matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_1/pr0/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "basic_1/pr0/fwd.ma".
  18
  19 include "basic_1/subst0/props.ma".
  20
  21 lemma pr0_lift:
  22  \forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr0 t1 t2) \to (\forall (h: nat).(\forall
  23 (d: nat).(pr0 (lift h d t1) (lift h d t2))))))
  24 \def
  25  \lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pr0 t1 t2)).(pr0_ind (\lambda
  26 (t: T).(\lambda (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).(pr0 (lift h d t)
  27 (lift h d t0)))))) (\lambda (t: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
  28 nat).(pr0_refl (lift h d t))))) (\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda
  29 (_: (pr0 u1 u2)).(\lambda (H1: ((\forall (h: nat).(\forall (d: nat).(pr0
  30 (lift h d u1) (lift h d u2)))))).(\lambda (t3: T).(\lambda (t4: T).(\lambda
  31 (_: (pr0 t3 t4)).(\lambda (H3: ((\forall (h: nat).(\forall (d: nat).(pr0
  32 (lift h d t3) (lift h d t4)))))).(\lambda (k: K).(\lambda (h: nat).(\lambda
  33 (d: nat).(eq_ind_r T (THead k (lift h d u1) (lift h (s k d) t3)) (\lambda (t:
  34 T).(pr0 t (lift h d (THead k u2 t4)))) (eq_ind_r T (THead k (lift h d u2)
  35 (lift h (s k d) t4)) (\lambda (t: T).(pr0 (THead k (lift h d u1) (lift h (s k
  36 d) t3)) t)) (pr0_comp (lift h d u1) (lift h d u2) (H1 h d) (lift h (s k d)
  37 t3) (lift h (s k d) t4) (H3 h (s k d)) k) (lift h d (THead k u2 t4))
  38 (lift_head k u2 t4 h d)) (lift h d (THead k u1 t3)) (lift_head k u1 t3 h
  39 d))))))))))))) (\lambda (u: T).(\lambda (v1: T).(\lambda (v2: T).(\lambda (_:
  40 (pr0 v1 v2)).(\lambda (H1: ((\forall (h: nat).(\forall (d: nat).(pr0 (lift h
  41 d v1) (lift h d v2)))))).(\lambda (t3: T).(\lambda (t4: T).(\lambda (_: (pr0
  42 t3 t4)).(\lambda (H3: ((\forall (h: nat).(\forall (d: nat).(pr0 (lift h d t3)
  43 (lift h d t4)))))).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(eq_ind_r T (THead
  44 (Flat Appl) (lift h d v1) (lift h (s (Flat Appl) d) (THead (Bind Abst) u
  45 t3))) (\lambda (t: T).(pr0 t (lift h d (THead (Bind Abbr) v2 t4)))) (eq_ind_r
  46 T (THead (Bind Abst) (lift h (s (Flat Appl) d) u) (lift h (s (Bind Abst) (s
  47 (Flat Appl) d)) t3)) (\lambda (t: T).(pr0 (THead (Flat Appl) (lift h d v1) t)
  48 (lift h d (THead (Bind Abbr) v2 t4)))) (eq_ind_r T (THead (Bind Abbr) (lift h
  49 d v2) (lift h (s (Bind Abbr) d) t4)) (\lambda (t: T).(pr0 (THead (Flat Appl)
  50 (lift h d v1) (THead (Bind Abst) (lift h (s (Flat Appl) d) u) (lift h (s
  51 (Bind Abst) (s (Flat Appl) d)) t3))) t)) (pr0_beta (lift h (s (Flat Appl) d)
  52 u) (lift h d v1) (lift h d v2) (H1 h d) (lift h (s (Bind Abst) (s (Flat Appl)
  53 d)) t3) (lift h (s (Bind Abbr) d) t4) (H3 h (s (Bind Abbr) d))) (lift h d
  54 (THead (Bind Abbr) v2 t4)) (lift_head (Bind Abbr) v2 t4 h d)) (lift h (s
  55 (Flat Appl) d) (THead (Bind Abst) u t3)) (lift_head (Bind Abst) u t3 h (s
  56 (Flat Appl) d))) (lift h d (THead (Flat Appl) v1 (THead (Bind Abst) u t3)))
  57 (lift_head (Flat Appl) v1 (THead (Bind Abst) u t3) h d))))))))))))) (\lambda
  58 (b: B).(\lambda (H0: (not (eq B b Abst))).(\lambda (v1: T).(\lambda (v2:
  59 T).(\lambda (_: (pr0 v1 v2)).(\lambda (H2: ((\forall (h: nat).(\forall (d:
  60 nat).(pr0 (lift h d v1) (lift h d v2)))))).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2:
  61 T).(\lambda (_: (pr0 u1 u2)).(\lambda (H4: ((\forall (h: nat).(\forall (d:
  62 nat).(pr0 (lift h d u1) (lift h d u2)))))).(\lambda (t3: T).(\lambda (t4:
  63 T).(\lambda (_: (pr0 t3 t4)).(\lambda (H6: ((\forall (h: nat).(\forall (d:
  64 nat).(pr0 (lift h d t3) (lift h d t4)))))).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
  65 nat).(eq_ind_r T (THead (Flat Appl) (lift h d v1) (lift h (s (Flat Appl) d)
  66 (THead (Bind b) u1 t3))) (\lambda (t: T).(pr0 t (lift h d (THead (Bind b) u2
  67 (THead (Flat Appl) (lift (S O) O v2) t4))))) (eq_ind_r T (THead (Bind b)
  68 (lift h (s (Flat Appl) d) u1) (lift h (s (Bind b) (s (Flat Appl) d)) t3))
  69 (\lambda (t: T).(pr0 (THead (Flat Appl) (lift h d v1) t) (lift h d (THead
  70 (Bind b) u2 (THead (Flat Appl) (lift (S O) O v2) t4))))) (eq_ind_r T (THead
  71 (Bind b) (lift h d u2) (lift h (s (Bind b) d) (THead (Flat Appl) (lift (S O)
  72 O v2) t4))) (\lambda (t: T).(pr0 (THead (Flat Appl) (lift h d v1) (THead
  73 (Bind b) (lift h (s (Flat Appl) d) u1) (lift h (s (Bind b) (s (Flat Appl) d))
