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) t2
 369 x1) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) t t0) (lift h2
 370 d2 t3))))) (eq_ind_r T (lift h2 d2 x2) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3:
 371 T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) x1) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3:
 372 T).(eq T (THead (Flat f) t2 t0) (lift h2 d2 t3))))) (ex2_ind T (\lambda (t2:
 373 T).(eq T x1 (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t0 (lift h2 d2 t2)))
 374 (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) x1) (lift h1 d1
 375 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) t0) (lift h2 d2
 376 t2)))) (\lambda (x3: T).(\lambda (H10: (eq T x1 (lift h1 d1 x3))).(\lambda
 377 (H11: (eq T t0 (lift h2 d2 x3))).(eq_ind_r T (lift h1 d1 x3) (\lambda (t2:
 378 T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) t2) (lift h1
 379 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) t0) (lift h2
 380 d2 t3))))) (eq_ind_r T (lift h2 d2 x3) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3:
 381 T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) (lift h1 d1 x3)) (lift h1 d1 t3)))
 382 (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) t2) (lift h2 d2
 383 t3))))) (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2)
 384 (lift h1 d1 x3)) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f)
 385 (lift h2 d2 x2) (lift h2 d2 x3)) (lift h2 d2 t2))) (THead (Flat f) x2 x3)
 386 (eq_ind_r T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) (lift h1 d1 x3)) (\lambda (t2:
 387 T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) (lift h1 d1 x3)) t2)) (refl_equal T
 388 (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) (lift h1 d1 x3))) (lift h1 d1 (THead (Flat f)
 389 x2 x3)) (lift_flat f x2 x3 h1 d1)) (eq_ind_r T (THead (Flat f) (lift h2 d2
 390 x2) (lift h2 d2 x3)) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2)
 391 (lift h2 d2 x3)) t2)) (refl_equal T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) (lift h2
 392 d2 x3))) (lift h2 d2 (THead (Flat f) x2 x3)) (lift_flat f x2 x3 h2 d2))) t0
 393 H11) x1 H10)))) (H0 x1 h1 h2 d1 d2 H1 H7)) t H9) x0 H8)))) (H x0 h1 h2 d1 d2
 394 H1 H6)) x H5)))))) (lift_gen_flat f (lift h1 d1 t) (lift h1 d1 t0) x h2 (plus
 395 d2 h1) H4))))) k H2))))))))))))) t1).
 396 (* COMMENTS
 397 Initial nodes: 5037
 398 END *)
 399
 400 theorem lifts_inj:
 401  \forall (xs: TList).(\forall (ts: TList).(\forall (h: nat).(\forall (d:
 402 nat).((eq TList (lifts h d xs) (lifts h d ts)) \to (eq TList xs ts)))))
 403 \def
 404  \lambda (xs: TList).(TList_ind (\lambda (t: TList).(\forall (ts:
 405 TList).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq TList (lifts h d t) (lifts h
 406 d ts)) \to (eq TList t ts)))))) (\lambda (ts: TList).(TList_ind (\lambda (t:
 407 TList).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq TList (lifts h d TNil) (lifts
 408 h d t)) \to (eq TList TNil t))))) (\lambda (_: nat).(\lambda (_:
 409 nat).(\lambda (_: (eq TList TNil TNil)).(refl_equal TList TNil)))) (\lambda
