matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_1/nf2/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "Basic-1/nf2/defs.ma".
  18
  19 include "Basic-1/pr2/fwd.ma".
  20
  21 theorem nf2_sort:
  22  \forall (c: C).(\forall (n: nat).(nf2 c (TSort n)))
  23 \def
  24  \lambda (c: C).(\lambda (n: nat).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pr2 c (TSort
  25 n) t2)).(eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t: T).(eq T (TSort n) t)) (refl_equal
  26 T (TSort n)) t2 (pr2_gen_sort c t2 n H))))).
  27 (* COMMENTS
  28 Initial nodes: 55
  29 END *)
  30
  31 theorem nf2_csort_lref:
  32  \forall (n: nat).(\forall (i: nat).(nf2 (CSort n) (TLRef i)))
  33 \def
  34  \lambda (n: nat).(\lambda (i: nat).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pr2 (CSort
  35 n) (TLRef i) t2)).(let H0 \def (pr2_gen_lref (CSort n) t2 i H) in (or_ind (eq
  36 T t2 (TLRef i)) (ex2_2 C T (\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(getl i (CSort n)
  37 (CHead d (Bind Abbr) u)))) (\lambda (_: C).(\lambda (u: T).(eq T t2 (lift (S
  38 i) O u))))) (eq T (TLRef i) t2) (\lambda (H1: (eq T t2 (TLRef i))).(eq_ind_r
  39 T (TLRef i) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef i) t)) (refl_equal T (TLRef i)) t2
  40 H1)) (\lambda (H1: (ex2_2 C T (\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(getl i (CSort
  41 n) (CHead d (Bind Abbr) u)))) (\lambda (_: C).(\lambda (u: T).(eq T t2 (lift
  42 (S i) O u)))))).(ex2_2_ind C T (\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(getl i (CSort
  43 n) (CHead d (Bind Abbr) u)))) (\lambda (_: C).(\lambda (u: T).(eq T t2 (lift
  44 (S i) O u)))) (eq T (TLRef i) t2) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda
  45 (H2: (getl i (CSort n) (CHead x0 (Bind Abbr) x1))).(\lambda (H3: (eq T t2
  46 (lift (S i) O x1))).(eq_ind_r T (lift (S i) O x1) (\lambda (t: T).(eq T
  47 (TLRef i) t)) (getl_gen_sort n i (CHead x0 (Bind Abbr) x1) H2 (eq T (TLRef i)
  48 (lift (S i) O x1))) t2 H3))))) H1)) H0))))).
  49 (* COMMENTS
  50 Initial nodes: 355
  51 END *)
  52
  53 theorem nf2_abst:
  54  \forall (c: C).(\forall (u: T).((nf2 c u) \to (\forall (b: B).(\forall (v:
  55 T).(\forall (t: T).((nf2 (CHead c (Bind b) v) t) \to (nf2 c (THead (Bind
  56 Abst) u t))))))))
  57 \def
  58  \lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (H: ((\forall (t2: T).((pr2 c u t2)
  59 \to (eq T u t2))))).(\lambda (b: B).(\lambda (v: T).(\lambda (t: T).(\lambda
  60 (H0: ((\forall (t2: T).((pr2 (CHead c (Bind b) v) t t2) \to (eq T t
  61 t2))))).(\lambda (t2: T).(\lambda (H1: (pr2 c (THead (Bind Abst) u t)
  62 t2)).(let H2 \def (pr2_gen_abst c u t t2 H1) in (ex3_2_ind T T (\lambda (u2:
  63 T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Bind Abst) u2 t3)))) (\lambda (u2:
  64 T).(\lambda (_: T).(pr2 c u u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(\forall
  65 (b0: B).(\forall (u0: T).(pr2 (CHead c (Bind b0) u0) t t3))))) (eq T (THead
  66 (Bind Abst) u t) t2) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H3: (eq T t2
  67 (THead (Bind Abst) x0 x1))).(\lambda (H4: (pr2 c u x0)).(\lambda (H5:
  68 ((\forall (b0: B).(\forall (u0: T).(pr2 (CHead c (Bind b0) u0) t
  69 x1))))).(eq_ind_r T (THead (Bind Abst) x0 x1) (\lambda (t0: T).(eq T (THead
  70 (Bind Abst) u t) t0)) (f_equal3 K T T T THead (Bind Abst) (Bind Abst) u x0 t
  71 x1 (refl_equal K (Bind Abst)) (H x0 H4) (H0 x1 (H5 b v))) t2 H3))))))