  74 t3))) t)) (eq_ind_r T (THead (Flat Appl) (lift h (s (Bind b) d) (lift (S O) O
  75 v2)) (lift h (s (Flat Appl) (s (Bind b) d)) t4)) (\lambda (t: T).(pr0 (THead
  76 (Flat Appl) (lift h d v1) (THead (Bind b) (lift h (s (Flat Appl) d) u1) (lift
  77 h (s (Bind b) (s (Flat Appl) d)) t3))) (THead (Bind b) (lift h d u2) t)))
  78 (eq_ind nat (plus (S O) d) (\lambda (n: nat).(pr0 (THead (Flat Appl) (lift h
  79 d v1) (THead (Bind b) (lift h d u1) (lift h n t3))) (THead (Bind b) (lift h d
  80 u2) (THead (Flat Appl) (lift h n (lift (S O) O v2)) (lift h n t4)))))
  81 (eq_ind_r T (lift (S O) O (lift h d v2)) (\lambda (t: T).(pr0 (THead (Flat
  82 Appl) (lift h d v1) (THead (Bind b) (lift h d u1) (lift h (plus (S O) d)
  83 t3))) (THead (Bind b) (lift h d u2) (THead (Flat Appl) t (lift h (plus (S O)
  84 d) t4))))) (pr0_upsilon b H0 (lift h d v1) (lift h d v2) (H2 h d) (lift h d
  85 u1) (lift h d u2) (H4 h d) (lift h (plus (S O) d) t3) (lift h (plus (S O) d)
  86 t4) (H6 h (plus (S O) d))) (lift h (plus (S O) d) (lift (S O) O v2)) (lift_d
  87 v2 h (S O) d O (le_O_n d))) (S d) (refl_equal nat (S d))) (lift h (s (Bind b)
  88 d) (THead (Flat Appl) (lift (S O) O v2) t4)) (lift_head (Flat Appl) (lift (S
  89 O) O v2) t4 h (s (Bind b) d))) (lift h d (THead (Bind b) u2 (THead (Flat
  90 Appl) (lift (S O) O v2) t4))) (lift_head (Bind b) u2 (THead (Flat Appl) (lift
  91 (S O) O v2) t4) h d)) (lift h (s (Flat Appl) d) (THead (Bind b) u1 t3))
  92 (lift_head (Bind b) u1 t3 h (s (Flat Appl) d))) (lift h d (THead (Flat Appl)
  93 v1 (THead (Bind b) u1 t3))) (lift_head (Flat Appl) v1 (THead (Bind b) u1 t3)
  94 h d)))))))))))))))))) (\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (_: (pr0 u1
  95 u2)).(\lambda (H1: ((\forall (h: nat).(\forall (d: nat).(pr0 (lift h d u1)
  96 (lift h d u2)))))).(\lambda (t3: T).(\lambda (t4: T).(\lambda (_: (pr0 t3
  97 t4)).(\lambda (H3: ((\forall (h: nat).(\forall (d: nat).(pr0 (lift h d t3)
  98 (lift h d t4)))))).(\lambda (w: T).(\lambda (H4: (subst0 O u2 t4 w)).(\lambda
  99 (h: nat).(\lambda (d: nat).(eq_ind_r T (THead (Bind Abbr) (lift h d u1) (lift
 100 h (s (Bind Abbr) d) t3)) (\lambda (t: T).(pr0 t (lift h d (THead (Bind Abbr)
 101 u2 w)))) (eq_ind_r T (THead (Bind Abbr) (lift h d u2) (lift h (s (Bind Abbr)
 102 d) w)) (\lambda (t: T).(pr0 (THead (Bind Abbr) (lift h d u1) (lift h (s (Bind
 103 Abbr) d) t3)) t)) (pr0_delta (lift h d u1) (lift h d u2) (H1 h d) (lift h (S
 104 d) t3) (lift h (S d) t4) (H3 h (S d)) (lift h (S d) w) (let d' \def (S d) in
 105 (eq_ind nat (minus (S d) (S O)) (\lambda (n: nat).(subst0 O (lift h n u2)
 106 (lift h d' t4) (lift h d' w))) (subst0_lift_lt t4 w u2 O H4 (S d) (le_n_S O d
 107 (le_O_n d)) h) d (eq_ind nat d (\lambda (n: nat).(eq nat n d)) (le_antisym d
 108 d (le_n d) (le_n d)) (minus d O) (minus_n_O d))))) (lift h d (THead (Bind
 109 Abbr) u2 w)) (lift_head (Bind Abbr) u2 w h d)) (lift h d (THead (Bind Abbr)
 110 u1 t3)) (lift_head (Bind Abbr) u1 t3 h d)))))))))))))) (\lambda (b:
 111 B).(\lambda (H0: (not (eq B b Abst))).(\lambda (t3: T).(\lambda (t4:
 112 T).(\lambda (_: (pr0 t3 t4)).(\lambda (H2: ((\forall (h: nat).(\forall (d:
 113 nat).(pr0 (lift h d t3) (lift h d t4)))))).(\lambda (u: T).(\lambda (h:
 114 nat).(\lambda (d: nat).(eq_ind_r T (THead (Bind b) (lift h d u) (lift h (s
 115 (Bind b) d) (lift (S O) O t3))) (\lambda (t: T).(pr0 t (lift h d t4)))
 116 (eq_ind nat (plus (S O) d) (\lambda (n: nat).(pr0 (THead (Bind b) (lift h d
 117 u) (lift h n (lift (S O) O t3))) (lift h d t4))) (eq_ind_r T (lift (S O) O
 118 (lift h d t3)) (\lambda (t: T).(pr0 (THead (Bind b) (lift h d u) t) (lift h d
 119 t4))) (pr0_zeta b H0 (lift h d t3) (lift h d t4) (H2 h d) (lift h d u)) (lift
 120 h (plus (S O) d) (lift (S O) O t3)) (lift_d t3 h (S O) d O (le_O_n d))) (S d)
 121 (refl_equal nat (S d))) (lift h d (THead (Bind b) u (lift (S O) O t3)))
 122 (lift_head (Bind b) u (lift (S O) O t3) h d))))))))))) (\lambda (t3:
 123 T).(\lambda (t4: T).(\lambda (_: (pr0 t3 t4)).(\lambda (H1: ((\forall (h:
 124 nat).(\forall (d: nat).(pr0 (lift h d t3) (lift h d t4)))))).(\lambda (u:
 125 T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(eq_ind_r T (THead (Flat Cast) (lift h
 126 d u) (lift h (s (Flat Cast) d) t3)) (\lambda (t: T).(pr0 t (lift h d t4)))
 127 (pr0_tau (lift h (s (Flat Cast) d) t3) (lift h d t4) (H1 h d) (lift h d u))
 128 (lift h d (THead (Flat Cast) u t3)) (lift_head (Flat Cast) u t3 h d)))))))))
 129 t1 t2 H))).
