matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_1/pc3/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "basic_1/pc3/defs.ma".
  18
  19 include "basic_1/pr3/pr3.ma".
  20
  21 lemma clear_pc3_trans:
  22  \forall (c2: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pc3 c2 t1 t2) \to
  23 (\forall (c1: C).((clear c1 c2) \to (pc3 c1 t1 t2))))))
  24 \def
  25  \lambda (c2: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pc3 c2 t1
  26 t2)).(\lambda (c1: C).(\lambda (H0: (clear c1 c2)).(let H1 \def H in (ex2_ind
  27 T (\lambda (t: T).(pr3 c2 t1 t)) (\lambda (t: T).(pr3 c2 t2 t)) (pc3 c1 t1
  28 t2) (\lambda (x: T).(\lambda (H2: (pr3 c2 t1 x)).(\lambda (H3: (pr3 c2 t2
  29 x)).(ex_intro2 T (\lambda (t: T).(pr3 c1 t1 t)) (\lambda (t: T).(pr3 c1 t2
  30 t)) x (clear_pr3_trans c2 t1 x H2 c1 H0) (clear_pr3_trans c2 t2 x H3 c1
  31 H0))))) H1))))))).
  32
  33 lemma pc3_pr2_r:
  34  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr2 c t1 t2) \to (pc3 c
  35 t1 t2))))
  36 \def
  37  \lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pr2 c t1
  38 t2)).(ex_intro2 T (\lambda (t: T).(pr3 c t1 t)) (\lambda (t: T).(pr3 c t2 t))
  39 t2 (pr3_pr2 c t1 t2 H) (pr3_refl c t2))))).
  40
  41 lemma pc3_pr2_x:
  42  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr2 c t2 t1) \to (pc3 c
  43 t1 t2))))
  44 \def
  45  \lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pr2 c t2
  46 t1)).(ex_intro2 T (\lambda (t: T).(pr3 c t1 t)) (\lambda (t: T).(pr3 c t2 t))
  47 t1 (pr3_refl c t1) (pr3_pr2 c t2 t1 H))))).
  48
  49 lemma pc3_pr3_r:
  50  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr3 c t1 t2) \to (pc3 c
  51 t1 t2))))
  52 \def
  53  \lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pr3 c t1
  54 t2)).(ex_intro2 T (\lambda (t: T).(pr3 c t1 t)) (\lambda (t: T).(pr3 c t2 t))
  55 t2 H (pr3_refl c t2))))).
  56
  57 lemma pc3_pr3_x:
  58  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr3 c t2 t1) \to (pc3 c
  59 t1 t2))))
  60 \def
  61  \lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pr3 c t2
  62 t1)).(ex_intro2 T (\lambda (t: T).(pr3 c t1 t)) (\lambda (t: T).(pr3 c t2 t))
  63 t1 (pr3_refl c t1) H)))).
  64
  65 lemma pc3_pr3_t:
  66  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t0: T).((pr3 c t1 t0) \to (\forall
  67 (t2: T).((pr3 c t2 t0) \to (pc3 c t1 t2))))))
  68 \def
  69  \lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t0: T).(\lambda (H: (pr3 c t1
  70 t0)).(\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pr3 c t2 t0)).(ex_intro2 T (\lambda (t:
  71 T).(pr3 c t1 t)) (\lambda (t: T).(pr3 c t2 t)) t0 H H0)))))).
  72
  73 lemma pc3_refl:
  74  \forall (c: C).(\forall (t: T).(pc3 c t t))
  75 \def
  76  \lambda (c: C).(\lambda (t: T).(ex_intro2 T (\lambda (t0: T).(pr3 c t t0))
  77 (\lambda (t0: T).(pr3 c t t0)) t (pr3_refl c t) (pr3_refl c t))).
  78
  79 lemma pc3_s:
  80  \forall (c: C).(\forall (t2: T).(\forall (t1: T).((pc3 c t1 t2) \to (pc3 c
  81 t2 t1))))
  82 \def
  83  \lambda (c: C).(\lambda (t2: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (H: (pc3 c t1
  84 t2)).(let H0 \def H in (ex2_ind T (\lambda (t: T).(pr3 c t1 t)) (\lambda (t:
  85 T).(pr3 c t2 t)) (pc3 c t2 t1) (\lambda (x: T).(\lambda (H1: (pr3 c t1
  86 x)).(\lambda (H2: (pr3 c t2 x)).(ex_intro2 T (\lambda (t: T).(pr3 c t2 t))
  87 (\lambda (t: T).(pr3 c t1 t)) x H2 H1)))) H0))))).