 410 (t: T).(\lambda (t0: TList).(\lambda (_: ((\forall (h: nat).(\forall (d:
 411 nat).((eq TList TNil (lifts h d t0)) \to (eq TList TNil t0)))))).(\lambda (h:
 412 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H0: (eq TList TNil (TCons (lift h d t)
 413 (lifts h d t0)))).(let H1 \def (eq_ind TList TNil (\lambda (ee: TList).(match
 414 ee in TList return (\lambda (_: TList).Prop) with [TNil \Rightarrow True |
 415 (TCons _ _) \Rightarrow False])) I (TCons (lift h d t) (lifts h d t0)) H0) in
 416 (False_ind (eq TList TNil (TCons t t0)) H1)))))))) ts)) (\lambda (t:
 417 T).(\lambda (t0: TList).(\lambda (H: ((\forall (ts: TList).(\forall (h:
 418 nat).(\forall (d: nat).((eq TList (lifts h d t0) (lifts h d ts)) \to (eq
 419 TList t0 ts))))))).(\lambda (ts: TList).(TList_ind (\lambda (t1:
 420 TList).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq TList (lifts h d (TCons t
 421 t0)) (lifts h d t1)) \to (eq TList (TCons t t0) t1))))) (\lambda (h:
 422 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H0: (eq TList (TCons (lift h d t) (lifts h d
 423 t0)) TNil)).(let H1 \def (eq_ind TList (TCons (lift h d t) (lifts h d t0))
 424 (\lambda (ee: TList).(match ee in TList return (\lambda (_: TList).Prop) with
 425 [TNil \Rightarrow False | (TCons _ _) \Rightarrow True])) I TNil H0) in
 426 (False_ind (eq TList (TCons t t0) TNil) H1))))) (\lambda (t1: T).(\lambda
 427 (t2: TList).(\lambda (_: ((\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq TList
 428 (TCons (lift h d t) (lifts h d t0)) (lifts h d t2)) \to (eq TList (TCons t
 429 t0) t2)))))).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1: (eq TList
 430 (TCons (lift h d t) (lifts h d t0)) (TCons (lift h d t1) (lifts h d
 431 t2)))).(let H2 \def (f_equal TList T (\lambda (e: TList).(match e in TList
 432 return (\lambda (_: TList).T) with [TNil \Rightarrow ((let rec lref_map (f:
 433 ((nat \to nat))) (d0: nat) (t3: T) on t3: T \def (match t3 with [(TSort n)
 434 \Rightarrow (TSort n) | (TLRef i) \Rightarrow (TLRef (match (blt i d0) with
 435 [true \Rightarrow i | false \Rightarrow (f i)])) | (THead k u t4) \Rightarrow
 436 (THead k (lref_map f d0 u) (lref_map f (s k d0) t4))]) in lref_map) (\lambda
 437 (x: nat).(plus x h)) d t) | (TCons t3 _) \Rightarrow t3])) (TCons (lift h d
 438 t) (lifts h d t0)) (TCons (lift h d t1) (lifts h d t2)) H1) in ((let H3 \def
 439 (f_equal TList TList (\lambda (e: TList).(match e in TList return (\lambda
 440 (_: TList).TList) with [TNil \Rightarrow ((let rec lifts (h0: nat) (d0: nat)
 441 (ts0: TList) on ts0: TList \def (match ts0 with [TNil \Rightarrow TNil |
 442 (TCons t3 ts1) \Rightarrow (TCons (lift h0 d0 t3) (lifts h0 d0 ts1))]) in
 443 lifts) h d t0) | (TCons _ t3) \Rightarrow t3])) (TCons (lift h d t) (lifts h
 444 d t0)) (TCons (lift h d t1) (lifts h d t2)) H1) in (\lambda (H4: (eq T (lift
 445 h d t) (lift h d t1))).(eq_ind T t (\lambda (t3: T).(eq TList (TCons t t0)
 446 (TCons t3 t2))) (f_equal2 T TList TList TCons t t t0 t2 (refl_equal T t) (H
 447 t2 h d H3)) t1 (lift_inj t t1 h d H4)))) H2)))))))) ts))))) xs).