 130
 131 lemma pr0_gen_abbr:
 132  \forall (u1: T).(\forall (t1: T).(\forall (x: T).((pr0 (THead (Bind Abbr) u1
 133 t1) x) \to (or (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t2: T).(eq T x (THead
 134 (Bind Abbr) u2 t2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u2))) (\lambda
 135 (u2: T).(\lambda (t2: T).(or (pr0 t1 t2) (ex2 T (\lambda (y: T).(pr0 t1 y))
 136 (\lambda (y: T).(subst0 O u2 y t2))))))) (pr0 t1 (lift (S O) O x))))))
 137 \def
 138  \lambda (u1: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (x: T).(\lambda (H: (pr0 (THead
 139 (Bind Abbr) u1 t1) x)).(insert_eq T (THead (Bind Abbr) u1 t1) (\lambda (t:
 140 T).(pr0 t x)) (\lambda (_: T).(or (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t2:
 141 T).(eq T x (THead (Bind Abbr) u2 t2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr0
 142 u1 u2))) (\lambda (u2: T).(\lambda (t2: T).(or (pr0 t1 t2) (ex2 T (\lambda
 143 (y: T).(pr0 t1 y)) (\lambda (y: T).(subst0 O u2 y t2))))))) (pr0 t1 (lift (S
 144 O) O x)))) (\lambda (y: T).(\lambda (H0: (pr0 y x)).(pr0_ind (\lambda (t:
 145 T).(\lambda (t0: T).((eq T t (THead (Bind Abbr) u1 t1)) \to (or (ex3_2 T T
 146 (\lambda (u2: T).(\lambda (t2: T).(eq T t0 (THead (Bind Abbr) u2 t2))))
 147 (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u2))) (\lambda (u2: T).(\lambda (t2:
 148 T).(or (pr0 t1 t2) (ex2 T (\lambda (y0: T).(pr0 t1 y0)) (\lambda (y0:
 149 T).(subst0 O u2 y0 t2))))))) (pr0 t1 (lift (S O) O t0)))))) (\lambda (t:
 150 T).(\lambda (H1: (eq T t (THead (Bind Abbr) u1 t1))).(let H2 \def (f_equal T
 151 T (\lambda (e: T).e) t (THead (Bind Abbr) u1 t1) H1) in (eq_ind_r T (THead
 152 (Bind Abbr) u1 t1) (\lambda (t0: T).(or (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda
 153 (t2: T).(eq T t0 (THead (Bind Abbr) u2 t2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_:
 154 T).(pr0 u1 u2))) (\lambda (u2: T).(\lambda (t2: T).(or (pr0 t1 t2) (ex2 T
 155 (\lambda (y0: T).(pr0 t1 y0)) (\lambda (y0: T).(subst0 O u2 y0 t2))))))) (pr0
 156 t1 (lift (S O) O t0)))) (or_introl (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t2:
 157 T).(eq T (THead (Bind Abbr) u1 t1) (THead (Bind Abbr) u2 t2)))) (\lambda (u2:
 158 T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u2))) (\lambda (u2: T).(\lambda (t2: T).(or (pr0
 159 t1 t2) (ex2 T (\lambda (y0: T).(pr0 t1 y0)) (\lambda (y0: T).(subst0 O u2 y0
 160 t2))))))) (pr0 t1 (lift (S O) O (THead (Bind Abbr) u1 t1))) (ex3_2_intro T T
 161 (\lambda (u2: T).(\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind Abbr) u1 t1) (THead
 162 (Bind Abbr) u2 t2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u2))) (\lambda
 163 (u2: T).(\lambda (t2: T).(or (pr0 t1 t2) (ex2 T (\lambda (y0: T).(pr0 t1 y0))
 164 (\lambda (y0: T).(subst0 O u2 y0 t2)))))) u1 t1 (refl_equal T (THead (Bind
 165 Abbr) u1 t1)) (pr0_refl u1) (or_introl (pr0 t1 t1) (ex2 T (\lambda (y0:
 166 T).(pr0 t1 y0)) (\lambda (y0: T).(subst0 O u1 y0 t1))) (pr0_refl t1)))) t
 167 H2)))) (\lambda (u0: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H1: (pr0 u0 u2)).(\lambda
 168 (H2: (((eq T u0 (THead (Bind Abbr) u1 t1)) \to (or (ex3_2 T T (\lambda (u3:
 169 T).(\lambda (t2: T).(eq T u2 (THead (Bind Abbr) u3 t2)))) (\lambda (u3:
 170 T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u3))) (\lambda (u3: T).(\lambda (t2: T).(or (pr0
 171 t1 t2) (ex2 T (\lambda (y0: T).(pr0 t1 y0)) (\lambda (y0: T).(subst0 O u3 y0
 172 t2))))))) (pr0 t1 (lift (S O) O u2)))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (t2:
 173 T).(\lambda (H3: (pr0 t0 t2)).(\lambda (H4: (((eq T t0 (THead (Bind Abbr) u1
 174 t1)) \to (or (ex3_2 T T (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead
 175 (Bind Abbr) u3 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u3))) (\lambda
 176 (u3: T).(\lambda (t3: T).(or (pr0 t1 t3) (ex2 T (\lambda (y0: T).(pr0 t1 y0))
 177 (\lambda (y0: T).(subst0 O u3 y0 t3))))))) (pr0 t1 (lift (S O) O
 178 t2)))))).(\lambda (k: K).(\lambda (H5: (eq T (THead k u0 t0) (THead (Bind
 179 Abbr) u1 t1))).(let H6 \def (f_equal T K (\lambda (e: T).(match e with
 180 [(TSort _) \Rightarrow k | (TLRef _) \Rightarrow k | (THead k0 _ _)
 181 \Rightarrow k0])) (THead k u0 t0) (THead (Bind Abbr) u1 t1) H5) in ((let H7
 182 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e with [(TSort _) \Rightarrow u0 |
 183 (TLRef _) \Rightarrow u0 | (THead _ t _) \Rightarrow t])) (THead k u0 t0)
 184 (THead (Bind Abbr) u1 t1) H5) in ((let H8 \def (f_equal T T (\lambda (e:
 185 T).(match e with [(TSort _) \Rightarrow t0 | (TLRef _) \Rightarrow t0 |
 186 (THead _ _ t) \Rightarrow t])) (THead k u0 t0) (THead (Bind Abbr) u1 t1) H5)
 187 in (\lambda (H9: (eq T u0 u1)).(\lambda (H10: (eq K k (Bind Abbr))).(eq_ind_r
 188 K (Bind Abbr) (\lambda (k0: K).(or (ex3_2 T T (\lambda (u3: T).(\lambda (t3:
 189 T).(eq T (THead k0 u2 t2) (THead (Bind Abbr) u3 t3)))) (\lambda (u3:
 190 T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u3))) (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(or (pr0
 191 t1 t3) (ex2 T (\lambda (y0: T).(pr0 t1 y0)) (\lambda (y0: T).(subst0 O u3 y0
 192 t3))))))) (pr0 t1 (lift (S O) O (THead k0 u2 t2))))) (let H11 \def (eq_ind T
 193 t0 (\lambda (t: T).((eq T t (THead (Bind Abbr) u1 t1)) \to (or (ex3_2 T T
 194 (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Bind Abbr) u3 t3))))
 195 (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u3))) (\lambda (u3: T).(\lambda (t3:
 196 T).(or (pr0 t1 t3) (ex2 T (\lambda (y0: T).(pr0 t1 y0)) (\lambda (y0:
 197 T).(subst0 O u3 y0 t3))))))) (pr0 t1 (lift (S O) O t2))))) H4 t1 H8) in (let