  88
  89 lemma pc3_thin_dx:
  90  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pc3 c t1 t2) \to (\forall
  91 (u: T).(\forall (f: F).(pc3 c (THead (Flat f) u t1) (THead (Flat f) u
  92 t2)))))))
  93 \def
  94  \lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pc3 c t1
  95 t2)).(\lambda (u: T).(\lambda (f: F).(let H0 \def H in (ex2_ind T (\lambda
  96 (t: T).(pr3 c t1 t)) (\lambda (t: T).(pr3 c t2 t)) (pc3 c (THead (Flat f) u
  97 t1) (THead (Flat f) u t2)) (\lambda (x: T).(\lambda (H1: (pr3 c t1
  98 x)).(\lambda (H2: (pr3 c t2 x)).(ex_intro2 T (\lambda (t: T).(pr3 c (THead
  99 (Flat f) u t1) t)) (\lambda (t: T).(pr3 c (THead (Flat f) u t2) t)) (THead
 100 (Flat f) u x) (pr3_thin_dx c t1 x H1 u f) (pr3_thin_dx c t2 x H2 u f)))))
 101 H0))))))).
 102
 103 lemma pc3_head_1:
 104  \forall (c: C).(\forall (u1: T).(\forall (u2: T).((pc3 c u1 u2) \to (\forall
 105 (k: K).(\forall (t: T).(pc3 c (THead k u1 t) (THead k u2 t)))))))
 106 \def
 107  \lambda (c: C).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H: (pc3 c u1
 108 u2)).(\lambda (k: K).(\lambda (t: T).(let H0 \def H in (ex2_ind T (\lambda
 109 (t0: T).(pr3 c u1 t0)) (\lambda (t0: T).(pr3 c u2 t0)) (pc3 c (THead k u1 t)
 110 (THead k u2 t)) (\lambda (x: T).(\lambda (H1: (pr3 c u1 x)).(\lambda (H2:
 111 (pr3 c u2 x)).(ex_intro2 T (\lambda (t0: T).(pr3 c (THead k u1 t) t0))
 112 (\lambda (t0: T).(pr3 c (THead k u2 t) t0)) (THead k x t) (pr3_head_12 c u1 x
 113 H1 k t t (pr3_refl (CHead c k x) t)) (pr3_head_12 c u2 x H2 k t t (pr3_refl
 114 (CHead c k x) t)))))) H0))))))).
 115
 116 lemma pc3_head_2:
 117  \forall (c: C).(\forall (u: T).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall
 118 (k: K).((pc3 (CHead c k u) t1 t2) \to (pc3 c (THead k u t1) (THead k u
 119 t2)))))))
 120 \def
 121  \lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda
 122 (k: K).(\lambda (H: (pc3 (CHead c k u) t1 t2)).(let H0 \def H in (ex2_ind T
 123 (\lambda (t: T).(pr3 (CHead c k u) t1 t)) (\lambda (t: T).(pr3 (CHead c k u)
 124 t2 t)) (pc3 c (THead k u t1) (THead k u t2)) (\lambda (x: T).(\lambda (H1:
 125 (pr3 (CHead c k u) t1 x)).(\lambda (H2: (pr3 (CHead c k u) t2 x)).(ex_intro2
 126 T (\lambda (t: T).(pr3 c (THead k u t1) t)) (\lambda (t: T).(pr3 c (THead k u
 127 t2) t)) (THead k u x) (pr3_head_12 c u u (pr3_refl c u) k t1 x H1)
 128 (pr3_head_12 c u u (pr3_refl c u) k t2 x H2))))) H0))))))).
 129
 130 lemma pc3_pr2_u:
 131  \forall (c: C).(\forall (t2: T).(\forall (t1: T).((pr2 c t1 t2) \to (\forall
 132 (t3: T).((pc3 c t2 t3) \to (pc3 c t1 t3))))))
 133 \def
 134  \lambda (c: C).(\lambda (t2: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (H: (pr2 c t1
 135 t2)).(\lambda (t3: T).(\lambda (H0: (pc3 c t2 t3)).(let H1 \def H0 in
 136 (ex2_ind T (\lambda (t: T).(pr3 c t2 t)) (\lambda (t: T).(pr3 c t3 t)) (pc3 c
 137 t1 t3) (\lambda (x: T).(\lambda (H2: (pr3 c t2 x)).(\lambda (H3: (pr3 c t3
 138 x)).(ex_intro2 T (\lambda (t: T).(pr3 c t1 t)) (\lambda (t: T).(pr3 c t3 t))
 139 x (pr3_sing c t2 t1 H x H2) H3)))) H1))))))).