  72 H2)))))))))).
  73 (* COMMENTS
  74 Initial nodes: 299
  75 END *)
  76
  77 theorem nf2_abst_shift:
  78  \forall (c: C).(\forall (u: T).((nf2 c u) \to (\forall (t: T).((nf2 (CHead c
  79 (Bind Abst) u) t) \to (nf2 c (THead (Bind Abst) u t))))))
  80 \def
  81  \lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (H: ((\forall (t2: T).((pr2 c u t2)
  82 \to (eq T u t2))))).(\lambda (t: T).(\lambda (H0: ((\forall (t2: T).((pr2
  83 (CHead c (Bind Abst) u) t t2) \to (eq T t t2))))).(\lambda (t2: T).(\lambda
  84 (H1: (pr2 c (THead (Bind Abst) u t) t2)).(let H2 \def (pr2_gen_abst c u t t2
  85 H1) in (ex3_2_ind T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Bind
  86 Abst) u2 t3)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr2 c u u2))) (\lambda (_:
  87 T).(\lambda (t3: T).(\forall (b: B).(\forall (u0: T).(pr2 (CHead c (Bind b)
  88 u0) t t3))))) (eq T (THead (Bind Abst) u t) t2) (\lambda (x0: T).(\lambda
  89 (x1: T).(\lambda (H3: (eq T t2 (THead (Bind Abst) x0 x1))).(\lambda (H4: (pr2
  90 c u x0)).(\lambda (H5: ((\forall (b: B).(\forall (u0: T).(pr2 (CHead c (Bind
  91 b) u0) t x1))))).(eq_ind_r T (THead (Bind Abst) x0 x1) (\lambda (t0: T).(eq T
  92 (THead (Bind Abst) u t) t0)) (f_equal3 K T T T THead (Bind Abst) (Bind Abst)
  93 u x0 t x1 (refl_equal K (Bind Abst)) (H x0 H4) (H0 x1 (H5 Abst u))) t2
  94 H3)))))) H2)))))))).
  95 (* COMMENTS
  96 Initial nodes: 295
  97 END *)
  98
  99 theorem nfs2_tapp:
 100  \forall (c: C).(\forall (t: T).(\forall (ts: TList).((nfs2 c (TApp ts t))
 101 \to (land (nfs2 c ts) (nf2 c t)))))
 102 \def
 103  \lambda (c: C).(\lambda (t: T).(\lambda (ts: TList).(TList_ind (\lambda (t0:
 104 TList).((nfs2 c (TApp t0 t)) \to (land (nfs2 c t0) (nf2 c t)))) (\lambda (H:
 105 (land (nf2 c t) True)).(let H0 \def H in (land_ind (nf2 c t) True (land True
 106 (nf2 c t)) (\lambda (H1: (nf2 c t)).(\lambda (_: True).(conj True (nf2 c t) I
 107 H1))) H0))) (\lambda (t0: T).(\lambda (t1: TList).(\lambda (H: (((nfs2 c
 108 (TApp t1 t)) \to (land (nfs2 c t1) (nf2 c t))))).(\lambda (H0: (land (nf2 c
 109 t0) (nfs2 c (TApp t1 t)))).(let H1 \def H0 in (land_ind (nf2 c t0) (nfs2 c
 110 (TApp t1 t)) (land (land (nf2 c t0) (nfs2 c t1)) (nf2 c t)) (\lambda (H2:
 111 (nf2 c t0)).(\lambda (H3: (nfs2 c (TApp t1 t))).(let H_x \def (H H3) in (let
 112 H4 \def H_x in (land_ind (nfs2 c t1) (nf2 c t) (land (land (nf2 c t0) (nfs2 c
 113 t1)) (nf2 c t)) (\lambda (H5: (nfs2 c t1)).(\lambda (H6: (nf2 c t)).(conj
 114 (land (nf2 c t0) (nfs2 c t1)) (nf2 c t) (conj (nf2 c t0) (nfs2 c t1) H2 H5)