 198 H12 \def (eq_ind T t0 (\lambda (t: T).(pr0 t t2)) H3 t1 H8) in (let H13 \def
 199 (eq_ind T u0 (\lambda (t: T).((eq T t (THead (Bind Abbr) u1 t1)) \to (or
 200 (ex3_2 T T (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T u2 (THead (Bind Abbr) u3
 201 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u3))) (\lambda (u3:
 202 T).(\lambda (t3: T).(or (pr0 t1 t3) (ex2 T (\lambda (y0: T).(pr0 t1 y0))
 203 (\lambda (y0: T).(subst0 O u3 y0 t3))))))) (pr0 t1 (lift (S O) O u2))))) H2
 204 u1 H9) in (let H14 \def (eq_ind T u0 (\lambda (t: T).(pr0 t u2)) H1 u1 H9) in
 205 (or_introl (ex3_2 T T (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind
 206 Abbr) u2 t2) (THead (Bind Abbr) u3 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_:
 207 T).(pr0 u1 u3))) (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(or (pr0 t1 t3) (ex2 T
 208 (\lambda (y0: T).(pr0 t1 y0)) (\lambda (y0: T).(subst0 O u3 y0 t3))))))) (pr0
 209 t1 (lift (S O) O (THead (Bind Abbr) u2 t2))) (ex3_2_intro T T (\lambda (u3:
 210 T).(\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind Abbr) u2 t2) (THead (Bind Abbr) u3
 211 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u3))) (\lambda (u3:
 212 T).(\lambda (t3: T).(or (pr0 t1 t3) (ex2 T (\lambda (y0: T).(pr0 t1 y0))
 213 (\lambda (y0: T).(subst0 O u3 y0 t3)))))) u2 t2 (refl_equal T (THead (Bind
 214 Abbr) u2 t2)) H14 (or_introl (pr0 t1 t2) (ex2 T (\lambda (y0: T).(pr0 t1 y0))
 215 (\lambda (y0: T).(subst0 O u2 y0 t2))) H12))))))) k H10)))) H7))
 216 H6)))))))))))) (\lambda (u: T).(\lambda (v1: T).(\lambda (v2: T).(\lambda (_:
 217 (pr0 v1 v2)).(\lambda (_: (((eq T v1 (THead (Bind Abbr) u1 t1)) \to (or
 218 (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t2: T).(eq T v2 (THead (Bind Abbr) u2
 219 t2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u2))) (\lambda (u2:
 220 T).(\lambda (t2: T).(or (pr0 t1 t2) (ex2 T (\lambda (y0: T).(pr0 t1 y0))
 221 (\lambda (y0: T).(subst0 O u2 y0 t2))))))) (pr0 t1 (lift (S O) O
 222 v2)))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (_: (pr0 t0 t2)).(\lambda
 223 (_: (((eq T t0 (THead (Bind Abbr) u1 t1)) \to (or (ex3_2 T T (\lambda (u2:
 224 T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Bind Abbr) u2 t3)))) (\lambda (u2:
 225 T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u2))) (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(or (pr0
 226 t1 t3) (ex2 T (\lambda (y0: T).(pr0 t1 y0)) (\lambda (y0: T).(subst0 O u2 y0
 227 t3))))))) (pr0 t1 (lift (S O) O t2)))))).(\lambda (H5: (eq T (THead (Flat
 228 Appl) v1 (THead (Bind Abst) u t0)) (THead (Bind Abbr) u1 t1))).(let H6 \def
 229 (eq_ind T (THead (Flat Appl) v1 (THead (Bind Abst) u t0)) (\lambda (ee:
 230 T).(match ee with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False
 231 | (THead k _ _) \Rightarrow (match k with [(Bind _) \Rightarrow False | (Flat
 232 _) \Rightarrow True])])) I (THead (Bind Abbr) u1 t1) H5) in (False_ind (or
 233 (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind Abbr) v2 t2)
 234 (THead (Bind Abbr) u2 t3)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u2)))
 235 (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(or (pr0 t1 t3) (ex2 T (\lambda (y0:
 236 T).(pr0 t1 y0)) (\lambda (y0: T).(subst0 O u2 y0 t3))))))) (pr0 t1 (lift (S
 237 O) O (THead (Bind Abbr) v2 t2)))) H6)))))))))))) (\lambda (b: B).(\lambda (_:
 238 (not (eq B b Abst))).(\lambda (v1: T).(\lambda (v2: T).(\lambda (_: (pr0 v1
 239 v2)).(\lambda (_: (((eq T v1 (THead (Bind Abbr) u1 t1)) \to (or (ex3_2 T T
 240 (\lambda (u2: T).(\lambda (t2: T).(eq T v2 (THead (Bind Abbr) u2 t2))))
 241 (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u2))) (\lambda (u2: T).(\lambda (t2:
 242 T).(or (pr0 t1 t2) (ex2 T (\lambda (y0: T).(pr0 t1 y0)) (\lambda (y0:
 243 T).(subst0 O u2 y0 t2))))))) (pr0 t1 (lift (S O) O v2)))))).(\lambda (u0:
 244 T).(\lambda (u2: T).(\lambda (_: (pr0 u0 u2)).(\lambda (_: (((eq T u0 (THead
 245 (Bind Abbr) u1 t1)) \to (or (ex3_2 T T (\lambda (u3: T).(\lambda (t2: T).(eq
 246 T u2 (THead (Bind Abbr) u3 t2)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1
 247 u3))) (\lambda (u3: T).(\lambda (t2: T).(or (pr0 t1 t2) (ex2 T (\lambda (y0:
 248 T).(pr0 t1 y0)) (\lambda (y0: T).(subst0 O u3 y0 t2))))))) (pr0 t1 (lift (S
 249 O) O u2)))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (_: (pr0 t0
 250 t2)).(\lambda (_: (((eq T t0 (THead (Bind Abbr) u1 t1)) \to (or (ex3_2 T T
 251 (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Bind Abbr) u3 t3))))
 252 (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u3))) (\lambda (u3: T).(\lambda (t3:
 253 T).(or (pr0 t1 t3) (ex2 T (\lambda (y0: T).(pr0 t1 y0)) (\lambda (y0:
 254 T).(subst0 O u3 y0 t3))))))) (pr0 t1 (lift (S O) O t2)))))).(\lambda (H8: (eq
 255 T (THead (Flat Appl) v1 (THead (Bind b) u0 t0)) (THead (Bind Abbr) u1
 256 t1))).(let H9 \def (eq_ind T (THead (Flat Appl) v1 (THead (Bind b) u0 t0))
 257 (\lambda (ee: T).(match ee with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _)
 258 \Rightarrow False | (THead k _ _) \Rightarrow (match k with [(Bind _)
 259 \Rightarrow False | (Flat _) \Rightarrow True])])) I (THead (Bind Abbr) u1
 260 t1) H8) in (False_ind (or (ex3_2 T T (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T
 261 (THead (Bind b) u2 (THead (Flat Appl) (lift (S O) O v2) t2)) (THead (Bind
 262 Abbr) u3 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u3))) (\lambda (u3:
 263 T).(\lambda (t3: T).(or (pr0 t1 t3) (ex2 T (\lambda (y0: T).(pr0 t1 y0))