 448 (* COMMENTS
 449 Initial nodes: 772
 450 END *)
 451
 452 theorem lift_free:
 453  \forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall (k: nat).(\forall (d:
 454 nat).(\forall (e: nat).((le e (plus d h)) \to ((le d e) \to (eq T (lift k e
 455 (lift h d t)) (lift (plus k h) d t))))))))
 456 \def
 457  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (k:
 458 nat).(\forall (d: nat).(\forall (e: nat).((le e (plus d h)) \to ((le d e) \to
 459 (eq T (lift k e (lift h d t0)) (lift (plus k h) d t0))))))))) (\lambda (n:
 460 nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e:
 461 nat).(\lambda (_: (le e (plus d h))).(\lambda (_: (le d e)).(eq_ind_r T
 462 (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq T (lift k e t0) (lift (plus k h) d (TSort
 463 n)))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift (plus k h) d
 464 (TSort n)))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq T (TSort n) t0))
 465 (refl_equal T (TSort n)) (lift (plus k h) d (TSort n)) (lift_sort n (plus k
 466 h) d)) (lift k e (TSort n)) (lift_sort n k e)) (lift h d (TSort n))
 467 (lift_sort n h d))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (k:
 468 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (H: (le e (plus d
 469 h))).(\lambda (H0: (le d e)).(lt_le_e n d (eq T (lift k e (lift h d (TLRef
 470 n))) (lift (plus k h) d (TLRef n))) (\lambda (H1: (lt n d)).(eq_ind_r T
 471 (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T (lift k e t0) (lift (plus k h) d (TLRef
 472 n)))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift (plus k h) d
 473 (TLRef n)))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef n) t0))
 474 (refl_equal T (TLRef n)) (lift (plus k h) d (TLRef n)) (lift_lref_lt n (plus
 475 k h) d H1)) (lift k e (TLRef n)) (lift_lref_lt n k e (lt_le_trans n d e H1
 476 H0))) (lift h d (TLRef n)) (lift_lref_lt n h d H1))) (\lambda (H1: (le d
 477 n)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n h)) (\lambda (t0: T).(eq T (lift k e t0) (lift
 478 (plus k h) d (TLRef n)))) (eq_ind_r T (TLRef (plus (plus n h) k)) (\lambda
 479 (t0: T).(eq T t0 (lift (plus k h) d (TLRef n)))) (eq_ind_r T (TLRef (plus n
 480 (plus k h))) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef (plus (plus n h) k)) t0)) (f_equal
 481 nat T TLRef (plus (plus n h) k) (plus n (plus k h))
 482 (plus_permute_2_in_3_assoc n h k)) (lift (plus k h) d (TLRef n))
 483 (lift_lref_ge n (plus k h) d H1)) (lift k e (TLRef (plus n h))) (lift_lref_ge
 484 (plus n h) k e (le_trans e (plus d h) (plus n h) H (le_plus_plus d n h h H1
 485 (le_n h))))) (lift h d (TLRef n)) (lift_lref_ge n h d H1))))))))))) (\lambda
 486 (k: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (h: nat).(\forall (k0:
 487 nat).(\forall (d: nat).(\forall (e: nat).((le e (plus d h)) \to ((le d e) \to
 488 (eq T (lift k0 e (lift h d t0)) (lift (plus k0 h) d t0)))))))))).(\lambda
 489 (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (h: nat).(\forall (k0: nat).(\forall (d:
 490 nat).(\forall (e: nat).((le e (plus d h)) \to ((le d e) \to (eq T (lift k0 e
 491 (lift h d t1)) (lift (plus k0 h) d t1)))))))))).(\lambda (h: nat).(\lambda
 492 (k0: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (H1: (le e (plus d
 493 h))).(\lambda (H2: (le d e)).(eq_ind_r T (THead k (lift h d t0) (lift h (s k
 494 d) t1)) (\lambda (t2: T).(eq T (lift k0 e t2) (lift (plus k0 h) d (THead k t0
 495 t1)))) (eq_ind_r T (THead k (lift k0 e (lift h d t0)) (lift k0 (s k e) (lift
 496 h (s k d) t1))) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift (plus k0 h) d (THead k t0
 497 t1)))) (eq_ind_r T (THead k (lift (plus k0 h) d t0) (lift (plus k0 h) (s k d)
 498 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T (THead k (lift k0 e (lift h d t0)) (lift k0 (s k
 499 e) (lift h (s k d) t1))) t2)) (f_equal3 K T T T THead k k (lift k0 e (lift h
 500 d t0)) (lift (plus k0 h) d t0) (lift k0 (s k e) (lift h (s k d) t1)) (lift
 501 (plus k0 h) (s k d) t1) (refl_equal K k) (H h k0 d e H1 H2) (H0 h k0 (s k d)
 502 (s k e) (eq_ind nat (s k (plus d h)) (\lambda (n: nat).(le (s k e) n)) (s_le
 503 k e (plus d h) H1) (plus (s k d) h) (s_plus k d h)) (s_le k d e H2))) (lift
 504 (plus k0 h) d (THead k t0 t1)) (lift_head k t0 t1 (plus k0 h) d)) (lift k0 e
 505 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1))) (lift_head k (lift h d t0) (lift
 506 h (s k d) t1) k0 e)) (lift h d (THead k t0 t1)) (lift_head k t0 t1 h
 507 d))))))))))))) t).