 140
 141 theorem pc3_t:
 142  \forall (t2: T).(\forall (c: C).(\forall (t1: T).((pc3 c t1 t2) \to (\forall
 143 (t3: T).((pc3 c t2 t3) \to (pc3 c t1 t3))))))
 144 \def
 145  \lambda (t2: T).(\lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (H: (pc3 c t1
 146 t2)).(\lambda (t3: T).(\lambda (H0: (pc3 c t2 t3)).(let H1 \def H0 in
 147 (ex2_ind T (\lambda (t: T).(pr3 c t2 t)) (\lambda (t: T).(pr3 c t3 t)) (pc3 c
 148 t1 t3) (\lambda (x: T).(\lambda (H2: (pr3 c t2 x)).(\lambda (H3: (pr3 c t3
 149 x)).(let H4 \def H in (ex2_ind T (\lambda (t: T).(pr3 c t1 t)) (\lambda (t:
 150 T).(pr3 c t2 t)) (pc3 c t1 t3) (\lambda (x0: T).(\lambda (H5: (pr3 c t1
 151 x0)).(\lambda (H6: (pr3 c t2 x0)).(ex2_ind T (\lambda (t: T).(pr3 c x0 t))
 152 (\lambda (t: T).(pr3 c x t)) (pc3 c t1 t3) (\lambda (x1: T).(\lambda (H7:
 153 (pr3 c x0 x1)).(\lambda (H8: (pr3 c x x1)).(pc3_pr3_t c t1 x1 (pr3_t x0 t1 c
 154 H5 x1 H7) t3 (pr3_t x t3 c H3 x1 H8))))) (pr3_confluence c t2 x0 H6 x H2)))))
 155 H4))))) H1))))))).
 156
 157 lemma pc3_pr2_u2:
 158  \forall (c: C).(\forall (t0: T).(\forall (t1: T).((pr2 c t0 t1) \to (\forall
 159 (t2: T).((pc3 c t0 t2) \to (pc3 c t1 t2))))))
 160 \def
 161  \lambda (c: C).(\lambda (t0: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (H: (pr2 c t0
 162 t1)).(\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pc3 c t0 t2)).(pc3_t t0 c t1 (pc3_pr2_x
 163 c t1 t0 H) t2 H0)))))).
 164
 165 lemma pc3_pr3_conf:
 166  \forall (c: C).(\forall (t: T).(\forall (t1: T).((pc3 c t t1) \to (\forall
 167 (t2: T).((pr3 c t t2) \to (pc3 c t2 t1))))))
 168 \def
 169  \lambda (c: C).(\lambda (t: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (H: (pc3 c t
 170 t1)).(\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pr3 c t t2)).(pc3_t t c t2 (pc3_pr3_x c
 171 t2 t H0) t1 H)))))).
 172
 173 theorem pc3_head_12:
 174  \forall (c: C).(\forall (u1: T).(\forall (u2: T).((pc3 c u1 u2) \to (\forall
 175 (k: K).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pc3 (CHead c k u2) t1 t2) \to (pc3
 176 c (THead k u1 t1) (THead k u2 t2)))))))))
 177 \def
 178  \lambda (c: C).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H: (pc3 c u1
 179 u2)).(\lambda (k: K).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pc3
 180 (CHead c k u2) t1 t2)).(pc3_t (THead k u2 t1) c (THead k u1 t1) (pc3_head_1 c
 181 u1 u2 H k t1) (THead k u2 t2) (pc3_head_2 c u2 t1 t2 k H0))))))))).
 182
 183 theorem pc3_head_21:
 184  \forall (c: C).(\forall (u1: T).(\forall (u2: T).((pc3 c u1 u2) \to (\forall
 185 (k: K).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pc3 (CHead c k u1) t1 t2) \to (pc3
 186 c (THead k u1 t1) (THead k u2 t2)))))))))
 187 \def
 188  \lambda (c: C).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H: (pc3 c u1
 189 u2)).(\lambda (k: K).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pc3
 190 (CHead c k u1) t1 t2)).(pc3_t (THead k u1 t2) c (THead k u1 t1) (pc3_head_2 c
 191 u1 t1 t2 k H0) (THead k u2 t2) (pc3_head_1 c u1 u2 H k t2))))))))).