 264 (\lambda (y0: T).(subst0 O u3 y0 t3))))))) (pr0 t1 (lift (S O) O (THead (Bind
 265 b) u2 (THead (Flat Appl) (lift (S O) O v2) t2))))) H9)))))))))))))))))
 266 (\lambda (u0: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H1: (pr0 u0 u2)).(\lambda (H2:
 267 (((eq T u0 (THead (Bind Abbr) u1 t1)) \to (or (ex3_2 T T (\lambda (u3:
 268 T).(\lambda (t2: T).(eq T u2 (THead (Bind Abbr) u3 t2)))) (\lambda (u3:
 269 T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u3))) (\lambda (u3: T).(\lambda (t2: T).(or (pr0
 270 t1 t2) (ex2 T (\lambda (y0: T).(pr0 t1 y0)) (\lambda (y0: T).(subst0 O u3 y0
 271 t2))))))) (pr0 t1 (lift (S O) O u2)))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (t2:
 272 T).(\lambda (H3: (pr0 t0 t2)).(\lambda (H4: (((eq T t0 (THead (Bind Abbr) u1
 273 t1)) \to (or (ex3_2 T T (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead
 274 (Bind Abbr) u3 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u3))) (\lambda
 275 (u3: T).(\lambda (t3: T).(or (pr0 t1 t3) (ex2 T (\lambda (y0: T).(pr0 t1 y0))
 276 (\lambda (y0: T).(subst0 O u3 y0 t3))))))) (pr0 t1 (lift (S O) O
 277 t2)))))).(\lambda (w: T).(\lambda (H5: (subst0 O u2 t2 w)).(\lambda (H6: (eq
 278 T (THead (Bind Abbr) u0 t0) (THead (Bind Abbr) u1 t1))).(let H7 \def (f_equal
 279 T T (\lambda (e: T).(match e with [(TSort _) \Rightarrow u0 | (TLRef _)
 280 \Rightarrow u0 | (THead _ t _) \Rightarrow t])) (THead (Bind Abbr) u0 t0)
 281 (THead (Bind Abbr) u1 t1) H6) in ((let H8 \def (f_equal T T (\lambda (e:
 282 T).(match e with [(TSort _) \Rightarrow t0 | (TLRef _) \Rightarrow t0 |
 283 (THead _ _ t) \Rightarrow t])) (THead (Bind Abbr) u0 t0) (THead (Bind Abbr)
 284 u1 t1) H6) in (\lambda (H9: (eq T u0 u1)).(let H10 \def (eq_ind T t0 (\lambda
 285 (t: T).((eq T t (THead (Bind Abbr) u1 t1)) \to (or (ex3_2 T T (\lambda (u3:
 286 T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Bind Abbr) u3 t3)))) (\lambda (u3:
 287 T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u3))) (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(or (pr0
 288 t1 t3) (ex2 T (\lambda (y0: T).(pr0 t1 y0)) (\lambda (y0: T).(subst0 O u3 y0
 289 t3))))))) (pr0 t1 (lift (S O) O t2))))) H4 t1 H8) in (let H11 \def (eq_ind T
 290 t0 (\lambda (t: T).(pr0 t t2)) H3 t1 H8) in (let H12 \def (eq_ind T u0
 291 (\lambda (t: T).((eq T t (THead (Bind Abbr) u1 t1)) \to (or (ex3_2 T T
 292 (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T u2 (THead (Bind Abbr) u3 t3))))
 293 (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u3))) (\lambda (u3: T).(\lambda (t3:
 294 T).(or (pr0 t1 t3) (ex2 T (\lambda (y0: T).(pr0 t1 y0)) (\lambda (y0:
 295 T).(subst0 O u3 y0 t3))))))) (pr0 t1 (lift (S O) O u2))))) H2 u1 H9) in (let
 296 H13 \def (eq_ind T u0 (\lambda (t: T).(pr0 t u2)) H1 u1 H9) in (or_introl
 297 (ex3_2 T T (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind Abbr) u2 w)
 298 (THead (Bind Abbr) u3 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u3)))
 299 (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(or (pr0 t1 t3) (ex2 T (\lambda (y0:
 300 T).(pr0 t1 y0)) (\lambda (y0: T).(subst0 O u3 y0 t3))))))) (pr0 t1 (lift (S
 301 O) O (THead (Bind Abbr) u2 w))) (ex3_2_intro T T (\lambda (u3: T).(\lambda
 302 (t3: T).(eq T (THead (Bind Abbr) u2 w) (THead (Bind Abbr) u3 t3)))) (\lambda
 303 (u3: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u3))) (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(or
 304 (pr0 t1 t3) (ex2 T (\lambda (y0: T).(pr0 t1 y0)) (\lambda (y0: T).(subst0 O
 305 u3 y0 t3)))))) u2 w (refl_equal T (THead (Bind Abbr) u2 w)) H13 (or_intror
 306 (pr0 t1 w) (ex2 T (\lambda (y0: T).(pr0 t1 y0)) (\lambda (y0: T).(subst0 O u2
 307 y0 w))) (ex_intro2 T (\lambda (y0: T).(pr0 t1 y0)) (\lambda (y0: T).(subst0 O
 308 u2 y0 w)) t2 H11 H5)))))))))) H7))))))))))))) (\lambda (b: B).(\lambda (H1:
 309 (not (eq B b Abst))).(\lambda (t0: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H2: (pr0 t0
 310 t2)).(\lambda (H3: (((eq T t0 (THead (Bind Abbr) u1 t1)) \to (or (ex3_2 T T
 311 (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Bind Abbr) u2 t3))))
 312 (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u2))) (\lambda (u2: T).(\lambda (t3:
 313 T).(or (pr0 t1 t3) (ex2 T (\lambda (y0: T).(pr0 t1 y0)) (\lambda (y0:
 314 T).(subst0 O u2 y0 t3))))))) (pr0 t1 (lift (S O) O t2)))))).(\lambda (u:
 315 T).(\lambda (H4: (eq T (THead (Bind b) u (lift (S O) O t0)) (THead (Bind
 316 Abbr) u1 t1))).(let H5 \def (f_equal T B (\lambda (e: T).(match e with
 317 [(TSort _) \Rightarrow b | (TLRef _) \Rightarrow b | (THead k _ _)
 318 \Rightarrow (match k with [(Bind b0) \Rightarrow b0 | (Flat _) \Rightarrow
 319 b])])) (THead (Bind b) u (lift (S O) O t0)) (THead (Bind Abbr) u1 t1) H4) in
 320 ((let H6 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e with [(TSort _)
 321 \Rightarrow u | (TLRef _) \Rightarrow u | (THead _ t _) \Rightarrow t]))
 322 (THead (Bind b) u (lift (S O) O t0)) (THead (Bind Abbr) u1 t1) H4) in ((let
 323 H7 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e with [(TSort _) \Rightarrow
 324 (lref_map (\lambda (x0: nat).(plus x0 (S O))) O t0) | (TLRef _) \Rightarrow
 325 (lref_map (\lambda (x0: nat).(plus x0 (S O))) O t0) | (THead _ _ t)
 326 \Rightarrow t])) (THead (Bind b) u (lift (S O) O t0)) (THead (Bind Abbr) u1
 327 t1) H4) in (\lambda (_: (eq T u u1)).(\lambda (H9: (eq B b Abbr)).(let H10
 328 \def (eq_ind B b (\lambda (b0: B).(not (eq B b0 Abst))) H1 Abbr H9) in (let
 329 H11 \def (eq_ind_r T t1 (\lambda (t: T).((eq T t0 (THead (Bind Abbr) u1 t))
 330 \to (or (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Bind