 115 H6))) H4))))) H1)))))) ts))).
 116 (* COMMENTS
 117 Initial nodes: 295
 118 END *)
 119
 120 theorem nf2_appls_lref:
 121  \forall (c: C).(\forall (i: nat).((nf2 c (TLRef i)) \to (\forall (vs:
 122 TList).((nfs2 c vs) \to (nf2 c (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)))))))
 123 \def
 124  \lambda (c: C).(\lambda (i: nat).(\lambda (H: (nf2 c (TLRef i))).(\lambda
 125 (vs: TList).(TList_ind (\lambda (t: TList).((nfs2 c t) \to (nf2 c (THeads
 126 (Flat Appl) t (TLRef i))))) (\lambda (_: True).H) (\lambda (t: T).(\lambda
 127 (t0: TList).(\lambda (H0: (((nfs2 c t0) \to (nf2 c (THeads (Flat Appl) t0
 128 (TLRef i)))))).(\lambda (H1: (land (nf2 c t) (nfs2 c t0))).(let H2 \def H1 in
 129 (land_ind (nf2 c t) (nfs2 c t0) (nf2 c (THead (Flat Appl) t (THeads (Flat
 130 Appl) t0 (TLRef i)))) (\lambda (H3: (nf2 c t)).(\lambda (H4: (nfs2 c
 131 t0)).(let H_y \def (H0 H4) in (\lambda (t2: T).(\lambda (H5: (pr2 c (THead
 132 (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i))) t2)).(let H6 \def
 133 (pr2_gen_appl c t (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i)) t2 H5) in (or3_ind (ex3_2
 134 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Flat Appl) u2 t3))))
 135 (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr2 c t u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3:
 136 T).(pr2 c (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i)) t3)))) (ex4_4 T T T T (\lambda
 137 (y1: T).(\lambda (z1: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(eq T (THeads (Flat
 138 Appl) t0 (TLRef i)) (THead (Bind Abst) y1 z1)))))) (\lambda (_: T).(\lambda
 139 (_: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Bind Abbr) u2
 140 t3)))))) (\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (_:
 141 T).(pr2 c t u2))))) (\lambda (_: T).(\lambda (z1: T).(\lambda (_: T).(\lambda
 142 (t3: T).(\forall (b: B).(\forall (u: T).(pr2 (CHead c (Bind b) u) z1
 143 t3)))))))) (ex6_6 B T T T T T (\lambda (b: B).(\lambda (_: T).(\lambda (_:
 144 T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(not (eq B b Abst))))))))
 145 (\lambda (b: B).(\lambda (y1: T).(\lambda (z1: T).(\lambda (_: T).(\lambda
 146 (_: T).(\lambda (_: T).(eq T (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i)) (THead (Bind
 147 b) y1 z1)))))))) (\lambda (b: B).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda
 148 (z2: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (y2: T).(eq T t2 (THead (Bind b) y2 (THead
 149 (Flat Appl) (lift (S O) O u2) z2))))))))) (\lambda (_: B).(\lambda (_:
 150 T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr2 c t
 151 u2))))))) (\lambda (_: B).(\lambda (y1: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_:
 152 T).(\lambda (_: T).(\lambda (y2: T).(pr2 c y1 y2))))))) (\lambda (b:
 153 B).(\lambda (_: T).(\lambda (z1: T).(\lambda (z2: T).(\lambda (_: T).(\lambda
 154 (y2: T).(pr2 (CHead c (Bind b) y2) z1 z2)))))))) (eq T (THead (Flat Appl) t
 155 (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i))) t2) (\lambda (H7: (ex3_2 T T (\lambda (u2:
 156 T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Flat Appl) u2 t3)))) (\lambda (u2:
 157 T).(\lambda (_: T).(pr2 c t u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(pr2 c
 158 (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i)) t3))))).(ex3_2_ind T T (\lambda (u2:
 159 T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Flat Appl) u2 t3)))) (\lambda (u2:
 160 T).(\lambda (_: T).(pr2 c t u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(pr2 c
 161 (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i)) t3))) (eq T (THead (Flat Appl) t (THeads
 162 (Flat Appl) t0 (TLRef i))) t2) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda
 163 (H8: (eq T t2 (THead (Flat Appl) x0 x1))).(\lambda (H9: (pr2 c t
 164 x0)).(\lambda (H10: (pr2 c (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i)) x1)).(eq_ind_r T
 165 (THead (Flat Appl) x0 x1) (\lambda (t1: T).(eq T (THead (Flat Appl) t (THeads
 166 (Flat Appl) t0 (TLRef i))) t1)) (let H11 \def (eq_ind_r T x1 (\lambda (t1:
 167 T).(pr2 c (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i)) t1)) H10 (THeads (Flat Appl) t0
 168 (TLRef i)) (H_y x1 H10)) in (eq_ind T (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i))
 169 (\lambda (t1: T).(eq T (THead (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef
 170 i))) (THead (Flat Appl) x0 t1))) (let H12 \def (eq_ind_r T x0 (\lambda (t1:
 171 T).(pr2 c t t1)) H9 t (H3 x0 H9)) in (eq_ind T t (\lambda (t1: T).(eq T
 172 (THead (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i))) (THead (Flat Appl) t1
 173 (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i))))) (refl_equal T (THead (Flat Appl) t
 174 (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i)))) x0 (H3 x0 H9))) x1 (H_y x1 H10))) t2
 175 H8)))))) H7)) (\lambda (H7: (ex4_4 T T T T (\lambda (y1: T).(\lambda (z1:
 176 T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(eq T (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i))
 177 (THead (Bind Abst) y1 z1)))))) (\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (u2:
 178 T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Bind Abbr) u2 t3)))))) (\lambda (_:
 179 T).(\lambda (_: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr2 c t u2))))) (\lambda
 180 (_: T).(\lambda (z1: T).(\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(\forall (b:
 181 B).(\forall (u: T).(pr2 (CHead c (Bind b) u) z1 t3))))))))).(ex4_4_ind T T T
 182 T (\lambda (y1: T).(\lambda (z1: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(eq T
 183 (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i)) (THead (Bind Abst) y1 z1)))))) (\lambda (_:
 184 T).(\lambda (_: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Bind
 185 Abbr) u2 t3)))))) (\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (u2: T).(\lambda
 186 (_: T).(pr2 c t u2))))) (\lambda (_: T).(\lambda (z1: T).(\lambda (_:
 187 T).(\lambda (t3: T).(\forall (b: B).(\forall (u: T).(pr2 (CHead c (Bind b) u)
 188 z1 t3))))))) (eq T (THead (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i)))
 189 t2) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda (x2: T).(\lambda (x3:
 190 T).(\lambda (H8: (eq T (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i)) (THead (Bind Abst)
 191 x0 x1))).(\lambda (H9: (eq T t2 (THead (Bind Abbr) x2 x3))).(\lambda (_: (pr2
 192 c t x2)).(\lambda (_: ((\forall (b: B).(\forall (u: T).(pr2 (CHead c (Bind b)
 193 u) x1 x3))))).(eq_ind_r T (THead (Bind Abbr) x2 x3) (\lambda (t1: T).(eq T
 194 (THead (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i))) t1)) (TList_ind
 195 (\lambda (t1: TList).((nf2 c (THeads (Flat Appl) t1 (TLRef i))) \to ((eq T
 196 (THeads (Flat Appl) t1 (TLRef i)) (THead (Bind Abst) x0 x1)) \to (eq T (THead