 192
 193 lemma pc3_pr0_pr2_t:
 194  \forall (u1: T).(\forall (u2: T).((pr0 u2 u1) \to (\forall (c: C).(\forall
 195 (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (k: K).((pr2 (CHead c k u2) t1 t2) \to (pc3
 196 (CHead c k u1) t1 t2))))))))
 197 \def
 198  \lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H: (pr0 u2 u1)).(\lambda (c:
 199 C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (k: K).(\lambda (H0: (pr2
 200 (CHead c k u2) t1 t2)).(insert_eq C (CHead c k u2) (\lambda (c0: C).(pr2 c0
 201 t1 t2)) (\lambda (_: C).(pc3 (CHead c k u1) t1 t2)) (\lambda (y: C).(\lambda
 202 (H1: (pr2 y t1 t2)).(pr2_ind (\lambda (c0: C).(\lambda (t: T).(\lambda (t0:
 203 T).((eq C c0 (CHead c k u2)) \to (pc3 (CHead c k u1) t t0))))) (\lambda (c0:
 204 C).(\lambda (t3: T).(\lambda (t4: T).(\lambda (H2: (pr0 t3 t4)).(\lambda (H3:
 205 (eq C c0 (CHead c k u2))).(let H4 \def (f_equal C C (\lambda (e: C).e) c0
 206 (CHead c k u2) H3) in (pc3_pr2_r (CHead c k u1) t3 t4 (pr2_free (CHead c k
 207 u1) t3 t4 H2)))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u:
 208 T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H2: (getl i c0 (CHead d (Bind Abbr)
 209 u))).(\lambda (t3: T).(\lambda (t4: T).(\lambda (H3: (pr0 t3 t4)).(\lambda
 210 (t: T).(\lambda (H4: (subst0 i u t4 t)).(\lambda (H5: (eq C c0 (CHead c k
 211 u2))).(let H6 \def (f_equal C C (\lambda (e: C).e) c0 (CHead c k u2) H5) in
 212 (let H7 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c1: C).(getl i c1 (CHead d (Bind Abbr)
 213 u))) H2 (CHead c k u2) H6) in (nat_ind (\lambda (n: nat).((getl n (CHead c k
 214 u2) (CHead d (Bind Abbr) u)) \to ((subst0 n u t4 t) \to (pc3 (CHead c k u1)
 215 t3 t)))) (\lambda (H8: (getl O (CHead c k u2) (CHead d (Bind Abbr)
 216 u))).(\lambda (H9: (subst0 O u t4 t)).(K_ind (\lambda (k0: K).((clear (CHead
 217 c k0 u2) (CHead d (Bind Abbr) u)) \to (pc3 (CHead c k0 u1) t3 t))) (\lambda
 218 (b: B).(\lambda (H10: (clear (CHead c (Bind b) u2) (CHead d (Bind Abbr)
 219 u))).(let H11 \def (f_equal C C (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _)
 220 \Rightarrow d | (CHead c1 _ _) \Rightarrow c1])) (CHead d (Bind Abbr) u)
 221 (CHead c (Bind b) u2) (clear_gen_bind b c (CHead d (Bind Abbr) u) u2 H10)) in
 222 ((let H12 \def (f_equal C B (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _)
 223 \Rightarrow Abbr | (CHead _ k0 _) \Rightarrow (match k0 with [(Bind b0)
 224 \Rightarrow b0 | (Flat _) \Rightarrow Abbr])])) (CHead d (Bind Abbr) u)
 225 (CHead c (Bind b) u2) (clear_gen_bind b c (CHead d (Bind Abbr) u) u2 H10)) in
 226 ((let H13 \def (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _)
 227 \Rightarrow u | (CHead _ _ t0) \Rightarrow t0])) (CHead d (Bind Abbr) u)
 228 (CHead c (Bind b) u2) (clear_gen_bind b c (CHead d (Bind Abbr) u) u2 H10)) in
 229 (\lambda (H14: (eq B Abbr b)).(\lambda (_: (eq C d c)).(let H16 \def (eq_ind
 230 T u (\lambda (t0: T).(subst0 O t0 t4 t)) H9 u2 H13) in (eq_ind B Abbr
 231 (\lambda (b0: B).(pc3 (CHead c (Bind b0) u1) t3 t)) (ex2_ind T (\lambda (t0:
 232 T).(subst0 O u1 t4 t0)) (\lambda (t0: T).(pr0 t t0)) (pc3 (CHead c (Bind