 331 Abbr) u2 t3)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u2))) (\lambda (u2:
 332 T).(\lambda (t3: T).(or (pr0 t t3) (ex2 T (\lambda (y0: T).(pr0 t y0))
 333 (\lambda (y0: T).(subst0 O u2 y0 t3))))))) (pr0 t (lift (S O) O t2))))) H3
 334 (lift (S O) O t0) H7) in (eq_ind T (lift (S O) O t0) (\lambda (t: T).(or
 335 (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Bind Abbr) u2
 336 t3)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u2))) (\lambda (u2:
 337 T).(\lambda (t3: T).(or (pr0 t t3) (ex2 T (\lambda (y0: T).(pr0 t y0))
 338 (\lambda (y0: T).(subst0 O u2 y0 t3))))))) (pr0 t (lift (S O) O t2))))
 339 (or_intror (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Bind
 340 Abbr) u2 t3)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u2))) (\lambda (u2:
 341 T).(\lambda (t3: T).(or (pr0 (lift (S O) O t0) t3) (ex2 T (\lambda (y0:
 342 T).(pr0 (lift (S O) O t0) y0)) (\lambda (y0: T).(subst0 O u2 y0 t3)))))))
 343 (pr0 (lift (S O) O t0) (lift (S O) O t2)) (pr0_lift t0 t2 H2 (S O) O)) t1
 344 H7)))))) H6)) H5)))))))))) (\lambda (t0: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (_:
 345 (pr0 t0 t2)).(\lambda (_: (((eq T t0 (THead (Bind Abbr) u1 t1)) \to (or
 346 (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Bind Abbr) u2
 347 t3)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u2))) (\lambda (u2:
 348 T).(\lambda (t3: T).(or (pr0 t1 t3) (ex2 T (\lambda (y0: T).(pr0 t1 y0))
 349 (\lambda (y0: T).(subst0 O u2 y0 t3))))))) (pr0 t1 (lift (S O) O
 350 t2)))))).(\lambda (u: T).(\lambda (H3: (eq T (THead (Flat Cast) u t0) (THead
 351 (Bind Abbr) u1 t1))).(let H4 \def (eq_ind T (THead (Flat Cast) u t0) (\lambda
 352 (ee: T).(match ee with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow
 353 False | (THead k _ _) \Rightarrow (match k with [(Bind _) \Rightarrow False |
 354 (Flat _) \Rightarrow True])])) I (THead (Bind Abbr) u1 t1) H3) in (False_ind
 355 (or (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Bind Abbr)
 356 u2 t3)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u2))) (\lambda (u2:
 357 T).(\lambda (t3: T).(or (pr0 t1 t3) (ex2 T (\lambda (y0: T).(pr0 t1 y0))
 358 (\lambda (y0: T).(subst0 O u2 y0 t3))))))) (pr0 t1 (lift (S O) O t2)))
 359 H4)))))))) y x H0))) H)))).
 360
 361 lemma pr0_gen_void:
 362  \forall (u1: T).(\forall (t1: T).(\forall (x: T).((pr0 (THead (Bind Void) u1
 363 t1) x) \to (or (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t2: T).(eq T x (THead
 364 (Bind Void) u2 t2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u2))) (\lambda
 365 (_: T).(\lambda (t2: T).(pr0 t1 t2)))) (pr0 t1 (lift (S O) O x))))))
 366 \def
 367  \lambda (u1: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (x: T).(\lambda (H: (pr0 (THead
 368 (Bind Void) u1 t1) x)).(insert_eq T (THead (Bind Void) u1 t1) (\lambda (t:
 369 T).(pr0 t x)) (\lambda (_: T).(or (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t2:
 370 T).(eq T x (THead (Bind Void) u2 t2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr0
 371 u1 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t2: T).(pr0 t1 t2)))) (pr0 t1 (lift (S O)
 372 O x)))) (\lambda (y: T).(\lambda (H0: (pr0 y x)).(pr0_ind (\lambda (t:
 373 T).(\lambda (t0: T).((eq T t (THead (Bind Void) u1 t1)) \to (or (ex3_2 T T
 374 (\lambda (u2: T).(\lambda (t2: T).(eq T t0 (THead (Bind Void) u2 t2))))
 375 (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t2:
 376 T).(pr0 t1 t2)))) (pr0 t1 (lift (S O) O t0)))))) (\lambda (t: T).(\lambda
 377 (H1: (eq T t (THead (Bind Void) u1 t1))).(let H2 \def (f_equal T T (\lambda
 378 (e: T).e) t (THead (Bind Void) u1 t1) H1) in (eq_ind_r T (THead (Bind Void)
 379 u1 t1) (\lambda (t0: T).(or (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t2: T).(eq
 380 T t0 (THead (Bind Void) u2 t2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1
 381 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t2: T).(pr0 t1 t2)))) (pr0 t1 (lift (S O) O
 382 t0)))) (or_introl (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t2: T).(eq T (THead
 383 (Bind Void) u1 t1) (THead (Bind Void) u2 t2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_:
 384 T).(pr0 u1 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t2: T).(pr0 t1 t2)))) (pr0 t1
 385 (lift (S O) O (THead (Bind Void) u1 t1))) (ex3_2_intro T T (\lambda (u2:
 386 T).(\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind Void) u1 t1) (THead (Bind Void) u2
 387 t2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u2))) (\lambda (_:
 388 T).(\lambda (t2: T).(pr0 t1 t2))) u1 t1 (refl_equal T (THead (Bind Void) u1
 389 t1)) (pr0_refl u1) (pr0_refl t1))) t H2)))) (\lambda (u0: T).(\lambda (u2:
 390 T).(\lambda (H1: (pr0 u0 u2)).(\lambda (H2: (((eq T u0 (THead (Bind Void) u1
 391 t1)) \to (or (ex3_2 T T (\lambda (u3: T).(\lambda (t2: T).(eq T u2 (THead
 392 (Bind Void) u3 t2)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u3))) (\lambda
 393 (_: T).(\lambda (t2: T).(pr0 t1 t2)))) (pr0 t1 (lift (S O) O
 394 u2)))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H3: (pr0 t0
 395 t2)).(\lambda (H4: (((eq T t0 (THead (Bind Void) u1 t1)) \to (or (ex3_2 T T
 396 (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Bind Void) u3 t3))))
 397 (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u3))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3:
 398 T).(pr0 t1 t3)))) (pr0 t1 (lift (S O) O t2)))))).(\lambda (k: K).(\lambda
 399 (H5: (eq T (THead k u0 t0) (THead (Bind Void) u1 t1))).(let H6 \def (f_equal