 197 (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t1 (TLRef i))) (THead (Bind Abbr) x2
 198 x3))))) (\lambda (_: (nf2 c (THeads (Flat Appl) TNil (TLRef i)))).(\lambda
 199 (H13: (eq T (THeads (Flat Appl) TNil (TLRef i)) (THead (Bind Abst) x0
 200 x1))).(let H14 \def (eq_ind T (TLRef i) (\lambda (ee: T).(match ee in T
 201 return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _)
 202 \Rightarrow True | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (THead (Bind Abst) x0
 203 x1) H13) in (False_ind (eq T (THead (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) TNil
 204 (TLRef i))) (THead (Bind Abbr) x2 x3)) H14)))) (\lambda (t1: T).(\lambda (t3:
 205 TList).(\lambda (_: (((nf2 c (THeads (Flat Appl) t3 (TLRef i))) \to ((eq T
 206 (THeads (Flat Appl) t3 (TLRef i)) (THead (Bind Abst) x0 x1)) \to (eq T (THead
 207 (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t3 (TLRef i))) (THead (Bind Abbr) x2
 208 x3)))))).(\lambda (_: (nf2 c (THeads (Flat Appl) (TCons t1 t3) (TLRef
 209 i)))).(\lambda (H13: (eq T (THeads (Flat Appl) (TCons t1 t3) (TLRef i))
 210 (THead (Bind Abst) x0 x1))).(let H14 \def (eq_ind T (THead (Flat Appl) t1
 211 (THeads (Flat Appl) t3 (TLRef i))) (\lambda (ee: T).(match ee in T return
 212 (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _)
 213 \Rightarrow False | (THead k _ _) \Rightarrow (match k in K return (\lambda
 214 (_: K).Prop) with [(Bind _) \Rightarrow False | (Flat _) \Rightarrow
 215 True])])) I (THead (Bind Abst) x0 x1) H13) in (False_ind (eq T (THead (Flat
 216 Appl) t (THeads (Flat Appl) (TCons t1 t3) (TLRef i))) (THead (Bind Abbr) x2
 217 x3)) H14))))))) t0 H_y H8) t2 H9))))))))) H7)) (\lambda (H7: (ex6_6 B T T T T
 218 T (\lambda (b: B).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda
 219 (_: T).(\lambda (_: T).(not (eq B b Abst)))))))) (\lambda (b: B).(\lambda
 220 (y1: T).(\lambda (z1: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(eq
 221 T (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i)) (THead (Bind b) y1 z1)))))))) (\lambda
 222 (b: B).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (z2: T).(\lambda (u2:
 223 T).(\lambda (y2: T).(eq T t2 (THead (Bind b) y2 (THead (Flat Appl) (lift (S
 224 O) O u2) z2))))))))) (\lambda (_: B).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda
 225 (_: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr2 c t u2))))))) (\lambda (_:
 226 B).(\lambda (y1: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda
 227 (y2: T).(pr2 c y1 y2))))))) (\lambda (b: B).(\lambda (_: T).(\lambda (z1:
 228 T).(\lambda (z2: T).(\lambda (_: T).(\lambda (y2: T).(pr2 (CHead c (Bind b)
 229 y2) z1 z2))))))))).(ex6_6_ind B T T T T T (\lambda (b: B).(\lambda (_:
 230 T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(not (eq B
 231 b Abst)))))))) (\lambda (b: B).(\lambda (y1: T).(\lambda (z1: T).(\lambda (_:
 232 T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(eq T (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i))
 233 (THead (Bind b) y1 z1)))))))) (\lambda (b: B).(\lambda (_: T).(\lambda (_:
 234 T).(\lambda (z2: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (y2: T).(eq T t2 (THead (Bind
 235 b) y2 (THead (Flat Appl) (lift (S O) O u2) z2))))))))) (\lambda (_:
 236 B).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (u2: T).(\lambda
 237 (_: T).(pr2 c t u2))))))) (\lambda (_: B).(\lambda (y1: T).(\lambda (_:
 238 T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (y2: T).(pr2 c y1 y2)))))))
 239 (\lambda (b: B).(\lambda (_: T).(\lambda (z1: T).(\lambda (z2: T).(\lambda
 240 (_: T).(\lambda (y2: T).(pr2 (CHead c (Bind b) y2) z1 z2))))))) (eq T (THead
 241 (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i))) t2) (\lambda (x0:
 242 B).(\lambda (x1: T).(\lambda (x2: T).(\lambda (x3: T).(\lambda (x4:
 243 T).(\lambda (x5: T).(\lambda (_: (not (eq B x0 Abst))).(\lambda (H9: (eq T
 244 (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i)) (THead (Bind x0) x1 x2))).(\lambda (H10:
 245 (eq T t2 (THead (Bind x0) x5 (THead (Flat Appl) (lift (S O) O x4)
 246 x3)))).(\lambda (_: (pr2 c t x4)).(\lambda (_: (pr2 c x1 x5)).(\lambda (_:
 247 (pr2 (CHead c (Bind x0) x5) x2 x3)).(eq_ind_r T (THead (Bind x0) x5 (THead
 248 (Flat Appl) (lift (S O) O x4) x3)) (\lambda (t1: T).(eq T (THead (Flat Appl)
 249 t (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i))) t1)) (TList_ind (\lambda (t1:
 250 TList).((nf2 c (THeads (Flat Appl) t1 (TLRef i))) \to ((eq T (THeads (Flat
 251 Appl) t1 (TLRef i)) (THead (Bind x0) x1 x2)) \to (eq T (THead (Flat Appl) t
 252 (THeads (Flat Appl) t1 (TLRef i))) (THead (Bind x0) x5 (THead (Flat Appl)
 253 (lift (S O) O x4) x3)))))) (\lambda (_: (nf2 c (THeads (Flat Appl) TNil
 254 (TLRef i)))).(\lambda (H15: (eq T (THeads (Flat Appl) TNil (TLRef i)) (THead
 255 (Bind x0) x1 x2))).(let H16 \def (eq_ind T (TLRef i) (\lambda (ee: T).(match
 256 ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False |
 257 (TLRef _) \Rightarrow True | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (THead
 258 (Bind x0) x1 x2) H15) in (False_ind (eq T (THead (Flat Appl) t (THeads (Flat
 259 Appl) TNil (TLRef i))) (THead (Bind x0) x5 (THead (Flat Appl) (lift (S O) O
 260 x4) x3))) H16)))) (\lambda (t1: T).(\lambda (t3: TList).(\lambda (_: (((nf2 c
 261 (THeads (Flat Appl) t3 (TLRef i))) \to ((eq T (THeads (Flat Appl) t3 (TLRef
 262 i)) (THead (Bind x0) x1 x2)) \to (eq T (THead (Flat Appl) t (THeads (Flat
 263 Appl) t3 (TLRef i))) (THead (Bind x0) x5 (THead (Flat Appl) (lift (S O) O x4)
 264 x3))))))).(\lambda (_: (nf2 c (THeads (Flat Appl) (TCons t1 t3) (TLRef
 265 i)))).(\lambda (H15: (eq T (THeads (Flat Appl) (TCons t1 t3) (TLRef i))
 266 (THead (Bind x0) x1 x2))).(let H16 \def (eq_ind T (THead (Flat Appl) t1
 267 (THeads (Flat Appl) t3 (TLRef i))) (\lambda (ee: T).(match ee in T return
 268 (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _)
 269 \Rightarrow False | (THead k _ _) \Rightarrow (match k in K return (\lambda
 270 (_: K).Prop) with [(Bind _) \Rightarrow False | (Flat _) \Rightarrow
 271 True])])) I (THead (Bind x0) x1 x2) H15) in (False_ind (eq T (THead (Flat
 272 Appl) t (THeads (Flat Appl) (TCons t1 t3) (TLRef i))) (THead (Bind x0) x5
 273 (THead (Flat Appl) (lift (S O) O x4) x3))) H16))))))) t0 H_y H9) t2
 274 H10))))))))))))) H7)) H6))))))) H2)))))) vs)))).
 275 (* COMMENTS
 276 Initial nodes: 2915
 277 END *)
 278
 279 theorem nf2_appl_lref:
 280  \forall (c: C).(\forall (u: T).((nf2 c u) \to (\forall (i: nat).((nf2 c
 281 (TLRef i)) \to (nf2 c (THead (Flat Appl) u (TLRef i)))))))
 282 \def
 283  \lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (H: (nf2 c u)).(\lambda (i:
 284 nat).(\lambda (H0: (nf2 c (TLRef i))).(let H_y \def (nf2_appls_lref c i H0
 285 (TCons u TNil)) in (H_y (conj (nf2 c u) True H I))))))).