 233 Abbr) u1) t3 t) (\lambda (x: T).(\lambda (H17: (subst0 O u1 t4 x)).(\lambda
 234 (H18: (pr0 t x)).(pc3_pr3_t (CHead c (Bind Abbr) u1) t3 x (pr3_pr2 (CHead c
 235 (Bind Abbr) u1) t3 x (pr2_delta (CHead c (Bind Abbr) u1) c u1 O (getl_refl
 236 Abbr c u1) t3 t4 H3 x H17)) t (pr3_pr2 (CHead c (Bind Abbr) u1) t x (pr2_free
 237 (CHead c (Bind Abbr) u1) t x H18)))))) (pr0_subst0_fwd u2 t4 t O H16 u1 H)) b
 238 H14))))) H12)) H11)))) (\lambda (f: F).(\lambda (H10: (clear (CHead c (Flat
 239 f) u2) (CHead d (Bind Abbr) u))).(clear_pc3_trans (CHead d (Bind Abbr) u) t3
 240 t (pc3_pr2_r (CHead d (Bind Abbr) u) t3 t (pr2_delta (CHead d (Bind Abbr) u)
 241 d u O (getl_refl Abbr d u) t3 t4 H3 t H9)) (CHead c (Flat f) u1) (clear_flat
 242 c (CHead d (Bind Abbr) u) (clear_gen_flat f c (CHead d (Bind Abbr) u) u2 H10)
 243 f u1)))) k (getl_gen_O (CHead c k u2) (CHead d (Bind Abbr) u) H8)))) (\lambda
 244 (i0: nat).(\lambda (IHi: (((getl i0 (CHead c k u2) (CHead d (Bind Abbr) u))
 245 \to ((subst0 i0 u t4 t) \to (pc3 (CHead c k u1) t3 t))))).(\lambda (H8: (getl
 246 (S i0) (CHead c k u2) (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (H9: (subst0 (S i0)
 247 u t4 t)).(K_ind (\lambda (k0: K).((((getl i0 (CHead c k0 u2) (CHead d (Bind
 248 Abbr) u)) \to ((subst0 i0 u t4 t) \to (pc3 (CHead c k0 u1) t3 t)))) \to
 249 ((getl (r k0 i0) c (CHead d (Bind Abbr) u)) \to (pc3 (CHead c k0 u1) t3 t))))
 250 (\lambda (b: B).(\lambda (_: (((getl i0 (CHead c (Bind b) u2) (CHead d (Bind
 251 Abbr) u)) \to ((subst0 i0 u t4 t) \to (pc3 (CHead c (Bind b) u1) t3
 252 t))))).(\lambda (H10: (getl (r (Bind b) i0) c (CHead d (Bind Abbr)
 253 u))).(pc3_pr2_r (CHead c (Bind b) u1) t3 t (pr2_delta (CHead c (Bind b) u1) d
 254 u (S i0) (getl_head (Bind b) i0 c (CHead d (Bind Abbr) u) H10 u1) t3 t4 H3 t
 255 H9))))) (\lambda (f: F).(\lambda (_: (((getl i0 (CHead c (Flat f) u2) (CHead
 256 d (Bind Abbr) u)) \to ((subst0 i0 u t4 t) \to (pc3 (CHead c (Flat f) u1) t3
 257 t))))).(\lambda (H10: (getl (r (Flat f) i0) c (CHead d (Bind Abbr)
 258 u))).(pc3_pr2_r (CHead c (Flat f) u1) t3 t (pr2_cflat c t3 t (pr2_delta c d u
 259 (r (Flat f) i0) H10 t3 t4 H3 t H9) f u1))))) k IHi (getl_gen_S k c (CHead d
 260 (Bind Abbr) u) u2 i0 H8)))))) i H7 H4)))))))))))))) y t1 t2 H1))) H0)))))))).
 261
 262 lemma pc3_pr2_pr2_t:
 263  \forall (c: C).(\forall (u1: T).(\forall (u2: T).((pr2 c u2 u1) \to (\forall
 264 (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (k: K).((pr2 (CHead c k u2) t1 t2) \to (pc3
 265 (CHead c k u1) t1 t2))))))))
 266 \def
 267  \lambda (c: C).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H: (pr2 c u2
 268 u1)).(pr2_ind (\lambda (c0: C).(\lambda (t: T).(\lambda (t0: T).(\forall (t1:
 269 T).(\forall (t2: T).(\forall (k: K).((pr2 (CHead c0 k t) t1 t2) \to (pc3
 270 (CHead c0 k t0) t1 t2)))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2:
 271 T).(\lambda (H0: (pr0 t1 t2)).(\lambda (t0: T).(\lambda (t3: T).(\lambda (k:
 272 K).(\lambda (H1: (pr2 (CHead c0 k t1) t0 t3)).(pc3_pr0_pr2_t t2 t1 H0 c0 t0
 273 t3 k H1))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda
 274 (i: nat).(\lambda (H0: (getl i c0 (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (t1:
 275 T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H1: (pr0 t1 t2)).(\lambda (t: T).(\lambda (H2:
 276 (subst0 i u t2 t)).(\lambda (t0: T).(\lambda (t3: T).(\lambda (k: K).(\lambda
 277 (H3: (pr2 (CHead c0 k t1) t0 t3)).(insert_eq C (CHead c0 k t1) (\lambda (c1:
 278 C).(pr2 c1 t0 t3)) (\lambda (_: C).(pc3 (CHead c0 k t) t0 t3)) (\lambda (y:
 279 C).(\lambda (H4: (pr2 y t0 t3)).(pr2_ind (\lambda (c1: C).(\lambda (t4:
 280 T).(\lambda (t5: T).((eq C c1 (CHead c0 k t1)) \to (pc3 (CHead c0 k t) t4
 281 t5))))) (\lambda (c1: C).(\lambda (t4: T).(\lambda (t5: T).(\lambda (H5: (pr0
 282 t4 t5)).(\lambda (_: (eq C c1 (CHead c0 k t1))).(pc3_pr2_r (CHead c0 k t) t4
 283 t5 (pr2_free (CHead c0 k t) t4 t5 H5))))))) (\lambda (c1: C).(\lambda (d0:
 284 C).(\lambda (u0: T).(\lambda (i0: nat).(\lambda (H5: (getl i0 c1 (CHead d0
 285 (Bind Abbr) u0))).(\lambda (t4: T).(\lambda (t5: T).(\lambda (H6: (pr0 t4
 286 t5)).(\lambda (t6: T).(\lambda (H7: (subst0 i0 u0 t5 t6)).(\lambda (H8: (eq C
 287 c1 (CHead c0 k t1))).(let H9 \def (eq_ind C c1 (\lambda (c2: C).(getl i0 c2
 288 (CHead d0 (Bind Abbr) u0))) H5 (CHead c0 k t1) H8) in (nat_ind (\lambda (n:
 289 nat).((getl n (CHead c0 k t1) (CHead d0 (Bind Abbr) u0)) \to ((subst0 n u0 t5
 290 t6) \to (pc3 (CHead c0 k t) t4 t6)))) (\lambda (H10: (getl O (CHead c0 k t1)
 291 (CHead d0 (Bind Abbr) u0))).(\lambda (H11: (subst0 O u0 t5 t6)).(K_ind
 292 (\lambda (k0: K).((clear (CHead c0 k0 t1) (CHead d0 (Bind Abbr) u0)) \to (pc3
 293 (CHead c0 k0 t) t4 t6))) (\lambda (b: B).(\lambda (H12: (clear (CHead c0
 294 (Bind b) t1) (CHead d0 (Bind Abbr) u0))).(let H13 \def (f_equal C C (\lambda
 295 (e: C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow d0 | (CHead c2 _ _) \Rightarrow
 296 c2])) (CHead d0 (Bind Abbr) u0) (CHead c0 (Bind b) t1) (clear_gen_bind b c0
 297 (CHead d0 (Bind Abbr) u0) t1 H12)) in ((let H14 \def (f_equal C B (\lambda
 298 (e: C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow Abbr | (CHead _ k0 _) \Rightarrow
 299 (match k0 with [(Bind b0) \Rightarrow b0 | (Flat _) \Rightarrow Abbr])]))
 300 (CHead d0 (Bind Abbr) u0) (CHead c0 (Bind b) t1) (clear_gen_bind b c0 (CHead
 301 d0 (Bind Abbr) u0) t1 H12)) in ((let H15 \def (f_equal C T (\lambda (e:
 302 C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow u0 | (CHead _ _ t7) \Rightarrow t7]))
 303 (CHead d0 (Bind Abbr) u0) (CHead c0 (Bind b) t1) (clear_gen_bind b c0 (CHead
 304 d0 (Bind Abbr) u0) t1 H12)) in (\lambda (H16: (eq B Abbr b)).(\lambda (_: (eq
 305 C d0 c0)).(let H18 \def (eq_ind T u0 (\lambda (t7: T).(subst0 O t7 t5 t6))
 306 H11 t1 H15) in (eq_ind B Abbr (\lambda (b0: B).(pc3 (CHead c0 (Bind b0) t) t4
 307 t6)) (ex2_ind T (\lambda (t7: T).(subst0 O t2 t5 t7)) (\lambda (t7: T).(pr0
 308 t6 t7)) (pc3 (CHead c0 (Bind Abbr) t) t4 t6) (\lambda (x: T).(\lambda (H19:
 309 (subst0 O t2 t5 x)).(\lambda (H20: (pr0 t6 x)).(ex2_ind T (\lambda (t7:
 310 T).(subst0 O t t5 t7)) (\lambda (t7: T).(subst0 (S (plus i O)) u x t7)) (pc3
 311 (CHead c0 (Bind Abbr) t) t4 t6) (\lambda (x0: T).(\lambda (H21: (subst0 O t
 312 t5 x0)).(\lambda (H22: (subst0 (S (plus i O)) u x x0)).(let H23 \def (f_equal