 400 T K (\lambda (e: T).(match e with [(TSort _) \Rightarrow k | (TLRef _)
 401 \Rightarrow k | (THead k0 _ _) \Rightarrow k0])) (THead k u0 t0) (THead (Bind
 402 Void) u1 t1) H5) in ((let H7 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e with
 403 [(TSort _) \Rightarrow u0 | (TLRef _) \Rightarrow u0 | (THead _ t _)
 404 \Rightarrow t])) (THead k u0 t0) (THead (Bind Void) u1 t1) H5) in ((let H8
 405 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e with [(TSort _) \Rightarrow t0 |
 406 (TLRef _) \Rightarrow t0 | (THead _ _ t) \Rightarrow t])) (THead k u0 t0)
 407 (THead (Bind Void) u1 t1) H5) in (\lambda (H9: (eq T u0 u1)).(\lambda (H10:
 408 (eq K k (Bind Void))).(eq_ind_r K (Bind Void) (\lambda (k0: K).(or (ex3_2 T T
 409 (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T (THead k0 u2 t2) (THead (Bind Void)
 410 u3 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u3))) (\lambda (_:
 411 T).(\lambda (t3: T).(pr0 t1 t3)))) (pr0 t1 (lift (S O) O (THead k0 u2 t2)))))
 412 (let H11 \def (eq_ind T t0 (\lambda (t: T).((eq T t (THead (Bind Void) u1
 413 t1)) \to (or (ex3_2 T T (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead
 414 (Bind Void) u3 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u3))) (\lambda
 415 (_: T).(\lambda (t3: T).(pr0 t1 t3)))) (pr0 t1 (lift (S O) O t2))))) H4 t1
 416 H8) in (let H12 \def (eq_ind T t0 (\lambda (t: T).(pr0 t t2)) H3 t1 H8) in
 417 (let H13 \def (eq_ind T u0 (\lambda (t: T).((eq T t (THead (Bind Void) u1
 418 t1)) \to (or (ex3_2 T T (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T u2 (THead
 419 (Bind Void) u3 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u3))) (\lambda
 420 (_: T).(\lambda (t3: T).(pr0 t1 t3)))) (pr0 t1 (lift (S O) O u2))))) H2 u1
 421 H9) in (let H14 \def (eq_ind T u0 (\lambda (t: T).(pr0 t u2)) H1 u1 H9) in
 422 (or_introl (ex3_2 T T (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind
 423 Void) u2 t2) (THead (Bind Void) u3 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_:
 424 T).(pr0 u1 u3))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(pr0 t1 t3)))) (pr0 t1
 425 (lift (S O) O (THead (Bind Void) u2 t2))) (ex3_2_intro T T (\lambda (u3:
 426 T).(\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind Void) u2 t2) (THead (Bind Void) u3
 427 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u3))) (\lambda (_:
 428 T).(\lambda (t3: T).(pr0 t1 t3))) u2 t2 (refl_equal T (THead (Bind Void) u2
 429 t2)) H14 H12)))))) k H10)))) H7)) H6)))))))))))) (\lambda (u: T).(\lambda
 430 (v1: T).(\lambda (v2: T).(\lambda (_: (pr0 v1 v2)).(\lambda (_: (((eq T v1
 431 (THead (Bind Void) u1 t1)) \to (or (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t2:
 432 T).(eq T v2 (THead (Bind Void) u2 t2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_:
 433 T).(pr0 u1 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t2: T).(pr0 t1 t2)))) (pr0 t1
 434 (lift (S O) O v2)))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (_: (pr0 t0
 435 t2)).(\lambda (_: (((eq T t0 (THead (Bind Void) u1 t1)) \to (or (ex3_2 T T
 436 (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Bind Void) u2 t3))))
 437 (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3:
 438 T).(pr0 t1 t3)))) (pr0 t1 (lift (S O) O t2)))))).(\lambda (H5: (eq T (THead
 439 (Flat Appl) v1 (THead (Bind Abst) u t0)) (THead (Bind Void) u1 t1))).(let H6
 440 \def (eq_ind T (THead (Flat Appl) v1 (THead (Bind Abst) u t0)) (\lambda (ee:
 441 T).(match ee with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False
 442 | (THead k _ _) \Rightarrow (match k with [(Bind _) \Rightarrow False | (Flat
 443 _) \Rightarrow True])])) I (THead (Bind Void) u1 t1) H5) in (False_ind (or
 444 (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind Abbr) v2 t2)
 445 (THead (Bind Void) u2 t3)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u2)))
 446 (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(pr0 t1 t3)))) (pr0 t1 (lift (S O) O (THead
 447 (Bind Abbr) v2 t2)))) H6)))))))))))) (\lambda (b: B).(\lambda (_: (not (eq B
 448 b Abst))).(\lambda (v1: T).(\lambda (v2: T).(\lambda (_: (pr0 v1
 449 v2)).(\lambda (_: (((eq T v1 (THead (Bind Void) u1 t1)) \to (or (ex3_2 T T
 450 (\lambda (u2: T).(\lambda (t2: T).(eq T v2 (THead (Bind Void) u2 t2))))
 451 (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t2:
 452 T).(pr0 t1 t2)))) (pr0 t1 (lift (S O) O v2)))))).(\lambda (u0: T).(\lambda
 453 (u2: T).(\lambda (_: (pr0 u0 u2)).(\lambda (_: (((eq T u0 (THead (Bind Void)
 454 u1 t1)) \to (or (ex3_2 T T (\lambda (u3: T).(\lambda (t2: T).(eq T u2 (THead
 455 (Bind Void) u3 t2)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u3))) (\lambda
 456 (_: T).(\lambda (t2: T).(pr0 t1 t2)))) (pr0 t1 (lift (S O) O
 457 u2)))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (_: (pr0 t0 t2)).(\lambda
 458 (_: (((eq T t0 (THead (Bind Void) u1 t1)) \to (or (ex3_2 T T (\lambda (u3:
 459 T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Bind Void) u3 t3)))) (\lambda (u3:
 460 T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u3))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(pr0 t1
 461 t3)))) (pr0 t1 (lift (S O) O t2)))))).(\lambda (H8: (eq T (THead (Flat Appl)
 462 v1 (THead (Bind b) u0 t0)) (THead (Bind Void) u1 t1))).(let H9 \def (eq_ind T
 463 (THead (Flat Appl) v1 (THead (Bind b) u0 t0)) (\lambda (ee: T).(match ee with
 464 [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead k _ _)
 465 \Rightarrow (match k with [(Bind _) \Rightarrow False | (Flat _) \Rightarrow
 466 True])])) I (THead (Bind Void) u1 t1) H8) in (False_ind (or (ex3_2 T T