 286 (* COMMENTS
 287 Initial nodes: 49
 288 END *)
 289
 290 theorem nf2_lref_abst:
 291  \forall (c: C).(\forall (e: C).(\forall (u: T).(\forall (i: nat).((getl i c
 292 (CHead e (Bind Abst) u)) \to (nf2 c (TLRef i))))))
 293 \def
 294  \lambda (c: C).(\lambda (e: C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda
 295 (H: (getl i c (CHead e (Bind Abst) u))).(\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pr2 c
 296 (TLRef i) t2)).(let H1 \def (pr2_gen_lref c t2 i H0) in (or_ind (eq T t2
 297 (TLRef i)) (ex2_2 C T (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(getl i c (CHead d
 298 (Bind Abbr) u0)))) (\lambda (_: C).(\lambda (u0: T).(eq T t2 (lift (S i) O
 299 u0))))) (eq T (TLRef i) t2) (\lambda (H2: (eq T t2 (TLRef i))).(eq_ind_r T
 300 (TLRef i) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef i) t)) (refl_equal T (TLRef i)) t2
 301 H2)) (\lambda (H2: (ex2_2 C T (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(getl i c
 302 (CHead d (Bind Abbr) u0)))) (\lambda (_: C).(\lambda (u0: T).(eq T t2 (lift
 303 (S i) O u0)))))).(ex2_2_ind C T (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(getl i c
 304 (CHead d (Bind Abbr) u0)))) (\lambda (_: C).(\lambda (u0: T).(eq T t2 (lift
 305 (S i) O u0)))) (eq T (TLRef i) t2) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda
 306 (H3: (getl i c (CHead x0 (Bind Abbr) x1))).(\lambda (H4: (eq T t2 (lift (S i)
 307 O x1))).(eq_ind_r T (lift (S i) O x1) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef i) t))
 308 (let H5 \def (eq_ind C (CHead e (Bind Abst) u) (\lambda (c0: C).(getl i c
 309 c0)) H (CHead x0 (Bind Abbr) x1) (getl_mono c (CHead e (Bind Abst) u) i H
 310 (CHead x0 (Bind Abbr) x1) H3)) in (let H6 \def (eq_ind C (CHead e (Bind Abst)
 311 u) (\lambda (ee: C).(match ee in C return (\lambda (_: C).Prop) with [(CSort
 312 _) \Rightarrow False | (CHead _ k _) \Rightarrow (match k in K return
 313 (\lambda (_: K).Prop) with [(Bind b) \Rightarrow (match b in B return
 314 (\lambda (_: B).Prop) with [Abbr \Rightarrow False | Abst \Rightarrow True |
 315 Void \Rightarrow False]) | (Flat _) \Rightarrow False])])) I (CHead x0 (Bind
 316 Abbr) x1) (getl_mono c (CHead e (Bind Abst) u) i H (CHead x0 (Bind Abbr) x1)
 317 H3)) in (False_ind (eq T (TLRef i) (lift (S i) O x1)) H6))) t2 H4))))) H2))
 318 H1)))))))).
 319 (* COMMENTS
 320 Initial nodes: 494
 321 END *)
 322
 323 theorem nf2_lift:
 324  \forall (d: C).(\forall (t: T).((nf2 d t) \to (\forall (c: C).(\forall (h:
 325 nat).(\forall (i: nat).((drop h i c d) \to (nf2 c (lift h i t))))))))
 326 \def
 327  \lambda (d: C).(\lambda (t: T).(\lambda (H: ((\forall (t2: T).((pr2 d t t2)
 328 \to (eq T t t2))))).(\lambda (c: C).(\lambda (h: nat).(\lambda (i:
 329 nat).(\lambda (H0: (drop h i c d)).(\lambda (t2: T).(\lambda (H1: (pr2 c
 330 (lift h i t) t2)).(let H2 \def (pr2_gen_lift c t t2 h i H1 d H0) in (ex2_ind
 331 T (\lambda (t3: T).(eq T t2 (lift h i t3))) (\lambda (t3: T).(pr2 d t t3))
 332 (eq T (lift h i t) t2) (\lambda (x: T).(\lambda (H3: (eq T t2 (lift h i
 333 x))).(\lambda (H4: (pr2 d t x)).(eq_ind_r T (lift h i x) (\lambda (t0: T).(eq
 334 T (lift h i t) t0)) (let H_y \def (H x H4) in (let H5 \def (eq_ind_r T x
 335 (\lambda (t0: T).(pr2 d t t0)) H4 t H_y) in (eq_ind T t (\lambda (t0: T).(eq
 336 T (lift h i t) (lift h i t0))) (refl_equal T (lift h i t)) x H_y))) t2 H3))))
 337 H2)))))))))).
 338 (* COMMENTS
 339 Initial nodes: 245
 340 END *)
 341