 313 nat nat S (plus i O) i (sym_eq nat i (plus i O) (plus_n_O i))) in (let H24
 314 \def (eq_ind nat (S (plus i O)) (\lambda (n: nat).(subst0 n u x x0)) H22 (S
 315 i) H23) in (pc3_pr2_u (CHead c0 (Bind Abbr) t) x0 t4 (pr2_delta (CHead c0
 316 (Bind Abbr) t) c0 t O (getl_refl Abbr c0 t) t4 t5 H6 x0 H21) t6 (pc3_pr2_x
 317 (CHead c0 (Bind Abbr) t) x0 t6 (pr2_delta (CHead c0 (Bind Abbr) t) d u (S i)
 318 (getl_head (Bind Abbr) i c0 (CHead d (Bind Abbr) u) H0 t) t6 x H20 x0
 319 H24)))))))) (subst0_subst0_back t5 x t2 O H19 t u i H2))))) (pr0_subst0_fwd
 320 t1 t5 t6 O H18 t2 H1)) b H16))))) H14)) H13)))) (\lambda (f: F).(\lambda
 321 (H12: (clear (CHead c0 (Flat f) t1) (CHead d0 (Bind Abbr)
 322 u0))).(clear_pc3_trans (CHead d0 (Bind Abbr) u0) t4 t6 (pc3_pr2_r (CHead d0
 323 (Bind Abbr) u0) t4 t6 (pr2_delta (CHead d0 (Bind Abbr) u0) d0 u0 O (getl_refl
 324 Abbr d0 u0) t4 t5 H6 t6 H11)) (CHead c0 (Flat f) t) (clear_flat c0 (CHead d0
 325 (Bind Abbr) u0) (clear_gen_flat f c0 (CHead d0 (Bind Abbr) u0) t1 H12) f
 326 t)))) k (getl_gen_O (CHead c0 k t1) (CHead d0 (Bind Abbr) u0) H10))))
 327 (\lambda (i1: nat).(\lambda (_: (((getl i1 (CHead c0 k t1) (CHead d0 (Bind
 328 Abbr) u0)) \to ((subst0 i1 u0 t5 t6) \to (pc3 (CHead c0 k t) t4
 329 t6))))).(\lambda (H10: (getl (S i1) (CHead c0 k t1) (CHead d0 (Bind Abbr)
 330 u0))).(\lambda (H11: (subst0 (S i1) u0 t5 t6)).(K_ind (\lambda (k0: K).((getl
 331 (r k0 i1) c0 (CHead d0 (Bind Abbr) u0)) \to (pc3 (CHead c0 k0 t) t4 t6)))
 332 (\lambda (b: B).(\lambda (H12: (getl (r (Bind b) i1) c0 (CHead d0 (Bind Abbr)
 333 u0))).(pc3_pr2_r (CHead c0 (Bind b) t) t4 t6 (pr2_delta (CHead c0 (Bind b) t)
 334 d0 u0 (S i1) (getl_head (Bind b) i1 c0 (CHead d0 (Bind Abbr) u0) H12 t) t4 t5
 335 H6 t6 H11)))) (\lambda (f: F).(\lambda (H12: (getl (r (Flat f) i1) c0 (CHead
 336 d0 (Bind Abbr) u0))).(pc3_pr2_r (CHead c0 (Flat f) t) t4 t6 (pr2_cflat c0 t4
 337 t6 (pr2_delta c0 d0 u0 (r (Flat f) i1) H12 t4 t5 H6 t6 H11) f t)))) k
 338 (getl_gen_S k c0 (CHead d0 (Bind Abbr) u0) t1 i1 H10)))))) i0 H9
 339 H7))))))))))))) y t0 t3 H4))) H3))))))))))))))) c u2 u1 H)))).
 340
 341 lemma pc3_pr2_pr3_t:
 342  \forall (c: C).(\forall (u2: T).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall
 343 (k: K).((pr3 (CHead c k u2) t1 t2) \to (\forall (u1: T).((pr2 c u2 u1) \to
 344 (pc3 (CHead c k u1) t1 t2))))))))
 345 \def
 346  \lambda (c: C).(\lambda (u2: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda
 347 (k: K).(\lambda (H: (pr3 (CHead c k u2) t1 t2)).(pr3_ind (CHead c k u2)
 348 (\lambda (t: T).(\lambda (t0: T).(\forall (u1: T).((pr2 c u2 u1) \to (pc3
 349 (CHead c k u1) t t0))))) (\lambda (t: T).(\lambda (u1: T).(\lambda (_: (pr2 c
 350 u2 u1)).(pc3_refl (CHead c k u1) t)))) (\lambda (t0: T).(\lambda (t3:
 351 T).(\lambda (H0: (pr2 (CHead c k u2) t3 t0)).(\lambda (t4: T).(\lambda (_:
 352 (pr3 (CHead c k u2) t0 t4)).(\lambda (H2: ((\forall (u1: T).((pr2 c u2 u1)
 353 \to (pc3 (CHead c k u1) t0 t4))))).(\lambda (u1: T).(\lambda (H3: (pr2 c u2
 354 u1)).(pc3_t t0 (CHead c k u1) t3 (pc3_pr2_pr2_t c u1 u2 H3 t3 t0 k H0) t4 (H2
 355 u1 H3)))))))))) t1 t2 H)))))).