 467 (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) u2 (THead (Flat Appl)
 468 (lift (S O) O v2) t2)) (THead (Bind Void) u3 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda
 469 (_: T).(pr0 u1 u3))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(pr0 t1 t3)))) (pr0 t1
 470 (lift (S O) O (THead (Bind b) u2 (THead (Flat Appl) (lift (S O) O v2) t2)))))
 471 H9))))))))))))))))) (\lambda (u0: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (_: (pr0 u0
 472 u2)).(\lambda (_: (((eq T u0 (THead (Bind Void) u1 t1)) \to (or (ex3_2 T T
 473 (\lambda (u3: T).(\lambda (t2: T).(eq T u2 (THead (Bind Void) u3 t2))))
 474 (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u3))) (\lambda (_: T).(\lambda (t2:
 475 T).(pr0 t1 t2)))) (pr0 t1 (lift (S O) O u2)))))).(\lambda (t0: T).(\lambda
 476 (t2: T).(\lambda (_: (pr0 t0 t2)).(\lambda (_: (((eq T t0 (THead (Bind Void)
 477 u1 t1)) \to (or (ex3_2 T T (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead
 478 (Bind Void) u3 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u3))) (\lambda
 479 (_: T).(\lambda (t3: T).(pr0 t1 t3)))) (pr0 t1 (lift (S O) O
 480 t2)))))).(\lambda (w: T).(\lambda (_: (subst0 O u2 t2 w)).(\lambda (H6: (eq T
 481 (THead (Bind Abbr) u0 t0) (THead (Bind Void) u1 t1))).(let H7 \def (eq_ind T
 482 (THead (Bind Abbr) u0 t0) (\lambda (ee: T).(match ee with [(TSort _)
 483 \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead k _ _) \Rightarrow
 484 (match k with [(Bind b) \Rightarrow (match b with [Abbr \Rightarrow True |
 485 Abst \Rightarrow False | Void \Rightarrow False]) | (Flat _) \Rightarrow
 486 False])])) I (THead (Bind Void) u1 t1) H6) in (False_ind (or (ex3_2 T T
 487 (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind Abbr) u2 w) (THead (Bind
 488 Void) u3 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u3))) (\lambda (_:
 489 T).(\lambda (t3: T).(pr0 t1 t3)))) (pr0 t1 (lift (S O) O (THead (Bind Abbr)
 490 u2 w)))) H7))))))))))))) (\lambda (b: B).(\lambda (H1: (not (eq B b
 491 Abst))).(\lambda (t0: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H2: (pr0 t0 t2)).(\lambda
 492 (H3: (((eq T t0 (THead (Bind Void) u1 t1)) \to (or (ex3_2 T T (\lambda (u2:
 493 T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Bind Void) u2 t3)))) (\lambda (u2:
 494 T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(pr0 t1
 495 t3)))) (pr0 t1 (lift (S O) O t2)))))).(\lambda (u: T).(\lambda (H4: (eq T
 496 (THead (Bind b) u (lift (S O) O t0)) (THead (Bind Void) u1 t1))).(let H5 \def
 497 (f_equal T B (\lambda (e: T).(match e with [(TSort _) \Rightarrow b | (TLRef
 498 _) \Rightarrow b | (THead k _ _) \Rightarrow (match k with [(Bind b0)
 499 \Rightarrow b0 | (Flat _) \Rightarrow b])])) (THead (Bind b) u (lift (S O) O
 500 t0)) (THead (Bind Void) u1 t1) H4) in ((let H6 \def (f_equal T T (\lambda (e:
 501 T).(match e with [(TSort _) \Rightarrow u | (TLRef _) \Rightarrow u | (THead
 502 _ t _) \Rightarrow t])) (THead (Bind b) u (lift (S O) O t0)) (THead (Bind
 503 Void) u1 t1) H4) in ((let H7 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e with
 504 [(TSort _) \Rightarrow (lref_map (\lambda (x0: nat).(plus x0 (S O))) O t0) |
 505 (TLRef _) \Rightarrow (lref_map (\lambda (x0: nat).(plus x0 (S O))) O t0) |
 506 (THead _ _ t) \Rightarrow t])) (THead (Bind b) u (lift (S O) O t0)) (THead
 507 (Bind Void) u1 t1) H4) in (\lambda (_: (eq T u u1)).(\lambda (H9: (eq B b
 508 Void)).(let H10 \def (eq_ind B b (\lambda (b0: B).(not (eq B b0 Abst))) H1
 509 Void H9) in (let H11 \def (eq_ind_r T t1 (\lambda (t: T).((eq T t0 (THead
 510 (Bind Void) u1 t)) \to (or (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T
 511 t2 (THead (Bind Void) u2 t3)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1
 512 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(pr0 t t3)))) (pr0 t (lift (S O) O
 513 t2))))) H3 (lift (S O) O t0) H7) in (eq_ind T (lift (S O) O t0) (\lambda (t:
 514 T).(or (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Bind
 515 Void) u2 t3)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u2))) (\lambda (_:
 516 T).(\lambda (t3: T).(pr0 t t3)))) (pr0 t (lift (S O) O t2)))) (or_intror
 517 (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Bind Void) u2
 518 t3)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u2))) (\lambda (_:
 519 T).(\lambda (t3: T).(pr0 (lift (S O) O t0) t3)))) (pr0 (lift (S O) O t0)
 520 (lift (S O) O t2)) (pr0_lift t0 t2 H2 (S O) O)) t1 H7)))))) H6)) H5))))))))))
 521 (\lambda (t0: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (_: (pr0 t0 t2)).(\lambda (_:
 522 (((eq T t0 (THead (Bind Void) u1 t1)) \to (or (ex3_2 T T (\lambda (u2:
 523 T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Bind Void) u2 t3)))) (\lambda (u2:
 524 T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(pr0 t1
 525 t3)))) (pr0 t1 (lift (S O) O t2)))))).(\lambda (u: T).(\lambda (H3: (eq T
 526 (THead (Flat Cast) u t0) (THead (Bind Void) u1 t1))).(let H4 \def (eq_ind T
 527 (THead (Flat Cast) u t0) (\lambda (ee: T).(match ee with [(TSort _)
 528 \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead k _ _) \Rightarrow
 529 (match k with [(Bind _) \Rightarrow False | (Flat _) \Rightarrow True])])) I
 530 (THead (Bind Void) u1 t1) H3) in (False_ind (or (ex3_2 T T (\lambda (u2:
 531 T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Bind Void) u2 t3)))) (\lambda (u2:
 532 T).(\lambda (_: T).(pr0 u1 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(pr0 t1
 533 t3)))) (pr0 t1 (lift (S O) O t2))) H4)))))))) y x H0))) H)))).
 534