 508 (* COMMENTS
 509 Initial nodes: 1407
 510 END *)
 511
 512 theorem lift_d:
 513  \forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall (k: nat).(\forall (d:
 514 nat).(\forall (e: nat).((le e d) \to (eq T (lift h (plus k d) (lift k e t))
 515 (lift k e (lift h d t))))))))
 516 \def
 517  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (k:
 518 nat).(\forall (d: nat).(\forall (e: nat).((le e d) \to (eq T (lift h (plus k
 519 d) (lift k e t0)) (lift k e (lift h d t0))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda
 520 (h: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (_:
 521 (le e d)).(eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq T (lift h (plus k d) t0)
 522 (lift k e (lift h d (TSort n))))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq
 523 T t0 (lift k e (lift h d (TSort n))))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0:
 524 T).(eq T (TSort n) (lift k e t0))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq
 525 T (TSort n) t0)) (refl_equal T (TSort n)) (lift k e (TSort n)) (lift_sort n k
 526 e)) (lift h d (TSort n)) (lift_sort n h d)) (lift h (plus k d) (TSort n))
 527 (lift_sort n h (plus k d))) (lift k e (TSort n)) (lift_sort n k e))))))))
 528 (\lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (d:
 529 nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (H: (le e d)).(lt_le_e n e (eq T (lift h
 530 (plus k d) (lift k e (TLRef n))) (lift k e (lift h d (TLRef n)))) (\lambda
 531 (H0: (lt n e)).(let H1 \def (lt_le_trans n e d H0 H) in (eq_ind_r T (TLRef n)
 532 (\lambda (t0: T).(eq T (lift h (plus k d) t0) (lift k e (lift h d (TLRef
 533 n))))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift k e (lift h d
 534 (TLRef n))))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef n) (lift k
 535 e t0))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef n) t0))
 536 (refl_equal T (TLRef n)) (lift k e (TLRef n)) (lift_lref_lt n k e H0)) (lift
 537 h d (TLRef n)) (lift_lref_lt n h d H1)) (lift h (plus k d) (TLRef n))
 538 (lift_lref_lt n h (plus k d) (lt_le_trans n d (plus k d) H1 (le_plus_r k
 539 d)))) (lift k e (TLRef n)) (lift_lref_lt n k e H0)))) (\lambda (H0: (le e
 540 n)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n k)) (\lambda (t0: T).(eq T (lift h (plus k d)
 541 t0) (lift k e (lift h d (TLRef n))))) (eq_ind_r nat (plus d k) (\lambda (n0:
 542 nat).(eq T (lift h n0 (TLRef (plus n k))) (lift k e (lift h d (TLRef n)))))
 543 (lt_le_e n d (eq T (lift h (plus d k) (TLRef (plus n k))) (lift k e (lift h d
 544 (TLRef n)))) (\lambda (H1: (lt n d)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n k)) (\lambda
 545 (t0: T).(eq T t0 (lift k e (lift h d (TLRef n))))) (eq_ind_r T (TLRef n)
 546 (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef (plus n k)) (lift k e t0))) (eq_ind_r T (TLRef
 547 (plus n k)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef (plus n k)) t0)) (refl_equal T
 548 (TLRef (plus n k))) (lift k e (TLRef n)) (lift_lref_ge n k e H0)) (lift h d
 549 (TLRef n)) (lift_lref_lt n h d H1)) (lift h (plus d k) (TLRef (plus n k)))
 550 (lift_lref_lt (plus n k) h (plus d k) (lt_reg_r n d k H1)))) (\lambda (H1:
 551 (le d n)).(eq_ind_r T (TLRef (plus (plus n k) h)) (\lambda (t0: T).(eq T t0