 356
 357 lemma pc3_pr3_pc3_t:
 358  \forall (c: C).(\forall (u1: T).(\forall (u2: T).((pr3 c u2 u1) \to (\forall
 359 (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (k: K).((pc3 (CHead c k u2) t1 t2) \to (pc3
 360 (CHead c k u1) t1 t2))))))))
 361 \def
 362  \lambda (c: C).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H: (pr3 c u2
 363 u1)).(pr3_ind c (\lambda (t: T).(\lambda (t0: T).(\forall (t1: T).(\forall
 364 (t2: T).(\forall (k: K).((pc3 (CHead c k t) t1 t2) \to (pc3 (CHead c k t0) t1
 365 t2))))))) (\lambda (t: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (k:
 366 K).(\lambda (H0: (pc3 (CHead c k t) t1 t2)).H0))))) (\lambda (t2: T).(\lambda
 367 (t1: T).(\lambda (H0: (pr2 c t1 t2)).(\lambda (t3: T).(\lambda (_: (pr3 c t2
 368 t3)).(\lambda (H2: ((\forall (t4: T).(\forall (t5: T).(\forall (k: K).((pc3
 369 (CHead c k t2) t4 t5) \to (pc3 (CHead c k t3) t4 t5))))))).(\lambda (t0:
 370 T).(\lambda (t4: T).(\lambda (k: K).(\lambda (H3: (pc3 (CHead c k t1) t0
 371 t4)).(H2 t0 t4 k (let H4 \def H3 in (ex2_ind T (\lambda (t: T).(pr3 (CHead c
 372 k t1) t0 t)) (\lambda (t: T).(pr3 (CHead c k t1) t4 t)) (pc3 (CHead c k t2)
 373 t0 t4) (\lambda (x: T).(\lambda (H5: (pr3 (CHead c k t1) t0 x)).(\lambda (H6:
 374 (pr3 (CHead c k t1) t4 x)).(pc3_t x (CHead c k t2) t0 (pc3_pr2_pr3_t c t1 t0
 375 x k H5 t2 H0) t4 (pc3_s (CHead c k t2) x t4 (pc3_pr2_pr3_t c t1 t4 x k H6 t2
 376 H0)))))) H4))))))))))))) u2 u1 H)))).
 377
 378 lemma pc3_lift:
 379  \forall (c: C).(\forall (e: C).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((drop h
 380 d c e) \to (\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pc3 e t1 t2) \to (pc3 c (lift
 381 h d t1) (lift h d t2)))))))))
 382 \def
 383  \lambda (c: C).(\lambda (e: C).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda
 384 (H: (drop h d c e)).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pc3 e t1
 385 t2)).(let H1 \def H0 in (ex2_ind T (\lambda (t: T).(pr3 e t1 t)) (\lambda (t:
 386 T).(pr3 e t2 t)) (pc3 c (lift h d t1) (lift h d t2)) (\lambda (x: T).(\lambda
 387 (H2: (pr3 e t1 x)).(\lambda (H3: (pr3 e t2 x)).(pc3_pr3_t c (lift h d t1)
 388 (lift h d x) (pr3_lift c e h d H t1 x H2) (lift h d t2) (pr3_lift c e h d H
 389 t2 x H3))))) H1))))))))).
 390
 391 lemma pc3_eta:
 392  \forall (c: C).(\forall (t: T).(\forall (w: T).(\forall (u: T).((pc3 c t
 393 (THead (Bind Abst) w u)) \to (\forall (v: T).((pc3 c v w) \to (pc3 c (THead
 394 (Bind Abst) v (THead (Flat Appl) (TLRef O) (lift (S O) O t))) t)))))))
 395 \def
 396  \lambda (c: C).(\lambda (t: T).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(\lambda (H:
 397 (pc3 c t (THead (Bind Abst) w u))).(\lambda (v: T).(\lambda (H0: (pc3 c v
 398 w)).(pc3_t (THead (Bind Abst) w (THead (Flat Appl) (TLRef O) (lift (S O) O
 399 (THead (Bind Abst) w u)))) c (THead (Bind Abst) v (THead (Flat Appl) (TLRef
 400 O) (lift (S O) O t))) (pc3_head_21 c v w H0 (Bind Abst) (THead (Flat Appl)
 401 (TLRef O) (lift (S O) O t)) (THead (Flat Appl) (TLRef O) (lift (S O) O (THead
 402 (Bind Abst) w u))) (pc3_thin_dx (CHead c (Bind Abst) v) (lift (S O) O t)
 403 (lift (S O) O (THead (Bind Abst) w u)) (pc3_lift (CHead c (Bind Abst) v) c (S
 404 O) O (drop_drop (Bind Abst) O c c (drop_refl c) v) t (THead (Bind Abst) w u)
 405 H) (TLRef O) Appl)) t (pc3_t (THead (Bind Abst) w u) c (THead (Bind Abst) w
 406 (THead (Flat Appl) (TLRef O) (lift (S O) O (THead (Bind Abst) w u))))
 407 (pc3_pr3_r c (THead (Bind Abst) w (THead (Flat Appl) (TLRef O) (lift (S O) O
 408 (THead (Bind Abst) w u)))) (THead (Bind Abst) w u) (pr3_eta c w u w (pr3_refl
 409 c w))) t (pc3_s c (THead (Bind Abst) w u) t H))))))))).
 410