 552 (lift k e (lift h d (TLRef n))))) (eq_ind_r T (TLRef (plus n h)) (\lambda
 553 (t0: T).(eq T (TLRef (plus (plus n k) h)) (lift k e t0))) (eq_ind_r T (TLRef
 554 (plus (plus n h) k)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef (plus (plus n k) h)) t0))
 555 (f_equal nat T TLRef (plus (plus n k) h) (plus (plus n h) k) (sym_eq nat
 556 (plus (plus n h) k) (plus (plus n k) h) (plus_permute_2_in_3 n h k))) (lift k
 557 e (TLRef (plus n h))) (lift_lref_ge (plus n h) k e (le_plus_trans e n h H0)))
 558 (lift h d (TLRef n)) (lift_lref_ge n h d H1)) (lift h (plus d k) (TLRef (plus
 559 n k))) (lift_lref_ge (plus n k) h (plus d k) (le_plus_plus d n k k H1 (le_n
 560 k)))))) (plus k d) (plus_sym k d)) (lift k e (TLRef n)) (lift_lref_ge n k e
 561 H0)))))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (h:
 562 nat).(\forall (k0: nat).(\forall (d: nat).(\forall (e: nat).((le e d) \to (eq
 563 T (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift k0 e (lift h d
 564 t0)))))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (h: nat).(\forall (k0:
 565 nat).(\forall (d: nat).(\forall (e: nat).((le e d) \to (eq T (lift h (plus k0
 566 d) (lift k0 e t1)) (lift k0 e (lift h d t1)))))))))).(\lambda (h:
 567 nat).(\lambda (k0: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (H1: (le
 568 e d)).(eq_ind_r T (THead k (lift k0 e t0) (lift k0 (s k e) t1)) (\lambda (t2:
 569 T).(eq T (lift h (plus k0 d) t2) (lift k0 e (lift h d (THead k t0 t1)))))
 570 (eq_ind_r T (THead k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift h (s k (plus
 571 k0 d)) (lift k0 (s k e) t1))) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift k0 e (lift h d
 572 (THead k t0 t1))))) (eq_ind_r T (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1))
 573 (\lambda (t2: T).(eq T (THead k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift h
 574 (s k (plus k0 d)) (lift k0 (s k e) t1))) (lift k0 e t2))) (eq_ind_r T (THead
 575 k (lift k0 e (lift h d t0)) (lift k0 (s k e) (lift h (s k d) t1))) (\lambda
 576 (t2: T).(eq T (THead k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift h (s k (plus
 577 k0 d)) (lift k0 (s k e) t1))) t2)) (eq_ind_r nat (plus k0 (s k d)) (\lambda
 578 (n: nat).(eq T (THead k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift h n (lift
 579 k0 (s k e) t1))) (THead k (lift k0 e (lift h d t0)) (lift k0 (s k e) (lift h
 580 (s k d) t1))))) (f_equal3 K T T T THead k k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e
 581 t0)) (lift k0 e (lift h d t0)) (lift h (plus k0 (s k d)) (lift k0 (s k e)
 582 t1)) (lift k0 (s k e) (lift h (s k d) t1)) (refl_equal K k) (H h k0 d e H1)
 583 (H0 h k0 (s k d) (s k e) (s_le k e d H1))) (s k (plus k0 d)) (s_plus_sym k k0
 584 d)) (lift k0 e (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1))) (lift_head k
 585 (lift h d t0) (lift h (s k d) t1) k0 e)) (lift h d (THead k t0 t1))
 586 (lift_head k t0 t1 h d)) (lift h (plus k0 d) (THead k (lift k0 e t0) (lift k0
 587 (s k e) t1))) (lift_head k (lift k0 e t0) (lift k0 (s k e) t1) h (plus k0
 588 d))) (lift k0 e (THead k t0 t1)) (lift_head k t0 t1 k0 e)))))))))))) t).
 589 (* COMMENTS
 590 Initial nodes: 2143
 591 END *)
 592